高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数的乘法和除法学案新人教B版选修1_2

3.2.2 复数的乘法和除法
明目标、知重点 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.进一步理解共轭复数的概念及性质.
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
3.复数的除法法则
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，
则z1
z2
＝
a＋b i
c＋d i
＝
ac＋bd
c2＋d2
＋
bc－ad
c2＋d2
i.
[情境导学]
我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？
探究点一复数乘除法的运算
思考1 怎样进行复数的乘法？
答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.
思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1.
例1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
(3)(1＋i)2.
解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i ；
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32
－(4i)2
＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2
＝1＋2i ＋i 2＝2i.
反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.
跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2
. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2
＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2
＝1＋4i ＋(2i)2
＝1＋4i ＋4i 2
＝－3＋4i. 思考3 如何理解复数的除法运算法则？
答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i). 例2 计算：(1)4－3i 4＋3i ＋4＋3i 4－3i ；
(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i .
解 (1)原式＝
－2
＋
－
＋
＋2
－
＋
＝
16－9－24i 42＋32＋16－9＋24i
42＋3
2
＝7－24i 25＋7＋24i 25＝14
25； (2)方法一 原式＝[
＋
2
2
]6
＋
2＋3
3＋23
2
＋
2
2
＝i 6
＋
6＋2i ＋3i －6
5
＝－1＋i.
方法二 (技巧解法) 原式＝[
＋2
2]6
＋
2＋33－2
＝i 6
＋
2＋32＋3i
＝－1＋i.
反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数. 跟踪训练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)
－1＋
＋
－i .
解 (1)7＋i
3＋4i ＝
＋－＋－
＝25－25i 25
＝1－i.
(2)
－1＋
＋
－i
＝
－3＋i －i ＝－3＋
－i·i
＝－1－3i.
探究点二 共轭复数及其应用
思考1 复数a ＋b i 及其共轭复数之积是实数还是虚数？
答 复数a ＋b i 的共轭复数表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2
＋b 2
，所以两个共轭复数之积为实数.
思考2 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？ 答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称.
(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数. (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数. 思考3 z ·z 与|z |2
和|z |2
有什么关系？ 答 z ·z ＝|z |2
＝|z |2
.
例3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2
＋b 2
＝1，即a 2
＋b 2
＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝45
，b ＝3
5，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－4
5，b ＝－3
5.
所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋3
5
i.
反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点. 跟踪训练3 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和. 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2
＋b 2
，
∴a 2
＋b 2
＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2
＋b 2
－2b ＋2a i ＝8＋6i ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＋b 2
－2b ＝8
2a ＝6，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3
b ＝1，
∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.
1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.－i B.i C.－1 D.1
答案 A
解析 z ＝1
i
＝－i.
2.已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( ) A.－2i B.2i C.－4i D.4i
答案 C
解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4
i ＝－4i.
3.复数i －2
1＋2i 等于( )
A.i
B.－i
C.－45－35i
D.－45＋35
i
答案 A
4.复数z ＝2－i
2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 D
解析 因为z ＝2－i
2＋i ＝
－
2
5
＝
3－4i
5
，故复数z 对应的点在第四象限，选D. [呈重点、现规律] 1.复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想.
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.。