矩阵连乘实验报告

华北电力大学科技学院
实验报告
实验名称矩阵连乘问题
课程名称计算机算法设计与分析
专业班级：软件12K1 学生姓名：吴旭
学号：************ 成绩：
指导老师：刘老师实验日期：2014.11.14
一、实验内容
矩阵连乘问题，给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,3…,n-1。

考察这n个矩阵的连乘A1,A2,…,A n。

二、主要思想
由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。

这种计算次序可以用加括号的方式来确定。

若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已经完全加括号，则可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

完全加括号的矩阵连乘积可递归的定义为：
(1)单个矩阵是完全加括号的；
(2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号
的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。

运用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。

按以下几个步骤进行
1、分析最优解的结构
设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。

为方便起见，将矩阵连乘积简记为A[i:j]。

考察计算A[1:n]的最优计算次序。

设这个计算次序矩阵在A k和A k+1之间将矩阵链断开，1≤k≤n,则其相应的完全加括号方式为((A1…A k)(A k+1…A n))。

依此次序，先计算A[1:k]和A[k+1:n],然后将计算结果相乘得到A[1:n]。

2、建立递归关系
设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。

对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需的最少数乘次数为m[i][j]，原问题的最优值为m[1][n]。

当i=j时，A[i:j]=A i为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=0，i=1,2,…n。

当i<j时，可利用最优子结构性质来计算m[i][j]。

m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p i-1p k p j。

由于在计算时并不知道断开点k的位置，所以k还未定。

3、计算最优值
根据计算m[i][j]的递归式，容易写一个递归算法计算m[1][n]。

动态规划法解决此问题，可依据递归式以自底向上的方式进行计算，在计算过程中保存已解决的子问题答案。

每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法matrixChain。

(见实验代码部分)
4、构造最优解
算法matrixChain只计算出最优值，并没有给出最优解。

但是matrixChain已经记录了构造最优解所需的全部信息。

S[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵A k和A k+1之间断开，最优加括号方式为(A[i:k])(A[k+1:j])。

依次构造最优解。

(算法见实验代码部分)
三、实验结果
四、结果验证
对实验结果进行验证，4个矩阵分别是A1[35*15]，A2[15*5]，A3[5*10]，A4[10*20]。

依递归式有：
M[1][4]=min{0+2500+35×15×20=13000
2625+1000+35×5×20=7125
4375+0+35×10×20=11375
=7125
且k=3。

计算结果正确，证明所编写的程序可正确算出最优解。

五、实验代码
#include<stdio.h>
#define N 100//定义最大连乘的矩阵个数是100
void matrixChain(int p[],int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])/*用m[i][j]二维数组来存储Ai*.....Aj的最少数乘次数，
用s[i][j]来存储使Ai.....Aj获得最少数乘次数对应的断开位置k，需要注意的是此处的N+1非常关键，虽然只用到的行列下标只从1到N，
但是下标0对应的元素默认也属于该数组，所以数组的长度就应该为N+1*/ {
int n=N;//定义m,s数组的都是n*n的，不用行列下标为0的元素，但包括在该数组中
for(int i=1;i<=n;i++)
m[i][i]=0;/*将矩阵m的对角线位置上元素全部置0，此时应是r=1的情况，表示先计算第一层对角线上个元素的值*/
for(int r=2;r<=n;r++)//r表示斜对角线的层数，从2取到n
{
for(int i=1;i<=n-r+1;i++)//i表示计算第r层斜对角线上第i行元素的值
{
int j=i+r-1;//j表示当斜对角线层数为r，行下标为i时的列下标
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//计算当断开位置为i时对应的数乘次数
s[i][j]=i;//断开位置为i
for (int k=i+1;k<j;k++)
{
int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];/*计算断开位置k为从i 到j（不包括i和j）的所有取值对应的
（Ai*.....*Ak）*（Ak+1*.....Aj）的数乘次数*/
if(t<m[i][j])
{
m[i][j]=t;//将Ai*....Aj的最少数乘次数存入m[i][j]
s[i][j]=k;//将对应的断开位置k存入s[i][j]
}
}
}
}
}
void traceback(int i,int j,int s[][N+1])//用递归来实现输出得到最小数乘次数的表达式
{
if(i==j)
{
printf("A%d",i);
}
else
{
printf("(");
traceback(i,s[i][j],s);
traceback(s[i][j]+1,j,s);
printf(")");
}
}
void main()
{
int n;//用来存储矩阵的个数
int q[2*N];/*用q数组来存储最原始的输入（各矩阵的行和列），主要目的是为了检验这N个矩阵是否满足连乘的条件*/
int p[N+1],flag=1;/*用p[i-1],p[i]数组来存储A的阶数，flag用来判断这N个矩阵是否满足连乘*/
int m[N+1][N+1];// 用m[i][j]二维数组来存储Ai*......Aj的最小数乘次数int s[N+1][N+1];// 用s[i][j]来存储使Ai......Aj获得最小数乘次数对应的断开位置k
printf("输入矩阵的个数(注：小于100)：");
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<=2*n-1;i++)//各矩阵的阶数的输入先存入数组q中接受检验{
if(i%2==0)
{
printf("————————\n");
printf("*输入A%d的行:",(i/2)+1);
}
else
{
printf(" ********列:");
}
scanf("%d",&q[i]);
}
for(i=1;i<=2*n-2;i++)//矩阵连乘条件的检验{
if(i%2!=0&&q[i]!=q[i+1])
{
flag=0;
break;
}
}
for(int j=1;j<=n-1;j++)
{
p[j]=q[2*j];
}
if(flag!=0)
{
p[0]=q[0];
p[n]=q[2*n-1];
matrixChain(p,m,s);
printf("式子如下:\n");
traceback(1,n,s);
printf("\n");
printf("最少数乘次数为%d\n",m[1][n]);
}
else
{
printf("这%d个矩阵不能连乘!\n",n);
}
}
六、实验心得
通过本次实验，我较为透彻的理解了动态规划算法的几个基本步骤。

完成实验后，我认为建立递归关系是很关键的一步，同时也是整个动态规划算法的精髓。

掌握了递归的思想，就可以完成很多不必要的重复计算。

具体到矩阵连乘问题，关键是解决断开点k的位置和最少数乘次数。

总体来说，这次实验不仅让我基本掌握递归的思想，而且进一步提高了自己的自学能力和编程能力，代码运用C语言写出，可以很好的体会C语言和C++的不同点和相同点。

我也体会到，想要理解一个新的算法，必须要通过自己不断的编写程序，不断的思考才能真正的领悟，因此我会不断朝着这个方向努力。