人教版九年级数学上册 期末综合复习 数学试卷(含答案)
人教版九年级上册数学期末考试试卷含答案
人教版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（）A ．210x +=（）B ．210x -=（）C ．212x +=（）D ．212x -=（）3．关于x 的方程x 2+2x ﹣m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值是（）A ．m ＝1B ．m ＝﹣1C ．m ＝2D ．m ＝﹣24．若x 支球队参加篮球比赛，共比赛了42场，每2队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是（）A ．x(x ﹣l)＝42B ．x(x+1)＝42C ．12x(x ﹣l)＝42D ．12x(x+1)＝425．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE ＝65°，则∠A 的度数为（）A ．112°B ．68°C ．65°D ．52°6．如图，△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，若AD ＝2，A′D′＝3，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（）A ．4：9B ．9：4C ．2：3D ．3：27．若A （﹣3，y 1），C （1，y 2）在二次函数y ＝x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2的关系是A ．120y y ->B ．120y y -=C ．120y y -<D ．无法确定8．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC 的度数为100°，则∠B 的度数是（）A ．40°B ．35°C ．30°D ．15°9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的大小为（）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a+b ＝0；②2c>3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角形时，a ＝22-．其中正确的个数（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题11．抛物线y ＝x 2﹣6x+2的对称轴为直线_____．12．若点A （1，a ）关于原点的对称点是B （b ，﹣2），则ab 的值是__．13．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，PA ＝6，∠APB ＝60°，则OC 的长为__．14．圆锥的底面直径是8cm ，母线长9cm ，则圆锥的侧面积为__．15．已知抛物线y ＝x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若﹣1＜x ＜2，则y 的取值范围是____16．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 是半径为2的⊙A 上一动点，点M 是CD 的中点，则BM 的最大值是__．17．如图，线段AB ＝4，M 为AB 的中点，动点P 到点M 的距离是1，连接PB ，线段PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PC ，连接AC ，则线段AC 长度的最大值是_____．三、解答题18．解下列方程（1）x 2﹣6x ﹣18＝0（2）()223(2)x x -=-19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(﹣1，0)，B(﹣2，﹣2)，C(﹣4，﹣1)．（1）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）求点B 运动路径长；20．已知关于x 的方程()22310kx k x k ++++=．（1）若1x =是该方程的根，求k 的值；（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．21．如图，在△ABC 中，BA=BC ，点BD ⊥AC 于点D ，DE ⊥AB 于点E （1）求证：△AED ∽△CDB ；（2）如果BC ＝10，AD ＝6，求AE 的值．22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高（1）作出Rt △ABC 的外接圆（保留作图痕迹，不用写过程）（2）若AD ＝16，BC ＝15，求BD 的长；23．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元，平均每天可以多售出20箱．（1）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（2）每箱降价多少元超市每天获利最大？最大利润是多少？24．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF ＝DE ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若AD ＝2，DE ＝52，求DM的长．25．如图，已知二次函数y ＝ax 2+c 的图象与x 轴分别相交于点A （﹣5，0），点B ，与y 轴相交于C （0，﹣5），点Q 是抛物线在x 轴下方的一动点（不与C 点重合）．（1）求该二次函数的表达式；（2）如图1，AQ 交线段BC 于D ，令t ＝QDAD，当t 值最大时，求Q 点的坐标．（3）如图2，直线AQ ，BQ 分别与y 轴相交于M ，N 两点，设Q 点横坐标为m ，S 1＝S △QMN ，S 2＝2m 2，试问12S S是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．26．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ⊥AC ，垂足为D 点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接PA ，PB ，PC ，且满足∠PCA＝∠ABC（1）求证：PA ＝PC ；（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若BC ＝8，32AB DF =，求DE 的长．参考答案1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B 10．C 11．x ＝312．2-1314．236cm π15．-4<y<016．7217．18．（1）13x =23x =；（2）15=x ，22x =【详解】解：（1）∵26180x x --=，∴2618x x -=∴26927x x -+=，∴()3327x -=，∴3x =±∴13x =23x =（2）∵()223(2)x x -=-，∴()223(2)0x x ---=，∴()23(2)0x x ---=，即()5(2)0x x --=，∴15=x ，22x =．19．（1）见解析；（2【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，B 运动的路径长为弧BB 1的长，由题意得∠BOB 1=90°∵B （-2，-2）∴OB ==,∴点B ．20．（1）1k =-；（2）98k -＞且0k ≠【分析】（1）把-1代入方程求解即可；（2）根据根的判别式计算即可；【详解】⑴把1x =代入该方程得2310k k k ++++=，解得1k =-；⑵分两种情况讨论：①当0k =时，原方程可化为310x +=，解得13x =-，与“该方程有两个不相等的实数根”矛盾，不合题意，应舍去；②当0k ≠时，原方程是关于x 的一元二次方程，∵该方程有两个不相等的实数根，∴令0∆＞，即()()223410k k k +-+＞，解得98k -＞．综上所述，98k -＞且0k ≠为所求．21．（1）见解析；（2）185【分析】（1）由BA=BC ，BD ⊥AC ，得到∠BDC=90°，∠A=∠C ，由DE ⊥AB ，得到∠DEA=∠BDC=90°，由此即可求解；（2）由三线合一定理可以得到AD=DC=6，由相似三角形的性质可以得到63105AE AD CD BC ===，由此即可求解．【详解】解：（1）∵BA=BC ，BD ⊥AC ，∴∠BDC=90°，∠A=∠C ，∵DE ⊥AB ，∴∠DEA=∠BDC=90°，∴△AED ∽△CDB ；（2）∵BA=BC ，BD ⊥AC ，∴AD=DC=6，∵△AED ∽△CDB ，∴63105AE AD CD BC ===，∴31855AE CD ==．22．（1）见解析；（2）9．【详解】解：（1）如图所作的圆即是Rt △ABC 的外接圆；（2） ∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高ACB CDB∴∠=∠B B ∠∠= Rt ACB Rt CDB∴ AB BC CB BD∴=2BC BD AB∴=21516BD BD ∴=+216225BD BD ∴+=2(8)64225BD ∴+-=2(8)289BD ∴+=817BD ∴+=±9BD ∴=或25BD =-（舍去）9BD ∴=．【点睛】本题考查作三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．23．（1）2元或5元；（2）每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元【分析】（1）设每箱应降价x 元，列方程解答；（2）设每天获利W 元，由题意得到(12)(10020)W x x =-+，化为顶点式即可得到答案．【详解】解：（1）要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价x 元，依据题意列方程得，(12)(10020)1400x x -+=，整理得27100x x -+=，解得12x =，25x =；答：要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价2元或5元．（2）设每天获利W 元，则(12)(10020)W x x =-+，2201401200x x =-++，220( 3.5)1445x =--+，∴每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键．24．（1）见解析；（2）DM ＝12.【分析】（1）先得出∠ABD ＝∠CBD ，进而得出OD ⊥DF ，即可得出结论；（2）连接DC，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBD，进而解答即可．【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE//AB，∴∠ABD＝∠BDE．∴∠CBD＝∠BDE．∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD．∵∠EDF＋∠EFD＋∠EDB＋∠EBD＝180°，∴∠BDF＝∠BDE＋∠EDF＝90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°．∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（AAS）．∴CD＝AD＝2，AB＝BC．∵DE＝5 2，∴32EC=，EF＝DE＝52，∵∠CBD＝∠BDE，∴BE＝DE＝5 2，∴BF＝BE＋EF＝5，BC＝BE＋EC＝4．∴AB＝4．∵DE//AB，∴ABE MEF∠=∠，BAM EMF∠=∠，∴△ABF∽△MEF．∴AB BF ME EF=，∴ME＝2．∴DM＝DE−EM＝51222 -=．25．（1）二次函数的解析式为y＝15x2﹣5；（2）Q（52，﹣154）；（3）12SS＝12，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）如图1中，过点Q作QE∥AB交BC于E．设Q（m，15m2﹣5），利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．（3）是定值．如图2中，设Q（m，15m2﹣5），求出直线AQ，BQ的解析式，求出点M，N的坐标，利用三角形的面积公式求出S1即可解决问题．【详解】解：（1）把A（﹣5，0），C（0，﹣5）两点坐标代入y＝ax2+c，得到2505a cc+=⎧⎨=-⎩，解得155 ac⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式为y＝15x2﹣5．（2）如图1中，过点Q作QE∥AB交BC于E．设Q（m，15m2﹣5），由（1）可知，A（﹣5，0），B（5，0），C（0，﹣5），直线BC的解析式为y＝kx+b，直线AQ的解析式为y＝11k x b+∴505k bb+=⎧⎨=-⎩，1121150155k bmk b m-+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得15kb=⎧⎨=-⎩，11555mkb m-⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，直线AQ的解析式为y＝55m-x+m﹣5，由5555y xmy x m=-⎧⎪-⎨=+-⎪⎩，解得510105010mxmmym⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，∴D（510mm-，105010mm--），∴E（15m2，15m2﹣5），∵QE∥AB，∴△QED∽△ABD，∴t＝DQAD＝QEAB＝21510m m-＝﹣150m2+110m，∵﹣150＜0，∴当m＝﹣11012()50⨯-＝52时，t的值最大，此时Q（52，﹣154）．（3）是定值．理由：如图2中，设Q （m ，15m 2﹣5），由（2）可知，直线AQ 的解析式为y ＝55m -x+m ﹣5，当x ＝0时，y ＝m ﹣5，∴M （0，m ﹣5），∵直线BQ 的解析式为y ＝55m +x ﹣m ﹣5，当x ＝0时，y ＝﹣m ﹣5，∴N （0，﹣m ﹣5），∴S 1＝S △MNQ ＝12×m×（2m ）＝m 2，∴12S S ＝222m m ＝12，为定值．26．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE ＝8．【分析】（1）根据垂径定理可得AD ＝CD ，得PD 是AC 的垂直平分线，可判断出PA ＝PC ；（2）由PC ＝PA 得出∠PAC ＝∠PCA ，再判断出∠ACB ＝90°，得出∠CAB+∠CBA ＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB ＝90°，得出∠CAB+∠PAC ＝90°，即可得出结论；（2）根据AB 和DF 的比设AB ＝3a ，DF ＝2a ，先根据三角形中位线可得OD ＝4，从而得结论．【详解】（1）证明∵OD ⊥AC ，∴AD ＝CD ，∴PD 是AC 的垂直平分线，∴PA ＝PC ，（2）证明：由（1）知：PA ＝PC ，∴∠PAC ＝∠PCA ．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，∴OD∥BC，OD＝12BC＝182⨯＝4，∵32 ABDF=，设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，∴DE＝3a﹣2a＝a，∴OD＝4＝32a﹣a，a＝8，∴DE＝8．。
新人教版九年级数学上册期末测试卷及答案【完整】
新人教版九年级数学上册期末测试卷及答案【完整】班级: 姓名:一、选择题（本大题共10小题, 每题3分, 共30分）1. 的倒数是（）A. B. C. D.2. 下列分解因式正确的是（）A. B.C. D.3．若正多边形的一个外角是, 则该正多边形的内角和为（）A. B. C. D.4．一组数据: 1.2.2.3, 若添加一个数据2, 则发生变化的统计量是A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5．如果分式的值为0, 那么的值为（）A. -1B. 1C. -1或1D. 1或06．关于x的方程（为常数）根的情况下, 下列结论中正确的是（）A. 两个正根 B. 两个负根C. 一个正根, 一个负根D. 无实数根7．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中, 是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8．如图, A, B是反比例函数y= 在第一象限内的图象上的两点, 且A, B两点的横坐标分别是2和4, 则△OAB的面积是（）A. 4B. 3C. 2D. 19．如图, 在矩形ABCD中, 点E是边BC的中点, AE⊥BD, 垂足为F, 则tan∠BDE的值是（）A. B. C. D.10．下列所给的汽车标志图案中, 既是轴对称图形, 又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题, 每小题3分, 共18分）1. 化简: =____________.2. 分解因式: =________.3. 已知直角三角形的两边长分别为3.4. 则第三边长为________.4．如图1是一个由1～28的连续整数排成的“数阵”．如图2, 用2×2的方框围住了其中的四个数, 如果围住的这四个数中的某三个数的和是27, 那么这三个数是a, b, c, d中的__________．5. 如图所示, 直线a经过正方形ABCD的顶点A, 分别过正方形的顶点B.D作BF⊥a于点F, DE⊥a于点E, 若DE＝8, BF＝5, 则EF的长为__________.6. 如图,菱形ABCD顶点A在例函数y= (x>0)的图象上, 函.y= (k>3, x>0)的图象关于直线AC对称, 且经过点B.D两点, 若AB＝2, ∠DAB＝30°, 则k 的值为______.三、解答题（本大题共6小题, 共72分）1. 解方程：=12. 先化简, 再求值: , 其中.3. 如图, 已知点A（﹣1, 0）, B（3, 0）, C（0, 1）在抛物线y=ax2+bx+c 上.（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P, 使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上, 是否存在一点Q, 使∠BQC=∠BAC？若存在, 求出Q点坐标；若不存在, 说明理由．4. 如图, 四边形ABCD内接于⊙O, ∠BAD=90°, 点E在BC的延长线上, 且∠DEC=∠BAC.（1）求证: DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE, 当AB=8, CE=2时, 求AC的长．5. 我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”, 本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读.某校对《三国演义》、《红楼梦》、《西游记》、《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查, 随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图:（1）本次一共调查了_________名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍, 请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.5. 某文具店购进一批纪念册, 每本进价为20元, 出于营销考虑, 要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元, 在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系: 当销售单价为22元时, 销售量为36本；当销售单价为24元时, 销售量为32本.（1）求出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时, 每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元, 将该纪念册销售单价定为多少元时, 才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？参考答案一、选择题（本大题共10小题, 每题3分, 共30分）1、C2、C3、C4、D5、B6、C7、D8、B9、A10、B二、填空题（本大题共6小题, 每小题3分, 共18分）1、２2.x（x+2）（x﹣2）.3.5或4、a, b, d或a, c, d5、136.6+2三、解答题（本大题共6小题, 共72分）1.x=12.3.（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+ x+1；（2）点P的坐标为（1, ）或（2, 1）；（3）存在, 理由略.4.（1）略；（2）AC的长为.5、（1）50；（2）见解析；（3）.6、（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时, 才能使文具店销售该纪念册所获利润最大, 最大利润是192元．。
人教版九年级数学上册期末考试试卷(附带有答案)
人教版九年级数学上册期末考试试卷(附带有答案)一、单选题1． 下列二次函数中，其图象的顶点坐标是(2，-1)的是（ ）A ．()221y x =-+ B ．()221y x =++ C ．()221y x =--D ．()221y x =+-2．下列事件属于必然事件的是（ ）A ．明天我市最高气温为56℃B ．下雨后有彩虹C ．在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾D ．中秋节晚上能看到月亮3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，“摸出红球”的概率是（ ） A ．13B ．15C ．35D ．585．如图，在O 中，弦AC 、BD 相交于点E ，23A ∠=︒和52BEC ∠=︒，则C ∠=（ ）A ．23︒B ．26︒C ．29︒D ．30︒6．如图，把ABC 绕点C 顺时针旋转某个角度a 得到△A ′B ′C ，∠A =30°，∠1=50°，则旋转角a 等于（ ）A ．110︒B ．70︒C ．40︒D ．20︒7．已知抛物线y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝3，则关于x 的不等式x 2+bx ＜﹣8的取值范围是（ ）A ．1＜x ＜5B ．2＜x ＜4C ．0＜x ＜6D ．﹣1＜x ＜78．如图，AB 是℃O 的直径，弦CD℃AB 于点E ，℃CDB=30°，℃O 的半径为3cm ，则弦CD 的长为（ ）A ．32cmB ．3cmC ．3cmD ．9cm9．如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M 、P 、H三点的圆弧与AH 交于R ，则图中阴影部分面积（ ）A ．54π﹣52B ．52π﹣5 C ．2π﹣5 D ．3π﹣210．如图，抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）关于直线1x =对称，与x 轴的其中一个交点坐标为(10)-，，下列结论中：①<0abc ；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的解是1213x x =-=，；③80a c +<；④2am bm a b +<+，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．若点A （m ，5）与点B （－4，n ）关于原点成中心对称，则m ＋n ＝ ． 12．已知方程 2510x x ++= 的两个实数根分别为 1x 和2x ，则1211x x += . 13．二次函数22y x =的图象经过点()11A y -，和()22B y ，，则1y 2y ．（填“＞”“＜”或“＝”）14．如图，正六边形ABCDEF 的边长是6+43，点O 1，O 2分别是℃ABF ，℃CDE 的内心，则O 1O 2= ．15．如图，在平面直角坐标系中抛物线y=x 2-3x+2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan℃DCB=3，则点D 的坐标为 。
人教版九年级数学期末考试综合复习测试题(含答案)
人教版九年级数学期末考试综合复习测试题（含答案）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．计算，3(2)a -结果正确的是( )A ．32a -B ．36a -C ．38a -D ．38a2．据教育部统计，2022年高校毕业生约1076万人，用科学记数法表示1076万为( )A ．4107610⨯B ．61.07610⨯C ．71.07610⨯D ．80.107610⨯3．下列汽车标志中，是中心对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ．4．如图所示，直线//EF GH ，射线AC 分别交直线EF 、GH 于点B 和点C ，AD EF ⊥于点D ，如果20A ∠=︒，则(ACH ∠= )A ．160︒B ．110︒C ．100︒D ．70︒5．如图，已知ABC ADE ∆≅∆，若70E ∠=︒，30D ∠=︒，则BAC ∠的度数是( )A ．70︒B ．80︒C ．40︒D ．30︒6．方程2210x x --=实数根的情况为( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定7．在平面直角坐标系中，若点(1,)A a b -+与点(,3)B a b -关于原点对称，则点(,)C a b 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC ∆相似的是( )A ．B ．C ．D ．9．已知正比例函数11(0)y k x k =≠的图象与反比例函数22(0)k y k x =≠的图象交于A ，B 两点，其中点A 在第二象限，横坐标为2-，另一交点B 的纵坐标为1-，则12(k k ⋅= )A ．4B ．4-C ．1-D ．110．已知(3,2)A --，(1,2)B -，抛物线2(0)y ax bx c a =++>顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点(C 在D 的右侧），下列结论：①2c -；②当0x >时，一定有y 随x 的增大而增大；③若点D 横坐标的最小值为5-，则点C 横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD 为平行四边形时，12a =． 其中正确的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．①③④二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．因式分解：22416x y -= ． 12．若2|2|(3)0x y -++=，则2()x y += ．13．已知m ，()n m n ≠是一元二次方程220230x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值为 ．14．如图，A ，B ，C ，D 是O 上的四点，且点B 是AC 的中点，BD 交OC 于点E ，60OED ∠=︒，35OCD ∠=︒，那么AOC ∠的度数是 ．15．如图，E 为正方形ABCD 内一点，5AD =，4AE =，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABE ∆'，则边DE 所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为 ．题14图 题15图三．解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分）16．（1）计算：0111(2021)()2cos45221π--++-︒+； （2）先化简，再求值：23210(1)19x x x x --⋅---，其中x 是1、2、3中的一个合适的数．17．如图，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若BD CD =，BE CF =．求证：（1）AD 平分BAC ∠；（2）2AC AB BE =+．18．今年，我市某学校举办了为贫困生捐赠书包活动．该学校用2000元在某商店购进一批学生书包，随后发现书包数量不够，于是又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批的3倍，每个书包比第一批购买时贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）该学校第一批购进的学生书包每个多少元？（2）如果该商店第一批、第二批学生书包每个的进价分别是68元、70元，售给该学校的这些学生书包，该商店盈利多少元？四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）19．某银行柜台在储户人数较多时常开放1、2、3、4号窗口办理日常业务，一般是先到取号机拿号，按顾客“先到达，先服务“的方式服务（1）求某储户在3号窗口办业务的概率是（2）储户乙取号时发现储户甲已办理完业务准备离开（储户甲、乙先后到达银行取号办理业务），请用树状图或列表法求储户甲、乙两人在同一柜台办理业务的概率．20．如图，在平行四边形ABCD 中，BD AB ⊥，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接EC ．（1）求证：四边形BECD 是矩形．（2）连接AC ，若3AD =，2CD =，求AC 的长．21．Rt ABO ∆的顶点A 是双曲线k y x =与直线(1)y x k =--+在第二象限的交点，AB 垂直x 轴于点B 且32ABO S ∆=． （1）求这两个函数解析式；（2）求AOC ∆的面积；（3）根据图象直接写出不等式(1)k x k x >-+的解集．五．解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分）22．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上两点，连接CD ，C 是的中点，过点C 作AD 的垂线，垂足是E ．连接AC 交BD 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）求证：△CDF ∽△CAD ；（3）若DF ＝2，CD ＝，求AC 值．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点(4,0)B ，交直线AD 于点5(3,)2D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PN x ⊥轴交直线AD 于点M ，交抛物线于点N ；若点P 在线段OC 上（不与O 、C 重合），连接CM ，求PCM ∆面积的最大值。
人教版数学九年级上册期末考试数学试卷含答案解析
人教版数学九年级上册期末考试试卷一.选择题（每题3分，共24分）1．如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＜0B．m＞0C．m＜﹣1D．m＞﹣12．圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．3．如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是60°与30°，则阴影部分的面积是（）A．9πB．27πC．6πD．3π4．一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）A．10πB．20πC．50πD．100π5．若mn＞0，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．6．如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点，则﹣nx≥0的解集是（）A．﹣1＜x＜0B．x＜﹣1或0＜x＜1C．x≤1或0＜x≤1D．﹣1＜x＜0或x≥17．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9cm C．cm D．cm8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A．（2014，0）B．（2015，﹣1）C．（2015，1）D．（2016，0）二.填空题：（每小题3分，共21分）9．已知双曲线y=经过点（﹣1，2），那么k的值等于．10．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为cm2．11．一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6个红球，5个绿球．若任意摸出一个绿球的概率是，则任意摸出一个蓝球的概率是．12．如图，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为cm，则弦CD 的长为cm．13．已知点P（x1，﹣2）、Q（x2，3）、H（x3，1）在双曲线上，那么x1、x2、x3的大小关系是．14．在半径为6cm的圆中，长为6cm的弦所对的圆周角的度数为．15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为．三.解答题（共75分）16．一次函数y=2x+2与反比例函数y=（k≠0）的图象都过点A（1，m），y=2x+2的图象与x轴交于B点．（1）求点B的坐标及反比例函数的表达式；（2）C（0，﹣2）是y轴上一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．17．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上y=上的概率．18．星期五晚上，小明和他的妈妈一起看《我是歌手》，歌手演唱完后要评选出名次，在已公布四到七名后，还有张杰、韩磊、邓紫棋三位选手没有公布名次．（1）求邓紫棋获第一名的概率；（2）如果小明和妈妈一起竞猜第一名，那么两人中一个人猜中另一个人却没猜中的概率是多少？（请用“树状图”或“列表”等方法写出分析过程）19．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．（1）求直径AB的长；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．20．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为A（2，3）．（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．21．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O 于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB=30°，DB=5cm．（1）求⊙O的半径长；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）22．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AB=2，求DC的长．23．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过M作直线MB‖x轴交y 轴于点B．过点A作直线AC∥y轴交于点C，交直线MB于点D，当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由；（4）探索：x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一.选择题（每题3分，共24分）1．如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）A．m＜0B．m＞0C．m＜﹣1D．m＞﹣1【考点】反比例函数的性质．【分析】如果反比例函数y=在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（）【解答】解：∵反比例函数y=的图象在所在象限内，y的值随x值的增大而减小，∴m+1＞0，解得m＞﹣1．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．2．圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是轴对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；轴对称图形．【分析】由圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形中，轴对称图形的有圆、等腰三角形、菱形，矩形；直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵圆、平行四边形、等腰三角形、菱形，矩形中，轴对称图形的有圆、等腰三角形、菱形，矩形；∴一次过关的概率是：．故选D．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是60°与30°，则阴影部分的面积是（）A．9πB．27πC．6πD．3π【考点】扇形面积的计算．【分析】计算阴影部分圆心角的度数，运用扇形面积公式求解．【解答】解：根据扇形面积公式，阴影部分面积==27π．故选B．【点评】考查了扇形面积公式的运用，扇形的旋转．4．一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）A．10πB．20πC．50πD．100π【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】圆锥的侧面积为半径为10的半圆的面积．【解答】解：圆锥的侧面积=半圆的面积=π×102÷2=50π，故选C．【点评】解决本题的关键是把圆锥的侧面积转换为规则图形的面积．5．若mn＞0，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】首先根据mn＞0确定反比例函数的图象的位置，然后根据m、n异号确定答案即可．【解答】解：∵mn＞0，∴m、n异号，且反比例函数y=的图象位于第一、三象限，∴排除C、D；∵当m＞0时则n＜0，∴排除A，∵m＜0时则n＞0，∴B正确，故选B．【点评】本题考查了反比例函数的性质及一次函数的性质，解题的关键是了解两种函数的性质．6．如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点，则﹣nx≥0的解集是（）A．﹣1＜x＜0B．x＜﹣1或0＜x＜1C．x≤1或0＜x≤1D．﹣1＜x＜0或x≥1【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】求出≥nx，求出B的坐标，根据A、B的坐标结合图象得出即可．【解答】解：∵﹣nx≥0，∴≥nx，∵反比例函数y1=和正比例函数y2=nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点，∴B点的坐标是（1，3），∴﹣nx≥0的解集是x＜﹣1或0＜x＞1，故选B．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力．7．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9cm C．cm D．cm【考点】正多边形和圆．【专题】压轴题．【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，∴AE=BC=x，CE=2x；∵小正方形的面积为16cm2，∴小正方形的边长EF=DF=4，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，即x2+4x2=（x+4）2+42，解得，x=4，∴R=cm．故选C．【点评】本题利用了勾股定理，正方形的性质求解．8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A．（2014，0）B．（2015，﹣1）C．（2015，1）D．（2016，0）【考点】规律型：点的坐标．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2015的坐标．【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为：，∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，∴点P1秒走个半圆，当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，∵2015÷4=503 (3)∴A2015的坐标是（2015，﹣1），故选：B．【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．二.填空题：（每小题3分，共21分）9．已知双曲线y=经过点（﹣1，2），那么k的值等于﹣3．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点（﹣1，2）代入双曲线y=，求出k的值即可．【解答】解：∵双曲线y=经过点（﹣1，2），∴2=，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．10．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为10πcm2．【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π•5=10π，∴圆锥的侧面积=•10π•2=10π（cm2）．故答案为：10π．【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=•l•R，（l为弧长）．11．一只口袋里有相同的红、绿、蓝三种颜色的小球，其中有6个红球，5个绿球．若任意摸出一个绿球的概率是，则任意摸出一个蓝球的概率是．【考点】概率公式．【分析】设袋中有蓝球m个，根据蓝球概率公式列出关于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：设袋中有蓝球m个，则袋中共有球（6+5+m）个，若任意摸出一个绿球的概率是，有=，解得m=9，任意摸出一个蓝球的概率是=0.45．故答案为：0.45【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12．如图，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为cm，则弦CD 的长为3cm．【考点】圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．【分析】根据∠CDB=30°，求出∠COB的度数，再利用三角函数求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长．【解答】解：∵∠CDB=30°，∴∠COB=30°×2=60°．又∵⊙O的半径为cm，∴CE=sin60°=×=，∴CD=×2=3（cm）．【点评】此题考查了垂径定理和圆周角定理，利用特殊角的三角函数很容易解答．13．已知点P（x1，﹣2）、Q（x2，3）、H（x3，1）在双曲线上，那么x1、x2、x3的大小关系是x3＜x2＜x1．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】把三个点的坐标代入解析式，分别计算出x1、x2、x3的值，然后比较大小即可．【解答】解：把点P（x1，﹣2）、Q（x2，3）、H（x3，1）代入得x1=，x2=﹣，x3=﹣（a2+1），所以x3＜x2＜x1．故答案为x3＜x2＜x1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．14．在半径为6cm的圆中，长为6cm的弦所对的圆周角的度数为30°或150°．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，易得△AOB是等边三角形，再利用圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：如图，首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，∵OA=OB=6cm，AB=6cm，∴OA=AB=OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=30°，∴∠D=180°﹣∠C=150°，∴所对的圆周角的度数为：30°或150°．【点评】此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为+．【考点】扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC 即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE==π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=﹣﹣（π﹣×1×）=π﹣π+=+．故答案为：+．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．三.解答题（共75分）16．一次函数y=2x+2与反比例函数y=（k≠0）的图象都过点A（1，m），y=2x+2的图象与x轴交于B点．（1）求点B的坐标及反比例函数的表达式；（2）C（0，﹣2）是y轴上一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）在y=2x+2中令y=0，求得B的坐标，然后求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；（2）根据平行线的性质即可直接求得D的坐标，然后代入反比例函数的解析式判断即可．【解答】解：（1）在y=2x+2中令y=0，则x=﹣1，∴B的坐标是（﹣1，0），∵A在直线y=2x+2上，∴A的坐标是（1，4）．∵A（1，4）在反比例函数y=图象上∴k=4．∴反比例函数的解析式为：y=；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴D的坐标是（2，2），∴D（2，2）在反比例函数y=的图象上．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．17．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上y=上的概率．【考点】列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】图表型．【分析】（1）画出树状图即可得解；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线上y=上的情况数，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：；（2）当x=﹣1时，y==﹣2，当x=1时，y==2，当x=2时，y==1，一共有9种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线上y=上的有2种情况，所以，P=．【点评】本题考查了列表法与树状图法，反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．星期五晚上，小明和他的妈妈一起看《我是歌手》，歌手演唱完后要评选出名次，在已公布四到七名后，还有张杰、韩磊、邓紫棋三位选手没有公布名次．（1）求邓紫棋获第一名的概率；（2）如果小明和妈妈一起竞猜第一名，那么两人中一个人猜中另一个人却没猜中的概率是多少？（请用“树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】（1）三个选手机会均等，得到邓紫棋获第一名的概率；（2）假设张杰为第一名，列表得出所有等可能的情况数，找出两人中一个人猜中另一个人却没猜中的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）根据题意得：邓紫棋获第一名的概率为；（2）假设张杰为第一名，列表如下：张韩邓张（张，张）（韩，张）（邓，张）韩（张，韩）（韩，韩）（邓，韩）邓（张，邓）（韩，邓）（邓，邓）所有等可能的情况有9种，两人中一个人猜中另一个人却没猜中的情况有4种，则P=．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．（1）求直径AB的长；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．【考点】圆周角定理；角平分线的定义；三角形的面积；含30度角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB=90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；（2）连接OD．利用（1）中求得AB=4可以推知OA=OD=2；然后由角平分线的性质求得∠AOD=90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积=S扇形△AOD ﹣S△AOD．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，…（1分）∵∠B=30°，∴AB=2AC，…（3分）∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AB2+62，…（5分）∴AB=4．…（6分）（2）连接OD．∵AB=4，∴OA=OD=2，…（8分）∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，∴∠ACD=45°，∴∠AOD=2∠ACD=90°，…（9分）=OA•OD=•2•2=6，…（10分）∴S△AOD=•π•OD2=•π•（2）2=3π，…（11分）∴S扇形△AOD﹣S△AOD=3π﹣6．…（12分）∴阴影部分的面积=S扇形△AOD【点评】本题综合考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面积公式．解答（2）题时，采用了“数形结合”的数学思想．20．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为A（2，3）．（1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积．【专题】计算题．【分析】（1）先将点A（2，3）代入反比例函数和一次函数y=kx+2，求得m、k的值，=18，即可求得x，y的值．（2）可求得点B的坐标，设P（x，y），由S△PBC【解答】解：（1）把A（2，3）代入，∴m=6．∴．（1分）把A（2，3）代入y=kx+2，∴2k+2=3．∴．∴．（2分）（2）令，解得x=﹣4，即B（﹣4，0）．∵AC⊥x轴，∴C（2，0）．∴BC=6．（3分）设P（x，y），==18，∵S△PBC∴y1=6或y2=﹣6．分别代入中，得x1=1或x2=﹣1．∴P1（1，6）或P2（﹣1，﹣6）．（5分）【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题的关键．21．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O 于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB=30°，DB=5cm．（1）求⊙O的半径长；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到OC⊥BD，根据垂径定理得到BE的长，再根据圆周角定理发现∠BOE=60°，从而根据锐角三角函数求得圆的半径；（2）结合（1）中的有关结论证明△DCE≌△BOE，则它们的面积相等，故阴影部分的面积就是扇形OBC的面积．【解答】解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO=90°∵BD∥AC∴∠BEO=∠ACO=90°，∴DE=EB=BD=（cm）∵∠D=30°，∴∠O=2∠D=60°，在Rt△BEO中，sin60°=∴OB=5，即⊙O的半径长为5cm．（2）由（1）可知，∠O=60°，∠BEO=90°，∴∠EBO=∠D=30°又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，∴△CDE≌△OBE∴，答：阴影部分的面积为．【点评】本题主要考查切线的性质定理、平行线的性质定理、垂径定理以及全等三角形的判定方法．能够熟练解直角三角形．22．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AB=2，求DC的长．【考点】切线的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据切线的判定方法，只需证CD⊥OC．所以连接OC，证∠OCD=90°．（2）易求半径OC的长．在Rt△OCD中，运用三角函数求CD．【解答】（1）证明：连接OC．∵OB=OC，∠B=30°，∴∠OCB=∠B=30°．∴∠COD=∠B+∠OCB=60°．（1分）∵∠BDC=30°，∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC．（2分）∵BC是弦，∴点C在⊙O上，∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点．（3分）（2）解：∵AB=2，∴OC=OB==1．（4分）∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，∴DC=OC=．（5分）【点评】本题考查了切线的判定，证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作的辅助线是连接圆心和该点，证明直线和该半径垂直．23．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过M作直线MB‖x轴交y 轴于点B．过点A作直线AC∥y轴交于点C，交直线MB于点D，当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由；（4）探索：x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）将A（3，2）分别代入y=，y=ax中，得a、k的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；（2）观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的图象在正比例函数的上方；故反比例函数的值大于正比例函数的值；=S△OAC=×|k|=3，可得S矩形OBDC=12，即OC•OB=12，进而可得m、n的值，（3）由S△OMB故可得BM与DM的大小；比较可得其大小关系；（4）先求出A点坐标，再分OA=OP，OA=AP及OP=AP三种情况进行讨论．【解答】解：（1）∵将A（3，2）分别代入y=，y=ax中，得：2=，3a=2，∴k=6，a=，∴反比例函数的表达式为：y=，正比例函数的表达式为y=x．（2）∵，解得，∴C（3，2）观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）BM=DM理由：∵MN ∥x 轴，AC ∥y 轴，∴四边形OCDB 是平行四边形，∵x 轴⊥y 轴，∴▱OCDB 是矩形．∵M 和A 都在双曲线y=上，∴BM ×OB=6，OC ×AC=6，∴S △OMB =S △OAC =×|k|=3，又∵S 四边形OADM =6，∴S 矩形OBDC =S 四边形OADM +S △OMB +S △OAC =3+3+6=12，即OC •OB=12，∵OC=3，∴OB=4，即n=4∴m==，∴MB=，MD=3﹣=，∴MB=MD ；（4）如图，∵S △OAC =OC •AC=3，OC=3，∴AC=2，∴A （3，2），∴OA==，∴当OA=OP 时，P 1（，0）；当OA=AP 时，∵AC ⊥x 轴，OC=3，∴OC=CP 2=3，∴P 2（6，0）；当OP=AP 时，设P 3（x ，0），∵O （0，0），A （3，2），∴x=，解得x=，∴P 3（，0）．综上所述，P 点坐标为P 1（，0），P 2（6，0），P 3（，0）．【点评】此题考查的是反比例函数综合题及正比例函数等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．第21页共21页。
人教版九年级上册数学期末考试试卷含答案
人教版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列图形，可以看作中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．已知点P （-3，2）是反比例函数图象上的一点，则该反比例函数的表达式为（）A ．3y x=B ．5y x=-C ．6y x=D ．6y x=-3．一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（）A ．12B ．13C ．310D ．154．抛物线y ＝（x －2）2＋1的顶点坐标是（）A ．（2，1）B ．（－2，1）C ．（2，－1）D ．（－2，－1）5．如图，△ABC 中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，使得DC ∥AB ，则∠BAE 等于（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°6．在平面直角坐标系xOy 中，A 为双曲线6y x=上一点，点B 的坐标为(4，0)．若 AOB 的面积为6，则点A 的坐标为（）A ．(﹣4，32)B ．(4，32-)C ．(﹣2，3)或(2，﹣3)D ．(﹣3，2)或(3，﹣2)7．如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若4OP =，30P ∠=︒，则弦AB 的长为（）．A 5B ．23C ．25D ．28．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b >；⑤()()1a b m am b m +>+≠，其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 与反比例函数y ＝kx的图象相交于点A(﹣1，y 1)、B(1，y 2)、C(3，y 3)三个点，则不等式ax 2+bx+c ＞kx的解集是（）A ．﹣1＜x ＜0或1＜x ＜3B ．x ＜﹣1或1＜x ＜3C ．﹣1＜x ＜0或x ＞3D ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜110．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB ＝30°，若点A 在反比例函数6(0)y x x =>的图象上，则经过点B 的反比例函数ky x=中k 的值是（）A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣3D ．﹣1二、填空题11．若点(),1a 与()2b -，关于原点对称，则b a =_______．12．将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________．13．正比例函数11y k x =和反比例函数22y k x=交于A 、B 两点．若A 点的坐标为（1，2）则B 点的坐标为_______________.14．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，那么弦AB 所对的圆周角的度数________．15．如图， ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，CD ＝6，OA 交BC 于点E ，则AD 的长度是___．16．如图所示，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠BAC 与∠BOC 互补，则∠BOC 的度数为_____．17．如图所示，在平面直角坐标系中，A （4，0），B （0，2），AC 由AB 绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC 所在直线的解析式是_____．三、解答题18．为了提高足球基本功，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．（1）请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数2y x =与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，A 点的横坐标为2，AC ⊥x 轴于点C ，连接BC（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 是反比例函数ky x=图象上的一点，且满足△OPC 与△ABC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E.(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长．21．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元．（1）商店若想获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？（2）用含x的代数式表示商店获得的利润W元，并计算商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少元？22．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例kyx（k为常数，且k≠0）的图象交于A(1，a)，B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．23．如图，抛物线L：y＝12x2﹣54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D ，求PD+35AD 的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线L ：y ＝12x 2﹣54x ﹣3向右平移得到抛物线L′，直线AB 与抛物线L′交于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L′的解析式．24．如图，在Rt ABC 中，∠ABC ＝90°，P 是斜边AC 上一个动点，以BP 为直径作⊙O 交BC 于点D ，与AC 的另一个交点E ，连接DE 、DP ．点F 为线段CP 上一点，连接DF ，∠FDP ＝∠DEP ．(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)当 DP EP =时，求证AB ＝AP ；(3)当AB ＝15，BC ＝20时，是否存在点P ，使得 BDE 是以BD 为腰的等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP 的长；若不存在，请说明理由．25．解方程：2320x x --=．26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，//OC BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE ＝ED ；（2）若AB ＝6，∠CBD ＝30°，求图中阴影部分的面积．参考答案1．B 2．D 3．A 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 9．A 10．A 11．1212．22()1y x =-+13．(1,2)--14．30°或150°15．16．120°17．y ＝2x ﹣818．（1）见解析；（2）球回到乙脚下的概率大【详解】（1）根据题意画出树状图如下：由树形图可知三次传球有8种等可能结果；（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率=28=14；传到乙脚下的概率=38，所以球回到乙脚下的概率大．【点睛】考点：列表法与树状图法．19．（1）8y x=；（2）（2）()1,8P 或()1,8P --．【分析】（1）.首先求出点A 的坐标，然后将点A 的坐标代入反比例函数解析式求出解析式；（2）.首先求出△ABC 的面积，然后根据面积相等求出点P 的坐标.【详解】解（1）.将x=2代入y=2x 中，得y=4．∴点A 坐标为(2,4)∵点A 在反比例函数y=kx的图象上，∴k=2×4=8∴反比例函数的解析式为y=8x （2）.()2,4,A B 关于原点对称，()2,4,B ∴--()()114228,22ABC A B S AC x x ∴=-=⨯⨯+= 设8,,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭188,2OPC P S OC y x∴=== 1,x ∴=±经检验：1x =±是原方程的解且符合题意，∴P(1,8)或P(－1，－8)20．（1）证明详见解析；（2）163．【分析】（1）过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据角平分线的性质得到AD=DF ．根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB=FB ．根据和勾股定理列方程即可得到结论．【详解】（1）证明：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∵∠BAD=90°，BD 平分∠ABC ，∴AD=DF ．∵AD 是⊙D 的半径，DF ⊥BC ，∴BC 是⊙D 的切线；（2）解：∵∠BAC=90°．∴AB 与⊙D 相切，∵BC 是⊙D 的切线，∴AB=FB ．∵AB=5，BC=13，∴CF=13-5=8，AC=12．在Rt △DFC 中，设DF=DE=r ，则()226412r r +=-，解得：r=103．∴CE=163．【点睛】题目主要考查切线的判定、圆周角定理、角平分线的性质定理，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．21．（1）每个定价为70元，应进货200个；（2）W ＝﹣10（x ﹣15）2+6250，每个定价为65元时获得最大利润，可获得的最大利润是6250元【分析】（1）总利润＝每个的利润×销售量，销售量为（400﹣10x ）个，列方程求解，根据题意取舍；（2）利用函数的性质求最值．【详解】解：（1）根据题意得：（50﹣40+x ）（400﹣10x ）＝6000，解得：x 1＝10，x 2＝20，当x ＝10时，400﹣10x ＝400﹣100＝300，当x ＝20时，400﹣10x ＝400﹣200＝200，要使进货量较少，则每个定价为50+20＝70元，应进货200个．答：每个定价为70元，应进货200个．（2）根据题意得：W ＝（50﹣40+x ）（400﹣10x ）＝﹣10x 2+300x+4000＝﹣10（x ﹣15）2+6250，当x ＝15时，y 有最大值为6250．所以每个定价为65元时获得最大利润，可获得的最大利润是6250元．【点睛】一元二次方程和二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据每个小家电利润×销售的个数=总利润列出方程是解题的关键．22．（1）3y x=，B(3，1)；（2）①P(52，0)；②M(4，0)【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）作点B 关于x 轴的对称点D ，连接AD ，交x 轴于点P ，此时PA+PB 的值最小；（3）直线y ＝﹣x+4与x 轴的交点即为M 点，此时|MA ﹣MB|的值为最大，令y ＝0，求得x 的值，即可求得M 的坐标．【详解】解：（1）把点A （1，a ）代入一次函数y ＝﹣x+4，得a ＝3，∴A （1，3），把点A （1，3）代入反比例y ＝kx，得k ＝3，∴反比例函数的表达式y ＝3x，联立43y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，故B （3，1）．（2）①作点B 关于x 轴的对称点D ，连接AD ，交x 轴于点P ，此时PA+PB 的值最小∴D （3，﹣1）设直线AD 的解析式为y ＝mx+n ，则331m n m n +=⎧⎨+=-⎩，解得25m n =-⎧⎨=⎩，∴直线AD 的解析式为y ＝﹣2x+5，令y ＝0，则x ＝52，∴P 点坐标为（52，0）；②直线y ＝﹣x+4与x 轴的交点即为M 点，此时|MA ﹣MB|的值为最大，令y ＝0，则x ＝4，∴M 点的坐标为（4，0）．【点睛】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．23．（1）AB 解析式为y=34x-3，抛物线顶点坐标为125)2(413-，；（2）点P 的坐标为125)2(413-，，PD+35AD 的最大值为12132；（3）21133242y x x =-+．【分析】（1）先求出点A ，点B 坐标，利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐标；（2）CD=ADsin ∠BAO=35AD ，则PD+35AD=PD+DC=PC 为最大，即可求解；（3）设点M （x 1，y 1），点N （x 2，y 2），则x 1+x 2=2（m+34），而点A 是MN 的中点，故x 1+x 2=8，进而求解．【详解】解：（1）∵抛物线L ：y ＝12x 2﹣54x ﹣3与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令0y =，则21530,24x x --=解得：123,4,2x x =-=令0,x =则3,y =-∴点A （4，0），点B （0，-3），设直线AB 解析式为：y=kx-3，∴0=4k-3，∴k=34，∴直线AB 解析式为：y=34x-3①，∵y ＝12x 2﹣54x ﹣3=2152412132x --)(，∴抛物线顶点坐标为125)2(413-；（2）∵点A （4，0），点B （0，-3），∴OA=4，OB=3，∴5==，则sin ∠BAO=35OBAB =，则CD=ADsin ∠BAO=35AD ，则PD+35AD=PD+DC=PC 为最大，当点P 为抛物线顶点时，PC 最大，故点P 的坐标为125)2(413-，则PD+35AD 的最大值=PC 为最大，最大值为12132；（3）设平移后的抛物线L'解析式为21121()232y x m =--②，联立①②并整理得：223252()0416x m x m -++-=，设点M （x 1，y 1），点N （x 2，y 2），∵直线AB 与抛物线L'交于M ，N 两点，∴x 1，x 2是方程223252(0416x m x m -++-=的两根，∴x 1+x 2=2(3)4m +，∵点A 是MN 的中点，∴x 1+x 2=8，∴32()84m +=，∴m=134，∴平移后的抛物线L'解析式为221131211133()2432242y x x =--=-+．24．(1)见解析(2)见解析(3)存在，252或10【分析】（1）利用圆周角定理证明∠FDP=∠DBP ，∠DBP+∠OPD=90°，再证明OD ⊥DF ，即可证明结论；（2）先证明∠CBP=∠EBP ，易证∠C=∠ABE ，由∠APB=∠CBP+∠C ，∠ABP=∠EBP+∠ABE ，得出∠APB=∠ABP ，即可得出结论；（3）先证明△DCP ∽△BCA ，利用相似三角形的性质得到CP ＝54CD ，再分当BD ＝BE ，BD ＝ED 两种情况讨论，即可求解．（1）证明：连接OD ，∵ DPDP =，∴∠DBP ＝∠DEP ，∵∠FDP ＝∠DEP ，∴∠FDP=∠DBP ，∵BP 是⊙O 的直径，∴∠BDP=90°，∴∠DBP+∠OPD=90°，∵OD=OP ，∴∠OPD=∠ODP ，∴∠FDP+∠ODP=90°，∴OD ⊥DF ，∴DF是⊙O的切线；（2）证明：连接BE，如图所示：∵DP EP=，∴∠CBP＝∠EBP，∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°，∴∠C＝∠ABE，∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；（3）解：由AB＝15，BC＝20，由勾股定理得：AC25，∵12AB•BC＝12AC•BE，即12×15×20＝12×25×BE，∴BE＝12，∵BP是直径，∴∠PDB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴PD∥AB，∴△DCP∽△BCA，∴CPAC＝CDBC，∴CP＝AC CDBC⋅＝2520CD＝54CD，△BDE是等腰三角形，分两种情况：①当BD ＝BE 时，BD ＝BE ＝12，∴CD ＝BC ﹣BD ＝20﹣12＝8，∴CP ＝54CD ＝54×8＝10；②当BD ＝ED 时，可知点D 是Rt △CBE 斜边的中线，∴CD ＝12BC ＝10，∴CP ＝54CD ＝54×10＝252；综上所述，△BDE 是等腰三角形，符合条件的CP 的长为252或10．25．123x =-，21x =【分析】选用因式分解法求解.【详解】(32)(1)0x x +-= ，123x ∴=-，21x =．26．（1）证明见解析；（2）3π．【分析】（1）先根据圆的性质可得OA OB =，再根据三角形的中位线定理即可得证；（2）如图（见解析），先根据垂径定理、圆周角定理可得90,30ADB ABC CBD ∠=︒∠=∠=︒，从而可得60,30ABD BAD ∠=︒∠=︒，再根据直角三角形的性质、三角形的面积公式可得AOD S = 120AOD ∠=︒，最后根据图中阴影部分的面积等于扇形OAD 面积减去AOD △面积即可得．【详解】（1）∵AB 是O 的直径，∴OA OB =，即点O 是AB 的中点，∵//OC BD ，∴OE 是ABD △的中位线，∴点E 是AD 的中点，∴AE ED =；（2）如图，连接OD ，∵AB 是O 的直径，6AB =，90ADB ∴∠=︒，132OA OD AB ===，∵//OC BD ，90AEO ADB ∴∠=∠=︒，即OC AD ⊥，又OC 是O 的半径，AC CD ∴=，30ABC CBD ∴∠=∠=︒，60ABD ABC CBD ∴∠=∠+∠=︒，9030BAD ABD ∠=︒-∠=︒，在Rt ABD △中，13,2BD AB AD ====，OD 是Rt ABD △的斜边AB 上的中线，111222AOD Rt ABD S S BD AD ∴==⨯⋅= ，又60ABD ∠=︒ ，2120AOD ABD ∴∠=∠=︒，则图中阴影部分的面积为212033360AOD OAD S S ππ⨯-== 扇形．。
人教版九年级上册数学期末考试试题含答案
人教版九年级上册数学期末考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．事件①：射击运动员射击一次,命中靶心;事件②：购买一张彩票,没中奖,则()A ．事件①是必然事件，事件②是随机事件B ．事件①是随机事件，事件②是必然事件C ．事件①和②都是随机事件D ．事件①和②都是必然事件3．下列方程中，是一元二次方程的是（）A ．x +1x＝0B ．ax 2+bx +c ＝0C ．x 2+1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝04．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=5．抛物线y=(x+2)2-3的对称轴是（）A ．直线x =2B ．直线x=-2C ．直线x=-3D ．直线x=36．关于反比例函数y ＝﹣4x的图象，下列说法正确的是（）A ．经过点(﹣1，﹣4)B ．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形C ．无论x 取何值时，y 随x 的增大而增大D ．点(12，﹣8)在该函数的图象上7．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P=40°，则∠B 的度数为（）A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°8．若关于x 的方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k≥﹣19．如图，直线y=2x与双曲线2yx在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为()A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③若(﹣5，y1)，(3，y2)是抛物线上两点，则y1＝y2；④4a+2b+c＜0，其中说法正确的（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④二、填空题11．点P(4，﹣6)关于原点对称的点的坐标是_____．12．抛物线y＝﹣2x2+3x﹣7与y轴的交点坐标为_____．13．已知正六边形的边长为10，那么它的外接圆的半径为_____．14．白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场．15．如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=6x（x＞0）和y=﹣8x（x＜0）的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为．16．如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则BB'的长为_____．三、解答题17．解方程：x2﹣4x﹣12=0．18．网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2017年交易额为500亿元，2019年交易额为720亿元，求2017年至2019年“双十一”交易额的年平均增长率．19．在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有1名男生和1名女生获得音乐奖．（1）从获得美术奖和音乐奖的5名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率是；（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．20．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交 AB于点C，交弦AB于点D.已知CD=c m.12AB=cm，4（1）求作此残片所在的圆;(不写作法，保留作图痕迹)（2）求（1）中所作圆的半径.21．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．（1）求∠CFA度数；（2）求证：AD∥BC．22．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B（3，b）两点．（1）求反比例函数的表达式（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标（3）求△PAB的面积．23．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：DE平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为10，CF＝2EF，求BE的长．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3，0)，C(0，3)，点M是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．②当S取得最值时，求点P的坐标；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．25．已知抛物线y＝1x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．2（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．参考答案1．B【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【详解】A．不是中心对称图形；B．是中心对称图形；C．不是中心对称图形；D．不是中心对称图形．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．C【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；购买一张彩票，没中奖是随机事件，故选C．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．C【解析】【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【详解】A.该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．B.当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．C.该方程符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意．D.该方程中含有两个未知数，属于二元一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的性质和判定，掌握一元二次方程必须满足的条件是解题的关键．4．B【分析】常数项移到方程左边，两边都加上一次项系数一半的平方，最后再把左边写成完全平方式，右边化简即可．【详解】解：∵x2-2x-5=0∴x 2-2x=5∴x 2-2x+1=5+1∴()216x -=．故答案为：B ．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程．其关键是化二次项系数为1，算准一项系数一半的平方及用准完全平方公式．当一项系数为负时，用完全平方差公式；当一项系数为正时，用完全平方和公式5．B 【详解】试题解析：在抛物线顶点式方程2()y a x h k =-+中，抛物线的对称轴方程为x =h ，2(2)3y x =+- ，∴抛物线的对称轴是直线x =-2，故选B.6．D 【分析】反比例函数()0ky k x=≠的图象k 0＞时位于第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；0k ＜时位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大；在不同象限内，y 随x 的增大而增大，根据这个性质选择则可．【详解】∵当12x =时，4842y =-=-∴点（12，﹣8）在该函数的图象上正确，故A 、B 、C 错误，不符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质及代入求点坐标是解题的关键．7．B 【分析】连接OA ，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.【详解】连接OA ，如图：∵PA 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=90°-40°=50°，∴∠B=12∠AOB=25°，故选B.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.8．D 【分析】根据根的判别式（240b ac =-≥△）即可求出答案．【详解】当原方程为一元一次方程时，k=0，此时方程y=-2x-1有实数解当原方程为一元二次方程时，由题意可知：440k +≥△＝时，方程有实数解∴1k ≥-故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k 的取值范围．9．D 【解析】试题分析：联立直线与反比例解析式得：y 2x{2y x==，消去y 得到：x 2=1，解得：x=1或﹣1．∴y=2或﹣2．∴A （1，2），即AB=2，OB=1，根据题意画出相应的图形，如图所示，分顺时针和逆时针旋转两种情况：根据旋转的性质，可得A′B′=A′′B′′=AB=2，OB′=OB′′=OB=1，根据图形得：点A′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选D ．10．B 【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】由图象可得，0a ＞，0b ＞，0c ＜，则0abc ＜，故①正确；∵该函数的对称轴是1x =-，∴12ba-=-，得20a b -=，故②正确；∵()154---=，()314--=，∴若（﹣5，y 1），（3，y 2）是抛物线上两点，则12y y ＝，故③正确；∵该函数的对称轴是1x =-，过点（﹣3，0），∴2x =和4x =-时的函数值相等，都大于0，∴420a b c ++＞，故④错误；故正确是①②③，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．11．(﹣4，6)【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【详解】点P （4，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，6），故答案为：（﹣4，6）．【点睛】本题考查了一点关于原点对称的问题，横纵坐标取相反数就是对称点的坐标．12．(0，﹣7)【分析】根据题意得出0x =，然后求出y 的值，即可以得到与y 轴的交点坐标．【详解】令0x =，得7y =-，故与y 轴的交点坐标是：（0，﹣7）．故答案为：（0，﹣7）．【点睛】本题考查了抛物线与y 轴的交点坐标问题，掌握与y 轴的交点坐标的特点（0x =）是解题的关键．13．10【分析】利用正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质进而计算．【详解】边长为10的正六边形可以分成六个边长为10的正三角形，∴外接圆半径是10，故答案为：10．【点睛】本题考查了正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质，掌握正六边形的外接圆的半径等于其边长是解题的关键．14．5【分析】设共有x 个飞机场，每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：()1102x x -=⨯，把相关数值代入求正数解即可．【详解】设共有x 个飞机场．()1102x x -=⨯，解得15=x ，24x =-（不合题意，舍去），故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．15．7【分析】根据反比例函数比例系数k 的几何意义得到S △OQM =4，S △OPM =3，然后利用S △POQ =S △OQM +S △OPM 进行计算．【详解】解：如图，∵直线l ∥x 轴，∴S △OQM =12×|﹣8|=4，S △OPM =12×|6|=3，∴S △POQ =S △OQM +S △OPM =7．故答案为7．考点：反比例函数系数k 的几何意义．16．π【分析】根据图示知45BAB ∠'=︒，所以根据弧长公式180n r l π=求得 'BB 的长．【详解】根据图示知，45BAB ∠'=︒，∴ 'BB 的长为：454180ππ⨯=．故答案为：π．【点睛】本题考查了弧长的计算公式，掌握弧长的计算方法是解题的关键．17．x 1=6，x 2=﹣2．【解析】试题分析：用因式分解法解方程即可.试题解析：()()620x x -+=，60x =﹣或20x +=，所以1262x x ==-，．18．2017年至2019年“双十一”交易额的年平均增长率为20%．【分析】设2017年至2019年“双十一”交易额的年平均增长率为x ，根据该平台2017年及2019年的交易额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设2017年至2019年“双十一”交易额的年平均增长率为x ，根据题意得：()25001720x -=，解得：10.2==20%x ，2 2.2x =-（舍去）．答：2017年至2019年“双十一”交易额的年平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．19．（1）25；（2）12【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）从获得美术奖和音乐奖的5名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率是25；故答案为：2 5；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为3，概率31 62 ==所以刚好是一男生一女生的概率为1 2．【点睛】本题考查了概率问题，掌握概率公式以及树状图的画法是解题的关键．20．（1）作图见解析；（2）（1）作图见解析；（2）132 cm；【分析】（1）.由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，因为CD垂直平分AB，故作AC的中垂线交CD延长线于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；（2）.在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长即可．【详解】（1）如图点O即为所求圆的圆心.（2）连接OA，设OA=xcm，根据勾股定理得：x2=62+（x-4）2解得：x=132 cm，故半径为：132 cm.【点睛】本题考查垂径定理，垂直于弦的直径，平分弦且平分这条弦所对的两条弧，熟练掌握垂径定理是解题关键.21．（1）75°（2）见解析【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，BC＝AC，由旋转的性质可得CF＝BC，∠BCF ＝90°，由等腰三角形的性质可求解；（2）由“SAS”可证△ECD≌△ACD，可得∠DAC＝∠E＝60°＝∠ACB，即可证AD∥BC．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60°，BC＝AC∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC∴CF＝BC，∠BCF＝90°，AC＝CE∴CF＝AC∵∠BCF＝90°，∠ACB＝60°∴∠ACF＝∠BCF﹣∠ACB＝30°∴∠CFA＝12（180°﹣∠ACF）＝75°（2）∵△ABC和△EFC是等边三角形∴∠ACB＝60°，∠E＝60°∵CD平分∠ACE∴∠ACD＝∠ECD∵∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，CA＝CE，∴△ECD≌△ACD（SAS）∴∠DAC＝∠E＝60°∴∠DAC＝∠ACB∴AD∥BC【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．22．（1）反比例函数的表达式y=，（2）点P坐标（，0），(3)S△PAB=1.5．【解析】（1）把点A（1，a）代入一次函数中可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式；（2）作点D关于x轴的对称点D，连接AD交x轴于点P，此时PA+PB的值最小.由B可知D点坐标，再由待定系数法求出直线AD的解析式，即可得到点P的坐标；（3）由S△P AB=S△ABD﹣S△PBD即可求出△PAB的面积.解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，解得a=3，∴A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y=k x，得k=3，∴反比例函数的表达式y=3 x，（2）把B（3，b）代入y=3x得，b=1∴点B坐标（3，1）；作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，∴D（3，﹣1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，331m nm n+=⎧⎨+=-⎩，解得m=﹣2，n=5，∴直线AD 的解析式为y =﹣2x +5，令y =0，得x =52，∴点P 坐标（52，0），(3)S △P AB =S △ABD ﹣S △PBD =12×2×2﹣12×2×12=2﹣12=1.5．点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，为接下来求面积做好铺垫.23．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE ＝16．【分析】（1）如图，连接OE ．欲证明PE 是⊙O 的切线，只需推知OE ⊥PE 即可；（2）由圆周角定理得到90AEB CED ∠=∠=︒，根据“同角的余角相等”推知34∠=∠，结合已知条件证得结论；（3）设EF x =，则2CF x =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BE 的长．【详解】（1）如图，连接OE ．∵CD 是圆O 的直径，∴90CED ∠=︒．∵OC OE =，∴12∠=∠．又∵PED C ∠=∠，即1PED ∠=∠，∴2PED ∠=∠，∴=2=90PED OED OED ∠+∠∠+∠︒，即90OEP ∠=︒，∴OE EP ⊥，又∵点E 在圆上，∴PE 是⊙O 的切线；（2）∵AB 、CD 为⊙O 的直径，∴==90AEB CED ∠∠︒，∴34∠=∠（同角的余角相等）．又∵1PED ∠=∠，∴4PED ∠=∠，即ED 平分∠BEP ；（3）设EF x =，则2CF x =，∵⊙O 的半径为10，∴210OF x =-，在Rt △OEF 中，222OE OF EF +=，即()22210210x x +-=，解得8x =，∴8EF =，∴216BE EF ==．【点睛】本题考查了圆和三角形的几何问题，掌握切线的性质、圆周角定理和勾股定理是解题的关键．24．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）①S ＝﹣m 2+3m ，1≤m ≤3；②P (32，3)；（3）存在，点P 的坐标为(32，3)或(﹣12﹣)．【分析】（1）将点B ，C 的坐标代入2y x bx c =-++即可；（2）①求出顶点坐标，直线MB 的解析式，由PD ⊥x 轴且OD m =知P （m ，﹣2m +6），即可用含m 的代数式表示出S ；②在①的情况下，将S 与m 的关系式化为顶点式，由二次函数的图象及性质即可写出点P 的坐标；（3）分情况讨论，如图2﹣1，当90CPD ∠=︒时，推出3PD CO ==，则点P 纵坐标为3，即可写出点P 坐标；如图2﹣2，当90PCD ∠=︒时，证PDC OCD ∠=∠，由锐角三角函数可求出m 的值，即可写出点P 坐标；当90PDC ∠=︒时，不存在点P ．【详解】（1）将点B （3，0），C （0，3）代入2y x bx c =-++，得09333b c =-++⎧⎨=⎩，解得23b c ì=ïí=ïî，∴二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）①∵()222314y x x x =++=--+-，∴顶点M （1，4），设直线BM 的解析式为y kx b =+，将点B （3，0），M （1，4）代入，得304k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BM 的解析式为=26y x -+，∵PD ⊥x 轴且OD m =，∴P （m ，﹣2m +6），∴()21126322PCD S S PD OD m m m m -++ ====-，即23S m m =-+，∵点P 在线段BM 上，且B （3，0），M （1，4），∴13m ≤≤；②∵2239324S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵10-＜，∴当32m =时，S 取最大值94，∴P （32，3）；（3）存在，理由如下：①如图2﹣1，当90CPD ∠=︒时，∵90COD ODP CPD ∠=∠∠=︒=，∴四边形CODP 为矩形，∴3PD CO ==，将3y =代入直线=26y x -+，得32x =，∴P （32，3）；②如图2﹣2，当∠PCD ＝90°时，∵3OC =，OD m =，∴22229CD OC OD m =++=，∵//PD OC ，∴PDC OCD ∠=∠，∴cos PDC cos OCD ∠=∠，∴DC OCPD DC =，∴2DC PD OC = ，∴()29326m m =+-+，解得1 3m -=-（舍去），23m +=-，∴P （3-+12-），③当90PDC ∠=︒时，∵PD ⊥x 轴，∴不存在，综上所述，点P 的坐标为（32，3）或（3-+12-．【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键．25．（1）y ＝12x 2﹣x ﹣4；（2）S ＝﹣（m ﹣2）2+16，S 的最大值为16；（3）点P 的坐标为：（1，﹣）或（1，﹣1）．【分析】（1）根据交点式可求出抛物线的解析式；（2）由S=S △OBC +S △OCD +S △ODA ，即可求解；（3）∠BPC=45°，则BC 对应的圆心角为90°，可作△BCP 的外接圆R ，则∠BRC=90°，过点R 作y 轴的平行线交过点C 与x 轴的平行线于点N 、交x 轴于点M ，证明△BMR ≌△RNC （AAS ）可求出点R （1，-1），即点R 在函数对称轴上，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝12x 2+bx+c 与x 轴交于A （4，0）、B （﹣2，0），∴抛物线的表达式为：y ＝12（x ﹣4）（x+2）＝12x 2﹣x ﹣4；（2）设点D （m ，12m 2﹣m ﹣4），可求点C 坐标为（0，-4），∴S ＝S △OBC +S △OCD +S △ODA ＝211112444[(4)]2222m m m ⨯⨯+⨯+⨯---＝﹣（m ﹣2）2+16，当m ＝2时，S 有最大值为16；（3）∠BPC ＝45°，则BC 对应的圆心角为90°，如图作圆R ，则∠BRC ＝90°，圆R 交函数对称轴为点P ，过点R 作y 轴的平行线交过点C 与x 轴的平行线于点N 、交x 轴于点M ，设点R （m ，n ）．∵∠BMR+∠MRB ＝90°，∠MRB+∠CRN ＝90°，∴∠CRN ＝∠MBR ，∠BMR ＝∠RNC ＝90°，BR ＝RC ，∴△BMR ≌△RNC （AAS ），∴CN ＝RM ，RN ＝BM ，即m+2＝n+4，﹣n ＝m ，解得：m ＝1，n ＝﹣1，即点R （1，﹣1），即点R 在函数对称轴上，，则点P的坐标为：（1，﹣）或（1，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数与几何综合运用，涉及圆周角定理、二次函数解析式的求法、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏，能灵活运用数形结合的思想是解题的关键，（3）的难点是作出辅助圆．。
人教版九年级上册数学期末考试试卷含答案详解
人教版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件中，必然发生的是（）A．某射击运动射击一次，命中靶心B．通常情况下，水加热到100℃时沸腾C．掷一次骰子，向上的一面是6点D．抛一枚硬币，落地后正面朝上3．若反比例函数y=﹣1x的图象经过点A（3，m），则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣13D．134．如图，直线y=kx与双曲线y=﹣2x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣8x2y1的值为（）A．﹣6B．﹣12C．6D．125．如图，经过原点O的⊙P与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定6．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm7．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为（0,1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移38．抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（）A．±1B．0C．1D．-19．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（）A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数C．S是R的二次函数D．以上答案都不对10．如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A 的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°11．如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1，S2，则（)A．S2＞S1B．S1=S2C．S1＞S2D．S1≥S212．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题13．把方程3x（x﹣2）=4（x+1）化为一元二次方程的一般形式是_______；14．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖的除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是．15．一个侧面积为162πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为_cm．16．关于x的一元二次方程2210ax x++=有实数解，那么实数a的取值范围是__________. 17．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为____________．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．三、解答题19．解方程：x2+3x﹣2＝0．20．如图为桥洞的形状，其正视图是由 CD和矩形ABCD构成．O点为 CD所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F）EF为2米．求 CD所在⊙O的半径DO．21．如图所示的网格图中,每小格都是边长为1的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上,在建立直角坐标系后,点C的坐标（-1,2）（1）画出△ABC绕点D（0,5）逆时针旋转90°后的△A1B1C1,（2）写出A1,C1的坐标.（3）求点A旋转到A1所经过的路线长.22．如图，抛物线2=-++与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的y x bx c坐标为()-，，与y轴交于点()10C，，作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作03PM x⊥轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．23．有红、黄两个盒子，红盒子中装有编号分别为1、2、3、4的四个红球，黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球．甲、乙两人玩摸球游戏，游戏规则为：甲从红盒子中每次摸出一个小球，乙从黄盒子中每次摸出一个小球，若两球编号之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）当ABBC=43时，求tanE；（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．26．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．27．已知，如图①，在▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN；（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；：S四边形ABQP=1：4．若存在，求出t的值；若不存在，（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．2．B【解析】A、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．C、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；D抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；故选B．3．C【解析】试题分析：把点A代入解析式可知：m=﹣1 3．故选C．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．4．B【解析】【分析】（解法一）将一次函数解析式代入反比例函数解析式中得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出A、B点的横坐标，再结合一次函数的解析式即可求出点A、B的坐标，将其代入2x1y2-8x2y1中即可得出结论．（解法二）根据正、反比例函数的对称性，找出x1=-x2、y1=-y2，将其代入2x1y2-8x2y1中利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出结论．【详解】（解法一）将y=kx代入到y=-2x中得：kx=-2x，即kx2=-2，解得：x1，x2∴y1=kx1y2=kx2，∴2x1y2-8x2y1=2×（×（）=-12．（解法二）由正、反比例函数的对称性，可知：x1=-x2，y1=-y2，∴2x1y2-8x2y1=-2x1y1+8x1y1=6x1y1．∵x1y1=-2，∴2x1y2-8x2y1=6x1y1=-12．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及一元二次方程的解，解题的关键是：（解法一）求出点A、B的坐标；（解法二）根据对称性结合反比例函数图象上点的坐标特征求值．5．B【详解】试题分析：根据圆周角定理的推论可得：∠ACB=∠AOB=90°，故选B.考点：圆周角定理的推论6．A【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．【详解】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，交圆O于点E，∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴===，60cmOM∴ME=OE-OM=100-60=40cm．故选：A．考点：(1)、垂径定理的应用；(2)、勾股定理．7．A【解析】试题解析：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．故选A．考点：1.坐标与图形变化-旋转；2.坐标与图形变化-平移．8．D【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到-m2+1=0，解得m1=1，m2=-1，然后根据二次函数的定义确定m的值．【详解】把（0，0）代入y=（m-1）x2-mx-m2+1得-m2+1=0，解得m1=1，m2=-1，而m-1≠0，所以m=-1．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的定义．9．C【详解】根据二次函数的定义，易得S是R的二次函数，故选C.10．B【解析】∵PC与⊙O相切，∴∠OCP=90°.∵∠P=20°，∴∠POC=90°-20°=70°，∴∠A＝70°÷2＝35°.故选B.11．C【解析】【分析】设大正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长，进而可求得S2的边长，由面积的求法可得答案．【详解】如图，设大正方形的边长为x ，根据等腰直角三角形的性质知，BC ，，∴AC=2CD ，CD=3x ，∴S 2x ，S 2的面积为29x 2，S 1的边长为2x ，S 1的面积为14x 2，∴S 1＞S 2．故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理及正方形的性质是解题的关键.12．B【详解】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x =1，而点（﹣1，0）关于直线x =1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x =﹣2b a =1，即b =﹣2a ，而x =﹣1时，y =0，即a ﹣b +c =0，∴a +2a +c =0，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．13．3x 2-10x-4=0．【解析】先把一元二次方程3x （x ﹣2）=4（x+1）的各项相乘，再按二次项，一次项，常数项的顺序进行排列即可．解：∵一元二次方程3x（x﹣2）=4（x+1）可化为3x2-6x-4x--4=0，∴化为一元二次方程的一般形式为3x2-10x-4=0．14．4 9【详解】试题分析：观察这个图形可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的4 9，则它最终停留在黑色方砖上的概率是4 9；故答案为4 9．考点：几何概率．15．4【解析】【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形，得出l，代入S侧=πrl，求出r，l，从而求得圆锥的高．【详解】设底面半径为r，母线为l，∵主视图为等腰直角三角形，∴，∴侧面积S侧22，解得r=4，，∴圆锥的高h=4cm，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够熟练掌握有关的计算公式．16．10a a≤≠且【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，∴△＝4−4a≥0且a≠0,∴a≤1且a≠0．故答案是：10a a且≤≠.17．1：4.【详解】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴AB：DE=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．考点：位似变换．18．．【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵AC=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=12AF=2，∴，∵FP=FC=2，∴，∴点P到边AB距离的最小值是．故答案为:．【点睛】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P 的位置.19．∴x 1=2-，x 2=32-【解析】首先找出公式中的a ，b ，c 的值，再代入求根公式求解即可.本题解析：∵a=1，b=3，c=﹣2，∴△=b 2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，∴x=32-±，∴x 1x 220．5米【详解】试题分析：设半径OD=r ，则由题意易得OF=OE-EF=r-2；由OE ⊥CD ，根据“垂径定理”可得DF=12CD=4，这样在Rt △ODF 中由勾股定理建立方程就可解得r.试题解析：设⊙O 的半径为r 米，则OF=(r-2)米,∵OE ⊥CD∴DF=12CD=4在Rt △OFD 中，由勾股定理可得：(r-2)2+42=r 2，解得：r=5，∴CD 所在⊙O 的半径DO 为5米.21．（1）图形见解析;（2）A 1（3,1）;C 1（3,4）;（3）点A 旋转到A 1所经过的路线长是52π．【详解】试题分析：（1）题目已给出了旋转中心、旋转角度和旋转方向,可连接DA 、DB 、DC,然后根据要求旋转得到对应的顶点A 1、B 1、C 1,再顺次连接三点即可．（2）由（1）得到的图形,可根据A 1、C 1的位置来确定它们的坐标．（3）点A 旋转到A 1所经过的路线长是以D 为圆心、90°为圆心角、DA 为半径的弧长,先求出DA 的长,然后根据弧长公式计算即可．试题解析：（1）（2）A 1（3,1）;C 1（3,4）;（3）点A 旋转到A 1所经过的路线是弧AA 1,∵AD=5,∠ADA 1=90°,∴弧AA 1的长=;∴点A 旋转到A 1所经过的路线长是．考点：1.旋转变换,2.弧长的计算．22．（1）y=﹣x 2+2x+3，y=﹣x+3；（2）当m=32时，MN 有最大值，MN 的最大值为94；（3）32+或32．【解析】（1）由A 、C 两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B 点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC 的解析式；（2）用m 可分别表示出N 、M 的坐标，则可表示出MN 的长，再利用二次函数的最值可求得MN 的最大值；(3)由条件可得出MN=OC ，结合（2）可得到关于m 的方程，可求得m 的值本题解析：（1）∵抛物线过A 、C 两点，∴代入抛物线解析式可得10{3b c c --+==，解得2{3b c ==，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3，令y=0可得，﹣x 2+2x+3=0，解x 1=﹣1，x 2=3，∵B 点在A 点右侧，∴B 点坐标为（3，0），设直线BC 解析式为y=kx+s ，把B 、C 坐标代入可得30{3k s s +==，解得1{3k s =-=，∴直线BC 解析式为y=﹣x+3；（2）∵PM ⊥x 轴，点P 的横坐标为m ，∴M （m ，﹣m 2+2m+3），N （m ，-m+3），∵P 在线段OB 上运动，∴M 点在N 点上方，∴MN=﹣m 2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m 2+3m=﹣（m ﹣32）2+94，∴当m=32时，MN 有最大值，MN 的最大值为94；（3）∵PM ⊥x 轴，∴MN ∥OC ，当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN ，当点P 在线段OB 上时，则有MN=﹣m 2+3m ，∴﹣m 2+3m=3，此方程无实数根，当点P 不在线段OB 上时，则有MN=﹣m+3﹣（﹣m 2+2m+3）=m 2﹣3m ，∴m 2﹣3m=3，解得或，综上可知当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，m 的值为32或32．23．（1）12；（2）公平，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先画树状图，然后根据树状图即可求得甲获胜的概率；（2）根据树状图，求得甲、乙获胜的概率，然后比较概率，即可求得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．【详解】（1）画树状图得：∴一共有12种等可能的结果，两球编号之和为奇数有6种情况，∴P （甲胜）=612=12（2）公平．∵P （乙胜）=612=12，∴P （甲胜）=P （乙胜），∴这个游戏规则对甲、乙双方公平【点睛】本题考查了游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．24．（1）a=4，m=﹣4；（2）双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B 的坐标为（2，﹣2）．【解析】试题分析：（1）将A 坐标代入一次函数解析式中即可求得a 的值，将A （﹣1，4）坐标代入反比例解析式中即可求得m 的值；（2）解方程组=−2+2=−4，即可解答．试题解析：（1）∵点A 的坐标是（﹣1，a ），在直线y=﹣2x+2上，∴a=﹣2×（﹣1）+2=4，∴点A 的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数=，∴m=﹣4．（2）解方程组：=−2+2=−4，解得：=−1=4或=2=−2，∴该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B 的坐标为（2，﹣2）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．25．（1）证明见解析；（2）12；（3【分析】（1）要证明△ABD ∽△AEB ，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组对应角相等即可；（2）由于AB ：BC=4：3，可设AB=4，BC=3，求出AC 的值，再利用（1）中结论可得2AB AD AE =⋅，进而求出AE 的值，所以tanE=ED AB BE AE=；（3）设AB=4x ，BC=3x ，由于已知AF 的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x 的值，即可知道半径3x 的值．【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴90ABD DBC ∠=︒-∠，由题意知：DE 是直径，∴∠DBE=90°，∴90E BDE ∠=︒-∠，∵BC=CD ，∴∠DBC=∠BDE ，∴∠ABD=∠E ，∵∠A=∠A ，∴△ABD ∽△AEB ；（2）解：∵AB ：BC=4：3，∴设AB=4，BC=3，∴AC==5，∵BC=CD=3，∴AD=AC -CD=5-3=2，由（1）可知：△ABD ∽△AEB ，∴ABADBDAE AB BE ==，∴2AB AD AE =⋅，∴242AE =，∴AE=8，在Rt △DBE 中，41tan ==82BD ABE BE AE ==；（3）过点F 作FM ⊥AE 于点M ，∵:4:3AB BC =，∴设AB=4x ，BC=3x ，∴由（2）可知；AE=8x ，AD=2x ，∴DE=AE -AD=6x ，∵AF 平分∠BAC ，∴BFABEF AE =，∴4182BF xEF x ==，∵1tan 2E =，∴cos E =5，sin E =∴BD BE =∴5BE x =，∴23EF =，5BE =，∴sin 5MFE EF ==，∴85MF x =，∵1tan 2E =，∴1625ME MF x ==，∴245AM AE ME x =-=，∵222AF AM MF =+，∴22248455x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴8x =，∴⊙C的半径为：3x =【点睛】本题属于圆的综合题，涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解题的关键是熟练掌握有关性质．26．（1）CD=BE ．理由见解析；（2）△AMN 是等边三角形．理由见解析.【分析】（1）CD=BE ．利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE ≌△ACD ；然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE ；（2）△AMN 是等边三角形．首先利用全等三角形“△ABE ≌△ACD”的对应角相等、已知条件“M 、N 分别是BE 、CD 的中点”、等边△ABC 的性质证得△ABM ≌△ACN ；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM=AN 、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形．【详解】（1）CD=BE ．理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠EAD=60°，∵∠BAE=∠BAC ﹣∠EAC=60°﹣∠EAC ，∠DAC=∠DAE ﹣∠EAC=60°﹣∠EAC ，∴∠BAE=∠DAC ，在△ABE 和△ACD 中，=AB AC BAE DAC AE AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴CD=BE（2）△AMN 是等边三角形．理由如下：∵△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE=∠ACD ．∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM=CN∵AB=AC ，∠ABE=∠ACD ，在△ABM 和△ACN 中，=BM CN ABE ACD AB AC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△ACN （SAS ）．∴AM=AN ，∠MAB=∠NAC ．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°∴△AMN 是等边三角形【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质．等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．27．（1）t=209；（2）y=－236105t t +；（3）1：4；（4）t=32【分析】（1）当PQ ∥MN 时，可得：CP CQ PA QB =，从而得到：45t t t t -=-，解方程求出t 的值；（2）作PD BC ⊥于点D ，则可以得到CPD CBA ∽，根据相似三角形的性质可以求出3(4)5PD t =-，CQ t =，利用三角形的面积公式求出S 与t 的关系式；（3）根据S △QMC ：1:4ABQP S =四边形可以得到关于t 的方程，解方程求出t 的值；（4）作ME BC ⊥于点E ，PD BC ⊥于点D ，则△CPD ∽△CBA ，利用相似三角形的性质可以得到：2123()55t -16999()()5555t t =-+，解方程求出t 的值．【详解】解：(1)如图所示，若PQ ∥MN ，则有CP CQ PA QB =，∵CQ PA t ==，4CP t =-，5QB t =-，∴45t t t t-=-，即22209t t t -+=，解得209t =(2)如图所示，作PD BC ⊥于点D ，则△CPD ∽△CBA ，∴CP PDCB BA =,∵3BA =，4CP t =-，5BC =，∴453tPD-=，∴3(4)5PD t =-又∵CQ t =，∴△QMC 的面积为：()21336425105y t t t t=⨯-=-+(3)存在2t =时，使得S △QMC ：1:4ABQP S =四边形理由如下：∵PM ∥BC ∴236105PQC QMC S S t t∆∆==-+∵S △QMC ：1:4ABQP S =四边形，∴S △PQC ：S △ABC =1：5，∵3462ABC S ⨯== .∴236:61:5105t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∴2440t t -+=∴122t t ==∴存在当2t =时，S △QMC ：1:4ABQP S =四边形；(4)存在某一时刻32t =，使PQ MQ⊥理由如下：如图所示，作ME BC ⊥于点E ，PD BC ⊥于点D ，则△CPD ∽△CBA ，∴CP PDCDCB BA CA==∵3BA =，4CP t =-，5BC =，4CA =，∴4534tPD CD-==，∴3(4)5PD t =-，4(4)5CD t =-∵PQ ⊥MQ ，∴△PDQ ∽△QEM ，∴PD DQQE EM =，即··PD EM QE DQ=∵3123(4)555EM PD t t ==-=-，4169(4)555DQ CD CQ t t t =-=--=-，4995[(4)]555QE DE DQ t t t =-=---=+，∴2123()55t -16999()()5555t t =-+，即2230t t -=，∴32t =，0t =（舍去）∴当32t =时，使PQ ⊥MQ ．【点睛】本题考查相似三角形的综合运用；一元二次方程的应用．。
人教版九年级上册数学期末考试试卷及答案解析
人教版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是()A ．k ＞43B ．k ＞34C ．k ＞43且k≠2D ．k ＞34且k≠22．如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，25C ∠= ，6AB =，则劣弧 CD的长为A ．10πB ．52πC ．53πD ．56π3．小明用瓶盖设计了一个游戏：任意掷一个瓶盖；如果盖底着地，则甲胜；如果盖口着地，则乙胜．你认为这个游戏（）A ．不公平B ．公平C ．对甲有利D ．对乙有利4．方程()2330x x -+=的二次项系数、一次项系数及常数项的和是（）A ．3B ．2C ．1-D ．3-5．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a+3b+c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1a-，其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．若α、β是方程2220090x x +-=的两个根，则：23ααβ++的值为（）A ．2010B ．2009C ．2009-D ．20077．圆中有两条等弦AB=AE ，夹角∠A=88°，延长AE 到C ，使EC=BE ，连接BC ，如图．则∠ABC 的度数是（）A ．90°B ．80°C ．69°D ．65°8．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处．那么旋转的角度等于（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．80°9．在ABC 中，1AB AC cm ==，D 是BC 边的中点，以A 为圆心，1cm 长为半径作A ，则A 、B 、C 、D 四点中，在圆内的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，40CAB ∠= ，连接BD 、OD ，则AOD ABD ∠+∠的度数为（）A ．100°B ．110°C ．120°D ．150°二、填空题11．指令(),s θ的意义：以原地原方向为基准，沿逆时针方向旋转θ角，再沿旋转后的方向行进s 米，现有一位于A 点处的机器人，面朝正东方向，按指令()5,60运动至B 点，再按指令()5,120运动至C 点，则AC =________米．12．四边形ABCD 中，//AD BC ，E 是CD 的中点，连结AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连结BE ．则，点C 与点________关于点E 对称，ADE 与FCE 成________对称；若AB AD BC =+，则ABF 是________三角形，BE 是ABF 的________（将你认为正确的结论填上一个就行）13．小明把80个除了颜色以外其余都相同的黄、蓝、红三种球放进一个袋内，经多次摸球后，得到它们的概率分别为14、720和25，试估计黄、蓝、红三种球的个数分别是________．14．已知平面直角坐标系上的三个点()0,0D ，()1,1A -，()1,0B -．将ABD 绕点D 旋转180 ，则点A 、B 的对应点A 、B 的坐标分别是1A ________，1B ________15．点(),A a b 和B 关于x 轴对称，而点B 与点()2,3C 关于y 轴对称，那么，a =________，b =________，点A 和C 的位置关系是________．16．抛物线2235y x x =--与y 轴交于点________，与x 轴交于点________．17．原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为________．18．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种．三、解答题19．解方程：()2121x x +=()()22(3)230x x -+-=()2x--=()23(2)270x+=431．20．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．21．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．（1）求将材料加热时，y与x的函数关系式；（2）求停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（3）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么操作时间是多少？22．如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD 延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD 的长．23．如图，抛物线y 1=﹣12x 2+bx+c 经过点A （4，0）和B （1，0），与y 轴交于点C ．(1)求出抛物线的解析式；(2)求点C 的坐标及抛物线的顶点坐标；(3)设直线AC 的解析式为y 2=mx+n ，请直接写出当y 1＜y 2时，x 的取值范围．24．已知，如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，»»AB AC =，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，AE BD =．（1）求证：AD CE =；（2）如果点G 在线段上（不与点D 重合），且，求证：四边形是平行四边形．25．已知二次函数y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）的最大值为4，且抛物线过点（72，﹣94），点P （t ，0）是x 轴上的动点，抛物线与y 轴交点为C ，顶点为D ．(1)求该二次函数的解析式，及顶点D 的坐标；(2)求|PC ﹣PD|的最大值及对应的点P 的坐标；(3)设Q （0，2t ）是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c 的图象只有一个公共点，求t 的取值．26．如图，△ABC 内接与⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于AC 点E ，交PC 于点F ，连接AF（1）判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若⊙O 的半径为4，AF=3，求AC 的长．参考答案1．D 【解析】a=(k －2)2,b=2k ＋1,c=1,()221k =+ -4()22k ->0,k-20≠,解得k ＞34且k≠22．C【解析】如图，连结OC ，OD ，根据圆周角定理得到∠AOD ＝2∠C ＝50°，再根据垂径定理得到 AC AD ＝，则∠AOC ＝∠AOD ＝50°，即∠COD ＝100°，然后根据弧长公式计算劣弧 CD的长.【详解】如图，连结OC ，OD ，∵∠C ＝25°，∴∠AOD ＝2∠C ＝50°，∵CD ⊥AB ，∴ AC AD ＝，∴∠AOC ＝∠AOD ＝50°，∴∠COD ＝100°，而OD ＝12AB ＝3，∴劣弧 CD的长＝100··351803ππ＝.故选C.【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式180n Rl ＝π（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）.也考查了圆周角定理和垂径定理.3．A 【解析】【分析】两人获胜概率相同，则游戏公平；反之，游戏不公平.【详解】因为瓶盖质地不均匀，可能盖底着地，也可能盖口着地，但两种情况出现的可能性不同，故两人获胜概率不同，所以这个游戏不公平.故选A.【点睛】本题主要考查概率与公平性，分析甲乙两人获胜概率是否相同是解答本题的关键.4．C 【详解】原方程去括号整理得：2x 2﹣6x+3=0，则二次项系数、一次项系数及常数项的和是2+（﹣6）+3=﹣1.故选C.5．C 【解析】【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y 轴的交点可分别判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y>0，可判断②；由OA=OC ，且OA<1，可判断③；把1a-代入方程整理可得ac 2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案.【详解】解：由图象开口向下，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0，又对称轴方程为x=2，所以02ba->，所以b>0，∴abc>0，故①正确；由图象可知当x=3时，y>0，∴9a+3b+c>0，故②错误；由图象可知OA<1，∵OA=OC ，∴OC<1，即-c<1，c>-1，故③正确：假设方程的一个根为x=1a -，把x=1a -代入方程可得10bc a a-+=，整理可得ac-b+1=0，两边同时乘c 可得ac 2-bc+c=0，即方程有一个根为x=-c ，由②可知-c=OA ，而x=OA 是方程的根，∴x=-c 是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个；故答案为C.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质.熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键.特别是利用好题目中的OA=OC ，是解题的关键.6．D【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=-ba，x1x2=ca，而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），据此进行求解即可得.【详解】α，β是方程x2+2x-2009=0的两个实数根，则有α+β=-2，α是方程x2+2x-2009=0的根，得α2+2α-2009=0，即：α2+2α=2009．所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α-2=2009-2=2007，故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关知识并能将根与系数的关系、方程根的定义与代数式变形相结合是解题的关键.7．C【分析】根据题意可得出△ABE、△BEC是等腰三角形，在等腰三角形中先求出∠AEB的度数，然后利用外角的性质可求出∠EBC的度数，继而可得出答案．【详解】解：∵AB=AE，EC=BE，∴∠ABE=∠AEB，∠EBC=∠ACB，又∵∠A=88°，∴∠ABE=∠AEB=46°，∠EBC=∠ACB=12∠AEB=23°，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=69°．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠ABE 及∠EBC的度数，难度一般．8．B【详解】试题分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB1是等边三角形，即可得出旋转角度．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=12BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．故选B．9．C【解析】【分析】AB＝AC＝1cm，即B、C到圆心A的距离等于半径，因而B、C在圆上；而D是BC边的中点，则D到圆心的距离小于半径，因而D在圆内，所以在圆内的点有两个，即A和D.【详解】如图所示，连结AD，AD⊥BC，∵以A为圆心，1cm长为半径作⊙A，AB＝AC＝1cm，即B、C到圆心A的距离等于半径，∴B、C在圆上，又∵△ABD中，∠ADB＝90°，∴AD＜AB，∴点D在⊙A内，∴在圆内的点有两个，即A和D.故选C.【点睛】本题考查了对点与圆位置关系的判断.设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内.10．D【解析】【分析】先根据圆周角定理求出∠BDC的度数，再由直角三角形的性质得出∠ABD的度数，进而可得出∠AOD的度数，据此可得出结论．【详解】∵∠CAB=40°，∴∠BDC=40°．∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°-40°=50°，∴∠AOD=2∠ABD=100°，∴∠AOD+∠ABD=100°+50°=150°．故选D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．11．15【解析】【分析】根据旋转角求出AC在同一直线上，然后列式计算即可得解.【详解】∵A按照指令（5，60°）运动至B点，再按指令（5,120°）运动至C点，60°＋120°＝180°，∴AC在同一条直线上，∴AC＝5＋（5＋5）＝15米.故答案为15.【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，读懂题目信息，理解指令的意义并求出AC在同一条直线上是解题的关键.12．D中心等腰高【解析】【分析】根据中心对称的性质和等腰三角形三线合一的性质分别填空即可.【详解】四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD中点，连结AE并延长BC的延长线于点F，连结BE.则点C与点D关于点E对称，△ADE和△FCE成中心对称；若AB＝AD＋BC，则△ABF 是等腰三角形，BE是△ABF的高.故答案为D，中心，等腰，高.【点睛】本题考查了中心对称，等腰三角形的判定与性质，事迹性质并准确识图是解题的关键.13．20、28、32【解析】【分析】根据得到各小球的概率以及小球的总个数，分别求出晓求得个数即可.【详解】∵小明把80个除了颜色以外其余都相同的黄、蓝、红三种球放进一个袋内，经多次摸球后，得到它们的概率分别为17240205、、，∴黄、蓝、红三种球的个数分别是：80×12＝40(个)，80×720＝28（个），80×25＝32（个）.故答案为20、28、32.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据概率的意义求出小球的个数是解题关键.14．()1,1-()1,0【解析】【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形大小和形状．【详解】旋转180°后，各对应点将关于原点对称，∴A 1（1，-1），B 1（1，0）．故答案为：()1,1-；()1,0【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题关键要理解旋转180°即成了中心对称．15．-2-3关于原点对称【解析】【分析】根据坐标中点的对称关系进行解答即可.【详解】∵B 与点C （2,3）关于y 轴对称，∴B 点的坐标是（﹣2,3），又∵A （a ，b ）与点B 关于x 轴对称，∴点A 的坐标是（﹣2，﹣3），∴a ＝﹣2，b ＝﹣3，点A 与点C 的位置关系是关于原点对称.【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于x 轴的对称点的坐标是（x ，﹣y ），关于y 轴的对称点是（﹣x ，y ），关于原点的对称点是（﹣x ，﹣y ）.16．()0,5-()1,0-，（52，0）【解析】【分析】抛物线与x 轴的交点的纵坐标等于0，抛物线与y 轴交点的横坐标等于0.【详解】令x ＝0，则y ＝﹣5，即抛物线y ＝2x 2－3x －5与y 轴交于点（0，﹣5）；令y ＝0，则2x 2－3x －5＝0，解得x ＝52或﹣1，∴抛物线y ＝2x 2－3x －5与y 轴交于点（﹣1,0）和（52，0）.故答案是（0，﹣5）；（﹣1,0）、（52，0）【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点.掌握坐标轴上的点的坐标特征和二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键.17．10%．【解析】试题解析：设这两次的百分率是x ，根据题意列方程得100×（1﹣x ）2=81，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9（不符合题意，舍去）．答：这两次的百分率是10%．考点：一元二次方程的应用．18．3【详解】在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，故涂法有3种，故答案为3．19．()()12121212x x ==，；1231x x ，==；（3）x 1=332，x 2=332-；（4）1233x x ==．【分析】（1）方程整理为一般形式，找出a ，b ，c 的值，代入求根公式即可求出解．（2）方程利用因式分解法求出解即可．（3）利用开平方的定义解方程．（4）方程移项，则左边是完全平方式，右边是常数，再利用直接开平方法即可求解．【详解】解：（1）方程整理得：x 2+2x ﹣1=0，这里a=1，b=2，c=﹣1．∵△=4+4=8，∴2222-±x 121，x 2=21--；（2）分解因式得：（x ﹣3）（x ﹣3+2）=0，可得x ﹣3=0或x ﹣1=0，解得：x 1=3，x 2=1．（3）移项得：（x ﹣2）2=27开平方得：x ﹣3移项得：x 1=332，x 2=332-+．（4）∵3x 23，∴3x 2﹣33﹣1）2=0，∴x 1=x 2=33．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．20．（1）13；（2）这个游戏不公平，理由见解析.【分析】（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．【详解】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：13；（2）这个游戏不公平．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，∴P （甲胜）=59，P （乙胜）=49．∴P （甲胜）≠P （乙胜），故这个游戏不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．21．（1）y=9x+15；（2）y=300x；（3）15分钟【分析】（1）根据题意判断材料加热时成正比例函数关系式，通过待定系数法即可求出函数解析式；（2）根据题意可得停止加热时y 与x 成反比例函数关系式，用待定系数法求得函数的解析式即可；（3）分别令两个函数的函数值为15，解得两个x 的值相减即可得到答案．【详解】解：（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b （k≠0），该函数图象经过点（0，15），（5，60），56015k b b +⎧⎨⎩＝＝解得915 kb⎧⎨⎩＝＝，∴一次函数的表达式为y=9x+15（0≤x≤5），（2）设加热停止后反比例函数表达式为ayx=（a≠0），该函数图象经过点（5，60），即a=5×60=300，所以反比例函数表达式为300yx=（x≥5）；（3）当y=15时，代入y=9x+15有x=0当y=15时，代入300 yx =得x=20∴20-5=15（分钟）．答：该材料进行特殊处理所用时间为15分钟．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．22．（1）证明见解析；（2）PD【分析】（1）连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线．（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．【详解】（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°．∴∠OAP=90°．∴OA⊥AP．∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°．33∴∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°．∴∠P=∠PAD．∴323．(1)抛物线的解析式是y=﹣12x2+52x﹣2；(2)顶点坐标是（52，98）；(3)x＜0或x＞4．【解析】【分析】（1）代入A和B点并联立方程求解即可；（2）令x=0求解c点坐标，再运用配方法将一般式化为顶点式即可；（3）由图像可知，C点左侧以及A点右侧部分均符合问题要求.【详解】(1)根据题意得：−12×16+4b+c=0−12+b+c=0，解得b=52c=−2则抛物线的解析式是y=﹣12x2+52x﹣2；(2)在y=−12x2+52x﹣2中令x=0，则y=﹣2，则C的坐标是（0，﹣2）．y=﹣12x2+52x﹣2=﹣12（x﹣52）2+98，则抛物线的顶点坐标是（52，98）；(3)由图像可知，C点左侧以及A点右侧部分均符合问题要求，故当x＜0或x＞4时均满足y1＜y2．24．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．【详解】（1）在⊙O中，∵»»AB AC=，∴AB AC=，∴B ACB∠=∠．∵AE∥BC，∴EAC ACB∠=∠，∴B EAC∠=∠．又∵BD AE=，∴ABD∆≌CAE∆，∴AD CE=；（2）联结AO并延长，交边BC于点H，∵»»AB AC =，OA 是半径，∴AH BC ⊥，∴BH CH =．∵AD AG =，∴DH HG =，∴BH DH CH GH -=-，即BD CG =．∵BD AE =，∴CG AE =．又∵CG ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形．25．（1）2y x 2x 3=-++，D （1，4）；（2）2，P （﹣3，0）；（3）t 的取值是32≤t ＜3或t=72或t≤﹣3．【解析】试题分析：（1）先利用对称轴公式x=2b a -计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC ﹣PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数22y a x a x c =-+（x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（﹣3，0），即点P 与点（﹣3，0）重合时，线段PQ 与当函数22y a x a x c =-+（x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤﹣3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．（1）∵22y ax ax c =-+的对称轴为：x=1，∴抛物线过（1，4）和（72，94-）两点，代入解析式得：24499744a a c a a c -+=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：a=﹣1，c=3，∴二次函数的解析式为：2y x 2x 3=-++，∴顶点D 的坐标为（1，4）；（2）∵C 、D 两点的坐标为（0，3）、（1，4）；由三角形两边之差小于第三边可知：|PC ﹣PD|≤|CD|，∴P 、C 、D 三点共线时|PC ﹣PD|取得最大值，此时最大值为，由于CD 所在的直线解析式为y=x+3，将P （t ，0）代入得t=﹣3，∴此时对应的点P 为（﹣3，0）；（3）22y a x a x c =-+的解析式可化为：2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩设线段PQ 所在的直线解析式为y=kx+b ，将P （t ，0），Q （0，2t ）代入得：线段PQ 所在的直线解析式：y=﹣2x+2t ，分三种情况讨论：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩有一个公共点，此时t=32，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ 与2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩有两个公共点，所以当32≤t ＜3时，线段PQ 与2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩有一个公共点；②将y=﹣2x+2t 代入2y x 2x 3=-++（x≥0）得：22322x x x t -++=-+，24320x x t -++-=，令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t ）=0，t=72＞0，所以当t=72时，线段PQ 与2223(0)23(0)x x x y x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩也有一个公共点；③当线段PQ 过点（﹣3，0），即点P 与点（﹣3，0）重合时，线段PQ 只与223y x x =--+（x＜0）有一个公共点，此时t=﹣3，所以当t≤﹣3时，线段PQ与2223(0)23(0)x x xyx x x⎧-++≥=⎨--+<⎩也有一个公共点，综上所述，t的取值是32≤t＜3或t=72或t≤﹣3．点睛：本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．26．解：（1）AF与圆O的相切．理由为：如图，连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC．∴∠OCP=90°．∵OF∥BC，∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB．∵OC=OB，∴∠OCB=∠B．∴∠AOF=∠COF．∵在△AOF和△COF中，OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，∴△AOF≌△COF（SAS）．∴∠OAF=∠OCF=90°．∴AF 为圆O 的切线，即AF 与⊙O 的位置关系是相切．（2）∵△AOF ≌△COF ，∴∠AOF=∠COF ．∵OA=OC ，∴E 为AC 中点，即AE=CE=12AC ，OE ⊥AC ．∵OA ⊥AF ，∴在Rt △AOF 中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5．∵S △AOF =12•OA•AF=12•OF•AE ，∴AE=245．∴AC=2AE=．【详解】试题分析：（1）连接OC ，先证出∠3=∠2，由SAS 证明△OAF ≌△OCF ，得对应角相等∠OAF=∠OCF ，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出OF ，再由三角形的面积求出AE ，根据垂径定理得出AC=2AE ．试题解析：（1）连接OC，如图所示：∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA=90°，∵OF ∥BC ，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF ⊥AC ，∵OC=OA ，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF 和△OCF 中，{32OA OCOF OF=∠=∠=，∴△OAF ≌△OCF （SAS ），∴∠OAF=∠OCF ，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴=∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面积=12AF•OA=12OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE=12 5，∴AC=2AE=24 5．考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质．。
人教版九年级上册数学期末考试试卷含答案
人教版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．以下关于垃圾分类的图标中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 与DEF 位似图形，原点O 是它们的位似中心．且3OF OC =，则ABC 与DEF 的面积之比是（）A ．1：2B ．1：4C ．1：3D ．1：93．已知圆锥的高为12，底面圆的半径为5，则该圆锥的侧面展开图的面积为（）A ．65πB ．60πC ．75πD ．70π4．男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，设该小组有x 支球队，则可列方程为（）A ．()16x x -=B ．()16x x +=C ．()1162x x -=D ．()1162x x +=5．如图，在边长为2的等边ABC 中，D 是BC 边上的中点，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与AB ，AC 分别交于E ，F 两点，则图中阴影部分的面积为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π36．圆的直径是13cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切7．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝70°，∠B ＝30°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 逆时针旋转40°到△A′B′C′的位置，则∠CC′B′＝（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°8．若关于x 的一元二次方程()22120m x x m m +-+--=有一根为0，则m 的值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1或2-9．已知两点()()126,,2,A y B y -均在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，若12y y >，则抛物线的顶点横坐标m 的值可以是（）A ．6-B ．5-C ．2-D ．1-10．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，P 是AB 边上一动点，PD AC ⊥于点D ，点E 在P 的右侧，且1PE =，连接CE ，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积12S S +的大小变化的情况是（）A ．一直减小B ．一直增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大二、填空题11．坐标平面内的点P(m ，﹣2)与点Q(3，n)关于原点对称，则m ＋n ＝__．12．已知，1x ，2x 是方程232x x -=的两根，则12x x ⋅的值为______．13．已知正三角形ABC ，则正三角形的边长为______cm．14．如图，PA 、PB 是O 的切线，其中A 、B 为切点，点C 在O 上，52ACB ∠=︒，则APB ∠=______︒．15．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一动点，将AC 绕点A 逆时针旋转120︒得AD ，若2AB =，则BD 的最大值为__．16．如图，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A′B′C ，其中点A′与A 是对应点，点B′与B 是对应点，点A′落在直线BC 上，连接AB′，若∠ACB ＝45°，AC ＝3，BC ＝2，则AB′的长为_____．17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数1y x =上，顶点B 在反比例函数4y x=上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是_____．18．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0b >；②0a b c -+=；③一元二次方程200(1)ax bx c a +++=≠有两个不相等的实数根；④当1x <-或3x >时，0y >．上述结论中正确的是__________．（填上所有正确结论的序号）三、解答题19．解方程：2670x x --=20．如图，已知ABO ，点A 、B 坐标分别为()2,4、()2,1．(1)把ABO 绕着原点O 顺时针旋转90︒得11A B O ，画出旋转后的11A B O ；(2)在（1）的条件下，点B 旋转到点1B 经过的路径的长为______．（结果保留π）21．如图，AC 平分∠BAD ，∠B ＝∠ACD ．（1）求证：△ABC ∽△ACD ；（2）若AB ＝2，AC ＝3，求AD 的长．22．如图，抛物线2y x mx =-+的对称轴为直线2x =(1)求抛物线解析式；(2)若关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在13x <<的范围内有解，则t 的取值范围是______．23．脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在2020年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m ，另外三面用27m 长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m 宽的门（不包括建筑材料）．(1)所围矩形猪舍的AB 边为多少时，猪舍面积为290m ？(2)所围矩形猪舍的AB 边为多少时（AB 为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？24．如图，四边形ABCD 内接于O ，4OC =，42AC =(1)求点O 到AC 的距离；(2)求出弦AC 所对的圆周角的度数．25．如图，反比例函数2m y x=和一次函数y=kx-1的图象相交于A （m ，2m ），B 两点．（1）求一次函数的表达式；（2）求出点B 的坐标，并根据图象直接写出满足不等式21m kx x<-的x 的取值范围．26．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，线段BC 上有一点P ．（1）当点P 在什么位置时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由．（2）在（1）的条件下，当BP ＝2，AD ＝3时，求⊙O 半径．27．已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于点()30A -，，()10B ，，与y 轴交于点C ，对称轴DE 与x 轴交于点D ，顶点为E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为对称轴右侧且位于x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点E 不重合），PQ AE ⊥于点Q ，当PQE V 与ADE 相似时，求点P 的坐标；（3）对称轴DE 上是否存在一点M 使得2ACB AMD ∠=∠，若存在求出点M 的坐标，若不存在请说明理由．参考答案1．C【分析】根据中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形，理解概念是解答的关键．2．D【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，进而得到△OAB与△ODE相似，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴13 AB OADE OD==，∴221139 ABCDEFS ABS DE⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D．【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关键．3．A【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】∵圆锥的高为12，底面圆的半径为5，＝13，∴圆锥的侧面展开图的面积为：π×13×5＝65π，故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的面积问题，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．4．C【分析】设该小组有x 支球队，则每个队参加(1)x -场比赛，则共有1(1)2x x -场比赛，从而可以列出一个一元二次方程．【详解】解：设该小组有x 支球队，则共有1(1)2x x -场比赛，由题意得：1(1)62x x -=，故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，关要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有n 支球队参加，那么就有1(1)2n n -场比赛，此类虽然不难求出x 的值，但要注意舍去不合题意的解．5．C【分析】由等边ABC 中，D 是BC 边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．【详解】ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的中点AD BC ∴⊥，60A ∠=︒AD ∴===S 扇形AEF226060(3)3603602r πππ⨯===故选C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练等边三角形性质和扇形面积公式,求出等边三角形的高是解题的关键．6．D【分析】比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可.【详解】圆的直径是13cm ，故半径为6.5cm.圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么圆心到直线的距离可能等于6.5cm 也可能小于6.5cm ，因此直线与圆相切或相交.故选D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，需注意圆的半径为6.5cm ，那么圆心与直线上某一点的距离是6.5cm 是指圆心到直线的距离可能等于6.5cm 也可能小于6.5cm.7．A【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角进行解答．【详解】解：∵在△ABC 中，∠CAB ＝70°，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转40°得到△AB′C′，∴∠CAC′＝40°，∠AC′B′＝∠ACB ＝80°，AC ＝AC′，∴∠AC′C ＝12（180°﹣40°）＝70°，∴∠CC′B′＝∠AC′B′﹣∠AC′C ＝10°，故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质，以及三角形的内角和是解题的关键8．A【分析】根据一元二次方程和根的定义，可得10m +≠，将0x =代入求解m 即可．【详解】解：由题意可得，10m +≠，解得1m ≠-将0x =代入得：220m m --=解得2m =或1m =-（舍去）故选A【点睛】此题考查了一元二次方程的定义和根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义和根的定义，易错点为容易忽略二次项系数不为0．9．D【分析】根据题意假设点A 、B 是抛物线()20y ax bx c a =++>上的两个对称点，则此时该抛物线的对称轴为直线6222x -+==-，然后由12y y >，开口向上离对称轴越近y 的值越小，进而问题可求解．【详解】解：∵点()()126,,2,A y B y -均在抛物线()20y ax bx c a =++>上，∴假设点A 、B 是抛物线()20y ax bx c a =++>上的两个对称点，∴此时该抛物线的对称轴为直线6222x -+==-，∵12y y >，开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，则y 的值越小，∴该抛物线的顶点横坐标2m >-，所以选项中符合题意的只有D 选项；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．D【分析】设PD=x ，AB 边上的高为h ，想办法求出AD 、h ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒ ，4AC =，3BC =，5AB ∴===，设PD x =，AB 边上的高为h ，125AC BC h AB == ，//PD BC ，ADP ACB ∆∆∽∴，∴PD AD BC AC=，43AD x ∴=，53PA x =22121415122242333(4)2()23235353210S S x x x x x x ∴+=+-=-+=-+ ∴当302x <<时，12S S +的值随x 的增大而减小，当14x时，12S S +的值随x 的增大而增大．故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题．11．1-【分析】利用关于原点对称点的性质得出m ，n 的值进而得出答案.【详解】解：∵点P(m ，-2)与点Q(3，n)关于原点对称，∴m ＝﹣3，n ＝2，∴m ＋n ＝﹣3＋2＝﹣1.故答案为：﹣1.【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．12．-2【分析】先将方程化为一般形式，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵232x x -=∴2320x x --=∵1x ，2x 是方程232x x -=的两根，∴12=2x x ⋅-故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程极好与系数的关系是解答本题的关键．13．6【分析】直接利用正三角形的性质得出，再由勾股定理求出BD 的长即可解决问题．【详解】解：如图所示：连接BO ，由题意可得，OD ⊥BC ，，∠OBD=30°，故．BC=2BD由勾股定理得，3BD ===∴6cmBC =故答案为：6．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正三角形的性质是解题关键．14．76【分析】连接OA 、OB ，根据圆周角定理求得∠AOB ，由切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再由四边形的内角和等于360°，即可得出答案【详解】解：连接OA 、OB ，52ACB ∠=︒，∴∠AOB=104°∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线，点A 、B 为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°∵∠APB+∠OAP+∠AOB+∠OBP=360°∴∠APB=180°-(∠OAP+∠AOB+∠OBP)=76°故答案为：76151【分析】将ABD △绕点A 顺时针旋转120︒，则D 与C 重合，'B 是定点，BD 的最大值即'B C 的最大值，根据圆的性质，可知：'B O C 、、三点共线时，BD 最大，根据勾股定理可得结论．【详解】解：如图，将ABD △绕点A 顺时针旋转120︒，则D 与C 重合，'B 是定点，BD 的最大值即'B C 的最大值，即'B O C 、、三点共线时，BD 最大，过'B 作'B E AB ⊥于点E ，由题意得：'2,'120AB AB BAB ==∠=︒，∴'60EAB ∠=︒，'Rt AEB △中，'30AB E ∠=︒，∴1'1,'2AE AB EB ==，由勾股定理得：'OB =，∴''1B C OB OC =+=．1．16【分析】证明90ACB ∠'=︒，利用勾股定理求出AB '即可．【详解】解：如图，由旋转的性质可知，2CB CB ='=，45ABC BCB ∠=∠'=︒，90ACB ∴'=︒，AB ∴'===17．3【分析】过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，延长BA 交y 轴于点G ，结合反比例系数k 的几何意义表达出矩形OFAG 和矩形OEBG 的面积，再结合平行四边形的性质求出平行四边形OABC 的面积．【详解】解：如图，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，延长BA 交y 轴于点G ，则四边形OFAG 和四边形OEBG 是矩形，∵点A 在反比例函数y ＝1x 上，点B 在反比例函数y ＝4x上，∴S 矩形OFAG ＝1，S 矩形OEBG ＝4，∴S ▱OABC ＝S 矩形ABEF ＝S 矩形OEBG ﹣S 矩形OFAG ＝4﹣1＝3．故答案为：3．18．②③④．【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图可知，对称轴1x =，与x 轴的一个交点为()3,0，∴2b a =-，与x 轴另一个交点()1,0-，①∵0a >，∴0b <；∴①错误；②当1x =-时，0y =，∴0a b c -+=；②正确；③一元二次方程210ax bx c +++=可以看作函数2y ax bx c =++与1y =-的交点，由图象可知函数2y ax bx c =++与1y =-有两个不同的交点，∴一元二次方程200(1)ax bx c a +++=≠有两个不相等的实数根；∴③正确；④由图象可知，0y >时，1x <-或3x >∴④正确；故答案为②③④．19．x 1=7，x 2=1-【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．【详解】解：原方程可化为：（x-7）（x+1）=0，x-7=0或x+1=0；解得：x 1=7，x 2=1-．20．(1)见解析2【分析】（1）分别作出A ，B 的对应点1A ，1B 即可．（2）利用弧长公式计算即可．(1)如图，△11A B O即为所求作．(2)∵OB=∴点B旋转到点1B经过的路径的长==．．21．（1）证明见解析；（2）92．【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠BAC=∠CAD，再根据题意∠B=∠ACD，即可证明△ABC∽△ACD．（2）利用三角形相似的性质，可知AC ADAB AC=，再根据题意AB和AC的长，即可求出AD．【详解】（1）∵AC分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△ACD．（2）∵△ABC∽△ACD，∴AC AD AB AC=，∵AB=2，AC=3，∴AD=92．22．(1)y=-x 2+4x(2)3<t≤4【分析】（1）先利用抛物线的对称轴方程求出即可得到抛物线解析式为y=-x 2+4x ；（2）配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x=1或3时，y=3，结合函数图象，利用抛物线y=-x 2+4x 与直线y=t 在1<x<3的范围内有公共点可确定t 的范围．(1)∵抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2，∴22(1)m -=⨯-，解得m=4，∴抛物线解析式为y=-x 2+4x ，(2)∵y=-x 2+4x=2(2)4x --+，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），当x=1时，y=-x 2+4x=3；当x=3时，y=-x 2+4x=3，∵关于x 的一元二次方程-x 2+mx-t=0（t 为实数）在1<x<3的范围内有解，∴抛物线y=-x 2+4x 与直线y=t 在1<x<3的范围内有公共点，如图，∴3<t≤4．故答案为：3<t≤4【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．23．(1)9m(2)AB 为8m 时，面积最大，最大面积是296m ．【分析】（1）设m AB x =，则()2721m AD x =-+，根据题意列式即可；（2）设m AB x =，所围矩形猪圈的面积为2m y ，列出二次函数解析式，根据二次函数性质和猪舍的AB 边的取值范围即可得出结论．(1)解：（1）设m AB x =，则()2721m AD x =-+．根据题意可得：()272190x x -+=，解得：15=x ，29x =．当5x =时，27211813x -+=>，不符合题意，舍去；当9x =时，27211013x -+=<，符合题意．答：AB 为9m 时，猪舍的面积为290m ．(2)（2）设m AB x =，所围矩形猪圈的面积为2m y ．()()2227212282798y x x x x x =-+=-+=--+028213x <-≤ ，7.514x ∴≤<．∵()22798y x =--+，图像开口向下，在对称轴7x =的右侧随x 增大而减小，∴当AB 为整数时，8x =，272112x -+=时，96y =最大值．答：AB 为8m 时，面积最大，最大面积是296m ．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式和一元二次方程是解题的关键．24．(1)(2)∠B =45°，∠D=135°．【分析】（1）连接OA ，作OH ⊥AC 于H ，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC=90°，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出∠B ，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．(1)连接OA ，作OH ⊥AC 于H ，∵4OA OC ==，AC =∴22224432OA OC +=+=，232AC ==，∴OA 2+OC 2=AC 2，∴△AOC 为等腰直角三角形，90,AOC ∠=︒又∵OH AC ⊥，∴AH CH =，∴OH=12AC=O 到AC 的距离为(2)90,AOC Ð=°Q ∴∠B=12∠AOC=45°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D=180°-45°=135°．综上所述：弦AC 所对的圆周角∠B =45°，∠D=135°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解本题的关键．25．（1）y=3x-1；（2）203x -<<或x ＞1．【分析】（1）把A （m ，2m ）代入2m y x =，求得A 的坐标为（1，2），然后代入一次函数y=kx-1中即可得出其解析式；（2）联立方程求得交点B 的坐标，然后根据函数图象即可得出结论．【详解】（1）∵A(m ，2m)在反比例函数图象上，∴22m m m=，∴m=1，∴A(1，2)．又∵A(1，2)在一次函数y=kx-1的图象上，∴2=k-1，即k=3，∴一次函数的表达式为：y=3x-1．（2）由231y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得B(23-，-3)∴由图象知满足21m kx x<-的x 取值范围为203x -<<或x ＞1．【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．26．（1）补图见解析；理由见解析；（2）2．【分析】（1）根据题意补全图形如图所示，情况一：点P 在过点D 与OD 垂直的直线与BC 的交点处，根据切线的定义即可得到结论；情况二：如图，当点P 是BC 的中点时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，连接CD ，OD ，根据圆周角定理得到∠ADC=∠BDC=90°，根据直角三角形的性质得到DP=CP ，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由题意可知在Rt △BCD 中，根据直角三角形的性质得到BC=2BP ，求得，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）补全图形如图所示，情况一：点P 在过点D 与OD 垂直的直线与BC 的交点处，理由：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；情况二：如图，当点P 是BC 的中点时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，证明：连接CD ，OD ，如上图，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∵点P 是BC 的中点，∴DP ＝CP ，∴∠PDC ＝∠PCD ，∵∠ACB ＝90°，∴∠PCD+∠DCO ＝90°，∵OD ＝OC ，∴∠DCO ＝∠ODC ，∴∠PDC+∠ODC ＝90°，∴∠ODP ＝90°，∴DP ⊥OD ，∴直线DP 与⊙O 相切；（2）在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝90°，P 是BC 的中点，∴BC ＝2BP ，∵BP ＝2，∴BC ，∵∠ACB ＝∠BDC ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△CDB ，∴AB BC BC BD=，∴2BC AB BD = ，设AB ＝x ，∵AD ＝3，∴BD ＝x ﹣3，∴x （x ﹣3）2，∴x ＝5（负值舍去），∴AB ＝5，∵∠BDC ＝90°，∴AC∴OC ＝12AC即⊙O27．（1）223y x x =--+；（2）12039P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（3）存在，点M 的坐标为()11M -，或()11--，【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由P 的位置分析得只能是PEQ EAD △△∽，得QEP EAD ∠=∠．延长EP 交x 轴于F ，则AF EF =，设()0F m ，，由两点间距离公式可列方程得到F 点的坐标，用待定系数法求直线EF 的解析式，于抛物线联立即可求得P 点坐标；（3）当点M 在x 轴上方时，连接MA ，MB ，由抛物线的对称性可知MA=MB ，则2=AMB AMD ACB ∠=∠∠，利用圆中同弧所对圆周角相等的性质得圆心O '在对称轴上，设O '的坐标为()1,m -，根据AO CO BO MO ''''===，可列方程求得O '的坐标，从而求得M 的坐标，最后由轴对称性质可知另一点M '的坐标．【详解】解：（1）把()30A -，，()10B ，，点坐标分别代入抛物线解析式，得：933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：1a =-，2b =-∴抛物线的解析式：223y x x =--+（2）如图，只能是PEQ EAD △△∽，得QEP EAD ∠=∠．延长EP 交x 轴于F ，∴AF EF =，∴22AF EF =设()0F m ，，则()()222341m m +=++∴2m =，即()20F ，．设直线EF 的解析式为11y k x b =+，则1111420k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解之得114383k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线EF 的解析式4833y x =-+．联立2483323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--+⎩，解得13209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或14x y =-⎧⎨=⎩（舍去）∴12039P ⎛⎫⎪⎝⎭，．（3）如图2，当点M 在x 轴上方时，连接MA ，MB ，设O '的坐标为()1,m -，若AO CO BO MO ''''===，则点A ，B ，C ，M 四点在以O '为圆心的圆上∴ACB AMB∠=∠∵DE 是抛物线的对称轴，∴AMD BMD ∠=∠，∴2AMB AMD ∠=∠，∴2ACB AMD ∠=∠，∵()30A -，，()03C ，，AO CO ''=，∴AO '=CO '=∴()22413m m +=+-，∴1m =，∴()11O '-，，CO AO ''=∴1MD =，∴()11M -+，当点M 在x 轴下方时，由对称知，()11M --，，即：点M 的坐标为()11M -+，或()11-，．。
人教版九年级数学上册期末考试卷(附含参考答案)
人教版九年级数学上册期末考试卷(附含参考答案）（考试时长：100分钟；总分：120分）学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列事件是必然事件的是（ ）A ．某人体温是100℃B ．三角形的内角和等于180度C ．购买一张彩票中奖D ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯2．下列现象是平移的是（ ）A ．钟摆的运动B ．方向盘的转动C ．汽车车轮的运动D ．电梯的升降3．二次函数265y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ） A ．只有一个交点 B ．有两个交点 C ．没有交点 D ．无法确定4．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为（ ）A ．1(1)3802x x -=B ．(1)380x x -=C ．1(1)3802x x += D ．(1)380x x +=5．一元二次方程27x x =的解是（ ）A ．=7xB ．21 3.5x x ==C ．1=0x ，27x =D ．1=0x 和27x =-6．已知⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，P 为⊙O 上除C 、D外任意一点，则∠CPD 的度数为（ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°7．如图，在⊙O 中，AB 为弦，OD⊥AB 于D ，∠BOD＝53°，过A 作⊙O 的切线交OD 延长线于C ，则∠C＝（ ）A．27°B．30°C．37°D．53°8．5个红球、4个白球放入一个不透明的盒子里，从中摸出6个球，恰好红球与白球都摸到，这件事情属（）A．不可能发生B．可能发生C．很可能发生D．必然发生9．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是80m；②小球运动的时间为6s；③小球抛出3s时，速度为0；④当 4.5st 时，小球的高度h是30m，其中正确的是（）A．②③B．①②③④C．①②④D．①③④11．如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点逆时针旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转的角度可能是( )A．45°B．60°C．90°D．180°12．如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M 是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（）A ．1+3πB ．1+6π C ．2sin20°+29π D ．23π 二、填空题 13．国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的100元降至81元，那么平均每次降价的百分率是 ．14．在平面直角坐标系中，点()7,3关于原点对称的点的坐标是 ．15．若方程2490x -=，则x=16．抛物线y ＝（x ﹣1）2＋3的顶点坐标为 ．17．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如右图所示，对称轴为直线1x =，则使0y >的x 的取值范围是 ．18．如右图，Rt△ABC 中，∠B =90°，AC =10cm ，BC =8cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AB向终点B 移动；点Q 以2cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ，若经x 秒后P ，Q 两点之间的距离为42 ，那么x 的值为 ．19．如图，ABC 的内切圆O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F 且8AB =，BC=17，CA=15，则阴影部分的面积为 ．20．已知抛物线()2210y ax ax a a =-++≠过点(),2A m ，(),2B n 两点，若线段AB 的长不大于2，则代数式23a a --的最小值是 ．21．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转70°，得到ADE ，若点B 的对应点D 在线段BC 的延长线上，则BDE ∠的度数为 °（19题图） （21题图）22．在平面直角坐标系中，已知点()4,0A ，()0,4B -和BC x ∥轴，点D 在直线BC 上1BD =，点P 是y 轴上一动点，若AP DP ⊥，则点P 的坐标是 ．三、解答题23．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读面成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定．每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止．时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据．转动转盘的次数n 100 200 400500 1000 落在《红星照耀中国》区域的次数m 4492 182 225 450 落在《红星照耀中国》区域的频率m n0.44 0.46 0.455 0.45 0.45（1）如图，自由转动转盘，计算转盘停止后，指针落在《海底两万里》区域的概率；（2）根据上表，如果转动转盘1500次，则指针落在《红星照耀中国》区域大约有多少次？24．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需化简）：时间第一个月第二个月清仓时单价（元）80 40销售量（件）200（2）如果销售这批T恤获得的利润用W元表示，求W与x之间的函数关系式；（3）如果批发商希望销售这批T恤的利润不低于8000元，那么第二个月的降价幅度应在什么范围内？25．某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生有__________人；（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．26．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2015年交易额为40万元，2017年交易额为48.4万元，求2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率？27．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？28．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD，AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=3，求AC的长；4（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．29．已知：关于x的方程()21230-++-=x m x m（1）求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根（2）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一根答案： 1．B 2．D3．B 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．B 11．C 12．A 13．10%14．()7,3--15．32±16．（1，3）17．13x -<<18．2或2519．920．3-21．11022．()0,222-+或()0,222--或()0,2-23．（1）14；（2）675次 24．（1）80﹣x ，200+10x ，800﹣200﹣（200+10x ）；（2）W=﹣10x 2+200x+8000；（3）第二个月的降价幅度为：0≤x≤20．25．（1）60；（2）144°；（3）2326．2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率为10%．27．这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．28．（1）（2）203AC =；（3）7534 29．（1）（2）m=3，另一根为3；。
人教版九年级数学上册期末综合测试题(含答案)
12．
13．
14．
15．20
16．（1）解： ，
，
，
，
，
∴ ， ；
（2）解： ，
，
，
或 ，
∴ ， ；
（3）解： ，
化简整，得 ，
，
或 ，
∴ ， ．
17．（1）解：∵参与 活动的人数为36人，占总人数 ，
∴总人数 人，
则参与 活动的人数为： （人）；
补全统计图如下：
（2）解：扇形 的圆心角为： ，
A．18°B．28°C．37°D．58°
10．如图，某公司准备在一个等腰直角三角形 的绿地上建造一个矩形的休闲书吧 ，其中点P在 上点N，M分别在 ， 上，记 ， ，图中阴影部分的面积为S，若 在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）
A．一次函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系
（3）解： 与 相交于 点，如图3，
，
为 的直径，
四边形 是 的神奇四边形，
，
， ， ，
， ，
在 中， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得 ，
即 ，
在 中， ，
，
，
．
23．（1）பைடு நூலகம்明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴弦 平分圆周角 ，
∴圆中存在“爪形 ”；
（2）延长 至点E，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
根据以上信息，解答下列问题：
(1)参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图①；
(2)图②中扇形C的圆心角度数为______度；
(3)若参加成果展示活动的学生共有3600人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
人教版九年级上册数学期末考试试题带答案
人教版九年级上册数学期末考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于F ，连结BC ，DB ，则下列结论错误的是（）A ．弧AD=弧BDB ．AF=BFC ．OF=CFD ．∠DBC=90°3．圆内接四边形ABCD ，∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为3∶4∶6，则∠D 的度数为A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°4．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）A ．0132=+-x x B ．012=+x C ．0122=+-x x D ．0322=++x x 5．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是（）A ．B ．C ．D ．6．已知一元二次方程062=+-m x x 有一个根为2，则另一根为（）A ．2B ．3C ．4D ．87．下列命题：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②掷一枚有正反面的均匀硬币，正面和反面朝上的概率都是0.5；③相等的圆心角所对的弧相等；④某种彩票的中奖率为101，佳佳买10张彩票一定能中奖．其中，正确的命题是()A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④8．将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为()A．y＝3(x－2)2－1B．y＝3(x－2)2＋1C．y＝3(x＋2)2－1D．y＝3(x＋2)2＋19．若关于x的方程（a+1）x2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠﹣1B．a＞1C．a＜1D．a≠010．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°二、填空题11．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称点P′的坐标是．12．已知x=－1是关于x的方程2+-=的一个根，则a=____．x ax25013．如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在圆周上（与点A、B不重合），则∠ACB的度数为．14．小明第一次抛一枚质地均匀的硬币时，正面向上，他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是15．如图所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为__．16．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是_____．三、解答题17．解方程：．18．解方程19．如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm求：⊙O 的半径．20．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°（1）画出旋转之后的△AB′C′；（2）求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．21．在一个口袋中有5个小球，其中有两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到小球的条件下，从袋中随机地取出一个小球．（1）求取出的小球是红球的概率；（2）把这5个小球中的两个都标号为1，其余分布标号为2、3、4，随机地取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球.利用树状图或列表的方法，求第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率.22．某商场今年二月份的营业额为400万元，三月份由于经营不善，其营业额比二月份下降10%．后来通过加强管理，五月份的营业额达到518.4万元．求三月份到五月份营业额的月平均增长率．23．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于M（2，m）和N（－1，－4）两点．(1)、求这两个函数的解析式；(2)、求△MON的面积；(3)、根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．24．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，，求⊙O的半径r．25．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO90AOB∠=，点A的坐标为(－3，1).(1)、求点B的坐标；(2)、求过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3)、设点P为抛物线上到X轴的距离为1的点，点B关于抛物线的对称轴l的对称点为1B，的面积．求点P的坐标和1B PB参考答案1．B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选B．【点睛】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．C【解析】试题分析：本题根据垂径定理可得：弧AD=弧BD，AF=BF，根据直径所对的圆周角为直角可得∠DBC=90°.考点：垂径定理3．C【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质列式计算即可.【详解】解：根据圆内接四边形的性质可得：∠A+∠C=∠B+∠D=180°，设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=6x，则3x+6x=180°，解得：x=20°，则∠B=80°，∠D=180°－80°=100°.故选：C考点：圆内接四边形的性质.4．A【解析】试题分析：A、△=9－4=5＞0，有两个不相等的实数根；B、△=0－4=－4＜0，无实数解；C、△=4－4=0，有两个相等的实数根；D、△=4－12=－8＜0，无实数解.考点：根的判别式.5．C【解析】试题分析：在十张数字卡片中，恰好能被4整除的有4，8，共2个，故随机抽取一张恰好能被4整除的概率是210=15.故选C.考点:概率公式.6．C【解析】试题分析：根据韦达定理可得两根之和=－ba，即2+另一个根=6，则另一个根为4.考点：韦达定理的应用.7．A【解析】试题分析：①②正确，③缺少前提条件，即同圆或等圆中；④可能性问题，对于买任意x 张，都是有可能中奖.考点：概率的性质、圆的基本性质.8．C【解析】试题分析：函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则就可以进行计算.考点：二次函数图象的平移法则.9．A【分析】根据一元二次方程的定义可知a的取值范围.【详解】解：由题意可知：a+1≠0，∴a≠﹣1故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，本题属于基础题型，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义．10．B【分析】通过圆周角定理计算即可；【详解】解：∵OA＝OB，∠OBA＝50°，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°×2＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，准确计算是解题的关键．11．(－2，3)【解析】试题分析：若两点关于原点对称，则两点的横做坐标分别互为相反数.考点：原点对称的性质.12．－3【详解】试题分析：将x=－1代入方程，列出关于a的一元一次方程，然后进行求解.将x=－1代入得：2－a－5=0，解得：a=－3.考点：解一元一次方程.13．45°或135°【解析】试题分析：当点C在优弧上时，∠ACB=90°÷2=45°，当点C在劣弧上时，∠ACB=(360－90°)÷2=135°.考点：圆周角的计算.14．1 2【解析】试题分析：对于抛硬币的问题，无论前面的情况是什么，每次正面向上的概率都是1 2.考点：概率的计算.15．y=（x＞0）【解析】设该反比例函数的解析式是y=（x＞0）．∵点A（1，3）在此曲线上，∴3=k，即k=3，∴该反比例函数的解析式为y=（x＞0）．故答案为y=（x ＞0）．16．x 1＝﹣3，x 2＝1【分析】根据二次函数的对称性即可求出抛物线与x 轴的另一个交点横坐标，即求出方程ax 2+bx +c ＝0的另一个根.【详解】∵由图可知，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为直线x =-1，∴设抛物线与x 轴的另一交点为（x ，0），则312x-+=-，解得x =1，∴方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-3，x 2=1．【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），其对称轴是直线：2bx a=-；若抛物线与x 轴的两个交点是A (x 1，0)，B (x 2，0)，则抛物线的对称轴是：122x x x +=.17．1x =2x =【详解】试题分析：利用公式法进行求解.试题解析：a="1"b=1c=－1则△=2b －4ac=1+4=5则∴112x -=；212x -=.考点：解一元二次方程.18．1x =－1；2x =3.【详解】试题分析：利用提取公因式法进行解方程.试题解析：x(x+1)－3(x+1)=0(x+1)(x －3)=0解得：1x =－1；2x =3.考点：解一元二次方程.19．5cm 【解析】试题分析：首先连接OA ，根据垂径定理可得CD ⊥AB ，AE=4，根据勾股定理求出OA 的长度.试题解析：连结OA ，CD 为直径，且CD 平分AB 于E ，∴CD ⊥AB ，AE=12AB=4cm在Rt △OAE 中,5OA cm ==∴⊙O 的半径为5cm ．考点：垂径定理的应用.20．.（1）见解析（2）π【分析】（1）根据网格结构找出点B 、C 旋转后的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可.（2）先求出AC 的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解.【详解】解：（1）△AB′C′如图所示：（2）由图可知，AC=2，∴线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积2902360ππ⋅⋅==.21．(1)、35；(2)、920.【解析】试题分析：（1）由在一个口袋中有5个球，其中2个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的情况，再利用概率公式即可求得答案．试题解析：（1）∵在一个口袋中有5个球，其中2个是白球，其余为红球，∴取出一个球是红的概率为：5−25=35；（2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的有9种情况，∴第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率为:．考点:1.列表法与树状图法；2.概率公式．22．20%【详解】试题分析：设三月份到五月份营业额的月平均增长率为x，则四月份的营业额400×（1-10%）（1+x），五月份的营业额为400×（1-10%）（1+x）2，列出方程求解即可．试题解析：设三月份到五月份营业额的月平均增长率为x，根据题意得，400×（1-10%）（1+x）2=518.4，解得，x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意,舍去）．答：三月份到五月份营业额的月平均增长率为20%．考点:一元二次方程的应用.23．(1)y=4x；y=2x－2；(2)3；(3)x＜－1或0＜x＜2【分析】(1)首先根据点N的坐标求出反比例函数解析式，然后将点M的坐标代入反比例函数解析式求出点M的坐标，最后将点M和点N的坐标代入一次函数解析式求出解析式；(2)首先求出点A的坐标，然后利用△MOA和△NOA的面积和求出△MON的面积；(3)根据图象进行回答.【详解】（1）由已知，得－4＝，k＝4，∴y＝．又∵图象过M（2，m）点，∴m＝2，∵y＝ax＋b图象经过M、N两点，∴解之得∴y＝2x－2．（2）如图，对于y＝2x－2，y＝0时，x＝1，∴A（1，0），OA＝1，＝S△MOA＋S△NOA＝OA·MC＋OA·ND＝×1×2＋×1×4＝3．∴S△MON（3）由图象可知，当x＜－1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．∴x＜－1或0＜x＜224．（1）见解析；（2）⊙O的半径r为6.【分析】（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可.（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r2+（8﹣r）2=2，求出即可.【详解】（1）连接OA、OD，∵D为弧BE的中点，∴OD⊥BC.∴∠DOF=90°.∴∠D+∠OFD=90°.∵AC=FC，OA=OD，∴∠CAF=∠CFA ，∠OAD=∠D.∵∠CFA=∠OFD ，∴∠OAD+∠CAF=90°.∴OA ⊥AC.∵OA 为半径，∴AC 是⊙O 切线.（2）∵⊙O 半径是r ，∴OD=r ，OF=8﹣r.在Rt △DOF 中，r 2+（8﹣r ）2=）2，解得r=2（舍去）或r=6，∴⊙O 的半径r 为6.25．(1)、B(1,3)；(2)、y=256x +136x ；(3)、1P (31)-，、2P 2(1)5，、3P (21)--，、1P 3(1)5--，234655或【详解】试题分析：(1)、分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，证明△ACO 和△BOD 全等从而求出点B 的坐标；(2)、利用待定系数法求出函数解析式；(3)、首先求出对称轴方程，然后根据对称的性质求出点1B 的坐标，设出点P 的坐标为(k ，1)和(k ，－1)，将P 点坐标代入函数解析式求出k 的值，然后计算三角形的面积.试题解析：(1)、作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ．则∠ACO=∠ODB=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°．又∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°∴∠OAC=∠BOD又∵AO=BO ∴△ACO ≌△ODB ∴OD=AC=1DB=OC=3∴点B 的坐标为(1,3).(2)、因为抛物线过原点，故可设所求抛物线的解析式为：2y ax bx =+．将(31)(13)A B -，，，两点代入，得3{93 1.a b a b ，+=-=解得．故所求抛物线的解析式为251366y x x =+．(3)、在抛物线251366y x x =+中，对称轴l 的方程是13210b x a =-=-．1B 是B 关于抛物线的对称轴l 的对称点，故1B 坐标1835⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴118231()=55B B =--由题意，设抛物线上到x 轴的距离为1的点为(,1)P k 或(,1)P k -，则2513166k k +=或2513166k k +=-即：251360k k +-=或251360k k ++=解得1234233,,2,.55k k k k =-==-=-即抛物线上到x 轴的距离为1的点为：1P (31)-，、2P 2(1)5，、3P (21)--，、1P 3(1)5--.在11B PB 中，底边1235B B =，高的长为2，故11B P B S 123232255=⨯⨯=,同理12235B P B S = ，1314465B P B B P B S S == 考点：二次函数的性质.。
人教版九年级上册数学期末考试试卷附答案
人教版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．函数y ＝x 2+x ﹣2的图象与y 轴的交点坐标是（）A ．（﹣2，0）B ．（1，0）C ．（0，﹣2）D ．（0，2）3．平面内有两点P ，O ，⊙O 的半径为5，若PO ＝4，则点P 与⊙O 的位置关系是（）A ．圆内B ．圆上C ．圆外D ．圆上或圆外4．下列函数中，y 是关于x 的反比例函数的是（）A ．y ＝﹣3x+6B ．y=x 2C ．y ＝25x D ．y ＝6x5．下列式子为一元二次方程的是（）A ．5x 2﹣1B ．4a 2＝81C ．14(2)25x x+=D ．（3x ﹣2）（x+1）＝8y ﹣36．下列各点中，关于原点对称的两个点是（）A ．（﹣5，0）与（0，5）B ．（0，2）与（2，0）C ．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）D ．（2，﹣1）与（﹣2，1）7．下列是对方程2x 2﹣x+1＝0实根情况的判断，正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是（）A ．AB=ADB ．BC=CDC ． AB AD=D ．∠BCA=∠DCA9．正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D （如图），则四边形ABCD 的面积为（）A．1B．32C．2D．5210．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（）A．85°B．75°C．70°D．55°11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝68°，则∠α的大小是（）A．68°B．20°C．28°D．22°12．如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为_____，积为_____．14．在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的1个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一球，取到红球的概率是_____．15．直线y＝x+2关于原点中心对称的直线的方程为_____．16．把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面朝下放在桌子上，从中随机抽取一张，则抽出的牌上的数小于5的概率为_____．17．在⊙O中，圆心角∠AOC＝120°，则⊙O内接四边形ABCD的内角∠ABC＝_____．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB 上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．三、解答题19．解方程：x2+1＝4﹣2x．20．如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）．21．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如表：x﹣10123y0■﹣4﹣30(1)直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标；(2)在给出的坐标系中画出该函数图象的草图．22．如图，AB、CD是⊙O的两条弦， AB＝ CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．23．一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出一个小球，分别求下列事件的概率：(1)两次取出的小球标号和为奇数；(2)两次取出的小球标号和为偶数．24．如图所示，已划A （﹣1，0），B （0，1），直线AB 与反比例函数y ＝mx（m≠0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂置于x 轴，垂足为D ，且OD ＝1．(1)当y ＝1时，求反比例函数y ＝mx 对应x 的值；(2)当1＜y ＜4时，求反比例函数y ＝mx对应x 的取值范围．25．如图，AB 、CD 是⊙O 中两条互相垂直的弦，垂足为点E ，且AE ＝CE ，点F 是BC 的中点，延长FE 交AD 于点G ，已知AE ＝1，BE ＝3，OE 2（1）求证：△AED ≌△CEB ；（2）求证：FG ⊥AD ；（3）若一条直线l 到圆心O 的距离d 5试判断直线l 是否是圆O 的切线，并说明理由．26．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．(1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；(2)证明△BCM与△ABC的面积相等；(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．27．如图，已知抛物线y＝38x2﹣34x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，顶点为B．(1)求出A、C、D三点的坐标；(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；(3)在对称轴上存在点Q，抛物线上是否存在点P，使得以A、Q、C、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选D ．2．C【详解】解：令x=0，y ＝x 2+x ﹣2=-2即函数y ＝x 2+x ﹣2的图象与y 轴的交点坐标是（0，-2）故选：C ．3．A【详解】 ⊙O 的半径为5，PO ＝4，∴点P 在⊙O 的内部故选A 4．D【详解】解：A 、36y x =-+是一次函数，不符合题意；B 、y=x 2，不符合题意；C 、25=y x 中，未知数的次数是2-次，不是反比例函数，不符合题意；D 、6y x=是反比例函数，符合题意．故选：D 5．B【详解】解：A 、不是方程，故本选项不符合题意；B 、是一元二次方程，故本选项符合题意；C 、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B 6．D【详解】解：A 、（﹣5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故A 错误；B 、（0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故B 错误；C 、（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）关于x 轴对称，故C 错误；D 、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D 正确；故选：D ．7．C【详解】∵根的判别式224(4210b ac =-=--⨯⨯= ，∴方程有两个相等的实数根．故选C ．8．B【详解】解：A 、∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴AB 与AD 不一定相等，故此选项不符合题意；B 、∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC ，∴BC=CD ，，故此选项符合题意；C 、∵∠ACB 与∠ACD 的大小关系不确定，∴ AB 与 AD 不一定相等，不符合题意；D 、∠BCA 与∠DCA 的大小关系不确定，不符合题意．故答案为：B ．9．C【详解】解：解方程组1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得：1111x y =⎧⎨=⎩，2211x y =-⎧⎨=-⎩，即：正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于两点的坐标分别为A （1，1），C （﹣1，﹣1），所以D 点的坐标为（﹣1，0），B 点的坐标为（1，0）因为，AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D 所以，△ABD 与△BCD 均是直角三角形则：S 四边形ABCD=12BD•AB+12BD•CD=12×2×1+12×2×1=2，即：四边形ABCD 的面积是2．故选：C ．10．D【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ABC ＝35°，∴∠CAB ＝55°，∴∠BDC ＝∠CAB ＝55°．故选：D ．11．D【详解】解：如图：∵∠1＝68°，∴∠2＝180°﹣∠1＝112°，∵将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，∴∠B ＝∠D'＝90°，∴∠3＝360°﹣∠2﹣∠B ﹣∠D'＝68°，∴∠α＝90°﹣∠3＝22°，故选：D ．12．D【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1，即b=-2a ，∵a-b+c ＞0∴a-b+c=a+2a+c=3a+c ＞0，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴244ac b a-=n ，∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n+1没有公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n+1无实数根，所以④正确．故选D 13．32【详解】解：方程x 2﹣3x+2＝01,3,2a b c ==-=12123,2b cx x x x a a+=-===故答案为：3，2．14．112【详解】解：P （红球）=112故答案为：11215．2y x =-【详解】解：令y=0，得x=-2，即直线与x 轴的交点为A(-2，0)，令x=0，得y=2，即直线与y 轴的交点为B （0，2），点A(-2，0)，B （0，2）关于原点对称的点为C （2，0），D （0，-2），设直线CD 的解析式：y kx b =+，代入C （2，0），D （0，-2）得202k b b +=⎧⎨=-⎩12k b =⎧∴⎨=-⎩2y x ∴=-直线y ＝x+2关于原点中心对称的直线的方程为2y x =-故答案为：2y x =-．16．413【详解】解：∵抽出的牌的点数小于5有1，2，3，4共4个，总的样本数目为13，∴从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是：413．故答案为：413．17．120°【详解】解：∵∠AOC ＝120°∴∠D=12∠AOC ＝60°∵⊙O 内接四边形ABCD ∴∠ABC ＝180°-∠D=120°．故答案是120°．18．【详解】连接CP 、CQ ；如图所示：∵PQ 是⊙C 的切线，∴CQ ⊥PQ ，∠CQP=90°，根据勾股定理得：PQ 2=CP 2﹣CQ 2，∴当PC ⊥AB 时，线段PQ 最短．∵在Rt △ACB 中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，∴CP=AC BC AB ⋅∴=PQ19．121,3x x ==-．【详解】解：原方程可化x 2+2x-3=0x 2+2x+1-1-3=02(1)4x +=12x ∴+=±121,3x x ∴==-．20．A'（-1，-3），B'（1，-1），C'（-2,0），画图见解析．【分析】先画出点A ，B 关于点C 中心对称的点A'，B'，再连接A'，B'，C 即可解题．【详解】解：A 关于点C 中心对称的点A'（-1，-3），B 关于点C 中心对称的点B'（1，-1），C 关于点C 中心对称的点C'（-2,0），如图，△A'B'C'即为所求作图形．21．(1)二次函数图象开口向上，对称轴为1x =，顶点坐标为(1，-4)，点A 的坐标为(0，-3)；(2)图象见解析．【分析】（1）根据表格可知因变量y 的值随自变量x 的值的增大而先减小在增大，即可知该二次函数图象开口向上；根据表格可知该二次函数图象与x 轴的交点坐标，再根据二次函数的对称性即可求出其对称轴；根据二次函数的顶点在对称轴处，即可得出答案；根据二次函数的对称轴结合表格数据即可求出A 点坐标．（2）在坐标系中描绘出各点，再用光滑的曲线顺次连接即可．(1)解：根据表格可知该二次函数自变量x 的值逐渐增大的过程中，因变量y 的值先减小后增大，∴该二次函数图象开口向上；∵该二次函数图象与x 轴的交点坐标为(-1，0)、(3，0)，∴该二次函数的对称轴为1312x -+==；∴该二次函数在1x =时，有最小值，且根据表格可知当1x =时，4y =-，∴该二次函数的顶点坐标为(1，-4)；∵该二次函数的对称轴为：直线1x =，∴当0x =和3x =时，y 的值相等，且根据表格可知此时y=-3，∴点A 的坐标为(0，-3)．(2)该函数图象如图，22．见解析．【详解】分别连接OA 、OC ，∵ AB ＝ CD，∴AB ＝CD ，∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，∴AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°，∴AE ＝CF ，又∵OA ＝OC ，∴Rt △OAE ≌Rt △OCF （HL ），∴OE ＝OF ．23．(1)23；(2)13．【分析】（1）列出表格展示所有可能的结果，根据表格即可知共有12种可能的情况，再找到两次取出的小球标号和为奇数的情况数，利用概率公式，即可求解；（2）找出两次取出的小球标号和为偶数的情况数，再利用概率公式，即可求解．(1)解：根据题意列出表格，如下表：根据表格可知：共有12种可能的情况，其中两次取出的小球标号和为奇数的情况有8种，故两次取出的小球标号和为奇数的概率为82=123；(2)根据表格可知：两次取出的小球标号和为偶数的情况有4种．故两次取出的小球标号和为偶数的概率为41=123．123411+2=3，奇数1+3=4，偶数1+4=5，奇数22+1=3，奇数2+3=5，奇数2+4=6，偶数33+1=4，偶数3+2=5，奇数3+4=7，奇数44+1=5，奇数4+2=6，偶数4+3=7，奇数24．(1)2(2)12＜x ＜2【分析】（1）利用待定系数法解得直线AB 的解析式为1y x =+，再结合OD ＝1，解得点C的坐标为(12)C ，，继而解得反比例函数的解析式为y ＝2x，据此解题；（2）根据反比例函数的增减性解题：反比例函数y ＝2x在第一象限内，y 随x 的增大而减小．（1）设直线AB 的解析式为：y kx b =+，代入A （﹣1，0），B （0，1），01k b b -+=⎧⎨=⎩11k b =⎧∴⎨=⎩1y x ∴=+当OD ＝1时，11=2=+y (12)C ∴，∴反比例函数y ＝2x当1y =时，2x =（2）在y ＝2x中当1y =时，2x =，当4y =时，12x =，反比例函数y ＝2x在第一象限内，y 随x 的增大而减小当1＜y ＜4时，12＜x ＜2．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l 是圆O 的切线，理由见解析【分析】（1）由圆周角定理得∠A ＝∠C ，由ASA 得出△AED ≌△CEB ；（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF ＝12BC ＝BF ，由等腰三角形的性质得∠FEB ＝∠B ，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A ＋∠AEG ＝90°，进而得出结论；（3）作OH ⊥AB 于H ，连接OB ，由垂径定理得出AH ＝BH ＝12AB ＝2，则EH ＝AH−AE ＝1，由勾股定理求出OH ＝1，OBl 到圆心O 的距离dO 的半径，即可得出结论．【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A ＝∠C ，在△AED 和△CEB 中，A C AE CEAED CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AED ≌△CEB （ASA ）；（2）证明：∵AB ⊥CD ，∴∠AED ＝∠CEB ＝90°，∴∠C+∠B ＝90°，∵点F 是BC 的中点，∴EF ＝12BC ＝BF ，∴∠FEB ＝∠B ，∵∠A ＝∠C ，∠AEG ＝∠FEB ＝∠B ，∴∠A+∠AEG ＝∠C+∠B ＝90°，∴∠AGE ＝90°，∴FG ⊥AD ；（3）解：直线l 是圆O 的切线，理由如下：作OH ⊥AB 于H ，连接OB ，如图所示：∵AE ＝1，BE ＝3，∴AB ＝AE+BE ＝4，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝2，∴EH ＝AH ﹣AE ＝1，∴OH 1，∴OB O∵一条直线l 到圆心O 的距离d O 的半径，∴直线l 是圆O 的切线．26．(1)M （2，-9m ），(1,0),(5,0)A B -；(2)见解析；(3)存在，见解析．【分析】（1）将解析式配方成顶点式即可解题；（2）分别解出△BCM 与△ABC 的面积，再证明其相等；（3）用含m 的代数式分别表示BC 2，CM 2，BM 2，再根据△BCM 为直角三角形，分三种情况讨论：当=90BMC ∠︒时，或当=90BCM ∠︒时，或当=90CBM ∠︒时，结合勾股定理解题．(1)解：y ＝mx 2﹣4mx ﹣5m＝m （x 2﹣4x ﹣5）＝m （x 2﹣4x+4-4﹣5）＝m （x-2）2﹣9m抛物线顶点M 的坐标（2，-9m ）,令y=0,m （x-2）2﹣9m=0解得（x-2）2=932x ∴=±+125,1x x ∴==-(1,0),(5,0)A B ∴-(2)令x=0,y=m （0-2）2﹣9m=-5m(0,5)C m ∴-11515m 15(0)22C ABC S AB y m m =⋅=+⋅-=>V 过点M 作EF y ⊥轴于点E ，过点B 作EF ⊥于点F ，如图，MCEFB BCM ECM BF S S S S =--V V V 梯形()11222CE BF EF CE EM BF MF+⋅=-⋅-⋅()11()()222C M M B C M M M B M My y y x y y y x x x y -+⋅=--+⋅--⋅5(49)11429(52)222m m m m +=-⋅⨯-⋅⨯-6527422m m m =--15(0)m m =>BCM ABCS S ∴=V V (3)存在使△BCM 为直角三角形的抛物线，过点M 作DM x ⊥轴于点D ，过点C 作CN ⊥DM 于点N ，在t R CMN V 中，2,5CN OD DN OC m====4MN DM DN m ∴=-=2222416CM CN MN m ∴=+=+在Rt OBC 中，22222525BC OB OC m =+=+在t R BDM V 中，2222981BM BD DM m =+=+①若△BCM 为直角三角形,且=90BMC ∠︒时，222CM BM BC +=2224169812525m m m ∴+++=+解得6m =0m >6m ∴=∴存在抛物线2y x x =BCM 为直角三角形；②若△BCM 为直角三角形且=90BCM ∠︒时，222BC CM BM +=2222525416981m m m ∴+++=+2m ∴=±m >2m ∴=∴存在抛物线222y x =--使得△BCM 为直角三角形；③22222525416,981416m m m m +>++>+Q ∴以CBM ∠为直角的直角三角形不存在，综上所述，存在抛物线2y =-2y =-，使得△BCM 为直角三角形．27．(1)A （4，0），C （0，﹣3），D （﹣2，0）(2)点M 的坐标为（2，﹣3）或（0，﹣3）或（13）或（）(3)存在，点P 的坐标为（3，﹣158）或（﹣3，218）或（5，218）【分析】（1）令y=0，解方程38x 2﹣34x ﹣3＝0可得到点D 和点A 坐标；令x=0，求出y=-3，可确定C 点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离；（3）分别以AC 为对角线或平行四边形的一边，进行讨论，即可得出P 点坐标．(1)解：（1）y ＝38x 2﹣34x ﹣3，当x ＝0时，y ＝﹣3，∴C （0，﹣3）；当y ＝0时，则38x 2﹣34x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，∴D （﹣2，0），A （4，0）；∵y ＝38x 2﹣34x ﹣3＝38（x ﹣1）2﹣278，∴抛物线的顶点B 的坐标为（1，﹣278），∴A （4，0），B （1，﹣278），C （0，﹣3），D （﹣2，0）．(2)（2）如图1，设M （x ，38x 2﹣34x ﹣3），∵△MAD 与△CAD 有相同的底边AD ，且△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，∴点M 到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离，∴|38x 2﹣34x ﹣3|＝3，解得x 1＝2，x 2＝0，x 3＝1，x 4＝∴M 1（2，﹣3），M 2（0，﹣3），M 3（13），M 4（），∴点M 的坐标为（2，﹣3）或（0，﹣3）或（1，3）或（）．(3)（3）存在，如图2，点P 的横坐标为3，作AF ⊥x 轴，作PF ⊥AF 于点F ，∴P （3，﹣158），F （4，﹣158），由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，在OC上截取CE＝AF，过点E作直线x＝1的垂线，垂足为点Q，连结并延长CQ交x轴于点G，作四边形APCQ，∵∠CEQ＝∠F＝90°，QE＝PF＝1，∴△CEQ≌△AFP（SAS），∴CQ＝AP，∠CQE＝∠APF，∵EQ∥OA，PF∥OA，∴∠CQE＝∠CGO，∠APF＝∠PAO，∴∠CGO＝∠PAO，∴CQ∥AP，∴四边形APCQ是平行四边形；如图3，点P的横坐标为﹣3，作AK⊥x轴，作PK⊥AK于点K，∴P（﹣3，218），K（﹣3，﹣3），设直线x＝1交x轴于点L，在x轴上方的直线x＝1上截取LQ＝KP，作四边形ACPQ，CP 交x轴于点H，∵L（1，0），∴AL＝CK＝3，∵∠ALQ＝∠CKP＝90°，∴△ALQ≌△CKP（SAS），∴AQ＝CP，∠QAL＝∠PCK，∵CK∥x轴，∴∠PCK＝∠AHC，∴∠QAL＝∠AHC，∴AQ∥CP，∴四边形ACPQ是平行四边形；如图4，点P的横坐标为，作PN⊥x轴于点N，作PJ⊥y轴于点J，∴P（5，218），N（5，0），在OC上截取CR＝PN，过点R作直线x＝1的垂线，垂足为点Q，连结并延长CQ交PJ于点I，作四边形PACQ，∵∠CRQ＝∠PNA＝90°，QR＝AN＝1，∴△CQR≌△PAN（SAS），∴CQ＝PA，∠CQR＝∠PAN，∵PJ∥QR∥x轴，∴∠CQR＝∠CIJ，∠PAN＝∠APJ，∴∠CIJ＝∠APJ，∴CQ∥PA，∴四边形PACQ是平行四边形，综上所述，点P的坐标为（3，﹣158）或（﹣3，218）或（5，218）．。
人教版九年级上册数学期末考试试卷含答案详解
人教版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2+2x=0的根是（）A．x=0或x=﹣2B．x=0或x=2C．x=0D．x=﹣23．直径分别为8和6的两圆相切，则这两圆的圆心距等于（)A．14B．2C．14或2D．7或14．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1B．k≥﹣1且k≠0C．k≤﹣1D．k≤1且k≠05．若两圆的半径分别为5和2，圆心距是4,则这两圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含6．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4C．D．7．当x0>时，函数5yx=-的图象在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限8．从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为()A．12B．13C．14D．159．方程（x+1）（x-3）=5的解是A．x1=1，x2=-3B．x1=4，x2=-2C ．x 1=-1，x 2=3D ．x 1=-4，x 2=210．某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的12，设人行通道的宽度为x 千米，则下列方程正确的是（）A ．（2﹣3x ）（1﹣2x ）=1B ．12（2﹣3x ）（1﹣2x ）=1C ．12（2﹣3x ）（1﹣2x ）=1D ．12（2﹣3x ）（1﹣2x ）=2二、填空题11．在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是________．12．已知点(m －1，y 1)，(m －3，y 2)是反比例函数y ＝mx(m <0)图象上的两点，则y 1____y 2(填“>”“＝”或“<”)．13．如图，在Rt AOB 中，OA=OB=O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为_____．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()22y a x k =-+（a 、k 为常数且0a ≠）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过点C 作//CD x 轴与抛物线交于点D .若点A 的坐标为()4,0-，则OBCD的值为____．15．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO为_____．161x-x的取值范围是_______．173x-x的取值范围是_______．18．边长为1的正三角形的内切圆半径为________三、解答题19．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．（1）求证：D为BC的中点；（2）过点O作OF⊥AC，于F，若AF=74，BC=2，求⊙O的直径．20．已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求实数a的值．21．如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）AN AM CN CM=.22．一对姐弟中只能有一人参加夏季夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．试用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平．23．如图，已知直线PT与⊙O相交于点T，直线PO与⊙O相交于A、B两点，已知PTA B∠=∠．（1）求证：PT是⊙O的切线；（2）若PT BT==24．如图，二次函数y＝﹣2x2+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上是否有一点D （x ，y ）使S △ABD ＝S △ABC ，求点D 的坐标．25．如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB 、AB ，∠PBA=∠C ，（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）连接OP ，若OP ∥BC ，且OP=8，⊙O 的半径为，求BC 的长．26．如图，直线y ＝﹣13x +m 与x 轴，y 轴分别交于点B 、A 两点，与双曲线相交于C 、D 两点，过C 作CE ⊥x 轴于点E ，已知OB ＝3，OE ＝1．（1）求直线AB 和双曲线的表达式；（2）设点F 是x 轴上一点，使得2CEF COB S S △△＝，求点F 的坐标．参考答案1．D 【详解】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此，四个选项中只有D 符合．故选D ．2．A 【解析】∵x 2+2x=0，∴x （x+2）=0，∴x=0或x+2=0，∴x 1=0或x 2=﹣2，故选A ．3．D 【解析】当两圆外切时，则圆心距等于8÷2+6÷2=7；当两圆内切时，则圆心距等于8÷2-6÷2=1．故选D ．4．A 【分析】分两种情况讨论：（1）当0k =时，方程为一元一次方程，必有实数根；（2）当0k ≠时，方程为一元二次方程，当0∆≥时，必有实数根.【详解】（1）当0k =时，方程为一元一次方程，必有实数根；（2）当0k ≠时，方程为一元二次方程，当0∆≥时，必有实数根：()4410k ∆=--≥，解得1k ≥-，综上所述，1k ≥-.故选：A .【点睛】本题考查了根的判别式，要注意，先进行分类讨论，当方程是一元一次方程时，总有实数根；当方程为一元二次方程时，根的情况要通过判别式来判定.5．C 【解析】∵两圆的半径分别为5和2，圆心距为4．则5-2=3＜4＜5+2=7，∴两圆相交．故选C 6．C 【详解】连接OB ，OD ，OP ，过O 作OM AB ⊥，交AB 于点M ，过O 作ON CD ⊥，交CD 于点N ．∵AB =CD =8，∴BM=DN=4，由垂径定理，勾股定理得：，∵AB ，CD 是互相垂直的两条弦，∴∠DPB=90°∵OM AB ⊥，ON CD ⊥，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP 是正方形，∴=选C 7．A 【分析】根据反比例函数()ky k 0x=≠的性质：当k 0＞时，图象分别位于第一、三象限；当k 0＜时，图象分别位于第二、四象限．【详解】∵反比例函数5yx=-的系数50-<，∴图象两个分支分别位于第二、四象限．∴当x0>时，图象位于第四象限．故选A．8．C【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，其中构成三角形的有3，5，7共1种，∴能构成三角形的概率为：1 4，故选C．点睛：此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．B【解析】(x+1)(x-3)=5，x²-3x+x-3-5=0，x²-2x-8=0，(x+2)(x-4)=0，x1=-2，x2=4，故选B.10．A【解析】人行通道的宽度为x千米，则矩形绿地的长为：12（2﹣3x）千米，宽为（1﹣2x）千米，由题意可列方程：2×12（2﹣3x）（1﹣2x）=12×2×1，即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确分析，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键.11．29【详解】根据题意，画出树形图如下：∵从树形图可以看出，摸出两球出现的所有等可能结果共有9种，两个球号码之和为5的结果有2种，∴两次摸取的小球标号之和为5的概率是2 9．12．>【解析】分析：m＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大.详解：因为m＜0，所以m－3＜m－1＜0，这两个点都在第二象限内，所以y2＜y1，即y1＞y2.故答案为＞.点睛：对于反比例函数图象上的几个点，如果知道横坐标去比较纵坐标的大小或知道纵坐标去比较横坐标的大小，通常的做法是：(1)先判断这几个点是否在同一个象限内，如果不在，则判断其正负，然后做出判断；(2)如果在同一个象限内，则可以根据反比例函数的性质来进行解答．13．【详解】试题分析：连接OP、OQ，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ．根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短．此时，∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6．∴OP=AB=3．∴．14．2【分析】由抛物线解析式可知抛物线对称轴直线x=2，由A、C的横坐标可知B、D的横坐标，进而求出OB=8，CD=4，即可解答OB.【详解】解：∵抛物线的解析式为y=a（x-2）2+k，∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点A的横坐标为-4，点C的横坐标为0，∴点B的横坐标为8，点D的横坐标为4，∴OB=8，CD=4，∴824OBCD==．故答案为2．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称轴找出点B、D的横坐标是解题的关键．15．4【分析】要求圆锥的高，关键是求出圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图中的扇形的半径．已知圆锥的底面半径就可求得底面圆的周长，即扇形的弧长，已知扇形的面积和弧长就可求出扇形的半径，即圆锥的高．【详解】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3π＝6π，设母线长为L，则有12×6πL＝15π，解得：L＝5，∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，∴在直角△AOC中高AO4．故填：4.【点睛】此题考查了圆锥体的侧面展开图的计算，揭示了平面图形与立体图形之间的关系，难度一般．x≥16．1【详解】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．∴x-1≥0，解得x≥1．故答案为x≥1．本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．17．x≥3【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.【详解】由题意可得：x﹣3≥0，解得：x≥3，故答案为x≥3．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.18【解析】如图，∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，则∠OBD=30°，BD=12,∴tan∠OBD=O O=∴内切圆半径12=,【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形是解决本题的关键．19．（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理即可证得；（2）先根据垂径定理，求得AE=2AF=72；再运用圆周角定理的推论得∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，从而可证得∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，根据此关系列方程求解即可得⊙O的直径．试题解析：（1）连接AD∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴点D是BC的中点；（2）∵OF⊥AC于F，AF=7 4，∴AE=2AF=7 2，连接BE，∵AB为直径D、E在圆上，∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，∴在△BEC、△ADC中，∠BEC=∠ADC，∠C=∠C，∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，∵D为BC中点，∴CD=12 BC，又∵AC=AB，∴12BC2=CE•AB，设AB=x，可得x（x﹣72）=2，解得x1=﹣12（舍去），x2=4，∴⊙O的直径为4.20．（1）证明见解析；（2）a的值为﹣或﹣2【解析】【试题分析】（1）欲证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式大于0即可.△=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4>0，从而得证；（2）根据韦达定理，将x12+x22=10转化为两根之和与两根之积的形式，代入得到关于a的方程，从而求出a即可.x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，即（a+3）2﹣2（a+1）=10，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣.【试题解析】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4，∵（a+1）2≥0，∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，∵x12+x22=10，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，即a的值为﹣2+或﹣2﹣．【方法点睛】本题目是一道一元二次方程的题目，涉及到根的判别式与韦达定理.在证明一元二次方程根的情况时，通常通过证明根的判别式与0的大小关系解决问题.在涉及到两根的等量关系时，通常转化为两根之和与两根之积的形式，从而求出参数.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；（2）欲证AN AMCN CM=，可以通过平行线的性质证明，需要延长AM交圆于点P，连接CP，证明PC∥BD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可．试题解析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA，又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM，∴△BAM∽△CBM，∴BM AMCM BM=，即BM2=AM•CM,①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则DM AMCM DM=，即DM2=AM•CM,②由式①、②得：BM=DM，即M为BD的中点；（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP，∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC，∵PC∥BD，∴AN AM NC PM=,③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP,而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM,④由式③、④得：AN AM CN CM=．22．不公平.【解析】试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数的情况与抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数的情况，再利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知这种方法对姐弟俩是否公平．试题解析:画树状图得：∵共有16种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数有4种情况，抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数有5中情况，∴P（姐姐参加）=416=14，P（弟弟参加）=516，∴不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．23．（1）证明见解析；（2）6π【分析】（1）先根据圆周角定理得：∠ATB=90°，则∠B+∠OAT=90°，根据同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠OAT=∠2，从而得∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，所以直线PT与⊙O 相切；（2）利用TP=TB得到∠P=∠B，而∠OAT=2∠P，所以∠OAT=2∠B，则利用∠ATB=90°可计算出∠B=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AT=12 AB，△AOT为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S扇形OA T-S△AOT进行计算．【详解】（1）证明：连接OT，∵AB是⊙O的直径，∴∠ATB=90°，∴∠B+∠OAT=90°，∵OA=OT，∴∠OAT=∠2，∵∠PTA=∠B，∴∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，∴直线PT与⊙O相切；（2）∵PT BT==∴∠P=∠B=∠PTA，∵∠TAB=∠P+∠PTA，∴∠TAB=2∠B，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，在Rt△ABT中，设AT=a，则AB=2AT=2a，∴a 22＝(2a)2，解得：a=1，∴AT=1，∵OA=OT ，∠TAO=60°，∴△AOT 为等边三角形，11224AOT S ∴=⨯⨯= ．∴阴影部分的面积2Δ 601360464AOT AOT S S ππ⨯=-=-=-扇形．【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理，此类题常与方程结合，列方程求圆的半径和线段的长，也考查了扇形的面积公式．24．（1）1；（2）B （﹣12，0）；（3）D 的坐标是（12，1）或（14，﹣1）或（14，﹣1）【分析】（1）把点A 的坐标代入函数解析式，利用方程来求m 的值；（2）令y ＝0，则通过解方程来求点B 的横坐标；（3）利用三角形的面积公式进行解答．【详解】解：（1）把A （1，0）代入y ＝﹣2x 2+x+m ，得﹣2×12+1+m ＝0，解得m ＝1；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2+x+1．令y ＝0，则﹣2x 2+x+1＝0，故x 134-±-，解得x 1＝﹣12，x 2＝1．故该抛物线与x 轴的交点是（﹣12，0）和（1，0）．∵点为A （1，0），∴另一个交点为B 是（﹣12，0）；（3）∵抛物线解析式为y ＝﹣2x 2+x+1，∴C （0，1），∴OC ＝1．∵S △ABD ＝S △ABC ，∴点D 与点C 的纵坐标的绝对值相等，∴当y ＝1时，﹣2x 2+x+1＝1，即x （﹣2x+1）＝0解得x ＝0或x ＝12．即（0，1）（与点C 重合，舍去）和D （12，1）符合题意．当y ＝﹣1时，﹣2x 2+x+1＝﹣1，即2x 2﹣x ﹣2＝0解得x ＝14．即点（14，﹣1）和（14，﹣1）符合题意．综上所述，满足条件的点D 的坐标是（12，111）．【点睛】本题考查了抛物线的图象和性质,解答（3）题时，注意满足条件的点D 还可以在x 轴的下方是解题关键．25．（1）证明见解析；（2）BC=2.【详解】试题分析：（1）连接OB ，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB ，得出∠BAC=∠OBA ，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；（2）证明△ABC ∽△PBO ，得出对应边成比例，即可求出BC 的长．试题解析：（1）证明：连接OB ，如图所示：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵OA=OB，∴∠BAC=∠OBA，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为，∴，∵OP∥BC，∴∠C=∠BOP，又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴BC AC OB OP=，8=，∴BC=2．考点：切线的判定26．（1）y＝﹣13x+1，y＝﹣43x；（2）F(﹣7，0)或(5，0)；【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式；（2）根据三角形面积公式求得EF的长，即可求得点F的坐标；【详解】解：（1）∵OB ＝3，OE ＝1，∴B （3，0），C 点的横坐标为﹣1，∵直线y ＝﹣13x +m 经过点B ，∴0＝﹣13×3+m ，解得m ＝1，∴直线为：y ＝﹣13x +1，把x ＝﹣1代入y ＝﹣13x +1得，y ＝﹣13×（﹣1）+1＝43，∴C （﹣1，43），∵点C 在双曲线y ＝kx （k ≠0）上，∴k ＝﹣1×43＝﹣43，∴双曲线的表达式为：y ＝﹣43x ；（2）∵OB ＝3，CE ＝43，∴S △COB ＝12×3×43＝2，∵S △CEF ＝2S △COB ，∴S △CEF ＝12×EF ×43＝4，∴EF ＝6，∵E （﹣1，0），∴F （﹣7，0）或（5，0）．【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用．。
人教版九年级上册数学期末考试试卷附答案
人教版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，120AOC ∠=︒，点B 是 AC 的中点，则D ∠的度数是A ．30°B ．40︒C ．50︒D ．60︒3．下列事件中是不可能事件．．．．．的是()A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．水中捞月D ．百步穿杨4．一元二次方程2x ﹣16＝0的解是（）A ．x ＝4B ．1x ＝4，2x ＝0C ．1x ＝4，2x ＝﹣4D ．x ＝85．将抛物线y ＝12x 2向左平移一个单位，所得抛物线的解析式为（）A ．y ＝12x 2+1B ．y ＝12x 2﹣1C ．y ＝12（x+1）2D ．y ＝12（x ﹣1）26．已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（）A ．110B ．910C ．15D ．457．某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（）A ．x （x+1）=1892B ．x （x−1）=1892×2C ．x （x−1）=1892D ．2x （x+1）=18928．圆的直径是13cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（）A．①②B．②③C．①③④D．①②③10．反比例函数y＝﹣3x（x＜0）如图所示，则矩形OAPB的面积是（）A．3B．﹣3C．32D．﹣32二、填空题11．已知点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，则a+b=________．12．若某扇形花坛的面积为6m2，半径为3m，则该扇形花坛的弧长为_____m．13．己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为__________．14．如图， ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，若∠B＝50°，则∠EDF＝_____度．15．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是_____．16．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最小值是_______.17．如图，AB 与O 相切于点B ，AO 的延长线交O 于点C ，连接BC ，若120ABC ∠=︒，3OC =，则劣弧BC 的长为___（结果保留π）．18．二次函数y ＝4(x ﹣3)2+7的图象的顶点坐标是_____．三、解答题19．解方程：3(x ﹣4)2＝﹣2(x ﹣4)20．已知关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+2x+1﹣a 2＝0有一个根为﹣1，求a 的值．21．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1， ABC 的三个顶点都是网格线的交点，已知A ，B ，C 的坐标分别为(0，2)，(﹣1，﹣1)，(1，﹣2)，将 ABC 绕着点C 顺时针旋转90°得到A B C ''△．在图中画出A B C ''△并写出点A '、点B ′的坐标．22．甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点随机选择2个景点游览．（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率．（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是．23．若a2+b2＝c2，则我们把形如ax22＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax22cx+b＝0（a≠0）必有实数根．24．如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．若所用铁栅栏的长为40米，矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求S与x的函数关系式，并求出矩形场地的最大面积．25．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝12x的图象与反比例函数y＝kx（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若S△ODP＝S△ABO，求点D的坐标．26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E.(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长．27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线l1：y＝x2+bx+c过点C(0，﹣3)，且与抛物线l2：y＝﹣12x2﹣32x+2的一个交点为A，已知点A的横坐标为2．点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．（1）求抛物线l1对应的函数表达式；（2）若点P在点Q下方，且PQ∥y轴，求PQ长度的最大值；（3）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．参考答案1．D【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【详解】A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形．故选D．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．A【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝12∠AOC，再根据圆周角定理解答．【详解】连接OB，∵点B是 AC的中点，∴∠AOB＝12∠AOC＝60°，由圆周角定理得，∠D＝12∠AOB＝30°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．3．C【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．C【分析】先移项，写成2x＝16的形式，从而把问题转化为求16的平方根．【详解】解：移项得2x＝16，开方得，x＝±4即1x＝4，2x＝﹣4．故选：C．【点睛】本题考查了直接开平方法求解一元二次方程，熟练掌握移项转化成2x＝a(a≥0)是解题的关键．5．C【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【详解】解：将抛物线y＝12x2向左平移1个单位，得y＝12（x+1）2；故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的化规律：左加右减，上加下减．6．C【分析】直接利用概率公式求解．【详解】∵10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，∴从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是21 105 .故选C.【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．7．C【解析】试题分析：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x－1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x(x－1)＝1892．故选C．点睛：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．8．D【分析】比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可.【详解】圆的直径是13cm，故半径为6.5cm.圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm，因此直线与圆相切或相交.故选D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，需注意圆的半径为6.5cm，那么圆心与直线上某一点的距离是6.5cm是指圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm.9．A【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．【详解】解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，解得：a＝40 9 -，∴h＝409-（t﹣3）2+40．①∵顶点为（3，40），∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；③令h＝20，则20＝409-（t﹣3）2+40，解得t＝3±2，故③错误；④令t＝2，则h＝409-（2﹣3）2+40＝3209m，故④错误．综上，正确的有①②．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．10．A【解析】解：∵点P在反比例函数3yx=-（x＜0）的图象上，∴可设P（x，3x-），∴OA=﹣x，PA=3x-，∴S矩形OAPB =OA•PA=﹣x•（3x-）=3，故选A．点睛：本题主要考查反比例函数上点的坐标特征，利用P点坐标表示出矩形OABPB的面积是解题的关键．11．-6【详解】试题分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数可知a＝－5，b＝－1，所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－6，故答案为－6．12．4【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】解：设弧长为l，∵扇形的半径为3m，面积是6m2，∴136 2l⨯⋅=，∴l＝4（m）．故答案为4．【点睛】本题主要考查扇形面积，熟练掌握扇形面积计算公式是解题的关键．13【详解】如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA•sin60°=2×2∴边长为214．65【分析】设△ABC的内切圆圆心为O，连接OE，OF，根据△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，可得OE⊥AB，OF⊥BC，再根据四边形内角和可得∠EOF的度数，再根据圆周角定理即可得结论．【详解】解：如图，设△ABC的内切圆圆心为O，连接OE，OF，∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠OFB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠EOF＝180°﹣50°＝130°，∴∠EDF＝12∠EOF＝65°．故答案为：65．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角与圆心角的关系，四边形内角和，掌握切线的性质，圆周角与圆心角的关系，四边形内角和是解题关键．15．19≤a≤3【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．【详解】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，当抛物线经过（1，3）时，a＝3，当抛物线经过（3，1）时，a＝1 9，观察图象可知19≤a≤3，故答案为：19≤a≤3．【点睛】本题考查抛物线与正方形的交点问题，掌握抛物线与点的关系，利用待定系数方法求出抛物线张口最小时a的值与张口最大时a的值是解题关键．16．1【分析】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，分别利用三角形中位线定理可求得OD和OP的长，则可求得PQ的最小值．【详解】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图所示:∵AC为圆的切线，∴OD⊥AC，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴OD∥BC，且O为AB中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=12BC=3，同理可得PO=12AC=4，∴PQ=OP-OQ=4-3=1，故答案是：1．【点睛】考查切线的性质及直角三角形的判定，先确定出当PQ最得最小值时点P的位置是解题的关键．17．2π；【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°，求出∠OBC，根据三角形内角和定理求出∠BOC=120°，根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA=90°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴弧BC的长=1203=2 180ππ⨯，故答案为：2π．【点睛】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长的计算公式是解题的关键．18．（3，7）【分析】由抛物线解析式可求得答案．【详解】∵y=4（x﹣3）2+7，∴顶点坐标为（3，7），故答案为（3，7）．19．x1=4，x2=10 3．【解析】【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】3（x﹣4）2=﹣2（x﹣4），3（x﹣4）2+2（x﹣4）=0，（x﹣4）[3（x﹣4）+2]=0，x﹣4=0，3（x﹣4）+2=0，x1=4，x2=10 3．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法．20．a＝0或a＝1【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出a的值．【详解】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，整理得：a2﹣a＝0，即：a（a﹣1）＝0解得：a＝0或a＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将x=-1代入原方程求出a值是解题的关键．21．见解析，(5，﹣1)，(2，0)【分析】将点A、B分别绕点C顺时针旋转90°得到对应点，再与点C首尾顺次连接即可，根据点A、B、C坐标建立平面直角坐标系，从而得出点A′、B′的坐标．【详解】解：如图所示，△A′B′C即为所求，由△ABC绕点C旋转90°得△A′B′C则△ABC≌△A′B′CBC=B′C，AC=A′C设A′（m,n）,B′（,a b）a-1=-1-(-2),a=2；b-(-2)=1-(-1)，b=0，B′（2，0）m-1=2-(-2),m=5，n-（-2）=1-0，n=-1，A′（5，-1）．【点睛】本题考查画旋转图形，求旋转后坐标，利用全等构造等式是解题关键22．（1）29；（2）1 3【分析】（1）列举出所有可能出现的结果，利用概率公式求解即可；（2）根据树状图求得恰好只有两人选择相同的情况，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：（1）共有9种可能出现的结果，其中选择A 、B 的有2种，∴P （A 、B ）=29；（2）共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，∴P （景点相同）=31=93．故答案为：13．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．23．（1）3x 22x+4＝0；（2）见解析【分析】（1）由a ＝3，b ＝4，由a 2+b 2＝c 2求出c ＝±5，从而得出答案；（2）只要根据一元二次方程根的判别式证明△≥0即可解决问题．【详解】（1）解：由a 2+b 2＝c 2可得：当a ＝3，b ＝4时，c ＝±5，相应的勾系一元二次方程为3x 22x+4＝0；（2）证明：根据题意，得2）2﹣4ab＝2（a 2+b 2）﹣4ab＝2（a ﹣b ）2≥0∵△≥0，∴勾系一元二次方程ax 22cx+b ＝0（a≠0）必有实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．24．（1）y＝﹣2x+44（5≤x＜443）；（2）S＝﹣2x2+44x，矩形场地的最大面积为242m2【分析】（1）根据三边铁栅栏的长度之和为40可得x+（y﹣2）+（x﹣2）＝40，整理即可得出答案；（2）根据长方形面积公式列出解析式，配方成顶点即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意，知x+（y﹣2）+（x﹣2）＝40，∴y＝﹣2x+44，∵墙面长为34米∴y＝﹣2x+44≤34解得x≥5∵x＜y∴x＜﹣2x+44解得x＜44 3∴自变量x的取值范围是5≤x＜44 3；（2）S＝xy＝x（﹣2x+44）＝﹣2x2+44x＝﹣2（x﹣11）2+242，∴当x＝11时，S取得最大值，最大值为242，即矩形场地的最大面积为242m2．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出关系式是解决问题的关键．25．（1）32yx；（2）5；（3）6432(,55【分析】（1）根据在平面直角坐标系xOy内，函数y＝12x的图象与反比例函数y＝kx（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），可以求得点A的坐标，进而求得反比例函数的解析式；（2）根据题意和勾股定理可以求得OP的长；（3）根据题意可以求得点P的坐标，本题得以解决．【详解】解：（1）∵函数y ＝12x 的图象过点A （8，a ），∴a ＝12×8＝4，∴点A 的坐标为（8，4），∵反比例函数y ＝k x （k≠0）图象过点A （8，4），∴4＝8k ，得k ＝32，∴反比例函数的解析式为y ＝32x ；（2）设BP ＝b ，则AP ＝b+2，∵点A （8，4），AB ⊥x 轴于点B ，∴AB ＝4，∠ABP ＝90°，∴b 2+42＝（b+2）2，解得，b ＝3，∴OP ＝8﹣3＝5，即线段OP 的长是5；（3）设点D 的坐标为（d ，12d ），∵点A （8，4），点B （8，0），点P （5，0），S △ODP ＝S △ABO ，∴1258422d ⨯⨯=，解得，d ＝645，∴12d ＝325，∴点D 的坐标为（645，325）．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．26．(1)证明详见解析；(2)163．【解析】试题分析：（1）过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据角平分线的性质得到AD=DF ．根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB=FB ．根据和勾股定理列方程即可得到结论．试题解析：（1）证明：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∵∠BAD=90°，BD 平分∠ABC ，∴AD=DF ．∵AD 是⊙D 的半径，DF ⊥BC ，∴BC 是⊙D 的切线；（2）解：∵∠BAC=90°．∴AB 与⊙D 相切，∵BC 是⊙D 的切线，∴AB=FB ．∵AB=5，BC=13，∴CF=8，AC=12．在Rt △DFC 中，设DF=DE=r ，则()226412r r +=-，解得：r=103．∴CE=163．考点：切线的判定；圆周角定理．27．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）12124；（3）(﹣1，0)或(3，0)或(43-，139)或(﹣3，12)【分析】（1）将x ＝2代入y ＝﹣12x 2﹣32x+2，从而得出点A 的坐标，再将A （2，﹣3），C （0，﹣3）代入y ＝x 2+bx+c ，解得b 与c 的值，即可求得抛物线l 1对应的函数表达式；（2）设点P 的坐标为（m ，m 2﹣2m ﹣3），则可得点Q 的坐标为（m ，﹣12m 2﹣32m+2），从而PQ 等于点Q 的纵坐标减去点P 的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），分两类情况：第一种情况：AC为平行四边形的一条边；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．分别根据平行四边形的性质及点在抛物线上，得出关于n的方程，解得n的值，则点P的坐标可得．【详解】解：（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得y＝﹣3，∴点A的坐标为（2，﹣3）．将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得23=2+23b cc⎧-+⎨-=⎩，解得23 bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线l1对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．∴设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），∵点P在点Q下方，PQ∥y轴，∴点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），∴PQ＝﹣12m2﹣32m+2﹣（m2﹣2m﹣3），＝﹣32m2+12m+5，∴当m＝﹣112=3622⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，PQ长度有最大值，最大值为：﹣23126⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+1126⨯+5＝12124；∴PQ长度的最大值为121 24；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边．AC=2①当点Q在点P右侧时，点Q的坐标为（n+2，﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2，解得，n＝0或n＝﹣1．∵n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，∴n ＝﹣1，∴点P 的坐标为（﹣1，0）；②当点Q 在点P 左侧时，点Q 的坐标为（n ﹣2，﹣12（n ﹣2）2﹣32（n ﹣2）+2），将Q 的坐标代入y ＝﹣12x 2﹣32x+2，得n 2﹣2n ﹣3＝﹣12（n ﹣2）2﹣32（n ﹣2）+2，解得n ＝3或n ＝﹣43．∴此时点P 的坐标为（3，0）或（﹣43，139）；第二种情况：AC 为平行四边形的一条对角线．Q 点的纵坐标y Q ，n 2-2n-3-(-3)=-3-y Q ，y Q =-n 2+2n-3，点Q 的坐标为（2﹣n ，﹣n 2+2n ﹣3），将Q 的坐标代入y ＝﹣12x 2﹣32x+2，得﹣n 2+2n ﹣3＝﹣12（2﹣n ）2﹣32（2﹣n ）+2，解得，n ＝0或n ＝﹣3．∵n ＝0时，点P 与点C 重合，不符合题意，舍去，∴n ＝﹣3，∴点P 的坐标为（﹣3，12）．综上所述，点P的坐标为(﹣1，0)或(3，0)或(43 ，139)或(﹣3，12)．【点睛】本题考查抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，掌握抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，利用平形四边形的性质构造方程是解题关键．。
人教版九年级数学上册期末综合复习测试题(含答案)
人教版九年级数学上册期末综合复习测试题（含答案）时间：100分钟 总分：120分一、 选择题（每题3分，共24分）1．已知关于x 的方程()222310---=m m x x +是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．2m =B ．4m =C ．2m =±D ．2m =-2．如图，将AOB ∆绕点O 按逆时针方向旋转40°后得到A OB ''△，若15AOB ∠=︒，则AOB '∠的度数是 （ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°3．顶点(2,1)，且开口方向、形状与函数22y x =的图像相同的抛物线是 （ ） A ．221y x =+ B ．22(2)1y x =-+ C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =+-4．把方程2630x x +-=化成2)x m n （的形式，则m n += （ ） A ．15-B ．9C ．15D ．65．如图，ABC ∆内接于O ，直径8cm AD =，=60B ∠︒，则AC 的长度为 （ ）A ．5cmB ．42C ．43D ．6cm6．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有（ ） A ．15个B ．20个C ．21个D ．24个7．在同一坐标系中，一次函数y ax k =+与二次函数2y kx a =+的图象可能是 （ ）A ．B ．C ．D ．8．二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，对称轴是直线1x =．下列结论：①0abc >；②30a c +>；③a c b +<-；④520a b c -+<．其中结论正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每题3分，共24分）9．若n 是方程2210x x --=的一个根，则代数式232n n -+-的值是________． 10．如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，且20BAC =︒∠，点D 是AC 的中点，则BAD ∠=______．11．点()()1122,,,A x y B x y 在二次函数232y x x =-++的图像上，若122x x <<-，则1y 与2y 的大小关系是1y _______________2y ．（用“>”、“<”、“=”填空）12．已知关于x 的一元二次方程2()0(,,a x h k a h k -+=都是常数，且0)a ≠的解为1213x x =-=，，则方程2(1)0(,,a x h k a h k --+=都是常数，且0)a ≠的解为___________．13．如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 为AB 的中点，以E 为圆心，3为半径作圆，分别交AD 、BC 于M 、N 两点，与DC 切于P 点．则图中阴影部分的面积是______．14．如图，正方形OABC 的顶点B 在抛物线2y x 的第一象限的图象上，若点B 的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC 的长为_________．15．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，则不等式2ax mx c n ++<的解集是__________．16．如图，以(0,3)G 为圆心，半径为6的圆与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF AE ⊥于F ，点E 在G 的运动过程中，线段FG 的长度的最小值为______．三、解答题（每题8分，共72分） 17．解方程： (1)(2)(3)12x x --= (2)23410x x -+=18．已知关于x 的一元二次方程24250x x m --+=有两个实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，直接写出它的根．19．已知二次函数图像与x 轴两个交点之间的距离是4个单位，且顶点M 为()14-，，求二次函数的解析式．20．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(-10)A ，，(4)B m ，两点,且抛物线经过点(50)C ，（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一个动点(不与点A ．点B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E.当PE =2ED 时，求P 点坐标；（3）点P 是直线上方的抛物线上的一个动点，求ABP ∆的面积最大时的P 点坐标.21．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球．把它们分别标记为1，2，3，4．(1)随机摸取一个小球的标号是偶数，该事件的概率为______；(2)小雨和小佳玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜．小雨先从口袋中摸出一个小球，不放回，小佳再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，分别求出小雨和小佳获胜的概率．22．如图，已知女排球场的长度OD 为20米，位于球场中线处的球网AB 的高度2.24米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方2米的C 点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为6米时，到达最高点G ，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)写出C 点坐标___________；B 点坐标___________．(2)若排球运行的最大高度为3米，求排球飞行的高度p （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量x 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．23．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，延长CA 到点D ，以AD 为直径作O ，交BA 的延长线于点E ，延长BC 到点F ，使BF EF =．(1)求证：EF 是O 的切线．(2)若9OC =，4AC =，8AE =，则BC =______，BE =______．24．如图，已知等边ABC ，直线AM BC ⊥，点M 为垂足，点D 是直线AM 上的一个动点，线段CD 绕点D 顺时针方向旋转60°得线段DE ，联结BE 、CE ．(1)如图1，当点D 在线段AM 上时，说明BE AB ⊥的理由；(2)如图2，当点D 在线段MA 的延长线上时，设直线BE 与直线AM 交于点F ，求BFM ∠的度数；(3)定义：有一个内角是36︒的等腰三角形称作黄金三角形，联结DB ，当DBE 是黄金三角形吋，直接写出BEC ∠为______度．25．抛物线2y ax 2x c =++与x 轴交于(1,0)A -、B 两点．与y 轴交于点(0,3)C 、点(,3)D m 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，连接BC 、BD ，点P 在对称轴左侧的抛物线上，若PBC DBC ∠=∠，求点P 的坐标．(3)如图2，过点A 的直线∥m BC ，点Q 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点Q 作QE m ⊥，垂足为点E ，连接BE ，CE ，CQ ，QB ．当四边形BECQ 的面积最大时，求点Q 的坐标及四边形BDCQ 面积的最大值。
人教版九年级上册数学期末考试试卷附答案
人教版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．用配方法解方程x 2+2x-1=0时，配方结果正确的是（）A ．()212x +=B ．()222x +=C ．()213x +=D ．()223x +=2．下列二次函数中，其图象的对称轴为x ＝﹣2的是（）A ．y ＝2x 2﹣2B ．y ＝﹣2x 2﹣2C ．y ＝2（x ﹣2）2D ．y ＝（x+2）23．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．抛物线223y x x =--与x 轴的两个交点间的距离是（）A ．-1B ．-2C ．2D ．45．将抛物线y ＝2（x ﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A ．y ＝2x 2+1B ．y ＝2x 2﹣3C ．y ＝2（x ﹣8）2+1D ．y ＝2（x ﹣8）2﹣36．将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为A ．110°B ．120°C ．150°D ．160°7．如图，⊙O 的半径为2，点C 是圆上的一个动点，CA ⊥x 轴，CB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ，D 是AB 的中点，如果点C 在圆上运动一周，那么点D 运动过的路程长为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π8．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x ＝﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＞0；④b ﹣4a ＝0；⑤方程ax 2+bx ＝0的两个根为x 1＝0，x 2＝﹣4，其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．如图，ABCD 为正方形，O 为对角线AC,BD 的交点，则△COD 绕点O 经过下列哪种旋转可以得到△DOA （）A ．顺时针旋转90°B ．顺时针旋转45°C ．逆时针旋转90°D ．逆时针旋转45°10．已知二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，对称轴是直线x ＝﹣1，若点A 的坐标为（1，0），则点B 的坐标是（）A ．（﹣2，0）B ．（0，﹣2）C ．（0，﹣3）D ．（﹣3，0）二、填空题11．一元二次方程()()320x x --=的根是_____．12．抛物线y ＝（x+2）2+1的顶点坐标为_____．13．从实数﹣1、﹣2、1中随机选取两个数，积为负数的概率是________．14．如图，△DEC 与△ABC 关于点C 成中心对称，AB ＝3，AC ＝1，∠D ＝90°，则AE 的长是_____．15．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm ，则扇形的半径为_____．16．若关于x 的函数2y kx 2x 1=+-与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为___17．已知点P （x 0，m ），Q （1，n ）在二次函数y ＝（x+a ）（x ﹣a ﹣1）（a≠0）的图象上，且m ＜n 下列结论：①该二次函数与x 轴交于点（﹣a ，0）和（a+1，0）；②该二次函数的对称轴是x ＝12；③该二次函数的最小值是（a+2）2；④0＜x 0＜1．其中正确的是_____．（填写序号）三、解答题18．解方程：2680x x -+=19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝10cm ，CD ＝16cm ，求AE 的长．20．已知二次函数2y ax bx =+的图象过点()2,0，()1,6-．(1)求二次函数的关系式；(2)写出它与x 轴的两个交点及顶点坐标．21．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为23．（1）请直接写出袋子中白球的个数．（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？（2）当Rt△ABC的斜边a b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．23．已知⊙O的直径AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F，若⊙O的半径为R，求证：AE•AF ＝2R2．24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2（a是常数），（Ⅰ）若该抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；（Ⅱ）不论a取何实数，该抛物线都经过定点H．①求点H的坐标；②证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．25．ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与 O相切于点D．求证：AC是 O的切线．26．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元.每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率;(2)经调查,若该商品每降价2元，每天可多销售16件,那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元?最大利润是多少?参考答案1．A【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：∵x2+2x﹣1＝0，∴x2+2x＝1，∴x2+2x+1＝2，∴（x+1）2＝2．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．2．D【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质逐项分析即可.【详解】A.y=2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；；B.y=﹣2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；；C.y=2（x﹣2）2的对称轴是x=2，故该选项不正确，不符合题意；；D.y=（x+2）2的对称轴是x=-2，故该选项正确，符合题意；；故选D【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质，y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．3．B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．4．D 【分析】求解得到方程的两个根，用较大根减去小根即可．【详解】令y=0，得2230x x --=，解得123,1x x ==-，∴两个交点间的距离是3-(-1)=4，故选D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解法，正确理解题意，找到合理的解题方法是解题的关键．5．A 【分析】根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”的原则即可得到平移后函数解析式．【详解】解：抛物线y ＝2（x ﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y ＝2（x ﹣4+4）2﹣1，即y ＝2x 2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y ＝2x 2﹣1+2，即y ＝2x 2+1；故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．6．A 【详解】设C′D′与BC 交于点E ，如图所示：∵旋转角为20°，∴∠DAD′=20°，∴∠BAD′=90°−∠DAD′=70°．∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，∴∠BED′=360°−70°−90°−90°=110°，∴∠1=∠BED′=110°．故选：A ．7．D 【分析】根据题意可知，四边形OACB 是矩形，D 为AB 的中点，连接OC ，可知D 点是矩形的对角线的交点，那么当C 点绕圆O 旋转一周时，D 点也会以OD 长为半径旋转一周，D 点的轨迹是一个以O 为圆心，以OD 长为半径的圆，计算圆的周长即可.【详解】如图，连接OC ，∵CA ⊥x 轴，CB ⊥y 轴，∴四边形OACB 是矩形，∵D 为AB 中点，∴点D 在AC 上，且OD ＝12OC ，∵⊙O 的半径为2，∴如果点C 在圆上运动一周，那么点D 运动轨迹是一个半径为1圆，∴点D 运动过的路程长为2π•1＝2π，故选：D ．【点睛】本题考查了动点问题，解决本题的关键是能够判断出D 点的运动轨迹是一个半径为1的圆.8．C 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵22ba-=-，∴b ＝4a ，ab ＞0，∴b ﹣4a ＝0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx ＝0的两个根为x 1＝0，x 2＝﹣4，∴②⑤正确，∵当x ＝﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0，∴③正确，故正确的有②③④⑤．故选：C ．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用9．C 【详解】试题分析：因为四边形ABCD 为正方形，所以∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA ，则△COD 绕点O 逆时针旋转得到△DOA ，旋转角为∠COD 或∠DOA ．故选C ．考点：旋转的性质10．D 【分析】利用点B 与点A 关于直线x=-1对称确定B 点坐标．【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于直线x ＝﹣1对称，而对称轴是直线x ＝﹣1，点A 的坐标为（1，0），∴点B 的坐标是（﹣3，0）．故选D ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．11．123,2==x x 【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．【详解】解：30x -=或20x -=，所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．12．（﹣2，1）【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【详解】由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y ＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．13．23【详解】从实数-1、-2、1中随机选取两个数共有以下三种等可能情况：①-1，-2；②-1，1；③-2，1；其中乘积为负数的是②、③两种，∴从实数-1，-2，1中随机选取两个数，积为负数的概率是：23.故答案为23.141,3CD AC DE AB ====，再利用勾股定理即可得.【详解】DEC ∆ 与ABC ∆关于点C 成中心对称ABC DEC∴∆≅∆1,3CD AC DE AB ∴====2AD CD AC ∴=+=90D ∠=︒AE ∴===【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理，熟记中心对称图形的性质是解题关键.15．30cm ．【分析】根据扇形弧长公式代入计算即可解决.【详解】根据题意得12020180rππ⨯⨯=，r ＝30cm ，故答案为30cm ．【点睛】本题考查了扇形弧长公式的应用，解决本题的关键是熟练掌握扇形弧长公式.16．0或-1##-1或0【详解】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况：当k=0时，函数y 2x 1=-是一次函数，与x 轴仅有一个公共点．当k≠0时，函数2y kx 2x 1=+-是二次函数，若函数与x 轴仅有一个公共点，则2210kx x +-=有两个相等的实数根，即()224k 10∆=-⋅⋅-=，解得：k 1=-，故答案为：0或-1．17．①②④．【分析】（1）根据二次函数的解析式，求出与x 轴的交点坐标，即可判断①；（2）用与x 轴交点的横坐标相加除以2，即可求证结论②；（3）将二次函数交点式转化为顶点式，得到顶点坐标，即可求证③；（4）讨论P 点分别在对称轴的左侧和右侧两种情况，根据函数的增减性，计算x 0的范围即可.【详解】①∵二次函数y ＝（x+a ）（x ﹣a ﹣1），∴当y ＝0时，x 1＝﹣a ，x 2＝a+1，即该二次函数与x 轴交于点（﹣a ，0）和（a+1，0）．故①结论正确；②对称轴为：12122x x x +==．故②结论正确；③由y ＝（x+a ）（x ﹣a ﹣1）得到：y ＝（x ﹣12）2﹣（a+12）2，则其最小值是﹣（a+12）2，故③结论错误；④当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，由m ＜n ，得0＜x 0≤12；当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得12＜x 0＜1，综上所述：m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1．故④结论正确．故答案是：①②④．【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数不同形式解析式之间的相互转化，正确理解掌握二次函数的性质.18．x 1＝4，x 2＝2【分析】原方程运用因式分解法求解即可【详解】解：2680x x -+=（x －4）（x －2）＝0x －4＝0或x －2＝0∴x 1＝4，x 2＝2【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用方法是解答本题的关键19．AE ＝16cm ．【分析】根据垂径定理，计算出CE 的长度，再根据勾股定理计算OE 的长度，两者相加即可解决问题.【详解】∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD ＝16cm ，∴CE ＝12CD ＝8cm ．在Rt △OCE 中，OC ＝10cm ，CE ＝8cm ，∴6OE ===（cm ），∴AE ＝AO+OE ＝10+6＝16（cm ）．【点睛】本题考查了圆中计算问题，解决本题的关键是：①熟练掌握垂径定理及其推论，②熟练掌握勾股定理.20．(1)224y x x=-(2)与x 轴的两个交点坐标分别是：()0,0，()2,0；顶点坐标是()1,2-【分析】（1）把点（2，0），（−1，6）代入二次函数y ＝ax 2＋bx ，得出关于a 、b 的二元一次方程组，求得a 、b 即可；（2）将（1）中解析式转化为两点式或顶点式，即可求得抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标．(1)解：把点()2,0，()1,6-代入二次函数2y ax bx =+，得4206a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩，因此二次函数的关系式224y x x =-；(2)解：∵224y x x =-＝2x （x−2），∴该抛物线与x 轴的两个交点坐标分别是（0，0），（2，0）．∵224y x x =-＝2（x−1）2−2，∴二次函数224y x x =-的顶点坐标（1，−2）．21．（1）袋子中白球有2个；（2）59．【分析】（1）设袋子中白球有x 个，根据概率公式列方程解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）设袋子中白球有x 个，根据题意得：213x x =+，解得：x=2，经检验，x=2是原分式方程的解，∴袋子中白球有2个；（2）画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：59．22．（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据根的判别式的符号来证明；（2）根据韦达定理得到b+c=2k+1，bc=4k-3．又在直角△ABC 中，根据勾股定理，得（b+c ）2﹣2bc 2，由此可以求得k 的值．【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k ﹣3）＝4k 2﹣12k+13＝（2k ﹣3）2+4，∴无论k 取什么实数值，总有＝（2k ﹣3）2+4＞0，即△＞0，∴无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵两条直角边的长b 和c 恰好是方程x 2﹣（2k+1）x+4k ﹣3＝0的两个根，得∴b+c ＝2k+1，bc ＝4k ﹣3，又∵在直角△ABC 中，根据勾股定理，得b 2+c 2＝a 2，∴（b+c）2﹣2bc2，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，整理后，得k2﹣k﹣6＝0，解这个方程，得k＝﹣2或k＝3，当k＝﹣2时，b+c＝﹣4+1＝﹣3＜0，不符合题意，舍去，当k＝3时，b+c＝2×3+1＝7，符合题意，故k＝3．23．见解析【详解】连接BE，根据圆周角定理可的∠AEB=90，再有AB⊥CD，公共角∠A，即可证得△AOF∽△AEB，根据相似三角形的对应边成比例即得结果．解：如图，连接BE，∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°∵AB⊥CD∴∠AOF=90°∴∠AOF=∠AEB=90°又∠A=∠A∴△AOF∽△AEB∴AE•AF=AO•AB∵AO=R，AB=2R所以AE•AF=2R2．24．（Ⅰ）a＝﹣1，抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；（Ⅱ）①点H的坐标为（2，6）；2②证明见解析.【分析】(I）根据该抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），可以求得的值及该抛物线与x轴另一交点坐标；(II)①根据题目中的函数解析式可以求得点H的坐标；②将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可证明点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．【详解】（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴0＝（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+4a+2，解得，a＝﹣12，∴y＝x2+x＝x（x+1），当y＝0时，得x1＝0，x2＝﹣1，即抛物线与x轴另一交点坐标是（0，0）；（Ⅱ）①∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝x2+2﹣2a（x﹣2），∴不论a取何实数，该抛物线都经过定点（2，6），即点H的坐标为（2，6）；②证明：∵抛物线y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2﹣（a﹣2）2+6，∴该抛物线的顶点坐标为（a，﹣（a﹣2）2+6），则当a＝2时，﹣（a﹣2）2+6取得最大值6，即点H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．25．见解析.【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是O的半径，∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是O的切线。
(期末复习)人教版九年级数学上册期末综合检测试卷(有答案)
期末专题复习：人教版九年级数学上册期末综合检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.用配方法解方程时，配方结果正确的是（）.A. (x+1)2=2B. (x−1)2=2C.D.2.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43.下列事件发生的概率为0的是（）A. 射击运动员只射击1次，就命中靶心B. 任取一个实数x，都有|x|≥0C. 画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cmD. 抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为64.抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是（）A. （2，-3）B. （-2，3）C. （2，3）D. （-2，-3）5.已知当x=2时，多项式x2-2mx+4的值为-4，那么当x为何值时，该多项式的值为11？（）A. 7B. -1C. 3D. 7或-16.若关于x的不等式x﹣a＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是（）2A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定7.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（）A. ①③④B. ②④⑤C. ①②⑤D. ②③⑤8.如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的度数是（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°9.关于x的方程（k+4）x2-2=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（）A. k≠0B. k≥4C. k=-4D. k≠-410.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列式子中①abc<0；②0<b<-2a；③a<c−b；④a+b+c<02成立的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共10题；共30分）11.已知一元二次方程x2−3x−1=0的两根为x1、x2，则x1+x2=________12.如图，是两个可以自由转动的均匀圆盘A和B，A、B分别被均匀的分成三等份和四等份．同时自由转动圆盘A和B，圆盘停止后，指针分别指向的两个数字的积为偶数的概率是________．13.一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为________．14.二次函数的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是________ ．15.如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率________．16.在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有________ 个．17.有5张卡片，上面分别画有：圆、正方形、等边三角形、正五边形、线段，将卡片画面朝下随意放在桌上，任取一张，那么取到卡片对应图形是中心对称图形的概率是________．18.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB＝AC，则∠ABC=________．19.拱桥截面是一条抛物线，如图所示，现测得水面宽AB=16m，拱顶O到水面的距离为8m，在图中的直角坐标系内，拱桥所在抛物线的解析式是________20.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为________．三、解答题（共9题；共60分）21.解下列方程：（1）x（x﹣1）+2（x﹣1）=0；（2）x2+1.5=3x．22.现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．（要求：用列表或画树状图的方法解答）23.甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人．如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？24.如图，在⊙O中，AB=2 AC，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．25.如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．26.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．27.已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．（1）求证：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．28.如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O 的反演点，求A′B′的长．29.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，求△AED的周长．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】C二、填空题11.【答案】312.【答案】13.【答案】1314.【答案】﹣1≤t ＜815.【答案】1516.【答案】417.【答案】3518.【答案】35°19.【答案】y=﹣18x 220.【答案】32°三、解答题21.【答案】解：（1）x （x ﹣1）+2（x ﹣1）=0，（x ﹣1）（x+2）=0，x ﹣1=0，或x+2=0，x 1=1，x 2=﹣2；（2）x 2+1.5=3x ，整理，得x 2﹣3x+1.5=0，∵△=9﹣4×1×1.5=3，∴x=3±√32，∴x 1=3+√32，x 2=3−√32．22.【答案】解：共有9种情况，两次都为O型的有4种情况，所以概率是49．23.【答案】解：∵已经限定在身高160厘米以上的女生中抽选旗手，甲班身高在160厘米以上的女同学3人，乙班身高在160厘米以上的女同学8人，∴在甲班被抽到的概率为13，在乙甲班被抽到的概率为18，∵13＞18，∴在甲班被抽到的机会大24.【答案】证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴AE=2AC，AE=2AD，∵AB=2AC，∴AE=AB，∴AB=AE，∴AB=2AD．25.【答案】解：设小路的宽为xm，依题意有（40﹣x）（32﹣x）=1140，整理，得x2﹣72x+140=0．解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是2m．26.【答案】解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120整理得：x2﹣18x+72=0解得：x1=6，x2=12（舍去）．答：该产品的质量档次为第6档．27.【答案】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；（2）解：∠F=∠MCD．理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，∴∠F=∠MCD．28.【答案】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′•OA=42，而r=4，OA=8，∴OA′=2，∵OB′•OB=42，∴OB′=4，即点B和B′重合，∵∠BOA=60°，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC，在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′= ，∴A′B′=4sin60°=229.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=10，∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=10，∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD=9，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19．故答案为：19．。
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人教版九年级数学上册 期末综合复习数学试卷（时间90分钟 满分120分）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )2．一元二次方程x(x －3)＝4的解是( )A ．x ＝1B ．x ＝4C ．x 1＝－1，x 2＝4D ．x 1＝1，x 2＝－43．某市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次．设观赏人数年平均增长率为x ，则下列方程中正确的是( ) A ．20(1＋2x)＝28.8 B ．20(1＋x)2＝28.8 C ．28.8(1＋x)2＝20D ．20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝28.84．在同一坐标系中，一次函数y ＝－mx ＋n 2与二次函数y ＝x 2＋m 的图象可能是( )5．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB ＝3∠ADB ，则( )A ．DE ＝EB B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB6. “同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，至少有一枚骰子的点数是3”的概率为( ) A ．13B ．1136C ．512D ．147．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列命题中正确的是( )A ．a ＞b ＞cB ．一次函数y ＝ax ＋c 的图象不经过第四象限C ．m(am ＋b)＋b ＜a(m 是任意实数)D ．3b ＋2c ＞09．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5 B.532C ．5 2D ．5310．如图，AB ⊥OB ，AB ＝2，OB ＝4，把∠ABO 绕点O 顺时针旋转60°得∠CDO ，则AB 扫过的面积（图中阴影部分）为( )A ．2B ．2πC ．23πD ．π二．填空题（共8小题，3*8=24）11． 如图，△ABC 中，∠BAC ＝33°，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC 的度数为_________.12. 12．已知二次函数y＝－x2－2x＋3的图象上有两点A(－7，y1)，B(－8，y2)，则y1__ __y2.(填“＞”“＜”或“＝”)13．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________°.14．如图为一个玉石饰品的示意图，点A，B为外圆上的两点，且AB与内圆相切于点C，过点C作CD⊥AB交外圆于点D，测得AB＝24 cm，CD＝6 cm，则外圆的直径为________cm.15．二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图象过点(－3，0)，则该二次函数的解析式为____________．16．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝________.17．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b>2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c>0.其中正确的命题是_______．(填序号)18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－4,0)，B(0,3)，对△AOB连续进行旋转变换依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第 2 018个三角形的直角顶点的坐标是.三．解答题（7小题，共66分）19．(8分) 先化简，再求值：x 2－x x ＋1·x 2－1x 2－2x ＋1，其中x 满足x 2－3x ＋2＝0.20．(8分) 已知关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋2m ＝0有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)当m ＝52时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．21．(8分) 如图，将小旗ACDB 放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A(－6，12)，B(－6，0)，C(0，6)，D(－6，6)．以点B 为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°.(1)画出旋转后的小旗A′C′D′B′； (2)写出点A′，C′，D′的坐标；(3)求出线段BA 旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．22．(10分) 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π)．23．(10分) 现如今，“垃圾分类”已逐渐推广．如图，垃圾一般可分为：可回收物，厨余垃圾，有害垃圾，其他垃圾．甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶．(1)直接写出甲扔对垃圾的概率；(2)用列表或画树状图的方法求甲、乙两人同时扔对垃圾的概率．24．(10分) 【问题发现】如图①所示，四边形ABCD为正方形，BD为其对角线，在BC边上取点P，作PQ∥BD，则此时PC，QC的数量关系为__ __，△PCQ的形状为__ __，说出你的理由；【拓展延伸】如图②所示，将△PCQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<30°)，请问此时线段BP，DQ的位置关系与数量关系是什么？说出你的理由；【类比探究】当旋转角为45°时，①PQ与BC的关系是__ __；②若PC＝2，BC＝3，连接BQ，则△BDQ的面积为__ __．25．(12分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．参考答案1-5DCBDD 6-10BCDDC 11. 17° 12. ＞ 13. 35 14．3015．y ＝－4x 2－16x －12 16．57° 17. ①③ 18. ⎝⎛⎭⎫8 06845，125 19. 解：原式＝x （x －1）x ＋1·（x ＋1）（x －1）（x －1）2＝x ，∵x 2－3x ＋2＝0，∴(x －2)(x －1)＝0，∴x ＝1或x ＝2，当x ＝1时，(x －1)2＝0，分式x 2－1x 2－2x ＋1无意义，∴x ＝2，原式＝220.解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝(－5)2－4×1×2m≥0，m≤258，∴当m≤258时，原方程有实数根(2)当m ＝52时，原方程可化为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝5，x 1•x 2＝5.∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线的长，∴矩形对角线的长＝x 12＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝52－2×5＝15，∴该矩形外接圆的直径是15. 21. 解：(1)图略(2)点A′(6，0)，C′(0，－6)，D′(0，0) (3)∵A(－6，12)，B(－6，0)，∴AB ＝12，∴线段BA 旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积＝90π×122360＝36π22．解：(1)图略，点A 1的坐标为(2，－4)． (2)图略．(3)∵BC ＝32＋22＝13，∴C 点旋转到C 2点所经过的路径长为90π·13180＝13π2.23. 解：(1)记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾分别为A ，B ，C ，D ，∵垃圾要按A ，B ，C ，D 类分别装袋，甲扔了一袋垃圾有4种等可能结果，其中扔对的只有1种结果，∴甲扔对垃圾的概率为14(2)记可回收物桶为A ，厨余垃圾桶为B ，有害垃圾桶为C ，其他垃圾桶为D. 由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两人同时扔对垃圾的只有1种结果， ∴甲、乙两人同时扔对垃圾的概率为11624. 解：【问题发现】相等 等腰直角三角形理由：∵四边形ABCD 为正方形，BD 为对角线，∴∠CBD ＝∠CDB ＝45°，∠C ＝90°.∵PQ ∥BD ，∴∠CPQ ＝∠CBD ＝45°，∠CQP ＝∠CDB ＝45°.∴CP ＝CQ.∴△PCQ 为等腰直角三角形【拓展延伸】位置关系垂直，数量关系相等． 如图①所示，延长BP 交DQ 于点F ，交DC 于点E.在△BCP 与△DCQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CD ，∠BCP ＝∠DCQ ，CP ＝CQ ，∴△BCP ≌△DCQ(SAS)．∴BP ＝DQ ，∠CBP ＝∠CDQ.∵∠CBP ＋∠BEC ＝90°，∴∠CDQ ＋∠DEF ＝90°.∴∠DFE ＝90°，即BP ⊥DQ 【类比探究】①平行 ②92【解析】①如图②所示，延长BC ，作QN ⊥BC ，垂足为N ；作PH ⊥BC ，垂足为H. ∵△PCQ 为等腰直角三角形，∴∠CPQ ＝45°.∵∠BCP ＝45°，∴PQ ∥BC. ②在Rt △PHC 中，∠α＝45°，PC ＝2，∴PH ＝HC ＝22＝1.∵四边形MCNQ 为矩形，且∠NCQ ＝45°，∴四边形MCNQ 是边长为1的正方形．∵S △BCD ＝3×32＝92，S 梯形DCNQ ＝（1＋3）×12＝2，S △BNQ ＝4×12＝2.∴S △BDQ ＝S △BCD ＋S 梯形DCNQ －S △BQN ＝9225. 解：(1)证明：作OH⊥AC于H，如图，∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OH⊥AC，∴OH＝OE，∴AC是⊙O的切线(2)∵点F是AO的中点，∴AO＝2OF＝3，而OE＝3，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴AE＝3OE＝33，∴图中阴影部分的面积＝S△AOE－S扇形EOF＝12×3×33－60·π·32 360＝93－3π2(3)作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于点P，如图，∵PF＝PF′，∴PE＋PF＝PE＋PF′＝EF′，此时EP＋FP最小，∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′，而∠AOE ＝∠F′＋∠OEF′＝60°，∴∠F′＝30°，∴∠F′＝∠EAF′，∴EF′＝EA＝33，即PE＋PF最小值为33，在Rt△OPF′中，OP＝33OF′＝3，在Rt△ABO中，OB＝33OA＝33×6＝23，∴BP＝23－3＝3，即当PE＋PF取最小值时，BP的长为3。