浙江省绍兴一中2014-2015学年第二学期高二期末考试数学试题(理)

绍兴一中2014学年第二学期期末考试高二理科数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1．全集R U =，}0{},4{2<=>=x x B x x A ，则A ∩B ＝（ ）A. }2{-<x x B ．}32{<<x xC ．}3{>x xD ．}322{<<-<x x x 或2．已知a ,b 均为非零实数，则“a b =”是“22a b =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =,则下列结论正确的是 ( )A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.b c a << 4．若0,0>>b a ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是（ ） A.112ab > B. 822≥+b a C. 2≥ab D ．111a b+≤ 5．已知递减的等差数列{}n a 满足2921a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时，n =（ ）A.3B. 4或5C.4D.5或66．如图，在△ABC 中，1=AB ，3=AC ，D 是BC 的中点，则=⋅BC AD （ ）．A ．3B ．4C ．5D ．不能确定7．若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆224410++--=x y x y 所截得的弦长为6，则23+a b的最小值为（ ）A.10B.4+5+ D.8．函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，…，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D.119．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A10．已知点(,)P x y 是平面区域40(4)y x y x m y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩内的动点，点(1,1)A -，O 为坐标原点，设||()OP OA R λλ-∈的最小值为M，若M ≤,则实数m 的取值范围是（ ） A ．11[,]35- B ．11(,][,)35-∞-+∞ C ．1[,)3-+∞ D ．1[,)2-+∞二、填空题（每小题4分，共20分）11．已知集合{}1,2,4A =，{},4B a =，若{1,2,3,4}A B = ，则A B = ． 12．抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是 ． 13．已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1,||2a b ==，则a 与b 的夹角为 ．14．已知函数⎩⎨⎧<+≥+-=)0()0()(22x x x x x x x f ，对任意的]1,0[∈x ，恒有)()(x f a x f ≤+成立，则实数a 的取值范围是 ．15．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足()221*-=∈n n a S n N ．若不等式18(1)nn n a n++⋅-≤λ对任意的*∈n N 恒成立，则实数λ的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足1236++=a a a ，且124,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和．(Ⅰ)求{n a }的通项公式； (Ⅱ)设1=n nb S ，求数列{n b }的前n 项和T n ．17．（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且2s i n a B ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当2=a 时，求ABC ∆面积的最大值.18．（本小题满分10分）已知函数34)(2++-=a x x x f ，m mx x g 25)(-+=. （Ⅰ）若)(x f y =在]1,1[-上存在零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0=a 时，若对任意的]4,1[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使)()(21x g x f =，求实数 m 的取值范围．19．（本小题满分10分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ,离心率22=e ，且过)21,26(.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点B 为椭圆C 在第一象限中的任意一点，过B 作C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，求三角形OCD 面积的最小值．20．（本小题满分10分）已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈． （Ⅰ）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明； （Ⅱ）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．2014学年第二学期高二理科数学期末试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟一、选择题 AADBB BCCBC 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．{4} 12．161513．3π 14．),1[}0,1{+∞- 15．-21 三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足1236++=a a a ，且124,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和． (I)求{n a }的通项公式； (II)设1=n nb S ，求数列{n b }的前n 项和T n ． 试题解答：(I) 1236++=a a a Q 236∴=a 22∴=a124,,a a a Q 成等比数列 2142∴=a a a2(2)(22)2∴-+=d d解得1d =或0d =（舍）n a n ∴= 4分（II ）22112(11)n n b a n n n n ===-++， 111111112T 2[(1)()()...()]2(1)22334111n nn n n n =-+-+-++-=-=+++. 8分17．（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且2s i n a B , （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当2=a 时，求ABC ∆面积的最大值.试题解答：（Ⅰ） 2sin a B ，2sin sin A B B \，sin 0B > ， 2sin A \故23sin =A ， 因为ABC ∆为锐角三角形，所以 60=A 4分 （Ⅱ）设角CB A ,,所对的边分别为c b a ,,． 由题意知2=a ，由余弦定理得222242cos60b c bc b c bc =+-=+- 又bc bc bc bc c b =-≥-+222，4≤∴bc∴ 34434360sin 21=⨯≤==∆bc bc S ABC ， 当且仅当ABC ∆为等边三角形时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为3． 10分18．（本小题满分10分）已知函数 ，.（1）若 在上存在零点，求实数 的取值范围；（2）当时，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围．试题解答：解：（1）的对称轴是，在区间上是减函数，在上存在零点，则必有： ，即，解得：，故实数的取值范围为；………………（4分）（2）若对任意 ，总存在，使成立，只需函数的值域为函数值域的子集.………………（5分）当时，的值域为，…………（6分）下面求，的值域，19．（本小题满分10分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ,离心率22=e ，且过)21,26(.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）点B 为椭圆C 在第一象限中的任意一点，过B 作C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，求三角形OCD 面积的最小值．图（1）78910试题解答：（1）22222311241c aa ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩故椭圆C 的方程为：2212x y += 4分 （2）设l ：(0)y kx b k =+<联立椭圆方程得：22222211()1()210222x y x kx b k x kbx b y kx b⎧+=⎪⇒++=⇒++++=⎨⎪=+⎩令222221044()(1)0122k b k b b k ∆=⇒-++=⇒=+2211211()(2)2222OCDb b k S b k k k k k ∆+⎡⎤=⋅-⋅=-=-=+-≥⎢⎥-⎣⎦当且仅当12k k =--，即2k =时取等号， 所以三角形OCD 的面积的最小值为2---10分（没写等号成立扣1分） 20．（本小题满分10分）已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈． （1）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明； （2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．试题解答：（1）函数()y f x =为奇函数．当0a =时，()||2f x x x x =+，x R ∈，∴()||2||2()f x x x x x x x f x -=---=--=- ∴函数()y f x =为奇函数； 2分（2）22(22)(2)()(22)(2)x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩，当2x a ≥时，()y f x =的对称轴为：1x a =-；当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+；∴当121a a a -≤≤+时，()y f x =在R 上是增函数，即11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数； 4分 （3）方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数，∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根；②当1a >时，即211a a a >+>-，∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增，∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即244(1)a t a a <⋅<+，∵1a >∴111(2)4t a a<<++． 设11()(2)4h a a a=++，∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t h a <<，又可证11()(2)4h a a a=++在(1,2]上单调增∴max 9()8h a =∴918t <<；③当1a <-时，即211a a a <-<+，∴()y f x =在(,2)a -∞上单调增，在(2,1)a a -上单调减，在(1,)a -+∞上单调增，∴当(1)(2)(2)f a tf a f a -<<时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即2(1)44a t a a --<⋅<，∵1a <-∴111(2)4t a a <<-+-，设11()(2)4g a a a=-+- ∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t g a <<，又可证11()(2)4g a a a =-+-在[2,1)--上单调减∴max 9()8g a = ∴918t <<； 综上：918t <<． 10分。