必修一模块检测

模块检测(时间：100分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x ＜m }满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅，则实数m ＝________.解析 结合数轴知，当且仅当m ＝3时满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅. 答案 3答案 43．已知x －1＋x ＝22，且x ＞1，则x －x －1的值为________．解析 由x －1＋x ＝22平方得x －2＋2＋x 2＝8，则x －2－2＋x 2＝4，∴(x －1－x )2＝4，又∵x ＞1，∴x －x －1＝2. 答案 24．函数y ＝log x (3－x )的定义域为________．解析 由⎩⎨⎧ 3－x ＞0x ＞0x ≠1得(0,1)∪(1,3)．答案 (0,1)∪(1,3)5．函数f (x )＝x 3＋x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 解析 f (x )－1＝x 3＋x 为奇函数，又f (a )＝2，∴f (a )－1＝1，故f (－a )－1＝－1，即f (－a )＝0.答案 06．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ＋12＜2，x ∈R }，则P －Q ＝________.解析 由定义P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，求P －Q 可检验P ＝{1,2,3,4}中的元素在不在Q ＝{x |x ＋12＜2，x ∈R }中，所有在P 中不在Q 中的元素即为P －Q 中的元素，故P －Q ＝{4}．答案 {4}7．若函数y ＝12x 2－x ＋32的定义域和值域都为[1，b ]，则b 的值为________．解析 由二次函数图象知：12b 2－b ＋32＝b ，得b ＝1或b ＝3，又因为b ＞1，所以b ＝3.答案 38．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文―→明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 由已知，当x ＝3时y ＝6，所以a 3－2＝6，解得a ＝2；∴y ＝2x －2；当y ＝14时，有2x －2＝14，解得x ＝4.答案 “4”9．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．解析 画出函数y ＝2－x 与y ＝3－x 2的图象，它们有两个交点，故方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为2个．答案 2答案 a >1或－1<a <011．若函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2；则m 的取值集合为________．解析 由y ＝x 2－2x ＋3即y ＝(x －1)2＋2，结合图象分析知m 的取值范围为[1,2]时，能使得函数取到最大值3和最小值2.答案 [1,2]12．y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是________．解析 结合图象分析知：y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位而得到的；而y ＝f (x ＋2)是偶函数，即y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，画出图象可以得到f (72)＜f (1)＜f (52)．答案 f (72)＜f (1)＜f (52)13．如果函数f (x )满足f (n 2)＝f (n )＋2，n ≥2，且f (2)＝1，那么f (256)＝________. 解析 f (256)＝f (162)＝f (16)＋2＝f (42)＋2＝f (4)＋4＝f (22)＋4＝f (2)＋6＝1＋6＝7.答案 714．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝________.解析 由条件f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，f (－2)＋g (－2)＝a －2－a 2＋2，即－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，由此解得g (2)＝2，f (2)＝a 2－a －2，所以a ＝2，f (2)＝22－2－2＝154.答案 154二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中方程得a 2＋4a ＋3＝0，∴a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上可知，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅，符合题意；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，符合题意；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}，由根与系数的关系得⎩⎨⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)，1×2＝a 2－5.即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，a 2＝7，∴a ∈∅.综上可知，a 的取值范围是a ≤－3.16．(本小题满分14分)试讨论关于x 的方程|3x －1|＝k 的解的个数．解 设f (x )＝|3x －1|，则关于x 的方程|3x －1|＝k 的解的个数可转化为观察函数f (x )的图象与直线y ＝k 的交点个数；而函数f (x )＝|3x －1|＝⎩⎨⎧3x －1，(x ≥0)1－3x ，(x ＜0)，由函数y ＝3x 的图象通过图象变换易作出函数f (x )的图象，如下图所示：直线y ＝k 是与x 轴平行或重合的直线，观察上图知：当k ＜0时，直线y ＝k 与f (x )的图象没有交点，故方程|3x －1|＝k 的解的个数为0个；当k ＝0时，直线y ＝k 与f (x )的图象有1个交点，故方程|3x －1|＝k 的解的个当0＜k ＜1时，y ＝k 与f (x )的图象有2个交点，故方程|3x －1|＝k 的解的个数为2个；当k ≥1时，直线y ＝k 与f (x )的图象有1个交点，故方程|3x －1|＝k 的解的个数为1个．17．(本小题满分14分)若奇函数f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，(1)求满足f (1－a )＋f (－a )＜0的a 的取值集合M ；(2)对于(1)中的a ，求函数F (x )＝log a [1－(1a )2－x ]的定义域．解 (1)不等式f (1－a )＋f (－a )＜0可化为f (1－a )＜－f (－a )，而f (x )为奇函数，∴f (1－a )＜f (a )，又f (x )在定义域(－1,1)上是减函数， ∴⎩⎨⎧ －1＜1－a ＜1，－1＜－a ＜1，1－a ＞a ，解得0＜a ＜12，∴M ＝{a |0＜a ＜12}．(2)为使F (x )＝log a [1－(1a )2－x ]有意义，必须1－(1a )2－x ＞0，即(1a)2－x ＜1.由0＜a ＜12得1a ＞2，∴2－x ＜0，∴x ＞2.∴函数的定义域为{x |x ＞2}．18．(本小题满分16分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．解 (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎨⎧(30＋t )(40－t )，(0≤t ＜10)，(40－t )(50－t )，(10≤t ≤20).(2)当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]，在t ＝5时，y 取得最大值当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1 200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.∴第5天，日销售额y 取得最大，为1 225元；第20天，日销售额y 取得最小，为600元．答：日销售额y 最大为1225元；最小为600元．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，试求x ∈[1，a ＋1]时函数f (x )的最值． 解 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a ＞1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数，又定义域和值域均为[1，a ]，∴⎩⎨⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎨⎧1－2a ＋5＝a a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2，∴(a ＋1)－a ≤a －1； 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴结合函数f (x )的图象得x ∈[1，a ＋1]时，函数f (x )的最值为：f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x ＞1时，f (x )＜0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．(1)证明：f (x )在定义域上是减函数；(2)如果f (33)＝1，求满足不等式f (x )－f (x －2)≥－2的x 的取值范围．(1)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2x 1＞1， ∴f (x 2x 1)＜0. 又f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x 1)＋f (x 2x 1)＝f (x 2)， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)， ∴f (x )在定义域内是减函数．(2)解 由已知f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，得2f (33)＝f (33)＋f (33)＝f (13)＝2.∴f (x )－f (x －2)≥－2即为f (x )＋2＝f (x )＋f (13)＝f (x 3)≥f (x －2)，∵f (x )在定义域内是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 3≤x －2，x ＞0，x －2＞0，∴x ≥3. ∴满足题意的x 的取值范围是[3，＋∞)．。