高中数学竞赛基本知识集锦
数学竞赛知识点总结高中
数学竞赛知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一种对应关系，将定义域中的元素映射到值域中的元素，通常用f(x)表示函数。
1.2 常见函数常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1.3 函数的性质函数的奇偶性、周期性等性质对于解题非常重要。
1.4 函数的图像函数的图像对于理解函数的性质和解题都具有重要意义。
二、不等式2.1 不等式的表示不等式通常表示为a>b、a≥b、a<b、a≤b等形式。
2.2 不等式的解法解不等式通常通过分析不等式的性质、代数方法和图像法进行。
2.3 不等式的应用不等式在优化问题、绝对值不等式、三角不等式等问题中常常出现。
三、集合与映射3.1 集合的基本概念集合是由各种对象的总体，通常用大写字母表示集合。
3.2 集合的运算包括交集、并集、差集等。
3.3 映射的概念映射是一种元素之间的对应关系，通常用f:A→B表示从集合A到集合B的映射。
三、多项式和方程4.1 多项式的定义多项式是由多个项的代数式，通常表示为P(x)。
4.2 多项式的运算多项式包括加减乘除等基本运算。
4.3 多项式的因式分解因式分解是将多项式表示为若干个不可约的因式乘积。
4.4 方程与不等式方程和不等式是基于多项式的等式与不等式。
四、数列与数学归纳法5.1 等差数列与等比数列等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
5.2 数学归纳法的基本思想数学归纳法用于证明递推关系的性质。
五、排列与组合6.1 排列的基本概念排列是从n个元素中取出m个元素进行排列的方式。
6.2 组合的基本概念组合是从n个元素中取出m个元素进行组合的方式。
6.3 排列组合的性质排列组合问题通常包括排列数、组合数、二项式定理等内容。
六、数论7.1 整数的性质奇数、偶数、素数、合数等是数论中的基本概念。
7.2 最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数论中的重要概念。
高中数学竞赛知识点整理
高中数学竞赛知识点整理
一、代数知识
1.一元二次方程：
（1）一元二次方程的解法：
a、利用求根公式：解一元二次方程的根：
若ax2 + bx + c = 0，则x1 = (-b + √(b2 - 4ac))/2a，x2 = (-b -
√(b2 - 4ac))/2a
b、利用因式分解法：
将一元二次方程化为两个一元一次方程，求解。
2.一元一次方程：
（1）一元一次方程的解法：
a、利用移项法：把一元一次方程化为一元一次不等式，求解。
b、利用乘除法：将一元一次方程的系数化简，求解。
3.二元一次方程组：
（1）二元一次方程组的解法：
a、利用消元法：把二元一次方程组化为一元一次方程组，求解。
b、利用代入法：将一个方程的解代入另一个方程，求解。
4.不等式：
（1）一元一次不等式的解法：
a、利用移项法：将一元一次不等式化为一元一次方程，求解。
b、利用乘除法：将一元一次不等式的系数化简，求解。
二、几何知识
1.直线与圆：
（1）直线与圆的位置关系：
a、直线与圆有共点：直线与圆相切；
b、直线与圆无共点：直线与圆相交；
c、直线与圆有共线：直线与圆相离；
2.三角形：
（1）三角形的性质：
a、直角三角形：有两条直角边；
b、等腰三角形：有两条等长边；
c、等边三角形：三条边。
高中数学竞赛知识点整理
不等式块1．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和）1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立.2．应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均数和几何平均数分别是n n n nn a a a G na a a A 2121=+++=和此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到nn a a a nH 11121+++=，和平方平均（在统计学及误差分析中用到）na a a Q nn 22221+++=这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○* 3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式. 柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则).)(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立. 4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ，则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++例题讲解1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++2．0,,>c b a ，求证：.)(3c b a cb a abc c b a ++≥3．：.222,,,333222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+求证4．设*21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同，求证：.32131211223221na a a a n n ++++≤++++ .5．利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++6．已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8144≥+b a7．利用排序不等式证明n n A G ≤8．证明：对于任意正整数R ，有.)111()11(1+++<+n n n n9．n 为正整数，证明：.)1(131211]1)1[(111----<++++<-+n nn n n nn n例题答案：1. 证明：abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++)()()()2()2()2(222222222≥-+-+-=-++-++-+=b a c a c b c b a ab b a c ac c a b bc c b a.6)()()(a b c a c ca c b bc b a ab ≥+++++∴评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将22b a +)(ca bc ab ++-配方为])()()[(21222a c c b b a -+-+-，亦可利用,222ab b a ≥+ca a c bc c b 2,22222≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且cb b a ,， ca都大于等于1..1)()()()(3333333333232323≥⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==---------------++c a c b b a b c a c c b a b c a b a b a c c a b c b a c b a cb a ca cb b a ccbbaacbaabc c b a评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若≥=>na naai a a a n i a 2121),,,2,1(0则.)(2121na a a n na a a +++（3）本题还可用其他方法得证。
高中数学奥数知识点大汇总
高中数学奥数知识点大汇总一、代数与函数1.1 代数运算•四则运算：加法、减法、乘法和除法，学习运算规则与运算性质。
•指数运算：学习指数的定义、性质和运算法则，包括幂运算、指数函数等。
•根式运算：学习根式的定义、性质和运算法则，包括开方运算、根式化简等。
1.2 多项式与方程•多项式运算：学习多项式的定义、性质和运算法则，学会多项式加减乘除、多项式因式分解等操作。
•一元二次方程：学习一元二次方程的定义、性质和解法，包括因式分解法、配方法、求根公式等。
•不等式与绝对值：学习不等式的定义、性质和解法，包括一元不等式、二元不等式等，同时学会绝对值的运算和解不等式时的应用。
1.3 函数•函数的概念：学习函数的定义和性质，理解函数的自变量、因变量和函数值的概念。
•常用函数：学习常用函数的定义、性质和图像，包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
•函数的运算：学习函数的加减乘除、复合运算等，理解函数运算的基本规则。
二、几何与图形2.1 平面几何•基本概念：学习平面几何的基本概念，包括点、直线、线段、角等。
•同位角与对顶角：学习同位角与对顶角的概念和性质，理解它们在几何证明中的应用。
•平行线与三角形：学习平行线的判定定理和平行线与三角形的性质，包括同位角定理、对顶角定理、内错角定理等。
•相似三角形：学习相似三角形的定义和性质，包括相似比例定理、相似三角形的判定定理等。
2.2 空间几何•空间几何基本概念：学习空间几何的基本概念，包括点、直线、平面、立体等。
•空间几何关系：学习空间几何中的关系，包括点与直线的位置关系、直线与平面的位置关系等。
•空间几何性质：学习空间几何中的性质，包括平行关系、垂直关系、垂直平分线等。
2.3 三角函数•三角函数的定义：学习三角函数的定义，包括正弦、余弦、正切等，理解三角函数的周期性和单调性。
•三角函数的性质：学习三角函数的基本性质，包括周期性、对称性、奇偶性等。
•三角函数的运算：学习三角函数的加减乘除、复合运算等，理解三角函数运算的基本规则。
高二数学竞赛题知识点
高二数学竞赛题知识点在高二数学竞赛中，学生们通常会遇到各种各样的数学问题和题目。
为了取得好成绩，竞赛选手需要了解并掌握一些重要的数学知识点。
本文将介绍一些高二数学竞赛中常见的知识点和相应的解题技巧。
一、函数与方程1. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要内容。
解一元二次方程可以使用求根公式和配方法。
在竞赛中，对于一元二次方程的解法要熟练掌握，并注意考虑方程是否有唯一解或无解的情况。
2. 指数与对数函数指数与对数函数是高中数学中的另一重要内容。
学生们需要了解指数与对数的基本性质，掌握指数与对数函数的图像和性质，以及指数方程与对数方程的解法。
二、平面几何1. 相似三角形相似三角形是平面几何中的重要概念。
学生们需要知道相似三角形的基本定义和性质，能够判断两个三角形是否相似，并应用相似三角形的性质解决相关问题。
2. 圆的性质圆是平面几何中的基本图形，学生们需要了解圆的圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的切线、弦、弧、扇形等性质。
在竞赛中，对于圆的性质的掌握十分重要。
三、立体几何1. 空间几何体的体积、表面积与相关性质学生们需要掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等常见几何体的体积和表面积的计算方法，了解它们的相关性质，并能够应用这些知识解题。
2. 空间向量空间向量是高中数学中的重要概念，学生们需要掌握向量的加法、减法和数量积的计算方法，了解向量的共线与垂直关系等基本性质。
在竞赛中，向量的应用常常涉及平面向量和空间向量的结合。
四、概率与统计1. 排列与组合排列与组合是概率与统计中的基本内容，学生们需要熟练掌握排列与组合的计算方法，并能够应用它们解决相关问题。
2. 概率的计算概率是概率与统计的核心内容，学生们需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够利用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、条件概率和独立事件等。
总结：高二数学竞赛题目涉及的知识点广泛且深入，要取得好成绩，学生们需要充分准备。
本文介绍了一些高二数学竞赛题常见的知识点和解题技巧，包括函数与方程、平面几何、立体几何以及概率与统计。
数学竞赛知识点总结
数学竞赛知识点总结一、数论1. 质数：质数是指只能被1和自身整除的自然数。
质数有许多特殊的性质，如朗格朗日四平方和定理、费马小定理等。
2. 素数：素数是指只有1和自身两个因数的自然数。
素数具有很多独特的性质，如欧拉公式、狄利克雷定理等。
3. 因数分解：对一个自然数进行因数分解可以得到其所有的素因数，进而可以得到其正因数的性质。
因数分解在解决二元一次方程、求最大公约数、求最小公倍数等问题中有很大的应用。
4. 同余：同余是指两个数的差能够被一个自然数整除。
同余理论是数论中重要的一部分，具有很多重要的性质和推论。
5. 约数和倍数：对一个自然数进行约数的求解可以得到其所有的因数，对一个自然数进行倍数的求解可以得到其所有的倍数。
约数和倍数在编程、数学证明等方面具有广泛的应用。
6. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指两个数的公因数中最大的一个，最小公倍数是指两个数的公倍数中最小的一个。
最大公约数和最小公倍数在化简分数、约分、求解方程等方面有很多应用。
7. 质因数：一个合数可以通过质因数分解得到其所有的质因数。
质因数具有很多独特的性质，如欧拉函数、莫比乌斯函数等。
8. 模运算：模运算是指把数除以一个正整数后所得的余数。
模运算在密码学、编程等领域有很多应用。
9. 循环小数和无理数：循环小数是一类特殊的无限小数，无理数是指不能写成两个整数的比的数。
循环小数和无理数在解决方程、化简分数等方面有一定的应用。
10. 素数定理和哥德巴赫猜想：素数定理是指素数的分布规律，哥德巴赫猜想是指任何一个大于2的偶数可以被写成两个素数的和。
二、代数1. 多项式：多项式是由若干个单项式相加或相乘而成。
多项式在解方程、插值、二次函数等方面有广泛的应用。
2. 代数方程：代数方程是指含有未知数的等式。
代数方程的求解在计算机、数学证明等领域有很多应用。
3. 进制转换：进制转换是指将一个数从一种进制转换为另一种进制。
进制转换在计算机、密码学等领域有广泛的应用。
高二数学竞赛考的知识点
高二数学竞赛考的知识点高二数学竞赛是一项对学生数学能力的全面考核，并且考察的知识点涵盖了高一和高二的数学课程内容。
在这篇文章中，我们将详细介绍高二数学竞赛考试中涉及的各个知识点。
1.函数与方程函数与方程是高中数学的基础，也是竞赛中经常考察的内容。
其中包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。
考生需要理解各种函数的性质、图像特点，以及函数之间的关系。
此外，求解各种方程及不等式也是必备的技能。
2.数列与数列极限数列是一种特殊的函数，是将自然数映射到实数的一种方式。
高二数学竞赛中经常涉及到数列的性质、递推公式、通项公式等。
同时，数列极限也是重点考察的内容，包括数列的极限存在性、极限计算、极限的性质等。
3.概率与统计概率与统计是数学中的应用部分，也是高二数学竞赛中的重要内容。
其中包括事件的概率、条件概率、随机变量与概率分布以及统计图表的分析等。
考生需要掌握概率计算的方法和技巧，同时能够灵活运用统计学的基本理论进行问题求解。
4.立体几何立体几何是高中数学中的一大难点，也是高二数学竞赛中的考点之一。
重点包括立体图形的投影、表面积和体积的计算。
此外，还需要理解立体几何中的一些定理和推理思路，并能够应用到复杂的立体几何问题中。
5.平面向量平面向量是高二数学竞赛中的重要知识点，也是数学与物理结合的桥梁。
平面向量包括向量的性质、向量的加法与减法、数量积和向量积等。
考生需要掌握向量的运算方法和性质，并能够运用向量进行几何证明和问题求解。
6.三角函数与三角恒等式三角函数与三角恒等式是高二数学中的重要内容，也是竞赛考点之一。
考生需要熟练掌握三角函数的基本定义、性质和图像，以及能够灵活运用三角函数的恒等式解决各种三角函数的计算和证明题。
7.数学证明数学证明是高中数学中的重要部分，也是高二数学竞赛中的要求之一。
考生需要具备一定的证明思维能力，能够独立完成数学证明题。
在证明过程中，要注重逻辑严谨、推理准确，并能够灵活运用所学知识和定理。
数学竞赛知识基本知识集锦
数学竞赛知识基本知识集锦数学竞赛一直以来都是学生们展现自己数学能力和解题思维的舞台。
参加数学竞赛不仅能够提升数学水平，还能培养逻辑思维和解决问题的能力。
本文将为大家整理数学竞赛的基本知识，希望对参加数学竞赛的同学们有所帮助。
一、基础概念与定理1. 数列与数列的性质：数列是按照一定规律排列的数的序列。
常见的数列有等差数列、等比数列等。
掌握数列的通项公式及常见性质，能够更好地解决与数列相关的问题。
2. 平面几何与立体几何：平面几何主要涉及图形的性质、坐标系以及三角形、四边形等形状的性质。
立体几何则关注空间图形的特征与性质。
定理的掌握和灵活应用是解决几何问题的关键。
3. 三角函数与三角恒等式：三角函数是解决三角形问题的基础，包括正弦、余弦、正切等。
同时，熟悉三角恒等式的应用，能够简化计算过程，提高解题效率。
4. 数论基础知识：数论是研究整数性质的学科，涉及素数、约数、同余等概念。
对数论基础知识的掌握，对于解决一些特定的数学竞赛问题非常有帮助。
5. 初等代数与高等代数：初等代数包括方程、函数等基本概念与运算，高等代数则讨论向量、矩阵等更为复杂的代数运算。
掌握代数运算的方法和技巧是解决代数题的关键。
二、解题技巧与方法1. 抽象问题的具体化：遇到一些抽象的问题时，可以尝试将其具体化，通过构建具体的例子或者特殊情况来分析问题，从而找到解题的思路和方法。
2. 推理与演绎：在解决一些需要推理和演绎的问题时，可以采用逆向思维，从题目要求出发，逆向推导，找到问题的根源和解决方法。
3. 规律与模式的寻找：许多数学竞赛问题都存在一定的规律和模式，通过观察、总结，找到问题的规律，可以更加高效地解决问题。
4. 分析与综合：分析题目的条件和要求，将问题进行拆解，寻找其中的关联与规律，再进行综合运用，能够更好地解决复杂的数学竞赛问题。
三、参考书目与学习资源1. 《挑战杯数学竞赛》2. 《高中数学竞赛经典题解》3. 《奥林匹克数学教程》除了参考书籍，互联网上也有许多数学竞赛的学习资源，例如在线课程、数学竞赛论坛等。
高中数学竞赛知识点总结
高中数学竞赛知识点总结
高中数学竞赛涉及的知识点非常广泛，以下是一份简要的知识点总结：
1. 数论基础：包括整除、余数、最大公约数、最小公倍数等。
2. 代数：包括方程组、不等式、函数、数列等。
3. 平面几何：包括三角形、四边形、圆、相似形、解析几何等。
4. 立体几何：包括球、长方体、四面体等。
5. 平面解析几何：包括直线、二次曲线、极坐标等。
6. 组合数学：包括排列、组合、二项式定理、组合恒等式等。
7. 图论：包括图的性质、欧拉路径、哈密顿路径等。
8. 概率与统计：包括概率、期望、方差等。
9. 初等数论：包括同余、费马小定理、中国剩余定理等。
10. 数学逻辑与问题解决：包括逻辑推理、集合论、问题解决策略等。
以上仅为基础知识点，竞赛中还可能涉及更深层次的知识和技巧。
如果想要深入学习，建议查阅数学竞赛的相关教材或咨询专业教师。
高中数学竞赛基本知识集锦
高中数学竞赛基本知识集锦一、三角函数 常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。
但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。
先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cosαα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±=积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 和差化积2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-=ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。
这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。
要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去举个例子 求值：76cos 74cos 72cosπππ++ 提示：乘以72sin2π，化简后再除下去。
高中数学竞赛常用定理
高中数学竞赛常用定理在高中数学竞赛中，掌握一些常用的数学定理和公式是至关重要的。
这些定理和公式可以帮助学生在比赛中更快、更准确地解决问题，提高竞赛成绩。
下面我们就来介绍一些高中数学竞赛中常用的定理和公式。
1. 三角函数的基本关系：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sinC}=2R$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形$ABC$的三边长度，$A$、$B$、$C$为对应的内角，$R$为三角形$ABC$的外接圆半径。
- 余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
- 正弦函数和余弦函数的关系：$\sin(a \pm b)=\sin a \cos b \pm \cosa \sin b$，$\cos(a \pm b)=\cos a \cosb \mp \sin a \sin b$。
2. 相似三角形的性质：- 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
- 直角三角形中，正弦、余弦、正切函数的关系：$\sinA=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。
3. 平面几何中的重要定理：- 圆的性质：圆内角的和为$180^\circ$，圆周角等于其对应圆心角的一半。
- 相交弦定理：相交弦乘积相等，即$AB \times CD=BC \timesDA$。
- 切线和半径的关系：切线和半径垂直，切线与半径的交点与圆心连线构成直角三角形。
- 内切圆和外切圆的性质：内切圆的切点和三角形的顶点共线，外切圆的切点和三角形的对边中点共线。
4. 数列和级数中的常用公式：- 等差数列前$n$项和公式：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。
- 等比数列前$n$项和公式：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
高一数学竞赛知识点大全
高一数学竞赛知识点大全数学是一门重要的学科，对于学生来说，提前熟悉并掌握数学竞赛的知识点是非常重要的。
本文将为大家总结高一数学竞赛的知识点，帮助大家更好地备战竞赛。
一、代数与函数1. 初步的代数运算：四则运算、分配律、合并同类项等基础运算法则。
2. 整式与分式的乘除：整式与分式的乘法展开、整式与分式的除法。
3. 因式分解：公因式提取法、差平方、完全平方等因式分解方法。
4. 分式运算：分式的加减、化简、乘除等常用运算规则。
5. 线性方程与不等式：一元一次方程与不等式的解法、二元一次方程组的解法和应用。
6. 二次方程与不等式：求根公式、韦达定理、二次不等式的解法和应用。
7. 指数与对数：指数的运算法则、对数的运算法则、指数方程与对数方程的解法。
8. 函数的概念与性质：函数的定义、函数的性质、函数的图像与性质。
9. 函数的运算：函数的加减、乘、除等运算法则。
10. 函数的图像与性质：一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质。
11. 幂函数与指数函数：幂函数与指数函数的图像与性质、幂指对函数的运算法则。
二、几何与立体几何1. 二维图形的性质：重心、垂直、平行、三角不等式等性质。
2. 三角形的性质：角平分线定理、中线定理、垂心与垂足等性质。
3. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等性质。
4. 圆的性质：圆心角定理、弧长、扇形等性质。
5. 直线与圆的位置关系：点到直线、直线到圆的距离、切线等。
6. 空间几何图形的性质：球的表面积和体积、立体几何图形的面积与体积。
三、概率与统计1. 概率的基本概念：随机事件、样本空间、事件概率等。
2. 概率的计算：频率、古典概型、几何概型等概率计算方法。
3. 统计的基本概念：总体、样本、频数等统计学基本概念。
4. 统计图表的制作与分析：条形图、折线图、饼图等常见统计图的制作与分析方法。
四、数列与数表1. 数列的定义与性质：数列的概念、等差数列、等比数列等性质。
2. 数列的运算与运算规律：数列的加减、乘除等运算法则。
高一数学竞赛知识点
高一数学竞赛知识点一、函数与方程在高一数学竞赛中，函数与方程是一个重要的知识点。
函数是数学中的基本概念之一，可以理解为自变量与因变量之间的一种对应关系。
在数学竞赛中，我们需要掌握函数的定义、性质以及函数的图像、单调性等相关知识。
方程是数学中另一个重要的概念，是含有未知数的等式。
在数学竞赛中，我们需要学会解一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程等不同类型的方程，并能够应用解方程的方法解决实际问题。
二、数列与数列的极限数列是由一系列有规律的数按一定顺序排列而成的序列。
在数学竞赛中，我们需要学习数列的概念、公式、性质以及常见数列的求和公式。
数列的极限是数学分析中的重要概念，是指当数列的项数趋向无穷大时，数列的极限值。
在数学竞赛中，我们需要学会判断数列的极限是否存在，以及求解数列的极限值。
三、平面几何与空间几何平面几何是数学中的一个分支，研究平面内的点、直线、角等基本几何概念及其性质。
在数学竞赛中，我们需要学习平面几何的基本概念、定理以及相关的解题方法。
空间几何是平面几何的延伸，研究空间内的点、直线、面等几何对象及其性质。
在数学竞赛中，我们需要掌握空间几何的基本概念、定理以及相关的解题方法。
四、概率与统计概率是数学中的一个分支，研究随机事件发生的可能性大小。
在数学竞赛中，我们需要学习概率的基本概念、性质以及常见的计算方法。
统计是数学中另一个重要的分支，研究数据的收集、整理、分析和解释。
在数学竞赛中，我们需要学习统计的基本概念、性质以及常见的统计方法。
五、数论数论是数学中的一个分支，研究整数的性质和整数之间的关系。
在数学竞赛中，我们需要学习数论的基本概念、性质以及常见的解题方法。
数论在密码学、编码等领域有广泛的应用，是数学竞赛中的重要知识点之一。
六、解析几何解析几何是数学中的一个分支，通过代数方法研究几何问题。
在数学竞赛中，我们需要学习解析几何的基本概念、性质以及常见的解题方法。
解析几何在计算机图形学、物理学等领域有广泛的应用，是数学竞赛中的重要知识点之一。
高中数学竞赛知识点提纲
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set）1.1集.合的阶，集.合之间的关系。
1.2集.合的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理1.5极端原理1.6抽屉原理2. 函数（function）2.1函数的基本概念2.1.1映射2.1.1.1单射2.1.1.2满射2.1.1.3一一映射（双射）2.1.2函数的定义域、值域2.2函数的性质2.2.1对称性2.2.2单调性2.2.3奇偶性2.2.4周期性2.2.5凹凸性2.2.6连续性2.2.7可导性2.2.8有界性2.2.9收敛性2.3初等函数2.3.1一次、二次、三次函数2.3.2幂函数2.3.3双勾函数2.3.4指数、对数函数2.4函数的迭代2.5函数方程3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值3.4正弦、余弦定理3.5反三角函数3.6三角方程4. 向量（vector）4.1向量的运算4.2向量的坐标表示，数量积5. 数列（sequence）5.1数列通项公式求解5.1.1换元法5.1.2特征根法5.1.3不动点法5.1.4迭代法5.1.5数学归纳法5.1.6代换法5.1.7待定系数法5.1.8阶差法5.2数列求和5.2.1裂项相消法5.2.2错位相减法5.2.3倒序相加法5.2.4分组分解法5.2.5归纳猜想法6．不等式（inequality）6.1解不等式6.2重要不等式6.2.1均值不等式6.2.2柯西不等式6.2.3排序不等式6.2.4契比雪夫不等式6.2.5赫尔德不等式6.2.6权方和不等式6.2.7幂平均不等式6.2.8琴生不等式6.2.9 Schur不等式6.2.10嵌入不等式6.2.11卡尔松不等式6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式6.3.2调整法(放缩法)6.3.3归纳法6.3.4切线法6.3.5展开法6.3.6局部法6.3.7反证法6.3.8其他7.解析几何（analyticgeometry）7.1直线与二次曲线方程7.2直线与二次曲线性质7.3参数方程7.4极坐标系8．立体几何（solidgeometry）8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积8.5球，球面8.6三面角*8.7空间向量9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）9.1排列组合的基本公式9.1.1加法、乘法原理9.1.2无重复的排列组合9.1.3可重复的排列组合9.1.4圆排列、项链排列9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数9.1.7 Fibonacci数9.1.8 Catalan数9.2计数方法9.2.1映射法9.2.2容斥原理9.2.3递推法9.2.4折线法9.2.5算两次法9.2.6母函数法9.3证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel法9.3.2算子方法9.3.3组合模型法9.3.4归纳与递推方法9.3.5母函数法9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理9.5概率9.5.1独立事件概率9.5.2互逆事件概率9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝叶斯公式9.5.5现代概率，几何概率9.6数学期望与方差9.7概率分布9.7.1二项分布9.7.2几何分布9.7.3正态分布10.极限，导数（limits,derivatives）10.1极限定义，求法10.2导数定义，求法10.3导数的应用10.3.1判断单调性10.3.2求最值10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则10.5偏导数11.复数（complexnumbers）11.1复数概念及基本运算11.2复数的几个形式11.2.1复数的代数形式11.2.2复数的三角形式11.2.3复数的指数形式11.2.4复数的几何形式11.3复数的几何意义，复平面11.4复数与三角，复数与方程11.5单位根及应用12.平面几何（planegeometry）12.1几个重要的平面几何定理/引理12.1.1梅勒劳斯定理12.1.2塞瓦定理12.1.3托勒密定理12.1.4西姆松定理12.1.5斯特瓦尔特定理12.1.6张角定理12.1.7欧拉定理12.1.8九点圆定理12.1.9沢山引理12.2圆幂，根轴12.3三角形的巧合点12.3.1内心12.3.2外心12.3.3重心12.3.4垂心12.3.5旁心12.3.6费马点12.4调和点列12.5圆内接调和四边形12.6完全四边形12.7几何变换12.7.1平移变换12.7.2旋转变换12.7.3位似变换12.7.4对称变换（反射变换）12.7.5反演变换12.7.6配极变换12.8几何不等式12.9平面几何常用方法12.9.1纯几何方法12.9.2三角法12.9.3解析法12.9.4复数法12.9.5向量法12.9.6面积法13.多项式（polynomials）13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用13.2.1韦达定理13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质13.4拉格朗日插值多项式13.5差分多项式13.6牛顿公式13.7单位根13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematicalinduction）14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法14.3螺旋归纳法14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法14.6最小数原理15. 初等数论（elementarynumber theory）15.1整数，整除15.2同余15.3素数，合数15.4算术基本定理15.5费马小定理，欧拉定理15.6拉格朗日定理，威尔逊定理15.7裴蜀定理15.8平方数15.9中国剩余定理15.10高斯函数15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论15.12.1二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre符号15.12.3 Gauss二次互反律15.13不定方程15.13.1不定方程解法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法15.13.1.3无穷递降法15.13.1.4反证法15.13.1.5不等式估计法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程15.13.2.1一次不定方程（组）15.13.2.2勾股方程15.13.2.3 Pell方程15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）16.3存在性问题17.6其~他~ 16.4组合极值问题16.5操作变换，对策问题16.6组合几何16.6.1凸包16.6.2覆盖16.6.3分割16.6.4整点16.7图论16.7.1图的定义，性质16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图16.7.5托兰定理16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题16.7.8有向图，竞赛图16.8组合方法16.8.1映射法，对应法，枚举法16.8.2算两次法16.8.3递推法16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理16.8.6容斥原理16.8.7平均值原理16.8.8介值原理16.8.9母函数法16.8.10染色方法16.8.11赋值法16.8.12不变量法16.8.13反证法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法16.8.16调整法16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.其他（others）17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式17.3空间解析几何17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幂级数。
高中数学竞赛大纲的内容和知识点
高中数学竞赛大纲应该掌握的内容和知识点1.集合（set）1.1集合的阶，集合之间的关系。
1.2集合的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理2.函数（function）2.1函数的定义域、值域2.2函数的性质2.2.1单调性2.2.2奇偶性2.2.3周期性2.2.4凹凸性2.2.5连续性2.2.6可导性2.2.7有界性2.2.8收敛性2.3初等函数2.3.1一次、二次、三次函数2.3.2幂函数2.3.3双勾函数2.3.4指数、对数函数2.4函数的迭代2.5函数方程3.三角函数（trigonometric function）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值3.4正弦、余弦定理3.5反三角函数3.6三角方程4.向量（vector）4.1向量的运算4.2向量的坐标表示，数量积5.数列（sequence）5.1数列通项公式求解5.1.1换元法5.1.2特征根法5.1.3不动点法，迭代法5.1.4数学归纳法，递归法6．不等式（inequality）6.1解不等式6.2重要不等式6.2.1均值不等式6.2.2柯西不等式6.2.3排序不等式6.2.4契比雪夫不等式6.2.5赫尔德不等式6.2.6权方和不等式6.2.7幂平均不等式6.2.8琴生不等式6.2.9 Schur不等式6.2.10嵌入不等式6.2.11卡尔松不等式6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式6.3.2调整法6.3.3归纳法6.3.4切线法6.3.5展开法6.3.6局部法6.3.7反证法6.3.8其他7.解析几何（analytic geometry）7.1直线与二次曲线方程7.2直线与二次曲线性质7.3参数方程7.4极坐标系8．立体几何（solid geometry）8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积8.5球，球面8.6三面角8.7空间向量9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）9.1排列组合的基本公式9.1.1加法、乘法原理9.1.2无重复的排列组合9.1.3可重复的排列组合9.1.4圆排列、项链排列9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数9.1.7 Fibonacci数9.1.8 Catalan数9.2计数方法9.2.1映射法9.2.2容斥原理9.2.3递推法9.2.4折线法9.2.5算两次法9.2.6母函数法9.3证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel法9.3.2算子方法9.3.3组合模型法9.3.4归纳与递推方法9.3.5母函数法9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理9.5概率9.5.1独立事件概率9.5.2互逆事件概率9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝叶斯公式9.5.5现代概率，几何概率9.6数学期望10.极限，导数（limits, derivatives）10.1极限定义，求法10.2导数定义，求法10.3导数的应用10.3.1判断单调性10.3.2求最值10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则10.5偏导数11.复数（complex numbers）11.1复数概念及基本运算11.2复数的几个形式11.2.1复数的代数形式11.2.2复数的三角形式11.2.3复数的指数形式11.2.4复数的几何形式11.3复数的几何意义，复平面11.4复数与三角，复数与方程11.5单位根及应用12.平面几何（plane geometry）12.1几个重要的平面几何定理12.1.1梅勒劳斯定理12.1.2塞瓦定理12.1.3托勒密定理12.1.4西姆松定理12.1.5斯特瓦尔特定理12.1.6张角定理12.1.7欧拉定理12.1.8九点圆定理12.2圆幂，根轴12.3三角形的巧合点12.3.1内心12.3.2外心12.3.3重心12.3.4垂心12.3.5旁心12.3.6费马点12.4调和点列12.5圆内接调和四边形12.6几何变换12.6.1平移变换12.6.2旋转变换12.6.3位似变换12.6.4对称变换（反射变换）12.6.5反演变换12.6.6配极变换12.7几何不等式12.8平面几何常用方法12.8.1纯几何方法12.8.2三角法12.8.3解析法12.8.4复数法12.8.5向量法12.8.6面积法13.多项式（polynomials）13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用13.2.1韦达定理13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质13.4拉格朗日插值多项式13.5差分多项式13.6牛顿公式13.7单位根13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematical induction）14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法14.3螺旋归纳法14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法14.6最小数原理7.初等数论（elementary number theory）15.1整数，整除15.2同余15.3素数，合数15.4算术基本定理15.5费马小定理，欧拉定理15.6拉格朗日定理，威尔逊定理15.7裴蜀定理15.8平方数15.9中国剩余定理15.10高斯函数15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论15.12.1二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre符号15.12.3 Gauss二次互反律15.13不定方程15.13.1不定方程解法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法15.13.1.3无穷递降法15.13.1.4反证法15.13.1.5不等式估计法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程15.13.2.1一次不定方程（组）15.13.2.2勾股方程15.13.2.3 Pell方程15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）16.3存在性问题16.4组合极值问题16.5操作变换，对策问题16.6组合几何16.6.1凸包16.6.2覆盖16.6.3分割16.6.4整点16.7图论16.7.1图的定义，性质16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图16.7.5托兰定理16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题16.7.8有向图，竞赛图16.8组合方法16.8.1映射法，对应法，枚举法16.8.2算两次法16.8.3递推法16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理16.8.6容斥原理16.8.7平均值原理16.8.8介值原理16.8.9母函数法16.8.10染色方法16.8.11赋值法16.8.12不变量法16.8.13反证法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法16.8.16调整法16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.其他（others）（了解即可，不作要求）17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式17.3空间解析几何17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幂级数17.6其他1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
数学高三竞赛知识点
数学高三竞赛知识点高三数学竞赛是学生们在高三阶段参与的一项重要活动，是考察学生数学能力和应对复杂问题的机会。
在准备竞赛的过程中，掌握一些重要的数学知识点是至关重要的。
本文将为您总结和归纳一些高三数学竞赛常见的知识点。
一、函数与方程1. 函数的性质与变化：了解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，掌握用图像和表达式表示函数的方法。
2. 一次、二次函数：熟悉一次函数和二次函数的性质、图像、方程及应用，能灵活运用一次、二次函数解决实际问题。
3. 指数与对数函数：理解指数和对数函数的定义及性质，能够解决指数、对数方程和不等式。
4. 三角函数：熟悉常见的三角函数及其图像、性质，能够灵活运用三角函数解决实际问题。
5. 复数与多项式：掌握复数的定义及运算法则，了解多项式的性质和相关定理，能够求解多项式方程及应用。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质：了解数列的定义、通项公式、前n项和及数列的递推关系，掌握数列的性质和常见数列的求和公式。
2. 等差数列与等比数列：熟悉等差数列和等比数列的性质、通项公式、前n项和以及等差数列与等比数列之间的相互转化，能够解决与数列相关的问题。
3. 递归数列与数学归纳法：了解递归数列的定义和特点，掌握数学归纳法的基本思想和应用，能够利用数学归纳法证明和解决问题。
三、几何1. 平面几何：熟悉平面几何的基本概念、性质和定理，包括平面图形的面积、周长计算，平面几何的变换等。
2. 空间几何：了解线、面、体的性质和关系，能够应用空间几何解决实际问题，如体积的计算、射影的性质等。
3. 三角形和圆的性质：掌握三角形的基本性质与判定条件，了解圆的性质和相关定理，能够灵活运用三角形和圆的性质解决相关问题。
四、概率与统计1. 概率的基本概念：了解概率的定义、计算方法和性质，掌握事件的概率计算和复合事件的概率计算。
2. 统计与统计图表：熟悉统计的基本方法和常用统计图表的绘制，能够进行样本调查和数据分析，包括频率分布、样本均值、标准差等。
(完整版)高中数学竞赛知识点
数学均值不等式被称为均值不等式。
·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
一般形式设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即。
特例⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）⑵对非负实数a,b，有，即⑶对非负实数a,b，有⑷对实数a,b，有⑸对非负实数a,b，有⑹对实数a,b，有⑺对实数a,b,c，有⑻对非负数a,b，有⑼对非负数a,b,c，有在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：当n=2时，上式即：当且仅当时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。
排序不等式基本形式：排序不等式的证明要证只需证根据基本不等式只需证∴原结论正确棣莫弗定理设两个复数（用三角形式表示），则：复数乘方公式：.圆排列定义从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。
如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。
计算公式n个不同元素的m-圆排列个数N为：特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。
费马小定理费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
组合恒等式组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。
基本的组合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)∑C(i,n)=2^n∑[(-1)^i]*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n)韦达定理逆定理如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程的根。
高中数学竞赛——平面几何基础知识(基本定理、基本性质)
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a −+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD ACCD AB −=−⇔⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===−−−=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=−+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222−+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE −==−==−==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠−︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠−︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr −−−==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和F A 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABC D 4||R d R S S EF −=∆∆．。
高中数学竞赛数论
高中数学竞赛数论数论作为数学的一个分支，是数学竞赛中重要的考查内容之一。
高中数学竞赛数论题目常常涵盖了整数性质、模运算、质数等各个方面的知识。
在数论的学习和应用中，往往需要我们灵活运用各种技巧和方法来解决问题。
本文将从基本概念、常见性质、解题技巧等方面来介绍高中数学竞赛数论的相关内容。
一、基本概念1. 整数的性质：整数的奇偶性、整数的除尽性等都是数论中基本的概念。
在解题过程中，我们常常需要利用整数的性质来简化问题。
2. 算术基本定理：任何一个大于1的正整数，都可以表示为若干个质数的乘积，且这种表示方法是唯一的。
这一定理在数论中有着非常重要的作用，解决了很多关于因数分解的问题。
3. 同余方程：在数论中，我们常常会接触到模运算和同余方程。
同余方程是指在整数集合Z上定义的一种关系，通常用符号“≡”来表示。
在解决问题时，求解同余方程是一个常见的手段。
二、常见性质1. 质数性质：质数是指只有1和它本身两个正因数的自然数。
在解题中，我们需要掌握质数的性质，如质数的判定方法、质数之间的性质等。
2. 欧拉定理：欧拉定理是数论中的一个重要定理，它描述了正整数幂的同余性质。
欧拉定理在数论中的应用非常广泛，是解决一类数论问题的重要工具。
3. 数列与递推关系：在数论竞赛中，常常会涉及到数列和递推关系。
我们需要熟练掌握数列的性质和常见的数列递推方法，以便解题时能够迅速找到规律。
三、解题技巧1. 数学归纳法：数学归纳法是数论中常用的证明方法，通过数学归纳法可以证明某个结论对于所有正整数都成立。
在数论竞赛中，经常可以用到数学归纳法来解决问题。
2. 等价转化：有时候，我们需要将原来的问题进行等价转化，从而简化解题过程。
通过巧妙的等价转化，我们可以找到更容易解决的问题。
3. 假设反证法：假设反证法是一种解题思路，通过假设问题的否定，再通过逻辑推导得出矛盾，从而证明原命题成立。
在数论中，假设反证法常常被用来解决一些猜想和证明问题。
数学竞赛知识点
数学竞赛知识点数学竞赛知识点数学竞赛是一种旨在测试学生数学能力和创造力的活动。
为了在竞赛中获得好成绩，学生需要掌握一定的数学知识点。
下面将介绍一些常见的数学竞赛知识点。
1.整数与实数：整数是自然数、零和负整数的组合，实数是整数、分数和无理数的组合。
在数学竞赛中，学生需要熟练掌握整数和实数的性质、运算规则和应用。
2.代数与方程：代数是研究未知量和它们之间关系的一门学科。
在数学竞赛中，代数的基本知识包括平方、二次方程、三角函数等。
学生需要熟练掌握解方程的方法和技巧，包括因式分解、配方法、二次函数图像等。
3.几何：几何是研究图形和空间的一门学科。
在数学竞赛中，几何的基本知识包括角度、三角形、四边形、圆等。
学生需要熟练掌握几何定理、证明和计算方法，包括相似三角形、勾股定理、面积计算等。
4.概率与统计：概率是研究随机事件发生可能性的一门学科，统计是研究数据收集、分析和解释的一门学科。
在数学竞赛中，学生需要掌握概率的基本概念、计算方法和应用，包括排列组合、事件独立性等。
同时，他们还要了解统计的基本知识，包括数据收集、描述统计和推断统计等。
5.数列与函数：数列是由一系列数字按照一定规律排列的序列，函数是一种关系，它将一个数集中的每个元素映射到另一个数集中的一个元素。
在数学竞赛中，学生需要熟练掌握数列和函数的性质、计算方法和应用。
比如，等差数列、等比数列、二次函数等。
6.数论：数论是研究整数性质的一门学科。
在数学竞赛中，数论问题通常涉及素数、整除性、同余等概念。
学生需要掌握数论的基本知识和解题方法，包括欧几里得算法、费马小定理等。
总之，数学竞赛知识点包括整数与实数、代数与方程、几何、概率与统计、数列与函数、数论等。
通过熟练掌握这些知识点，学生可以提高数学竞赛的成绩，培养解决问题的能力和创造力。
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高中数学竞赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。
但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。
先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12sinαα-±=2cos 12cosαα+±=αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±=积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin和差化积2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+ 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-=ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-=60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3()()αααααα+-=-=60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3二、某些特殊角的三角函数值三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。
这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。
要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子求值：76cos 74cos 72cos πππ++提示：乘以72sin2π，化简后再除下去。
求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22来个复杂的设n 为正整数，求证nn n i ni 21212sin1+=+∏=π另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。
例求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x设12π≥≥≥z y x ，且2π=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。
注：这个题目比较难数列关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然我可写不完了。
1给递推式求通项公式(1)常见形式即一般求解方法注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。
①q pa a n n +=+1若p=1，则显然是以a 1为首项，q 为公差的等差数列， 若p ≠1，则两边同时加上1-p q ，变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-++111p q a p p qa n n 显然是以11-+p q a 为首项，p 为公比的等比数列②()n f pa a n n +=+1，其中f(n)不是常数 若p=1，则显然a n =a 1+()∑-=11n i i f ，n ≥2若p ≠1，则两边同时除以pn+1，变形为()111++++=n nn n n pn f pa pa利用叠加法易得()∑-=++=1111n i i nn pi f pa pa ，从而()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=-1111n i i n n p i f a pa 注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。
(2)不动点法当f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子：da cb a a a n n n +⋅+⋅=+1注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了 令dx c b x a x +⋅+⋅=，即()02=--+b x a d cx ，令此方程的两个根为x 1，x 2， 若x 1=x 2 则有p x a x a n n +-=-+11111其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p 的表达式记住，p=da c +2若x 1≠x 2则有 212111x a x a q x a x a n n n n --⋅=--++其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q 的表达式记住，q=21cx a cx a --(3)特征根法特征根法是专用来求线性递推式的好方法。
先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。
①n n n qa pa a +=++12特征方程为x 2=px+q ，令其两根为x 1，x 2则其通项公式为nn n x B x A a 21⋅+⋅=，A 、B 用待定系数法求得。
②n n n n ra qa pa a ++=+++123特征方程为x 3=px 2+qx+r ，令其三根为x 1，x 2，x 3则其通项公式为nn n n x C x B x A a 321⋅+⋅+⋅=，A 、B 、C 用待定系数法求得。
注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。
(4)数学归纳法简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。
这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。
大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详细说了。
但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用。
(5)联系三角函数三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子2112nn n aa a -=+看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。
注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多。
例数列{}n a 定义如下：21=a ，2142n n a a --=+，求{}n a 通项注：这个不太好看出来，试试大胆的猜想，然后去验证。
(6)迭代法先了解迭代的含义()()()()()()()()()() ，，，，x f f f x f x f f x f x f x fx x f====321f 右上角的数字叫做迭代指数，其中()x f n-是表示()x fn的反函数再来了解复合的表示()()()x g f x g f = ，()()()()x h g f x h g f =如果设()()x g f g x F 1-=，则()()x g fgx Fnn1-=，就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代。
这个公式很容易证明。
使用迭代法求值的基础。
而在数列中我们可以将递推式看成()n n a F a =+1，因此求通项和求函数迭代就是一样的了。
我们尽量找到好的g(x)，以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x)的n 次迭代就很容易得到了。
从而再得到F(x)的n 次迭代式即为通项公式。
练习 {}n n n n n n n a a a a a a a a a 212221221221221++-+=+===，，，满足已知数列，试求数列的通项公式。
注：此题比较综合，需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。
下面是我的一个原创题目已知数列{}n a 满足1021==a a ，，()11-++⋅=n n n a a n a ，求该数列的通项公式。
2数列求和求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了，这里不再赘述。
主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。
阿贝尔（Abel ）恒等式 有多种形式，最一般的是()∑∑-=+=+-=1111n k n n k kknk k kb S b bS b a其中∑==ki kk aS 1注：个人认为，掌握这一个就够了，当然还有更为一般的形式，但是不容易记，也不常用。
Abel 恒等式就是给出了一个新的求和方法。
很多时候能简化不少。
例：假设021≥≥≥≥n a a a ，且∑==ni ia 121，求证：∑=≥-+ni i i i a 111计数问题1抽屉原则我第一次接触抽屉原则，是在一本奥赛书的答案上，有一步骤是：由抽屉原则可得……，于是我就问同学，什么是抽屉原则，同学告诉我，三个苹果放进两个抽屉，必有一个抽屉里至少有两个苹果。
后来才发现，抽屉原则不只是这么简单的，它有着广泛的应用以及许多种不同的变形，下面简单介绍一下抽屉原则。
抽屉原则的常见形式一，把n+k （k ≥1）个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。
二，把mn+k （k ≥1）个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。
三，把m 1+m 2+…+m n +k （k ≥1）个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m 1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m 2+1个物体，……，或在第n 个抽屉里至少放入了m n +1个物体四，把m 个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，有两种情况：①当n|m 时（n|m 表示n 整除m ），一定存在一个抽屉中至少放入了nm 个物体；②当n 不能整除m 时，一定存在一个抽屉中至少放入了[nm ]+1个物体（[x]表示不超过x 的最大整数）五，把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素。
注：背下来上面的几种形式没有必要，但应当清楚这些形式虽然不同，却都表示的一个意思。
理解它们的含义最重要。
在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但一般不会很明显的让人看出来，构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。
一般来说，题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词，就暗示着我们：要构造抽屉了。
例：从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数.用2种颜色涂5×5共25个小方格，证明：必有一个四角同色的矩形出现.2容斥原理容斥原理常常使用，其实说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，又加多了再减，减多了再加……，最终得到正确结果。