北京市西城区2018-2019学年下学期初中七年级期末考试数学试卷

北京市西城区2018-2019学年下学期初中七年级期末考试数学试卷
本试卷共三部分,26道小题,满分100分。

考试时间:100分钟。

一、选择题(本题共30分，每小题3分)
第1~10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．点P(-6, 6)所在的象限是 (A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
2．下列各数中的无理数是 (A) 6.2⋅
(B)
11
9
(C)
9
(D) π-3.14
3．不等式组2,
5x x <⎧⎨≥-⎩
的解集是
(A) x<2
(B) x ≥-5
(C) -5<x<2
(D) -5≤x<2
4．下列计算正确的是 (A)a 2·a 3=a 6
(B)a 8÷a 2=a 4
(C) (a 2)3=a 6
(D) (-2ab)3=-8a 3b
5．若a<b ，则下列结论不．正确的是 (A)a+4<b+4 (B)a-3<b (C) -2a>-2b
(D)
12a>1
2
b 6．如图，在△ABC 中，E 为AC 边上一点，若∠1=20°，∠C=60°， 则∠AEB 等于
(A)90°
(B) 80°
(C) 60°
(D) 50°
7．下列命题正确的是
(A)相等的两个角一定是对顶角
(B)两条平行线被第三条直线所截，内错角互补 (C)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (D)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
8．某超市开展“六一节”促销活动，一次购买的商品超过200元时，就可享受打折优惠．小
红同学准备为班级购买奖品，需买6本影集和若干支钢笔．已知影集每本15元，钢笔每支8元，她至少买多少支钢笔才能享受打折优惠?设买x支钢笔才能享受打折优惠，那么以下正确的是
(A) 15×6+8x>200 (B) 15×6+8x=200
(C) 15×8+6x>200 (D) 15×6+8x≥200
9．小何所在年级准备开展参观北京故宫博物院的实践活动，他和他选修的“博物馆课程”小组成员共同为同学们推荐了一条“古建之美”线路:行走在对公众开放的古老城墙之上，观“营造之道——紫禁城建筑艺术展”，赏数字影视作品《角楼》，品“古建中的数学之美”．在故宫导览图中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，午门的坐标为(0,-3)，那么以下关于古
建馆的这条参观线路“从午门途经东南角楼
．．．．．．到达东华门展厅”的说法中，正确的是
(A)沿(0,-3)→(→3,-3)→(- 3,- 2)到达东华门展厅
(B)沿(0,-3)→(2,- 3)→(2,- 2)→(3,-2)到达东华门展厅
(C)沿(0,- 3)→(0,- 2)→(3, -2)到达东华门展厅需要走4个单位长度
(D)沿(0,-3)→(3,- 3)→(3,-2)到达东华门展厅需要走4个单位长度
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,1)，B(-1,2)，C(2,3)，D(- 2,4)，E(3,5)，F(-3,6)．按照A→B→C→D→E→F的顺序，分别将这六个点的横、纵坐标依次循环排列下去，形成一组数1，1，-1，2,2,3，-2,4,3，5，-3，6，1,1,-1，2，．．．，第一个数记为a1，第二个数记为a2, ．．．，第n个数记为a n(n为正整数)，那么a9+a11和a2022的值分别为
(A)0，3 (B)0，2 (C)6，3 (D)6, 2
二、填空题(本题共18分，第11~14题每小题2分，第15、16题每小题3分，第17、18题每小题2分)
11．49的平方根是__________． 12．计算:
23
8(3)+-=__________．
13．计算: 3a(2a-1)+ 2ab 3÷b 3=__________．
14．下列各组数:①2,3,4;②2，3,5;③2,3,7;④3，3,3,其中能作为三角形的三边长的是__________ (填写所有符合题意的序号)．
15．在平面直角坐标系xOy 中，A, B, C 三点的坐标如图所示，那么点A 到BC 边的距离等于__________，△ABC 的面积等于__________．
16．图中的四边形均为矩形，根据图中提供的信息填空: (1)①___________，②__________． (2) (x+p)(x+__________)=x 2+__________．
17．若关于x 的不等式x ≥a 的负整数解是-1,-2，-3，则实数a 满足的条件是___________． 18．某手机店今年1~4月的手机销售总额如图1,其中一款音乐手机的销售额占当月手机销
售总额的百分比如图2．
有以下四个结论:
①从1月到4月，手机销售总额连续下降
②从1月到4月，音乐手机销售额在当月手机销售总额中的占比连续下降
③音乐手机4月份的销售额比3月份有所下降
④今年1~4月中，音乐手机销售额最低的是3月
其中正确的结论是____________ (填写序号)．
三、解答题(本题共52分，第19~23题每小题6分，第24、25 题每小题7分，第26题8分)
19．解不等式
22
2
52
x x
+-
-≥，并把解集表示在数轴上．
20．先化简，再求值: (2a+b)2+(a+b)(a-b)-3ab，其中a=2，b=
1 2 -.
21．如图，点F在线段AB上，点E, G在线段CD上，FG//AE, ∠l=∠2．
(1)求证: AB//CD;
(2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD,∠D=100°,求∠1的度数．
22．小明的作业中出现了如下解题过程:
1
9
4
1
9
4
=+第一步
1
9
4
=+第二步
1
3
2
=+第三步
1
3
2
=. 第四步
解答下列问题:
(1) 以上解题过程中，从第几步开始出现了错误?
(2)比较
1
9
4
与
1
3
2
的大小，并写出你的判断过程．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A(4,1)，B(2,-2)．
(1)过点B作x轴的垂线，垂足为M，在BM的延长线上截取MC=2BM，平移线段AB 使点A移动到点C，画出平移后的线段CD;
(2)直接写出C, D两点的坐标;
(3)画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形ADE,并使点E与点B分别位于AD边所在直线的两侧．若点P在△ADE的三边上运动，直接写出线段PM长的最大值，以及相应点P的坐标．
24．(1) 2019年4月，中国新闻出版研究院发布了《第十六次全国国民阅读调查报告》，以下是小明根据该报告提供的数据制作的“2017-2018年我国未成年人图书阅读率统计图”的一部分．
图1 2017- 2018年我国未成年人图书阅读率统计图
报告中提到，2018年9-13周岁少年儿童图书阅读率比2017年提高了3.1个百分点，2017年我国0-17周岁未成年人图书阅读率为84.8%．
根据以上信息解决下列问题:
①写出图1中a的值;
②补全图1;
(2)读书社的小明在搜集资料的过程中，发现了《人民日报》曾经介绍过多种阅读法，他在班上给同学们介绍了其中6种，并调查了全班40名同学对这6种阅读法的认可程度，制作了如下的统计表和统计图:
最愿意使用的阅读方法人数统计表图2最愿意使用的阅读方法人数比例统计图
根据以上信息解决下列问题:
①补全统计表及图2;
②根据调查结果估计全年级500名同学最愿意使用“D．精华提炼法”的人数．25．阅读下面材料:
2019年4月底，“百年器象——清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”(图①)，它见证了中国人民解放军海军的发展历程．六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪(图②)按照一定的观测步骤(图③显示的是其中第6步)读出六分仪圆弧标尺上的刻
度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标．
请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论(两次反射原理)．
已知:在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S,两个反射镜面位于A, B
两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行
．．．．(即BC//AE),并与A处的镜面所在直线NA交于点C, SA所在直线与水平线MB交于点D,六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC=ω,观测角为∠SDM．
(请注意小贴士中的信息)
求证:∠SDM= 2ω．
请在答题卡上完成．．．．．．．对此结论的以下填空及后续证明过程(后续证明无需标注理由)． 证明:∵BC//AE,
∴∠C=∠EAC(____________) ∵∠EAC= ω，
∴∠C= ω (___________) ∵∠SAN=∠CAD(_________), 又∵∠BAC=∠SAN=α(小贴士已知)， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD= 2α． ∵∠FBA 是△_______的外角， ∴∠FBA=∠BAC+∠C(__________)． 即β=α+ω． 补全证明过程:
26．已知:△ABC,点M 是平面上一点，射线BM 与直线AC 交于点D,射线CM 与直线AB 交于点E ．过点A 作AF//CE, AF 与BC 所在的直线交于点F ．
(1)如图1，当BD ⊥AC, CE ⊥AB 时，写出∠BAD 的一个余角，并证明∠ABD=∠CAF; (2)若∠BAC=80°，∠BMC= 120°．
①如图2，当点M 在△ABC 内部时，用等式表示∠ABD 与∠CAF 之间的数量关系，并加以证明;
②如图3，当点M 在△ABC 外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD 与∠CAF 之间的数量关系．
小贴士:
光线经过镜子反射时, 反射角等于入射角，所以 图④中∠BAC=∠SAN=α， ∠DBC=∠ABF=β．
附加题
试卷满分: 20分
一、填空题(本题6分)
如图，在等边三角形网格中建立平面斜坐标系xOy，对于其中的“格点P”(落在网格线交点处的点)，过点P分别做y轴，x轴的平行线，找到平行线与另一坐标轴的交点的x 坐标和y坐标，记这个有序数对(x,y)为它的坐标，如A(2,4)，B(-2,-1)，规定当点在x轴上时，y坐标为0，如C(2,0); 当点在y轴上时，x坐标为0．
(1)原点O的坐标为________，格点D的坐标为_________．
(2)在图中画出点E(3,3)，F(-1,5)的位置;
(3)直线AD上的格点M(m,n)的坐标满足的条件是_____ (其中m，n为整数)．
二、阅读和探究(本题6分)
探究逼近7的有理近似值． 方法介绍:
经过
k 步操作(k 为正整数)不断寻找有理数a k ，b k , 使得7k k a b <<，并且让b k -a k 的值越来越小，同时利用数轴工具将任务几何化，直观理解通过等分线段．．．．的方法不断缩小7对应的点P 所在线段的长度(二分法)．
思路分析:
在数轴上记a k ，b k 对应的点分别为A k ，B k ，a k 和b k 的平均数2
k k
k a b c +=
对应线段A k B k
的中点(记为C k )．通过判断7<c k 还是7>c k ，得到点P 是在二等分后的“左线段A k C k ”上还是“右线段C k B k "上，重复上述步骤，不断得到c k ,从而得到7更精确的近似值．
具体操作步骤及填写“阅读活动任务单”:
(1)当k=1时，
①寻找左右界值:先寻找两个连续正整数a 1，b 1，使得a 17<b 1．
22273<<7<3．那么a 1=2, b 1=3, 线段A 1B 1的中点C 1对应的数11123
2.522
a b C ++=
== ②二分定位:判断点P 在“左线段A k C k ”上还是在“右线段C k B k "上． 比较7与c 127与c 1的大小:
7 > c 1(填“>” 或“<”)，得到点P 在线段C 1B 1 上(填“A 1C 1”或“C 1B 1")． (2)当k=2时，在(1)中所得7<3的基础上，仿照以上步骤，继续进行下去，得到表中k=2时的相应内容．
请继续仿照以上步骤操作下去，补全“阅读活动任务单”: k
a k
b k
2
k k
k a b c +=
的值
7k c >
还是7k c <
点P 在“左线段A k C k ”上还是“右线段C k B k ”上
得出更精确的
7与a k ，b k ，c k
三、解答题（本题8分）
在平面直角坐标系xOy 中，对于任意一点A （x,y ），定义点A 的“离心值”)(A p 为：
⎩
⎨⎧<≥=时当时当|||||,||||||,|)(y x y ，y x x A p 。

例如对于点A （36，-）
，因为|3||6|>-，所以6|6|)(=-=A p
解决下列问题：
（1）已知B （0，5），C （-3，3），D （2-
，-1），直接写出p （D ）的值，并将)(B p ，
)(C p ，)(D p 按从小到大的顺序排列（用“<”连接）
； （2）如图1，点P )2,21(-
，)2,2
1
(--Q ，线段PQ 上的点M （x,y ）
， ①若1)(=M p ，求点M 的坐标； ②在图1中画出满足2
1
)(=
M p 的点M 组成的图形，并用语言描述该图形的特征； （3）如图2，直线l 经过点（0，-3）和（3，0），将直线l 向上平移)0(>m m 个单位得到直线'l 。

若直线'l 上恰好有两个点的离心值为2，直线写出m 的取值范围。

参考答案
一、选择题(本题共30分，每小题3分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C D B C A D A
二、填空题(本题共18分，第11~14题每小题2分，第15、16题每小题3分，第17、18题每小题2分)
11．±7．12．5．13．6a2-a．14．①④．15．3 (2分) ，6 (1分) ．16．(1)①q (1分)，②px (1分); (2) (x+p)(x+ q )=x2 +(p+q)x+pq (1分)。

17．-4<a≤-3．18．④．
三、解答题(本题共52分，第19~23题每小题6分，第24、25题每小题7分，第26题8分)
19．解:去分母，得2(x+2)-5(x-2)≥20．1分
去括号，得2x+4- 5x+10≥20．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
移项合并，得-3x≥6．3分
系数化为1,得x≤-2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
它的解集表示如下:
6分20．解: (2a+b)2 +(a+b)(a-b)- 3ab
=(4a2 +4ab +b2)+(a2 -b2)- 3ab ．．．．．．．．2分
=5a2 +ab．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
当a=2，b=
1
2
-时，
原式=21
522()
2
⨯+⨯-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分=20-1=19．6分
21．如图1．
(1)证明:∵FG∥AE,
∴∠2=∠3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴AB∥CD．．．．．．．．．3分
(2)解: ∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠D= 180°．
∵∠D= 100°，
∴∠ABD=180°-∠D= 80°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∵BC平分∠ABD,
∴∠4=1
2
∠ABD=40°. 5分
由FG⊥BC可得∠1+∠4= 90°．
∴∠1=90°-∠4=50°6分
22．解：（1）二．………………………………2分
(2)结论:
11
93
42
<……………………3分
判断方法不唯一，如
1371749
9,3
44224
===5分
又∵3749 44
<，11
93
42
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
23．解: (1)画图见图2．．．．．．．．2分
(2) C(2,4)，D（0，1）．．．．．．．．．．．．4分
(3)画出符合题意的△ADE．线段PM长的最大值为3，相应点P的坐标为(2,3)．．．．．．．．．．．．6分
24．解: (1)①a的值为96．3%．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
②补图．3分
2017-2018年我国未成年人图书阅读率统计图
(2)①补全统计表，表中使用“D．精华提炼法”10人．．．．．．．．．．．．．．．4分
补全统计图．6分
最愿意使用的阅读方法人数比例统计图
说明:表示“C．字斟句酌法”和“D．精华提炼法”需图形和百分比都正确．
②500×25%= 125．
所以根据调查结果估计全年级500名同学最愿意使用“D．精华提炼法”的人数为125人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分25．证明:如图．
小贴士:
光线经过镜子反射时,
反射角等于入射角，所以
图④中∠BAC=∠SAN=α，
∠DBC=∠ABF=β．
∵BC∥AE,
∴∠C=∠EAC (两直线平行，内错角相等)．1分
∵∠EAC= ω,
∴∠C= ω(等量代换) 2分
∵∠SAN=∠CAD (对顶角相等) 3分
又∵∠BAC= ∠SAN=α(小贴士已知)，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2α．
∵∠FBA是△ABC的外角，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴∠FBA=∠BAC+∠C (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) 即β= α+ω．
∵∠FBM=∠DBC,
又∵∠DBC=∠ABF=β,
∴∠ABM=∠FBA +∠FBM =2β．
∵∠ABM是△ABD的外角，
∴∠ABM =∠BAD+∠SDM．
即2β= 2 α+∠SDM．
∴∠SDM = 2β-2α= 2(β- α)= 2ω．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分26．(1)如图3．
∠BAD的余角不唯一，如∠ABD，∠ACE,
∠CAF，写出一个即可，．．．．．．．．．．．．1分
证明: ∵CE⊥AB，BD⊥AC,
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠ABD= 90°
∴∠ABD=∠2．
∵AF∥CE,
∴∠CAF=∠2．
∴∠ABD=∠CAF．．．．．．．．．．．．．分
(2)①∠ABD+ ∠CAF =40°．4分证明:如图4．
∵∠BMC是△MDC的外角，
∴∠BMC=∠3+∠4．
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠ABD+ ∠BAC．
∵AF∥CE,
∴∠CAF=∠4．
∴∠BMC=∠ABD+∠BAC+∠CAF．
∵∠BMC=120°，∠BAC=80°,
∴120°= ∠ABD +80°+∠CAF,．
∴∠ABD+∠CAF=40°．6分
②补全图形见图5．∠CAF -∠ABD=40°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
(画图及结论正确各1分)
附加题
一、填空题(本题6分)
解: (1) O(0,0)，D(4,2) 2分
(2)点E(3,3)，F(-1,5)的位置如图1所示．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
(3) m+n=6 (其中m，n为整数) 6分
二、阅读和探究(本题6分)
注: a 4， b 4，c 4合计1分．
三、解答题(本题8分)
解: (1)
． 1分
p(D) <p(C)< p(B)． 2分
(2)①∵点11
(,2),(,2)22P Q ---,
∴1
,22
P Q P Q x x y y ====,且线段PQ ⊥x 轴．
对于线段PQ 上的点M(x,y),它的横坐标x M ，纵坐标y M 满足1
,22
M M x y =≤. ∴线段PQ 上满足p(M)=1的点M 的坐标为11
(,1),(,1)22
---． ．
．．．．．．．4分 ②满足p(M)=
1
2
的点M 组成的图形如图2所示， 5分 该图形是线段EF,其中1111
(,),(,)2222
E F --- 6分
(3) 0<m<7 (如图3) ． 8分。