1 第四章 三角函数教材分析

第四章 三角函数教材分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础本章教学时间约用36课时，具体分配如下(仅供参考)：4.1角的概念的推广 约2课时4.2弧度制 约2课时4.3任意角的三角函数 约2课时4.4同角三角函数的基本关系式 约2课时4.5正弦、余弦的诱导公式 约3课时4.6两角和与差的正弦、余弦、正切 约7课时4.7二倍角的正弦、余弦、正切 约3课时4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质 约4课时4.9函数y=Asin(ωx+φ) 的图象 约3课时4.10正切函数的图象和性质 约2课时4.11已知三角函数值求角 约2课时小结与复习 约4课时一、 内容与要求(一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等(二)章头引言安排了一个实际问题——求半圆内接矩形的最大面积．这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值 第一大节是“任意角的三角函数”教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦、余弦的诱导公式教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用 第二大节是“两角和与差的三角函数”教科书先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明)，用距离公式推出余弦的和角公式，然后顺次推出(尽量用启发式)其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实第三大节是“三角函数的图象和性质”教科书先利用正弦线画出函数x y sin = ，x ∈[0,π2]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动2π个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx 、arccosx 、arctanx 等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案(三)本章的教学要求是：1．使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算2．使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式3．使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力 4．使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）5． 使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A 、ω、φ的物理意义6．使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示二、 考点要求1．理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算2．掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求)sin(ϕω+=x A y 的周期，或者经过简单的能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式3．了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数)sin(ϕω+=x A y 的简图，并能解决正弦、曲线有关的实际问题4．能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式5．了解三角函数的积化和差与和差化积公式6．能正确地运用上述公式简化三角函数式、求某些角的三角函数值证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题7．掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程、并能运用它们解斜三角形三、考点分析三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系，它既是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考查双基的重要内容之一本章分两部分，第一部分是三角函数部分的基础，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上 试题以选择题、填空题形式居多，试题难度不高，常与其他知识结合考查复习时应把握好以下几点：1．理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来，二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数2．要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念3．在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取4．单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，用三角函数线的数值来代替三角函数值，比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多，因此，三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具5．要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性6．函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小7．对于具有周期性的函数，在作图时只要先作它在一个周期中的图象，然后利用周期性就可作出整个函数的图象8．对于θθ33cos sin +，θθ44cos sin +，θθ66cos sin +等表达式，要会进行熟练的变形，并利用1cos sin 22=+θθ等三角公式进行化简 本章第二部分是两角和与差的三角函数，考查的知识共7个，高考中在选择题、填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识，题目多为求值题，有直接求某个三角函数值的，也有通过三角变换求函数的变量范围，周期，最小、大值和讨论其他性质；以及少量的化简，证明题考查的题量一般为3—4个，分值在12—22分，都是容易题和中等题，重点考查内容是两角和与差的正弦、余弦及正切公式，和差化积、各积化和差公式考生丢分的原因主要有以下两点：一是公式不熟，二是运算不过关，因此复习时要注意以下几点：1．熟练掌握和、差、倍、半角的三角函数公式复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧①常值代换，特别是“1”的代换，如：θθctg tg =1，θθ22cos sin 1+=，θθ22csc 1ctg -=，θθ22sec 1tg -=等等 ②项的分拆与角的配凑 ③降次与升次 ④万能代换另外，注意理解两角和、差、倍、半角公式中角的实质，可以把公式中的角看成一种整体形式，可以锦成其他变量或函数，这样可加大公式的应用范围和力度2．要会运用和差化积与积化和差公式反之亦然，对于形如θθcos sin b a +的式子，要引入辅助角ϕ并化成)sin(22ϕθ++b a 的形式，这里辅助角ϕ所在的象限由b a ,的符号决定，ϕ角的值由ab tg =ϕ确定想，务必强化训练，加深认识3．归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧①三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等 ②三角函数的求值问题，主要有两种类型一关是给角求值问题；另一类是给值求角问题值的三角函数式之间建立起联系选用公式时应注意方向性、灵活性，以造成消项或约项的机会，简化问题4．关于三角函数式的简单证明三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种，证明方法灵活多样一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定①不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法、在特定的条件下，也可使用数学归纳法②附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件，也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系常用的方法是代入法和消元法 三角恒等证明中要重点会用和差与积的互化公式，掌握等价转化的思想和变量代换的方法选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式而关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证βα=，先证明βα,的同名三角函数值相等，即)()(βαf f =，再证明βα,在三角函数)(x f y =的同一单调区间内，而后由函数的单调性得出βα=5．在解有关三角形的问题中，锐角三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理ah S 21=，C ab S sin 21=的妙用和三角形内角和π=++C B A 的制约关系的作用6．求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值 四、三角函数中应注意的问题(一)本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同角三角函数间的关系式、诱导公式难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与正弦曲线的关系关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质由于课时较紧，教学中应遵循大纲所规定的内容和要求，不要随意补充已被删简的知识点例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲1cos sin 22=+αα，αααtan cos sin =，1cot tan =⋅αα三个；除απαtan )2tan(=+k （k ∈Z ）外，其余诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示那几个，以后求tan 0120可通过用科学计算器或者转化为 00120cos 120sin 来求；在推导正切的和角公式以及画正切函数的图象时，出现了正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求学生记忆；积化和差与和差化积公式、半角公式也只是作为和(差)角公式的应用出现一下，结果不要求记忆，更不要求运用；此外，也不要补充“把ααcos sin b a +化成一个角的三角函数的形式”这样的例习题(二)在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性事实上，角的概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R 及之间建立起一种一一对应的关系说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一的所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应有的教师认为角度制的计量单位太小，而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致关键在于用角度制表示角的时候，我们总是十进制、六十进制并用的，例如角'''0122161其中61、21、12都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的，这样，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进数)，要经过一番计算，这就不太方便了(三)定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例如，只有 x y sin =，R x ∈才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数，例如R x x y ∈=,2sin 可以说是2x 的正弦函数(这时可说它是三角函数)，也可以说是正弦函数R t t y ∈=,sin 与正比例函数 R x x t ∈=,2的复合函数，但不能说是x 的正弦函数另一点是函数的定义域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说(或写)“正弦函数y=sinx ”，需知“函数x y sin =，]2,0[π∈x ”只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体(四)关于已知三角函数值求角，在讲解相关例题时，可以利用设辅助角(即通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用)来求解，把求解过程调整为：1、如果函数值为正数，则先求出对应的锐角0x ，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值相应的锐角x2、决定角x 可能是第几象限角3、如果函数值为负数，则根据角x 可能是第几象限角，得出 )2,0(π内对应的角——如果它是第二象限角，那么可表示为 0x -π;如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 0x +π或2x -π也可以把上述辅助角看作参变量(x 为自变量)，那么所提供的方法就可以看作参数的应用好处的(五)本章所使用的符号及其用法，全部与国家标准所规定的取得一致，在板书中逐渐达到规范化物理教科书也是这样做的因此在布置和批改作业时，对于本章中的几道与物理(力学、电学)有关的习题，解答时使用的符号及其用法，应与教科书上的相同，以免与物理教师讲课时的要求发生矛盾，弄得学生无所适从(六)注意符合学生的认识规律除了从实际问题引入数学概念之外，在这方面的措施有：(1)重建数形结构首先通过平面直角坐标系(数形结合)定义任意角α的三角函数，在得到“终边相同的角的同一三角函数的值相等”即第一组诱导公式后，就引入与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式(三角函数线)表示出来；然后学习同角三角函数的两个基本关系式，其他诱导公式，以及两角和与差的三角函数，这一部分属于式的化简、求值、恒等关系的证明以及它们的简单应用，研究方法以数为主，以形为辅；最后学习三角函数的图象和性质、其应用包括已知三角函数值求角，这一部分的研究方法则以形为主，以数为辅(2)利用学生已有的认知结构首先利用二次函数的知识来解决问题；建立任意角的概念时，利用学生观看体操节目已有的例如对于“转体720度”的直觉和语词记忆；画余弦函数的图象时，利用正弦曲线和诱导公式，已知三角函数值求角时，利用三角函数的图象和性质(3)精简认知结构，略去或简化不必要的程序例如，从锐角三角函数直接推广到任意角三角函数，略去了讲钝角三角函数这一程序这样做不仅节约了课时，而且密切了“任意角”与“任意角三角函数”的联系，反而加强了后者这一知识的发生和形成过程。