椭圆的基础知识
高二椭圆基础知识点手写
高二椭圆基础知识点手写椭圆是平面上一个固定点F（焦点）和到该点的距离之和等于常数2a（长轴）的动点P的轨迹。
椭圆有许多基础知识点，下面将逐一介绍。
1. 椭圆的定义椭圆是由平面上的一系列点P构成的，其到两个焦点的距离之和等于一个常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
其中，焦距为c，椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距与长轴、短轴之间的关系为c^2 = a^2 - b^2。
2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆中心的坐标。
3. 椭圆的离心率椭圆的离心率e是一个反映椭圆形状的重要参数，其定义为离心率e=c/a，取值范围为0<e<1。
当e=0时，椭圆退化为圆形；当e=1时，椭圆退化为抛物线。
4. 椭圆的焦点椭圆有两个焦点F1和F2，焦点与中心之间的距离为c。
椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且焦点与中心的连线与椭圆的法线垂直。
5. 椭圆的准线椭圆的准线是与焦点所在直线垂直且经过椭圆中心的直线。
6. 椭圆的直径椭圆的直径是通过椭圆中心的两点，同时也是椭圆的两个顶点。
7. 椭圆的短轴椭圆的短轴是椭圆上两个与中心相对的顶点之间的距离。
8. 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是从焦点到椭圆上一点的线段，它与到该点的法线构成直角三角形。
9. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ为参数，0≤θ≤2π。
10. 椭圆的离心角椭圆上一点与焦点的连线与到该点的切线之间的夹角称为该点的离心角。
总结：椭圆是平面上一点到两个焦点的距离之和等于常数2a的轨迹。
椭圆有许多基础知识点，包括椭圆的定义、标准方程、离心率、焦点、准线、直径、短轴、焦半径、参数方程和离心角等。
掌握这些基础知识点对于高二学生来说是非常重要的，它们是解决椭圆相关问题的基础。
通过理解和掌握这些知识点，我们可以更好地应用于实际问题中，提高解题的准确性和效率。
椭圆基本知识
(
PF1
PF2
)2
(2a)2
4c2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos.
SΔ
1 2
PF1
PF2
sin
知能迁移3
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的长、
短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M（在x轴
上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1， AB ∥ OM . （1）求椭圆的离心率e；
知能迁移2 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且
长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）,求椭圆
的方程；
（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称
轴，且经过两点P1( 6 ，1)、P2(- 3 ，- 2 )， 求椭圆的方程. 解 （1）若焦点在x轴上，设方程为 x2 y2 1
a2 b2 (a＞b＞0). ∵椭圆过P（3，0），∴ 32 02 1,即a 3
方程.
思维启迪 （1）可根据椭圆定义来求椭圆方程； （2）方法一：设斜率为k，表示出直线方程,然后 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解； 方法二：设出A、B两点坐标,代入椭圆方程,作 差变形,利用中点坐标公式及斜率求解（即点差 法）.
解题示范
解 （1）因为点P在椭圆C上， 所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3.
a2 b2 又2a=3×2b,∴b=1,方程为x2 y2 1.
9
若焦点在y轴上，设方程为
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
∵椭圆过点P（3，0），∴
高三椭圆的知识点
高三椭圆的知识点椭圆是高中数学中重要的几何图形之一，它在解决实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍高三椭圆的相关知识点，包括定义、性质以及常见的解题方法。
一、椭圆的定义椭圆可由平面上到两个定点（焦点）F1和F2的距离之和等于常数2a，确定的点P的轨迹得到。
椭圆的中心为焦点连线中点O，以及焦点连线的中垂线l。
离心率e小于1，表明椭圆是一个封闭图形。
二、椭圆的性质1. 焦距性质：椭圆上的每一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
2. 几何定义椭圆：直角坐标系中，椭圆的方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中（h，k）为椭圆的中心坐标，a为横半轴长，b为纵半轴长。
椭圆的右右焦点F（h+c，k）和左焦点（h-c，k）。
3. 参数方程椭圆：通过参数方程x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ为参数。
4. 离心率与半轴关系：离心率e的定义为e = c/a，离心率与半轴关系式为c^2 = a^2 - b^2。
5. 曲线方程性质：椭圆是一个二次曲线，代数方程为Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0。
三、椭圆的重要定理1. 线性方程：椭圆的一般方程Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0可以通过平行于坐标轴的两条直线进行化简，并找到方程相应的参数。
2. 切线与法线：过椭圆上任一点的切线与法线斜率的关系式分别为k1 = -x0b^2 / (y0a^2)，k2 = y0b^2 / (x0a^2)。
3. 曲线的切线方程：切线方程的一般形式为y = kx + b，切线与椭圆交点的坐标可通过求解方程得到。
4. 曲线的法线方程：法线方程的一般形式为y = -kx + c，法线与椭圆交点的坐标可通过求解方程得到。
四、椭圆的解题方法在解题过程中，可以运用椭圆的基本定义、性质和定理来求解与椭圆相关的各种问题。
具体方法如下：1. 已知椭圆方程求解：将已知的椭圆方程转化为标准方程，找出椭圆的参数，并求解各属性，如中心坐标、焦点坐标、离心率等。
高二人教版数学椭圆知识点
高二人教版数学椭圆知识点椭圆是高中数学中一个重要的几何图形，它在二维平面上呈现出特定的形状和性质。
本篇文章将为大家介绍高二人教版数学课程中关于椭圆的基本知识点。
一、椭圆的定义椭圆是指到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，2a为椭圆的长轴长度。
二、椭圆的性质1. 焦距性质：椭圆上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。
2. 对称性质：椭圆关于长轴和短轴都具有对称性。
3. 半焦距性质：椭圆的焦点到椭圆上任意一点P的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
4. 离心率性质：椭圆的离心率定义为离心率e = F1P / PF2，其中P为椭圆上任意一点。
离心率决定了椭圆形状的圆形程度，当离心率小于1时，椭圆更加靠近圆形。
三、椭圆的方程椭圆的标准方程可以表示为(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长轴半径和短轴半径。
四、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为x = h + acosθ，y = k + bsinθ，其中θ为参数。
五、椭圆的几个重要点1. 中心点：椭圆的中心点坐标为(h, k)。
2. 长轴端点：椭圆的长轴端点坐标为(h ± a, k)。
3. 短轴端点：椭圆的短轴端点坐标为(h, k ± b)。
4. 焦点坐标：椭圆的焦点坐标为(h ± c, k)，其中c = √(a² - b²)。
六、椭圆的参数方程的参数意义在椭圆的参数方程中，参数θ表示椭圆上的任意一点的弧度角，取值范围为0至2π。
通过改变θ的取值，可以得到椭圆上的所有点坐标。
七、椭圆的图像与实际应用椭圆图形在现实生活中有广泛的应用。
例如，椭圆形状的行星轨道、地球绕太阳的轨迹等都可以用椭圆来描述。
此外，椭圆在艺术设计和建筑设计中也常常被使用。
初中椭圆的知识点总结
初中椭圆的知识点总结椭圆的定义椭圆是一个闭合的曲线，在平面上由一组点的集合构成，满足到两个定点（焦点）的距离之和等于一定值的特定几何性质。
这个特定值通常被称为椭圆的半长轴长，通常用字母a表示。
而到两个焦点的距离的距离之和的值通常被称为椭圆的半短轴长，通常用字母b表示。
椭圆的方程椭圆的方程通常表示为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 或者 x^2 + y^2 = r^2 这样的形式。
其中，a、b分别代表椭圆半长轴和半短轴的长度，r代表椭圆半长轴和半短轴的长度之和的一半。
椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆的焦点是椭圆上所有点到两个定点（焦点）的距离之和等于椭圆的半长轴长的点的集合。
2. 长轴和短轴：椭圆有两条对称轴，其中一条被称为椭圆的长轴，另一条被称为椭圆的短轴。
这两条轴相交于椭圆的中心点，并且垂直于彼此。
3. 偏心率：椭圆的偏心率是一个用来描述椭圆形状的参数，通常用字母e表示。
偏心率是一个非负实数，它描述了椭圆的偏心程度，当偏心率e=0时，椭圆就是一个圆。
椭圆的应用椭圆在现实生活中有许多应用，比如：1. 天体轨道：行星、卫星和其他天体的轨道通常是椭圆形的。
椭圆的性质被用来研究天体的运动规律。
2. 建筑设计：椭圆形的建筑结构常常在建筑设计中被使用，比如椭圆形的圆顶和拱门。
3. 交通工程：椭圆形的轨迹在交通工程中也有重要应用，比如高速公路的设计和调查中常用到椭圆形的几何形状。
4. 其他工程领域：椭圆形状在机械制造、电子工业和其他工程领域都有广泛的应用。
椭圆的相关问题在初中数学课程中，学生通常需要解决一些椭圆相关的问题，比如：1. 椭圆的焦点位置。
2. 给定椭圆的长轴长和短轴长，计算椭圆的面积和周长。
3. 判断给定点是否在椭圆上。
4. 椭圆的参数方程。
以上是关于椭圆的一些初中阶段学生需要了解的知识点总结。
通过学习椭圆的定义、方程、性质和应用，学生可以更好地理解和掌握椭圆的相关知识，为以后深入学习几何学和应用数学打下坚实的基础。
椭圆基础知识点
椭圆基础知识点椭圆是几何学中的一个重要概念，它在数学和实际应用中都有广泛的应用。
椭圆具有一些独特的性质和特点，让我们一步步来了解椭圆的基础知识点。
1.椭圆的定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，它的形状类似于拉长的圆。
椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离之比为常数的点P（到焦点的距离之和等于常数）构成。
这个常数称为离心率，通常用字母e表示。
当离心率小于1时，椭圆是个封闭的曲线；当离心率等于1时，椭圆变成一个抛物线；当离心率大于1时，椭圆变成一条双曲线。
2.椭圆的主要特点椭圆具有一些独特的特点，让我们来逐个了解：•长半轴和短半轴：椭圆由两个相互垂直的轴构成，其中较长的轴称为长半轴（通常用字母a表示），较短的轴称为短半轴（通常用字母b表示）。
•焦点和准线：椭圆的两个焦点和一条过焦点的垂线称为准线。
准线是椭圆上所有点的几何平均线，即任意一点到两个焦点的距离之和等于准线的长度。
•主轴和次轴：椭圆的长半轴是主轴，短半轴是次轴。
主轴的长度是椭圆的最长直径，次轴的长度是椭圆的最短直径。
主轴和次轴互相垂直，且交于椭圆的中心点。
•离心率：椭圆的离心率e是一个常数，它表示焦点到准线的距离与准线长度的比值。
离心率越接近0，椭圆越接近圆形；离心率越大，椭圆越扁平。
•离心角：椭圆上任意一点P的离心角是焦点到P的线段与准线的夹角。
离心角的大小与离心率和点P的位置有关。
3.椭圆的方程椭圆的方程是用来描述椭圆的数学表达式。
一般来说，椭圆的标准方程有两种形式：•椭圆的中心在坐标原点的情况下，其方程为x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a 和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。
•椭圆的中心不在坐标原点的情况下，其方程为[(x-h)^2]/a^2 + [(y-k)^2]/b^2 = 1，其中(h,k)表示椭圆的中心坐标。
4.椭圆的应用椭圆在数学和实际应用中都有广泛的应用。
以下是一些椭圆的应用领域：•天文学：行星和卫星的轨道通常是椭圆形的，椭圆的研究对于天体运动的理解和预测非常重要。
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结【椭圆】一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。
二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2、两种标准方程可用一般形式表示：或者 mx2+ny2=1 三、椭圆的性质（以为例） 1、对称性：对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，。
③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，。
和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。
② 因为，所以的取值范围是。
越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。
③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆（）。
即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。
①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：6、椭圆的内外部（1）点在椭圆的内部（2）点在椭圆的外部四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，，五、其他结论 1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是2、若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是3、椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为4、椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , )5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。
椭圆基础知识总结
椭圆基础知识总结
椭圆在数学中是一种重要的几何形状，它具有许多独特的性质和应用。
以下是
椭圆的基础知识总结。
1. 定义：椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
两个给
定点称为焦点，它们通常标记为F1和F2。
常数称为焦距，通常标记为2a。
2. 参数方程：椭圆的参数方程由以下公式给出：x = a * cos(θ)，y = b * sin(θ)。
其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴，θ是参数。
3. 方程：椭圆的方程是(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。
该方程描述了椭圆上各个点
的位置。
当a=b时，椭圆变为圆。
4. 焦点性质：椭圆上的每个点到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。
这个性质被称为焦点性质，它使得椭圆在通信、导航和天体力学等领域有广泛应用。
5. 长轴、短轴和离心率：椭圆的长轴是沿着椭圆的最长直径，短轴是沿着椭圆
的最短直径。
离心率定义为e = c/a，其中c是焦点到圆心的距离。
6. 焦点到顶点的距离：椭圆上任意一点到其近焦点的距离等于到其远焦点的距
离减去2a。
这是椭圆的重要性质之一。
7. 离心角与焦半径：椭圆上任意一点的离心角是该点处切线和法线之间的角度。
焦半径是从焦点到椭圆上某点的线段。
椭圆具有许多应用，包括通信技术中的椭圆曲线加密算法、地球轨道和卫星运
动的描述、天文学中行星轨道等。
理解椭圆的基础知识有助于我们更好地理解和应用这个几何形状。
高三知识点总结椭圆
高三知识点总结椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上一个动点到两个不同的固定点的距离之和等于常数的轨迹。
这两个固定点分别称为焦点，这个常数称为椭圆的半长轴的长度。
椭圆的定义可以用数学表达式表示为：椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)$其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度，且椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆定义的两个焦点到椭圆曲线上的任意一点的距离之和等于常数2a。
2. 直径性质：椭圆的任意一条直径上任意一点到焦点的距离与到准位线的距离之和等于直径的长。
3. 对称性质：椭圆具有关于x轴、y轴和原点对称的性质。
4. 离心率：椭圆的离心率为$e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，它描述了椭圆的扁平程度，离心率越接近于0，椭圆越圆。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为：$x=a \cos t$$y=b \sin t$其中，t为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
四、椭圆的焦点与准位线椭圆的焦点和准位线是椭圆的重要性质之一，它们在椭圆的图形、方程和计算中起着重要作用。
1. 焦点的坐标：椭圆的焦点坐标为$(\pm \sqrt{a^2 - b^2},0)$2. 准位线方程：椭圆的准位线方程为$x=\pm a \epsilon$，其中ε为椭圆的离心率。
五、椭圆的相关定理1. 椭圆的直径定理：椭圆的所有直径的长度之和为常数2a。
2. 椭圆的离心率定理：椭圆的离心率e的平方等于1减去b平方除以a平方。
六、椭圆的应用椭圆在生活和工程领域中有着广泛的应用，例如：1. 太阳系中行星的轨迹一般为椭圆，椭圆的性质可以帮助我们更好地理解天体运动规律。
2. 椭圆在工程中的应用：例如建筑、机械、航天等领域都会涉及到椭圆的应用，例如在建筑设计中椭圆形的圆顶结构、在机械制造中椭圆齿轮的设计等等。
高考椭圆基本知识点总结
高考椭圆基本知识点总结椭圆是数学中一种重要的图形，对于高中数学的学生来说，掌握椭圆的基本知识点是非常重要的。
本文将对椭圆的一些基本知识进行总结，并通过实例加深理解。
一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和恒定于常数2a的动点P 的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，a称为长半轴。
椭圆的性质包括：1. 椭圆的离心率e小于1，且离心率越小，椭圆越扁平。
2. 椭圆的对称轴是y轴和x轴。
3. 椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2a。
4. 椭圆的面积为πab，其中a为长半轴长度，b为短半轴长度。
二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h,k)为椭圆中心的坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。
以椭圆（x-3）²/4 + (y-2)²/9 = 1为例，该椭圆的中心坐标为(3,2)，长半轴长度为4，短半轴长度为9。
三、椭圆的图形特点1. 对于标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1：- 当a>b时，椭圆的长半轴在x轴上，短半轴在y轴上；- 当a<b时，椭圆的长半轴在y轴上，短半轴在x轴上；- 当a=b时，椭圆即为圆。
2. 椭圆的扁率表达：椭圆的扁率可以通过离心率e来衡量，e的计算公式为：e = sqrt(1 - b²/a²)通过e的大小可以判断椭圆的形状：- 当e=0时，椭圆变成一个点，即焦点和中心重合；- 当e的值在0和1之间时，椭圆越扁平；- 当e=1时，椭圆退化为一个线段，即焦点与中心的连线；- 当e>1时，曲线为双曲线。
四、椭圆的应用1. 天体运动椭圆的轨迹可以用来描述天体的运动，比如地球绕太阳的运动轨迹。
2. 电子轨道原子的电子在原子核周围的运动轨迹可以近似看作椭圆轨道。
总结椭圆的相关知识点
总结椭圆的相关知识点一、椭圆的定义椭圆是一个平面上的几何图形，其定义可以通过焦点和到焦点距离之和的性质来描述。
具体来说，设F1、F2是平面上两个不重合的定点，a是一个大于零的实数，且d是一个大于a的实数，则椭圆E是到F1和F2的距离之和为常数2a的所有点P的轨迹，即PF1+PF2=2a。
从椭圆的定义可以看出，其形状是由F1、F2和到F1、F2的距离之和2a共同决定的，可以通过变化F1、F2和2a来得到不同形状的椭圆。
椭圆可以看作是一个长轴和短轴的交错的点P的轨迹，其中长轴和短轴是垂直于对称轴的，对称轴是长轴的中点到F1和F2的中垂线。
这一几何性质对于椭圆的研究和应用具有重要的意义。
二、椭圆的性质椭圆有许多独特的性质，其中一些性质是椭圆独有的，这些性质为研究和应用椭圆提供了重要的理论基础。
首先，椭圆上的任意一点P到焦点F1、F2的距离之和等于一个定值2a，这一特性决定了椭圆的形状。
其次，椭圆上的任意一条切线与长轴和短轴的夹角相等，这一性质为椭圆的切线方程和切线的长度提供了重要的理论依据。
此外，椭圆上的所有点关于长轴和短轴的两端对称，这一性质为椭圆研究和应用提供了便利。
另外，椭圆还有许多重要的性质，包括椭圆的离心率、焦点的坐标、椭圆的参数方程等。
这些性质为解决实际问题和推导椭圆的方程提供了重要的依据。
因此，深入理解椭圆的性质对于研究和应用椭圆具有重要的意义。
三、椭圆的方程椭圆的方程是研究和应用椭圆的重要工具，它可以通过焦点和长轴、短轴等性质来推导得到。
具体来说，设椭圆的焦点为F1（-c,0），F2（c,0），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1。
如果椭圆的焦点在原点上，则椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。
从椭圆的方程可以看出，它与焦点、长轴、短轴之间存在着密切的关系，通过方程可以推导出椭圆的离心率、焦点的坐标、椭圆的参数方程等重要性质，这些性质为研究和应用椭圆提供了重要的理论基础。
椭圆 知识点+例题 分类全面
点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________________．答案 (1)y 220＋x 24＝1 (2)x 2＋32y 2＝1解析 (1)方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(2)设点B 的坐标为(x 0，y 0)． ∵x 2＋y 2b 2＝1， ∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y2b2＝1， 得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.题型二：椭圆的几何性质[例] (2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .（1）若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； （2）若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2. 因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝bc 2－a 2a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b c 2－a 2a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性， 可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b a 2－c 2a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为ba 2－c 2a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－－c ＝b a 2－c 23a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b a 2－c 23a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.[巩固]（1）已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是_______.（2）(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 (1)2 (2)57解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.(2)如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ， 由余弦定理，得 62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m ＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′， 由对称性，得|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14. ∴a ＝7，因此离心率e ＝c a ＝57.题型三：直线与椭圆位置关系的相关问题[例]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长．(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)， 由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即得Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得x 1＋x 2x 1－x 220＋y 1＋y 2y 1－y 216＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.[巩固](2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M (c ，b 2a)，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆．夯实基础训练则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为__________.解析 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1. 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1. ∴1m ＝2，∴m ＝14. 3．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是_______.解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0， 解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D.4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为_______.解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |， 即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55.5．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为__________.解析 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.6．(2013·福建)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a＝3－1. 7．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3. 如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.8．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 (－263，263) 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )．∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0， 34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263)． 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m .消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m 3， ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±355. 10．(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为_______________.解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 11．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是___________.解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a，由于OP ∥AB ， ∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a， 把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得－c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1，而⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22. 12．已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．答案 33 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2. 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝ 3.∴离心率e ＝2c 2a ＝33. 能力提升训练13．点P 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为________．答案 83解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|F 1F 2|＝6，S △PF 1F 2＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·1＝8 ＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P .所以y P ＝83. 14．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．答案 15解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.15．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)·(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0，所以k 1>－12.又x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54， 所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝PM →2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以[16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4]·(1＋k 21) ＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1>－12，所以k 1＝12. 于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。
高三椭圆知识点
高三椭圆知识点椭圆是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
本文将对高三学生需要了解的椭圆知识点进行详细介绍。
一、椭圆的定义椭圆是平面上所有到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
两个固定点F1和F2称为椭圆的焦点，而常数2a 则称为椭圆的长轴。
二、椭圆的方程椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
三、椭圆的性质1. 椭圆上的所有点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
2. 椭圆上的点与两个焦点连线的夹角相等。
3. 椭圆的离心率定义为e = c/a，其中c为焦距。
椭圆的离心率小于1，且越接近于0，椭圆越扁平。
4. 椭圆是一个闭合曲线，对称于椭圆的中心。
5. 椭圆的长轴和短轴之间的关系为2ae = 2ab，即离心率乘以长轴等于短轴。
四、椭圆的图形特征1. 当a = b时，椭圆退化为一个圆。
2. 当a > b时，椭圆呈现出纵向拉长的形状，长轴在y轴方向。
3. 当a < b时，椭圆呈现出横向拉长的形状，长轴在x轴方向。
五、椭圆的离心率与几何实例1. 当离心率趋近于0时，椭圆接近于圆形，如地球的形状。
2. 当离心率介于0和1之间时，椭圆的形状为椭球体，如椭球中的地下水位面。
3. 当离心率等于1时，椭圆变成一条直线，即为抛物线。
4. 当离心率大于1时，椭圆成为一个开口朝上或朝下的曲线，称为双曲线。
六、椭圆的应用领域1. 天体运动：行星、卫星等天体的轨迹都可以用椭圆来描述。
2. 光学系统：椭圆形镜头可以校正色差，提高成像质量。
3. 平面运动：如抛物线运动、交通工具的轨迹等。
4. 电子通信：卫星轨道和雷达波束设计等。
综上所述，椭圆是一种具有许多重要性质和广泛应用的几何曲线。
通过熟练掌握椭圆的定义、方程和性质，学生可以在解决实际问题中运用椭圆相关知识，提高数学思维和解题能力。
高中椭圆知识点总结
高中椭圆知识点总结一、基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹，即PF1+PF2=2a，其中F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴。
通常情况下，椭圆的焦点在x轴上。
1.2 椭圆的相关术语椭圆上的点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，a称为椭圆的半长轴，a的倒数b称为椭圆的半短轴，焦点连线与长轴的交点O称为椭圆的中心，椭圆上离中心最远的点称为椭圆的顶点，离中心最近的点称为椭圆的底点。
1.3 椭圆的离心率椭圆的离心率e是参数a和b之间的一个函数，表示椭圆形状的狭窄程度。
离心率的计算公式为e=sqrt(1-b^2/a^2)。
二、性质2.1 椭圆的焦点性质椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这是椭圆的定义。
这个性质可以用来证明椭圆的方程。
2.2 椭圆的对称性椭圆关于其长轴和短轴具有对称性，这意味着椭圆沿着这两个轴的对称轴进行对称，两侧的图形是互相重合的。
2.3 椭圆的焦斜率椭圆上的任意一点P到两个焦点的连线与椭圆的切线的夹角是一个常数，称为椭圆的焦斜率。
2.4 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数，取值范围为0到2π。
这个参数方程可以将椭圆表示为一个参数方程的集合。
2.5 椭圆的面积椭圆的面积可以用公式πab来计算，其中a为半长轴，b为半短轴。
3. 椭圆的方程3.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆的中心，a为半长轴，b为半短轴。
3.2 椭圆的一般方程椭圆的一般方程可以表示为Ax²+By²+2Dx+2Ey+F=0，其中A、B、D、E、F为常数，A和B不全为0，经过合适的平移和旋转可以得到标准方程。
4. 椭圆的应用4.1 椭圆在天体运动中的应用椭圆曲线在天体运动中有重要的应用，例如行星绕太阳运动的轨道就是一个椭圆。
椭圆基础知识点
椭圆基础知识点椭圆是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、几何等领域。
本文将介绍椭圆的基础知识点，包括定义、性质、参数方程、焦点与准线等内容。
一、椭圆的定义椭圆是平面上一条封闭曲线，其上各点到两个定点的距离之和恒定。
这两个定点称为焦点，连接两焦点的线段称为主轴，主轴的中点为椭圆的中心，主轴长度的一半称为半长轴，垂直于主轴的线段称为次轴，次轴长度的一半称为半短轴。
二、椭圆的性质1. 弦长定理：椭圆上任意两点连线的长度之和等于两焦点之间的距离。
2. 焦点定理：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于两个焦点之间的距离。
3. 反射定理：从椭圆上一点出发的光线经过反射后，会经过另一个焦点。
4. 离心率：椭圆的离心率e是一个0到1之间的实数，定义为焦距与半长轴之间的比值。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以用参数θ表示，如下所示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
四、椭圆的焦点与准线1. 焦点：椭圆上的焦点是满足椭圆定义的两个定点，记为F1和F2。
焦点与椭圆的离心率e有关，可以通过公式e = c / a计算，其中c为焦距，a为半长轴。
2. 准线：椭圆上到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度的两条直线称为准线，记为L1和L2。
五、应用领域1. 天体运动：行星、卫星等天体围绕太阳、行星等轨道呈椭圆形。
2. 光学：椭圆抛物面反射镜和透镜用于天文望远镜、摄影镜头等光学仪器中。
3. 电子学：椭圆偏振器在液晶显示器等领域有广泛应用。
4. 地理测量：在地球上，纬线和经线的组合形成椭圆，用来表示地球的形状。
六、总结椭圆作为一种几何形状，具有丰富的性质和广泛的应用。
本文介绍了椭圆的定义、性质、参数方程以及焦点与准线等内容。
椭圆在数学、物理、工程等领域中都有重要的应用，对于理解和解决相关问题具有重要意义。
希望本文能够帮助读者对椭圆有更深入的了解。
高中数学椭圆知识点总结
高中数学椭圆知识点总结椭圆在数学中是一个十分重要且有趣的概念，它既是几何图形的一种，也是代数方程的一种。
在高中数学中，我们学习了很多关于椭圆的知识，下面将对一些重要的椭圆知识点进行总结。
1. 椭圆的定义与特点椭圆是平面上一点到两个给定点F1和F2的距离之和等于常数2a的轨迹。
其中F1和F2被称为椭圆的焦点，两个焦点的连线称为主轴，主轴的中点为椭圆的中心。
椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，长轴和短轴的中点连线为准线。
椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。
2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
当椭圆的长轴和短轴与坐标轴平行时，可以根据给定的参数求解椭圆的具体方程。
3. 椭圆的焦点坐标对于给定的椭圆方程，可以通过求解a和b来计算焦点的坐标。
由焦点的定义可知，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于2a。
可通过使用平面几何中距离公式进行计算，得出焦点的坐标。
4. 椭圆的离心率椭圆的离心率描述了椭圆形状的独特性质。
离心率小于1的椭圆被称为压缩椭圆，离心率等于1的椭圆是一个特殊的情况，称为圆，离心率大于1的椭圆被称为扁椭圆。
通过计算椭圆的离心率，可以判断其形状的特性。
5. 椭圆的参数方程除了使用标准方程表示椭圆外，还可以使用参数方程来表示椭圆。
参数方程的形式为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数，范围为[0,2π]。
该参数方程描述了椭圆上每个点的坐标。
6. 椭圆的焦半径椭圆上每个点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
通过该等式，可以根据给定的点坐标求解焦半径。
7. 椭圆的直径与焦径椭圆上的两个对称点与两个焦点之间的线段被称为焦径。
椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，同时也是椭圆上的最大直径。
椭圆的短轴与长轴垂直，同时也是椭圆上的最小直径。
以上是高中数学中关于椭圆的一些重要知识点的总结。
数学椭圆涉及知识点总结
数学椭圆涉及知识点总结一、椭圆的定义1.1、直角坐标系下的定义在直角坐标系中，椭圆的定义如下：给定两个固定点F1和F2（称为焦点）以及一个正实数a，且a>0。
椭圆是到两个焦点的距离之和等于常数2a的点的集合，即对于任意点P(x,y)，PF1+PF2=2a。
1.2、参数方程的定义椭圆也可以用参数方程来表示。
假设椭圆的焦点在原点，半长轴为a，半短轴为b（a>b>0）。
椭圆上的点可以表示为(x,y)=(a*cosθ, b*sinθ)，其中θ是参数。
1.3、其他等价定义除了以上直角坐标系和参数方程的定义之外，椭圆还有许多其他等价的定义，例如：轴对称、封闭曲线等等。
二、椭圆的性质2.1、焦点、顶点和长轴、短轴椭圆有两个焦点和两条主轴。
焦点是椭圆上的两个固定点，两个焦点之间的距离等于2a。
椭圆的两个主轴分别是椭圆的长轴和短轴，其长度分别为2a和2b。
2.2、离心率椭圆的离心率e是一个表示椭圆形状的重要参数，它是焦距与长轴的比值，即e=c/a，其中c是焦点到原点的距离。
离心率是一个小于1的实数，并且与椭圆的形状密切相关。
2.3、焦点、半焦距和半通径椭圆的焦点F1和F2之间的距离是2c，称为焦距。
椭圆的半焦距用c表示，半焦距与长短轴关系为c=sqrt(a^2-b^2)。
半通径是椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和的一半。
2.4、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中(a>b>0)。
根据标准方程，椭圆的长轴平行于x轴，短轴平行于y轴。
2.5、对称性质椭圆是关于x轴和y轴对称的，且有中心对称性质。
2.6、切线与法线椭圆上任意一点处的切线是垂直于从该点到两个焦点的连线的直线。
而该点处的法线是与切线垂直的直线。
2.7、焦半径定理焦半径定理描述了椭圆上任意一点处的两条焦半径的乘积为常数（等于长短轴的乘积），这是椭圆独特的性质之一。
2.8、面积椭圆的面积是一个重要的性质，其面积等于πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
高中椭圆知识点
高中椭圆知识点高中椭圆知识点椭圆是一种常见的几何图形，它在高中数学中占据着重要的地位。
椭圆的性质和公式是我们学习椭圆的基础。
下面我们来详细了解一下高中椭圆的知识点。
1. 概念和性质椭圆是指平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点称为焦点，而常数称为离心率，离心率的范围是0到1之间。
椭圆的中点称为中心，中点到焦点的距离称为焦距，中点到椭圆上任意一点的距离称为半径。
椭圆有一些重要性质，如：- 椭圆的长轴是通过两个焦点和中心的连线，并且长度是两个焦点之间的距离的两倍。
- 椭圆的短轴是通过中心并且垂直于长轴的直线，并且长度是两焦点之间的距离的两倍。
- 椭圆的离心率小于1，离心率等于0时椭圆退化为一个圆。
2. 方程和参数表示椭圆可以通过方程和参数两种方式进行表示。
椭圆的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长短轴半径。
椭圆的参数方程为x = a * cosθ，y = b * sinθ，其中θ是取值范围在0到2π之间的变量。
3. 单位圆和三角函数椭圆可以与单位圆进行联系，单位圆的方程为x^2 + y^2 = 1。
通过变换可以将椭圆的方程转化为单位圆的方程，并将椭圆上的点转化为单位圆上的点。
这样，椭圆上的点的坐标可以用三角函数的值来表示。
4. 轨迹问题椭圆的轨迹问题是椭圆的一个重要应用，可以解决一些实际问题。
例如，一个点在线段上移动，当这个线段的两个端点是椭圆上的两点时，这个点的轨迹就是椭圆。
利用这个性质，可以解决一些航天、工程等领域中的问题。
5. 椭圆和焦点直线的性质椭圆上的点到两个焦点所在直线的距离之和等于常数。
利用这个性质可以证明椭圆的对称性及其他性质。
以上就是高中椭圆的一些基本知识点。
掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解椭圆的性质和应用。
在解题过程中，可以根据已知条件，利用这些知识点进行推导和求解，从而得到满意的答案。
椭圆的基本知识
椭圆的基本知识一、基本知识点知识点一：椭圆的定义：椭圆三定义，简称和比积 1、定义1：（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距,定值为________。
2、定义2：（比）到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。
定点为焦点，定直线为准线，定值为______。
3、定义3：（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆。
两定点是长轴端点，定值为)01(12＜＜m e m --=。
知识点二：椭圆的标准方程1、当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为_______________，其中222b ac -=。
2、当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为_______________，其中222b ac -=。
知识点三：椭圆的参数方程)0(12222＞＞b a by a x =+的参数方程为________________。
知识点四：椭圆的一些重要性质（1）对称性：椭圆的标准方程是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心就是椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足b y a x ≤≤,。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点为椭圆的顶点；②椭圆)0(12222＞＞b a by a x =+与坐标轴的四个顶点分别为___________________________。
③椭圆的长轴和短轴。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
②因为0＞＞c a ，所以e 的取值范围是10＜＜e 。
（5）焦半径：椭圆上任一点),(00y x P 到焦点的连线段叫做焦半径。
对于焦点在x 轴上的椭圆，左焦半径01ex a r +=，右焦半径02ex a r -=。
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一．椭圆的定义：
1．椭圆的定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．椭圆的标准方程：
设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,
∴
a y c x y c x 2)()(2222=+-+++,
整理化简，并且设b 2
＝a 2
－c 2
得椭圆的标
准方程 122
22=+b
y a x .
3．椭圆的第二定义：
设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它
到定直线l : x ＝c
a 2
的距离的比是常数
a
c
(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。
点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F
的准线。
常数e ＝a
c
(0<e <1)是椭圆的离心率。
4．椭圆的参数方程：
以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。
设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么
x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ, y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,
∴ 椭圆的参数方程是⎩
⎨
⎧φ=φ
=sin cos b y a x (φ是参数).。