2018-2019学年河南省开封市高二下学期期中联考数学(理)试题(解析版)

19． 的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重，下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动，居民每天采用“绿色出行”的人数与 值的一组数据：
的值
90
70
50
40
30
20
“绿色出行”的人数 （单位：万人）
1
2
4
6
8
9
（1）已知“绿色出行”的人数 和 值 有线性相关性，求 关于 的线性回归方程；（计算结果保留两位小数）
【详解】
解：由题意得：将不等式 ，
变形为 ，
设 ， ，
由于：
，
可知 为奇函数，
，
令 ， ，
设 ， ， 图象如下：
由于 ，
由图可知 时， ，
即 时， ， 在 单调递增，
又 ，且 ，
的解集为 ，
即 的解集为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了合情推理的应用，解题时需构造函数并利用函数的单调性，考查转化思想和计算能力．
三、解答题
17．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校100名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，其中女生为55人，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼时间
总人数
10
18
22
20
20
10
将学生日均体育锻炼时间在 的学生评价为“锻炼达标”.
（1）若女生锻炼达标人数为10人，通过计算判断，是否能在犯错总人数误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
所以假设正确的是 至少有一个为0.
故选：C．
【点睛】
本题考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，即求一个命题的否定．
3．若复数 为纯虚数（ ，i为虚数单位），则复数 的虚部为（）
A． B．2C． D．3
【答案】B
【解析】根据纯虚数求解得 ,再根据虚部的定义求解即可.
【详解】
为纯虚数, 且 ,
解得 , , ,其虚部为2.
50
现有甲，乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.
若分成1、2、2的三组，有 种分组方法，
则将5项工作分成3组，有 种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有 种情况；
所以不同的安排方式则有 种.
故选：D．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，以及部分平均分配问题，注意分组时要进行分类讨论.
7．根据如下样本数据
2
3
4
5
6
7
4
2.5
2
0.1
0.3
所以 ，解得： ，
则 展开式中二项式系数最大为： ，
则二项式系数最大的项为： .
故选：A.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，组合数的计算公式．
10．在如图所示的正方形中随机投掷1000个点，则落入阴影（曲线为正态分布 的密度曲线）的点的个数的估计值为( )
（附：若 ，则 ， ）
5．一个盒子中装有8个小球，红球有3个，白球有5个，每次从袋子不放回地抽取1个小球，则在第一次抽取的球是红球的条件下，第二次抽取的球为白球的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求出第一次抽到红球的概率，再求出第一次抽到红球且第二次抽到白球的概率，即可得出在第一次抽取的球是红球的条件下，第二次抽取的球为白球的概率．
【详解】
解：根据题意，幂函数 在 上是增函数，
这个说法是错误的，要根据所给的指数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，
大前提是错误的，才导致得到的结论是错误的.
故选：A．
【点睛】
本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．
A．72种B．108种C．36种D．144种
【答案】D
【解析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．
【详解】
解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有 种方法，
再与另一个男生排列，则有 种方法，
三名女生任选两名“捆绑”，有 种方法，
再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有 种方法，
【答案】B
【解析】由题可知，将 转化为 ，再根据二项式展开式的性质，即可求出 和 ，便可得出 .
【详解】
解：由题知， ，
且 ，
则 ，
，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用以及二项展开式的性质，考查计算能力.
12．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有( )
（2）当 时，代入 ，
，
所以某日“绿色出行”的人数为10万人时，该市 的估计值为10.6 .
【点睛】
本题考查线性回归方程以及由线性回归方程估计其他值.
20．为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的300名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：
支付方式
微信
支付宝
购物卡
现金
人数
100
75
75
故有 ，求得 ，
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用和二项展开式的通项公式．
15．观察下列各式： ，则 _____________.(用数字作答)
【答案】13959
【解析】观察前3个等式，可推出 和 ，由此得出 ，即可求出结果．
【详解】
解：观察前3个等式，可知：
，
，
，
以此类推，可得：
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算,同时也考查了虚部的定义,属于基础题型.
4．演绎推理“因为幂函数 在 上是增函数，而函数 是幂函数，所以函数 在 是增函数”所得结论错误的原因是( )
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误
【答案】A
【解析】根据题意，由幂函数的性质分析可得，该演绎推理的大前提幂函数都是增函数是错误的，分析选项即可得答案．
得到的回归方程为 ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】已知表中的数据，可得变量 与变量 之间存在负相关关系，且 时， ，进而得到答案．
【详解】
解：由表中的数据，可得变量 与变量 之间存在负相关关系，
故 ，当 时， .
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是线性回归方程，正确理解回归系数的几何意义是解答的关键．
9．设 若 ，则展开式中二项式系数最大的项是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，当 时， ，利用二项展开式的通项公式求出 ，结合条件求得 ，利用二项式系数的性质，得出二项式系数最大的项为 ，即可求出结果.
【详解】
解：由题可知， ，
当 时， ，
的展开式中，通项公式为： ，
则常数项对应的系数为： ，即 ，得 ，
8．若用1,2,3,4,5,6，这六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有多少个( )
A．720B．36C．144D．72
【答案】D
【解析】第一步先将1，3、5排列，共有 种排法；第二步再将2，4、6插空排列，不能空着两个偶数之间的空，先用两个元素排列中间两个空，在把两端的空位选一个放第三个元素，得到结果．
【详解】
解：根据题意，第一次抽到红球的概率为： ，
第一次抽到红球且第二次抽到白球的概率为： ，
所以第一次抽取的球是红球的条件下，第二次抽取的球为白球的概率为：
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了条件概率的实际应用，理解条件概率是关键．
6．安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作至少由1人完成，则不同的安排方式共有多少种( )
，
，
所以
，
即 .
故答案为：13959.
【点睛】
本题考查归纳推理，由几个特殊的例子，分析其结构特征，总结出一般规律．
16．“解方程 ”有如下思路:设 ，则 在 上为减函数，且 ，故原方程有唯一解 .类比上述解题思路，不等式 的解集为___________.
【答案】
【解析】根据题意，把不等式变形为 ，令 ，由奇函数的定义，可知 为奇函数，求导，利用导函数判断 单调性，且 ，即可得出 的解集，即可得答案.
利用分步乘法原理，共有 种.
故选：D．
【点睛】
本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学生分析解决问题的能力．
二、填空题
13．若 （ 为虚数单位），则 ____________.
【答案】
【解析】由复数 求出共轭复数 ，求得复数的模 ，即可求出 .
【详解】
解：由 ，
【详解】
解：由题意知，本题是一个分步计数问题，
第一步先将1，3、5排列，共有 种排法，
第二步再将2，4、6插空排列，不能空着两个偶数之间的空，
先用两个元素排列中间两个空，
在把两端的空位选一个放第三个元素，共有 种排法，
由分步乘法计数原理得这样的六位数共有： .
故选：D.
【点睛】
本题考查分步计数原理，以及排列数的计算和插空法的应用，解题的关键是看出做完一件事需要分成几步，每一步包括几种方法．
（2）根据数学归纳法的步骤，当 时， 成立，继续当 时成立，证明 时也成立，即可得出结论.
【详解】
解：（1）由已知得 ，
所以 ，
猜想 ，
（2）证明：（1）当 时， 成立，
假设当 时结论成立，即 ，