导学先锋高一数学

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高中数学课课精练导学先锋必修一(110-160)

单元测试一、填空题（每小题4分，共40分） 1.化简：()3121133214(0.1)a b---⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭⋅⋅________.2.化简21151********33a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果是________.3.计算：91log 2lg2lg503-++=________.4.若log 2a m =，log 3a n =，则2m n a +=________.5.已知lg 6a =，lg15b =，试用a 、b 表示lg 48=________.6.若lg lg(4)2lg(3)x y x y +=-，则x y -的值是________.7.如果11251111log log 33a +=，那么3a =________.8.若227x y A ==，且112x y+=，则A 的值是________. 9.方程()()22log 972log 31x x +=++的解为________. 10.若正实数a 、b 、c 均不为1，满足x y z a b c ==，且1110x y z++=，则abc 的值为________. 二、选择题（每小题4分，共16分） 11.下列各式中成立的一项是（）A.7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭34()x y +D.12.若102(32)(2)x x --+-有意义，则x 的取值范围是（）A.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.2,2(2,)3⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.2,2(2,)3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭13.若2log (2)log log a a a M N M N -=+，则的值为（）A.14B.4C.1D.4或114.若221x y +=，0x >，0y >，且log (1)a x m +=，1log 1a n x=-，则log a y 等于（） A.m n +B.m n -C.1()2m n +D.1()2m n - 三、解答题（15、16、17题每题5分，18题8分，19题9分，共32分） 15.已知17a a -+=，求下列各式的值：（1）33221122a a a a----；（2）1122a a-+；（3）22(1)a a a -->.16.设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=，若4log 11b c a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值.17.设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值. 18.已知不等式21212log 9log 902x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为M ，求当修正处x M ∈时，函数22log log 28x x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值.19.已知2lg lg lg lg [lg()]0lg lg lg lg x y x y x y x y x y++-++=⋅，求2log ()xy 的值. 四、能力拓展题（本题12分） 20.设x 、y 、z 均为正数，且346x y z ==. （1）试求x 、y 、z 之间的关系；（2）求使2x py =成立，且与p 最近的正整数（即求与p 的差的绝对值最小的正整数）；（3）试比较3x 、4y 、6z 的大小.第4章幂函数、指数函数与对数函数4.1 幂函数第1课时幂函数的定义与图像一、填空题1.若一个函数为幂函数，又是二次函数，则该函数的表达式为________.2.若一个函数为幂函数，又是反比例函数，则该函数的表达式为________.3.若一个幂函数的图像过点(27,3)，则该函数的表达式为________.4.下列所给出的函数中，是幂函数的是________（填序号）. ①3y x =-；②3y x -=；③32y x =；④31y x =-5.若11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且图像关于原点成中心对称的所有a 的值为________________.二、选择题6.若幂函数a y x =的图像经过点⎛ ⎝⎭，则当4x =时的函数值为（） A.16B.2C.116D.127.函数43y x =的图像是（）8.下列命题中正确的是（）A.当0a =时，函数y x α=的图像是一条直线B.幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点C.幂函数32y x -=的定义域为[0,)+∞D.幂函数的图像不可能出现在第四象限三、解答题9.已知函数()22211mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值.10.已知函数()2221m m y m m x --=+，当m 取什么值时，这个函数是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）在第一象限内它的图像是上升曲线？11.已知幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确定函数的表达式.四、能力拓展题12.请把相应的幂函数图像代号填入表格.①23y x =；②2y x -=；③12y x =；④1y x -=； ⑤13y x =；⑥43y x =；⑦12y x -=；⑧53y x =.第2课时幂函数的性质一、填空题 1.若幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 轴、y 轴无交点，且图像关于原点成中心对称，则m 的值为________.2.若一个幂函数的图像过点4(3,27)，则该函数的表达式为________.3.若幂函数249aa y x --=的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是严格减函数，则正整数a的值是________.4.直接比较下列组中两个值的大小：（1）6110.6________6110.7；（2）53(0.88)________53(0.89). 5.若幂函数()22231mm y m m x --=--在(0,)x ∈+∞时为严格减函数，则(0,)x ∈+∞________.二、选择题6.下列函数中在区间(0,3)上是严格增函数的是（）A.1y x =B.12y x =C.13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2215y x x =--7.下列幂函数中，其图像关于y 轴对称且过点(0,0)、(1,1)的是（） A.12y x =B.4y x =C.2y x -=D.13y x =8.若幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图像如图所示，则（） A.101n m -<<<< B.1n <-，01m << C.10n -<<，1m > D.1n <-，1m > 三、解答题9.已知幂函数()2732351t t y t t x+-=-+的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上为严格增函数，求函数的表达式.10.已知1133(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围.11.已知一个幂函数的图像经过点127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求该函数的表达式；（2）判断该函数的单调性. 四、能力拓展题 12.（1）求函数11x y x -=+的单调区间和对称中心；（2）求函数(0)x ay a b x b+=>>+的单调区间和对称中心；若此函数是由某个幂函数平移得到，求a 、b 满足的条件.4.2 指数函数第1课时指数函数的定义与图像一、填空题 1.函数132xy -=的定义域是________.2.若函数()233x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为________.3.若函数2x y a -=（0a >，且2x y a -=），则该函数的图像恒过的定点坐标是________.4.若10.225x >，则实数x 的取值范围是________. 5.若函数()21xy a =-是严格减函数，则a 的取值范围是________. 二、选择题6.下列各式中，错误的是（） A.0.80.733> B.0.40.60.50.5>C.0.10.10.750.75-<D. 1.6 1.4>7.函数1x y a =+（0a >且1a ≠）的图像必经过点（） A.(0,1) B.(1,0)C.(2,1)D.(0,2)8.函数11312x y =+-的图像（） A.关于原点成中心对称 B.关于y 轴对称C.既关于原点成中心对称又关于y 轴对称D.既不关于原点成中心对称也不关于y 轴对称三、解答题9.下列函数中哪些是指数函数，哪些是幂函数，哪些既不是指数函数也不是幂函数？（1）πx y =；（2）2y x =；（3）y =（4）y =（5）22x y =；（6）2x y =-.10.比较下列各组数中两个数的大小. （1） 2.61.2和 2.611.2；（2） 2.10.8-和 2.10.7-；（3）0.40.3和0.30.4.11.求函数()120.58xy -=-的定义域.四、能力拓展题12.已知函数23x y a -=（0a >，且1a ≠）. （1）求该函数的图像恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性（不必证明）.第2课时指数函数的性质一、填空题1.若函数(0,1)x y a a a =>≠的图像过点(-1,2)，则a =________.2.若函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点，则该定点坐标是________.3.若函数1xy a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是________.4.若某地现有绿地2100km ，计划每年按1%的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为________2km .5.若定义运算()*()a ab a b b a b ⎧=⎨>⎩，则函数1*2x y =的函数值的取值集合为________.二、选择题6.若0x >，函数()28xy a =-的值恒大于1，则实数a 的取值范围为（）A.(-2,2)B.(,2)(2,)-∞-⋃+∞C.(3,3)-D.(,3)(3,)-∞-⋃+∞7.若某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）A.mB.12m C.121m - D.111m -8.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（2m ）与时间t （月）的关系：t y a =，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过230m ； ③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是（） A.①②③ B.①②③④C.②③④D.①②三、解答题9.已知函数21x b y a +=+（0a >且1a ≠，b 为实数）的图像恒过定点(1,2)，求b 的值.10.某地区脑卒中发病人数呈上升趋势.经统计分析，从2010年到2019年的10年间每两年上升2%，2018年和2019年共发病815人.如果按照这个比例下去，从2020年到2023年有多少人发病？11.已知函数221xxay+=+的图像关于原点对称.（1）求a的值；（2）判断函数的单调性（不需证明）.四、能力拓展题12.若函数22313x mxy+-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(1,1)-上是严格减函数，求实数m的取值范围.第3课时指数函数的图像与性质一、填空题1.若函数()23xy a =-在0x <上的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________.2.若函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，则实数a 的值是________.3.方程||22x x +=的实根的个数为________.4.若函数141x y a =++的图像关于原点成中心对称，则实数a 的值为________. 5.若函数212x y a=-+（a 是常数），当1a =时，则函数的值域为________. 二、选择题6.若函数1221,0,0x x y x x -⎧-⎪=⎨⎪>⎩，当0x x =时函数值0x x =，则0x 的取值范围是（）A.(1,1)-B.(1,)-+∞C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞D.(,1)(1,)-∞-⋃+∞7.若函数y =ax -（b +1）（0a >，1a ≠）的图像经过第一、三、四象限，则一定有（） A.1a >且0b >B.01a <<且0b <C.01a <<且0b >D.1a >且1b >8.若函数42x x y a a =-⋅+在(0,)x ∈+∞的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（）A.3aB.2a >C.04a <<D.4a <三、解答题9.已知[0,2]x ∈，求函数124325x x y -=-⋅+的最值.10.求函数2222xx y -++=的定义域和值域.11.已知对任意的x ∈R ，不等式22241122x mx m xx-+++⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.四、能力拓展题12.已知函数11124x xy a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当1a=时，求函数在(,0)-∞上的值域；（2）若对任意[0,)y成立，求实数a的取值范围.x∈+∞，总有||3延伸阅读（9）——指数爆炸在延伸阅读（8）中，我们领略了两位伟人的数学故事.事实上，教科书第86页的引例，可以做更一般的探索.一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍；对折第二次，变为原来的2的2次方倍，即4倍；依次类推，假设纸的厚度为0.1mm ，则对折24次以后，高度超过1km ；对折39次高度达55000km ，超过地球赤道长度；对折42次高度达44万km ，超过地球至月球的距离；对折51次高度达22亿km ，超过地球至太阳的距离；对折82次高度为51113光年，超过银河系半径的长度.不过，这只是一个不符合实际的数学理论推理数字.那么在现实生活中，一张纸究竟能折多少次呢？如果纸为正方形，边长为a ，厚度为h ，当折叠一次的时候，折叠边长不变，厚度为2h ，折叠两次的时候，折叠边长为原边长的二分之一，厚度变为4h ，就这样折叠下去，可以推出一个公式：当折叠次数n 为偶数次时，折叠边长为0.512n ，厚度为2h ，当满足221log 13n h ⎛⎫>- ⎪⎝⎭时无法折叠.根据一般的纸张的状况，厚度大约为0.1mm ，边长为1m 时，根据上述公式，可以得出8.1918n >时无法折叠，这意味着对于厚度大约为0.1mm ，边长为1m 的正方形纸，只能折叠8次但折叠8次，人类是很难办到的，只能依靠机器.所以，一张纸最多能对折多少次，实际是一个变数，它取决于纸张的实际厚度与大小.在现实生活中，一张普通的A4纸，一般人可以折到6次，厉害的人可以折到7次，你能计算此时纸的厚度吗？杰米是百万富翁.一天，他碰到上一件奇怪的事一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月（31天）中每天给你1万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的2倍.”杰米答应了，合同开始生效，杰米欣喜若狂.第一天他支出1分钱，收入10万元；第二天，他支出2分钱收入10万元；到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出5元1角2分；到了第20天，米共得200万元，而韦伯才得5千元多.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变：第21天杰米支出1万多，收入10万.到第28天，杰米支出134万多，收入10万结果，杰米在一个月（31天）内得到310万元的同时，共付给韦伯2100多万元！杰米破产了.最后，我们看细胞分裂：细菌个数每次增倍所需的时间是1小时，也就是说，如果设0时刻存在的细菌数量为1，则1小时后的细菌数量为2，于是一天（24h ）后的细菌数量是24.这串巨大的数字恰恰说明了指数增长的速度有多快，它还表明，我们需要小216777216心数学公式是否完全契合现实：1600万左右的细菌其实仍然很少（即使1万亿个细菌也才只有1g重），这个答案可能是精确的.但是，如果我们用公式计算6天后的细菌数量，我们得到的细菌质量将是地球质量的3700多倍；计算一周后的细菌数量，其质量将超过100000个太阳的质量.事实上，在几天内不断繁殖的细菌就能耗尽现有的所有食物，空间也越来越拥挤，没有足够的资源供细菌继续这样裂变，到最后细菌停止生长.由此可见，世界未覆灭于细菌王国，人类何其幸运！这就是指数爆炸！每周一练一、填空题1.若一个函数既是幂函数又是反比例函数，则该函数的表达式为________.2.方程210x x --=解的个数是________个.3.比较大小：（1）351.2________351. 3；（2）23(0.71)--________230.72-；（3）0.80.7________0.70.8.4.已知函数21x y =-，若函数在0x 的函数值都小于1，则0x 的取值范围是________.5.函数13x y a -=+恒过定点________.6.函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[1,2]x ∈-的值域为________.7.将函数231x y =-图像向上平移1个单位再向右平移1个单位，可得函数________的图像.8.若不等式23155xx x +-⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，则实数x 的取值范围是________. 9.若0x <时，()21xa -的值总是小于1，则实数a 的取值范围是________.10.若直线3y a =与函数11x y a +=-（0a >且1a ≠）的图像有两个公共点，则实数a 的取值范围是________________.二、选择题11.若指数函数(2)x y a =-在x ∈R 上是严格减函数，则a 的取值范围是（） A .2a >B.3a <C.23a <<D.3a >12.若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（） A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限13.若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（）A.6B.8C. D.14.函数||2x y =的大致图像是（）三、解答题15.求下列函数的值域：（1）23113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）421x x y =++. 16.已知幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的草图.17.已知定义域为R 的函数122x x by a+-+=+的图像关于原点成中心对称.求实数a 、b 的值.18.已知函数x y a b =+（0a >且1a ≠）的定义域和值域都是修正处[1,0]-，求a b +的值.19.已知函数3131x x y -=+.（1）求函数的值域；（2）判断函数在(,)-∞+∞上的单调性（无需证明）. 四、能力拓展题 20.已知幂函数2232()p p y x p -++=∈Z 在R 上的图像关于y 轴对称，并在(0,)+∞为严格增函数（1）求p 的值，并写出此函数的表达式；（2）设函数232212p p y xqx q -++=-++，在（1）的条件下，问是否存在实数q ，使得此函数在区间[0,2]上有最小值为2-？若存在，求出q 的值；若不存在，说明理由.4.3 对数函数第1课时对数函数的定义和图像一、填空题 1.函数()lg 821x y x -=-的定义域是________.2.若对数函数的图像过点(4,2)-，则此函数的表达式为________.3.若(1)log (1)k k +-有意义，则实数k 的取值范围是________.4.若函数2log (01)3xa y a ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是________.5.若函数()22log 3y ax x a =++的定义域是R ，则a 的取值范围是________. 二、选择题6.若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图像不经过（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限7.已知函数1log a y x =和2(2)y k x =-的图像如图所示，则不等式120y y 的解集是（）A.(1,2]B.[1,2)C.(1,2)D.[1,2]8.如果log 2log 20m n <<，m 、n 为不等于1的正数，那么下列关系式中成立的是（） A.1n m << B.1m n << C.1m n <<D.1n m <<三、解答题9.（1）当3log (72)0x ->时，求实数x 的取值范围；（2）当13log (72)0x ->时，求实数x 的取值范围；（3）当3log (72)x x -恒取正值时，求实数x 的取值范围. 10.求函数()24log 32y x x =+-的最大值及相应x 的取值. 11.求下列函数的定义域：（1）12log y =（2）y ；（3）()log (0,1)x a y a a a a =->≠. 四、能力拓展题12.试求函数)2log 26y x x =++的定义域和值域.第2课时对数函数的性质一、填空题 1.若4log 15x<，则x 的取值范围为________.2.函数y 的定义域是________.3.若集合{}|2,x A y y x ==∈R ，{|lg(3)}B x y x ==-，则A B ⋂=________.4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =________.5.使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是________. 二、选择题6.与函数y x =为同一函数的是（）A.log x y x x =B.yC.log (0,1)a x y a a a =>≠D.log (0,1)x a y a a a =>≠7.方程()ln 9310x x +-=的根为（） A.1B.2-C.0D.0，1或2-8.若221log 01a a a+<+，则a 的取值范围是（）A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.(1,)+∞C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题9.设函数11log 3x y =+，22log 2x y =，其中0x >且22log 2x y =，试比较1y 与2y 的大小. 10.已知函数25lg (2)(2)4y k x k x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦的定义域为R ，求实数k 的取值范围.11.已知函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭. （1）求此函数的定义域；（2）若函数值都大于等于1-，求实数x 的取值范围. 四、能力拓展题12.已知函数()log 1(0,1)x a y a a a =->≠.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的单调性.复习与小结（1）一、填空题1.若0a >，1a ≠，则函数()23log 1a y x =++的图像恒过定点________. 2.函数32y x -=的定义域是________.3.若函数22313x mx y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(2,2)-上是严格减函数，则实数m 的取值范围是________.4.若函数142x x y m +=-⋅，存在实数0x ，0x x =和0x x =-的函数值相反，则实数m 的取值范围是________.5.若函数1231,(0),(0)x x y x x -⎧-⎪=⎨⎪>⎩在区间[1,]m -上的最大值是2，则m 的取值范围是________________.二、选择题6.若集合{}2|10A x x =->，{}2|log 0B x x =>，则A B ⋂等于（） A.{|}1x x > B.{|0}x x > C.{1|}x x <-D.11{|x x x <->或7.已知函数()2231m m y m m x +-=--是幂函数，且(0,)x ∈+∞时，若此函数是严格减函数，则m 的值为（）A.1-B.2C.1-或2D.38.若函数()23log 21y mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围是（） A.(0,1) B.[0,1] C.[1,)+∞ D.(,1)-∞三、解答题 9.已知函数223()mm y x m -++=∈Z 的图像关于y 轴对称，且3x =的函数值小于5x =的函数值，求m 的值，并确定该函数的表达式.10.求下列函数的定义域.（1）log (3)log (3)a a y x x =-++（0a >，且1a ≠）；（2）()2log 164x y =-.11.已知函数10101010x xx xy ---=+. （1）求函数的定义域；（2）求函数的值域. 四、能力拓展题12.已知函数()9log 91()x y kx k =++∈R 的图像关于y 轴对称. （1）求k 的值；（2）若此函数的图像在直线12y x b =+上方，求实数b 的取值范围.复习与小结（2）一、填空题1.若指数函数(12)x y a x =的最大值与最小值之和等于6，则2.若点(3,27)在幂函数(2)a y t x =-的图像上，则t a +=3.某食品的保鲜时间y （单位：h ）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx by e +=（ 2.718e =…为自然对数的底数，k 、b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间设计192h ，在22℃的保鲜时间是48h ，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.4.若函数()2lg 2y x ax =-+在区间(1,2)是严格减函数，则实数a 的取值集合是________.5.函数21(0,1)2x y x a a a =-->≠.若[1,1]x ∈-时，函数值均小于0，则实数a 的取值范围是________.二、选择题6.若0a >，0b >，且1ab =，1a ≠，则函数x y a =与函数log b y x =-在同一坐标系中的图像可能是（）7.设|1|3x y =-，c b a <<，若函数在x c =的函数值大于函数在x a =的函数值，函数在x a =的函数值大于x b =的函数值，则下列关系式中一定成立的是（）A.33c b >B.33b a >C.332c a +>D.332c a +<8.给出下列4个结论：①函数(0,1)x y a a a =>≠与函数log (0,1)x a y a a a =>≠的定义域相同 ②函数3(0)x y k k =⋅>（k 为常数）图像可由3x y =的图像平移得到③函数11(0)221x y x =+≠-的图像关于原点成中心对称且11212xy x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的图像关于y 轴对称④若幂函数a y x =的图像关于原点成中心对称，则a y x =是定义域上的严格增函数则以上4个结论中正确结论的个数（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个三、解答题9.求函数21144log 2log 5y x x =-+，[2,4]x ∈的最值.10.解不等式：1133(3)(12)a a ---<+.11.已知函数x y b a =⋅（其中a 、b 为常量，且0a >，1a ≠）的图像经过点(1,6)(3,24)A B 、.（1）求该函数的表达式；（2）若不等式110xxm a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围.四、能力拓展题12.（1）关于x 的方程1936(5)0x x k k k +⋅-⋅+-=在[0,2]上有唯一解，求实数k 的取值范围；（2）已知关于x 的方程()2113(1)31(3)30x x x m m ++++---⋅=有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.单元测试一、填空题（每小题4分，共40分）1.若点⎝⎭在一个幂函数图像上，则这个幂函数的表达式是________.2.函数1lg 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是________.3.若函数(1)x y m =+在R 上是严格增函数，则实数m 的取值范围是________.4.若函数141x y a =+-的图像关于原点成中心对称，则实数a 的值为________. 5.若252222x x +-=，则()2lg 1x +=________.6.若实数x 满足不等式()222log 2log (4)x x x ->+，则实数x 的取值范围是________. 7.若函数()2lg 223y x ax a =-++的值域是R ，则实数a 的取值范围是________. 8.若直线y a =与函数21x y =-∣的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________. 9.无论a 为何值，函数(1)22x ay a =--恒过一定点，这个定点的坐标是________. 10.若函数0(3)4,0x a x y a x a x ⎧<=⎨-+⎩在(,)x ∈-∞+∞上严格单调递减，则实数a 的取值范围是________.二、选择题（每小题4分，共16分） 11.函数22log (1)y x x =+的值域为（） A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.[2,)+∞D.[3,)+∞12.方程1lg(2)2xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解的情况为（）A.两个正根B.一个正根一个负根C.一个正根D.无实数根13.不等式11log (21)log (1)a a x x --->-成立的充要条件是（） A.0x > B.0x >且2a > C.1x >且1a >D.x >1且2a >14.若函数()22log 217y x x =-+的值域为[,)m +∞，当正数a 、b 修正处满2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（） A.94B.1D.2三、解答题（15、16、17题每题5分，18题8分，19题9分，共32分） 15.已知m ∈Z ，函数28mmy x -=的图像关于原点对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求m的值.16.求121x y =-的值域. 17.银行一年定期储蓄年利率为2.25%，若存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（20%交纳利息税）转存一年定期储蓄.某人于年初存入银行5万元.（1）至少存几年，才可以得到大于2500元的利息？（2）若此人改为按三年定期储蓄存入银行5万元（三年定期储蓄的年利率为3.24%），三年后一次取出全部本息（利息按20%交税），问按哪一种方式能获得更多的利息？利息差是多少？（保留2位小数）18.已知关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有实数解，求实数a 的取值范围.19.已知x 满足222log 5log 60x x -+，求函数2124log log 2x y x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 四、能力拓展题（本题12分）20.已知函数3log ()y ax b =+的图像过点(2,1)A 和(5,2)B . （1）求此函数的表达式；（2）已知函数31log 2y t x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，若两个函数图像在区间[1,2)上有公共点，求t 的最小值.延伸阅读（10）——对数的故事教科书P75课后阅读《对数简史》，为我们展示了对数发展的脉络，而形成对数的数学思想，蕴含在对数的故事中.对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——约翰·纳皮尔（John Napier，1550-1617）.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔是一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？乘法转化为加法：在那个时代，计算多位数之间的乘积，是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：（1）0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…（2）1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的指数对应的幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算32512⨯的值，就可以先查第一行的对应数字：32对应于5，512对应于9；然后再把第一行中的对应数字相加：5914+=；再查第一行中的14，对应于第二行中的16384，所以有：3251216384⨯=.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了，这种“化乘除为加减”，达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年探索，纳皮尔于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了这项发明，并解释了这项发明的特点.改良与完善：该书的发表引起了另一位数学家亨利·布里格斯（Henry Briggs，1561—1630）的极大兴趣.1616年，他去拜访纳皮尔，建议将对数改良到以10为基底的对数表以方便使用，这就是后来常用对数了.约翰·纳皮尔本人也考虑过这个问题，遗憾的是，不久后（1617年春天）他便去世了.于是，布里格斯竭尽毕生精力完成了改良工作，以10为底列出一个很详细的对数表.第三位发现者：瑞士工程师兼钟表匠茱斯特·比尔吉（Joost Burg i，1552—1632）曾担任著名天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）的助手，因此常接触到复杂的天文计算，也产生了化简数值计算的强烈愿望.他早于纳皮尔创建了一种对数体系，但由于某些原因，直至1620年才在布拉格匿名发表.所以在对数体系发明这件事上，世人大多只记住了纳皮尔而鲜少提及比尔吉.因此，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣.恩格斯在《自然辩证法》中，曾把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分称为17世纪的三大数学发明.法国数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749—1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”广泛运用：利用对数这个工具，天文学家们就能够轻松地进行繁琐的大数相乘的运算，天文研究突飞猛进.连伽利略都说：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙.”除此之外，对数在经济学、统计学、生物学、化学等领域均得到广泛的应用.对数的发明和应用给了我们一个启示，数学理论的发展可以极大程度地推动社会生产、科学技术的进步.所以别再说学数学无用了——学好数学用处大大的！第5章函数的概念性质及应用5.1 函数第1课时函数一、填空题 1.函数1|2|1y x =+-的定义域是________.2.函数y =________.3.函数1(2)2y x x x =+>-的值域是________. 4.函数2121x x y -=+的值域是________.5.若(1)f x +的定义域为[1,2]，则()2log f x 的定义域是________. 二、选择题6.函数y =的定义域为（）A.(,1]-∞B.(,2]-∞C.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D.11,,122⎛⎫⎛⎤-∞-⋃- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦7.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A.()f x x =，2()g x =B.()f x x =，()g xC.()f x ()g x =D.21()1x f x x -=+，()1g x x =-8.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A.()||f x x =，2()g x = B.()f x x =，11()g x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()f x x =，log ()a x g x a =D.()2ln ||f x x =，2()ln g x x =三、解答题9.求函数y =.10.求函数()222log 32y x ax a =-+的定义域.11.已知函数22()1x f x x =+，求：（1）1()f a f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）11(1)(2)(3)23f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）111(1)(2)(99)(100)23100f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四、能力拓展题12.设函数()f x 的定义域为[0,1].（1）求函数()(21)F x f x =-的定义域；（2）设0a >，求函数()()()G x f x a f x a =++-的定义域.第2课时函数的表示方法一、填空题1.若函数2()1f x x=+，则[(1)]f f=________；[()]f f x=________.2.若21,0()2,0x xf xx x⎧+=⎨>⎩，则满足()10f x=的x=________.3.若1)2(1)f x x=-，则()f x=________.4.若()f x是一次函数，满足3(1)2(1)217f x f x x+--=+，则()f x=________.5.若13()24f x f xx⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x=________.二、选择题6.下列四个图像中，不是函数图像的是（）7.函数1yx a=+（常数0a<）的图像所经过的象限是（）A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限8.若x〈〉表示比x大且最接近x的整数，则函数y x=〈〉的图像与y x=的图像交点个数是（）A.0B.无数个C.1D.不确定三、解答题9.在同一平面直角坐标系中作出函数||y x=与|2|y x=-的图像..10.已知函数2(1) ()|1|x xf xx-=-；（1）作出该函数的图像；（2）写出该函数的值域.11.已知函数2()f x ax bx c=++，2()f x ax bx c=++，且(1)()1f x f x x+=++，试求()f x 的表达式.四、能力拓展题12.如图，已知动点P从边长为1的正方形ABCD顶点A开始沿边界绕一圈，若用x表示点P从A出发后的行程，y表示P A的长.求y关于x的函数解析式.5.2 函数的基本性质第1课时函数的奇偶性（1）一、填空题1.函数311()4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的奇偶性是________.2.函数()31()4f x x x =+，[2,2)x ∈-的奇偶性是________. 3.函数42()f x x x =-的奇偶性是________；函数3()h x x x =-的奇偶性是________. 4.若函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a =________.5.若函数()f x 是R 的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++=________. 二、选择题6.函数(||1)(||3)y x x x =-的奇偶性是（） A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数7.若()f x 是定义在R 上的函数，则函数()()()F x f x f x =--在R 上一定是（） A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数8.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，若对任意x ∈R ，都有(4)()(4)f x f x f +=+成立，则(2022)f 的值为（）A.2022B.2020C.2018D.0三、解答题9.求证：函数2()2||f x x x =-+是偶函数. 10判断下列函数的奇偶性.（1）()f x =（2）11()312xg x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. 11.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且2()()231f x g x x x +=-+，求()f x 、()g x 的解析式.四、能力拓展题12.已知定义在R上的函数()f xy f x f y=+.f x满足()()()（1）求证：(1)(1)0=-=；f f（2）求证：()f x为偶函数第2课时函数的奇偶性（2）一、填空题1.函数||y x =的图像关于对称________，函数的奇偶性是________.2.若()f x 在[-5,5]上是奇函数，且(3)(1)f f <，则(3)f -与(1)f -的大小关系是________.3.函数()f x ________.4.函数(1),0()(1),0x x x f x x x x -⎧=⎨-+<⎩的奇偶性是________.5.若函数20192021()8bf x x a x x=+⋅--，(2)10f -=，则(2)f =________. 二、选择题6.“(0)0f =”是“()f x 是定义在R 上的奇函数”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.下列命题中正确的是（） A.奇函数的图像一定过原点 B.21(44)y x x =+-<是偶函数 C.|1||1|y x x =-++是偶函数D.21x x y x -=-是奇函数8.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当()(1)f x x x =-时，()f x 等于（）A.(1)x x -+B.(1)x x +C.(1)x x -D.(1)x x --三、解答题9.判断下列函数的奇偶性：（1）(1)()1x x f x x +=+；（2）()f x10.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2(1)f x x x =+. 求：（1）当0x >时，()f x 的解析式；。

人教版数学高一必修1导学案 1.1.1集合的含义与表示第2课时集合的表示教师版

1．1.1集合的含义与表示第2课时集合的表示教学目标1.掌握用列举法表示有限集；2.理解描述法格式及其适用情形；3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.1.1集合的含义与表示第2课时集合的表示》课件“情景引入”部分，让学生与大家分享自己的了解.通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习1.一般地，把集合中的元素__________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．适用于元素较少的集合．提示：一一列举2.描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集．表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写______________，竖线后写______________________________．提示：元素的一般符号及取值(或变化)范围元素所具有的共同特征三、合作探究探究点1：列举法问题：要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？提示：把它们一一列举出来．例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．提示：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．名师点评：1.花括号“{}”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的．2．列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}；(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．探究点2：描述法问题：能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？提示：不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x ＞1}．例2试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．提示：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A＝{2，－2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．名师点评：集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合．例3用适当的方法表示下列集合：(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．提示：(1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．名师点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．四、当堂检测1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是()A．{1，－2}B．{x＝1，y＝－2}C．{(－2,1)}D．{(1，－2)}3．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是()A．6∈A B．0∈AC．3∉A D．3.5∉A4．第一象限的点组成的集合可以表示为()A．{(x，y)|xy>0}B．{(x，y)|xy≥0}C．{(x，y)|x>0且y>0}D．{(x，y)|x>0或y>0}5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是()A．{x|x＝4k－1，k∈Z}B．{x|x＝2k－1，k∈Z}C．{x|x＝2k＋1，k∈Z}D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}提示：1．B 2.D 3.D 4.C 5.A五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．六、课例点评高中数学课程应具有多样性和选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展，高中数学课程应为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考这是新课程理念中对学生成才的立体轨道所作的具体要求．按照这样的观点来看数学教学，必须体现因材施教的教学原则，教学内容应有较大的弹性，为各种学生提供发展空间.在此导学案中，例题和练习的选择和教学也突出了这一点，题目的设置由浅入深，层层递进，不断拓展，并根据学生实际情况对书上的例题进行了改编．。

导学案高一数学

导学案高一数学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计旨在针对高一学生，以导学案的形式进行数学教学。

教学内容将围绕高中数学的核心概念、原理和技能进行，强调学生的主动探索和问题解决能力的培养。

具体任务包括：培养学生的数学思维能力，提高解决实际问题的能力，通过自主与合作学习，使学生掌握数学基础知识，形成系统的数学知识体系。

2、教学对象本教学设计的对象为高中一年级学生，他们已经完成了初中的数学学习，具备一定的数学基础。

然而，由于高中数学知识点的增多和难度加大，学生在学习过程中可能会遇到困难和挑战。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，引导他们克服困难，逐步提高数学素养。

此外，考虑到学生年龄特点，教学过程中应注重激发学生的兴趣，使他们能够主动参与到数学学习中，形成良好的学习习惯和态度。

二、教学目标1、知识与技能（1）掌握高中数学的基本概念、性质、定理和公式，形成完整的知识结构。

（2）熟练运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力。

（3）培养逻辑推理、空间想象、数据分析等数学思维能力。

（4）学会运用数学语言表达和交流，提高数学表达能力和解题技巧。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等学习方式，培养学生的问题发现和解决能力。

（2）引导学生运用类比、归纳、演绎等方法，掌握数学知识的学习规律。

（3）借助现代教育技术手段，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高学习效率。

（4）注重学习过程中的反思与总结，培养学生自我评价和调整学习策略的能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，形成积极向上的学习态度。

（2）培养学生勇于探索、克服困难的意志品质，增强自信心。

（3）通过数学学习，使学生认识到数学在科学、技术、经济等领域的重要地位和价值，提高社会责任感。

（4）培养学生良好的合作精神，学会尊重他人，善于倾听和表达自己的观点。

（5）引导学生形成正确的价值观，将数学知识应用于实际生活，为我国的社会发展做出贡献。

高一数学导学案

高一数学导学案一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务以“高一数学导学案”为主题，旨在通过引导学生自主学习、合作探究和问题解决，帮助学生掌握高一数学的基本知识、技能和方法。

具体包括：理解数学概念，熟练运用数学公式，解决实际问题，培养逻辑思维和分析能力，提高数学素养。

2、教学对象教学对象为高中一年级学生，他们已经完成了初中阶段的数学学习，具有一定的数学基础和逻辑思维能力。

在此基础上，他们对高中数学知识充满好奇，但可能在学习过程中遇到一定的困难。

因此，本教学设计将针对学生的实际情况，采用适当的教学策略，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服困难，提高数学能力。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、性质、定理和公式，如函数、三角函数、数列、立体几何等；（2）能够运用所学知识解决实际问题，提高数学运算能力和解决问题的能力；（3）培养逻辑思维和分析能力，能从多个角度审视问题，形成系统的数学知识体系；（4）掌握数学学习方法，如归纳总结、类比推理、演绎推理等，提高自学能力。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和问题解决，让学生在过程中体验数学知识的形成和发展；（2）运用启发式教学策略，引导学生主动提出问题、分析问题、解决问题，培养创新精神和实践能力；（3）采用多元化的教学手段，如实物演示、多媒体辅助、实际操作等，丰富教学过程，提高教学效果；（4）注重数学思想的渗透，培养学生的数学素养，提高学生对数学美的鉴赏能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，使他们热爱数学，树立学习数学的信心；（2）培养学生积极的学习态度，养成勤奋、严谨、求实的学风，形成良好的学习习惯；（3）通过数学学习，使学生认识到数学在科学技术、社会发展和人类文明中的重要作用，增强社会责任感和使命感；（4）引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题，用数学的语言表达思想，提高数学素养；（5）培养学生团结协作、乐于助人的品质，使他们能够在集体中发挥个人优势，共同进步。

丹江口一中导学案高一数学(必修4第三章) 编制胡达清校对卢小莉审查

班级姓名分数3．1．3 二倍角的正弦、余弦、正切公式【目标解读】分层学习目标A级①通过让学生探索，发现并推导二倍角公式，了解他们之间,以及它们与和角公式之间的内在的联系。

②通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力。

B级通过二倍角的正弦，余弦，正切公式的运用，会进行简单的求值化简，恒等证明。

C级领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

自我确定目标：（级别）理由学习方式学习重点二倍角公式的推导及其应用学习难点理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.难在何处？【预习热身】把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？最大面积是多少？预习思考选题1.回顾两角和的正弦，余弦，正切公式。

请学生自己默写2.你写的这三个三个公式中角βα,会有特殊关系βα=吗？此时公式变成什么形式？3. 在得到的α2C公式中，还会有其他表示形式吗？4. 这三组公式中对于角α有无限制？重难点合作探究1.填空：_____2sin=α_______________________2c o s===α_______2t a n=α2.二倍角公式仅对αα与2成立吗？3.αcos与2sin2α有何关系？4.吗？ααsin22sin=吗？ααcos22cos=吗？ααtan22tan=5.能用αtan描述αα2cos,2sin？预习探究自我评价1.已知3sin,0,sin252πααα=<<=则（）2524.2512.2524.2512.--DCBA13班级姓名分数2.已知=<<=απαα2tan ,20,3tan 则（） A.3 B.32 C. 3- D.32-3.已知==-∈x x o x 2cos ,54cos ),,2(则π= .4.若,2cos sin -=+αα则=α2sin .5.已知20,53sin παα<<=，求ααα2tan ,2cos ,2sin .6．已知ααsin 2sin -=，),,2(ππα∈求α2tan的值.14随堂巩固训练（3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式）1.22)4sin(2cos -=-παα若，则ααs i n co s +的值为( )A.27-B 21-C 21D 272.下列各式中，值为23的是（）A.15cos 15sin 2-B.15sin 15cos 22-C. 115sin 22-D.15cos 15sin 22+3. 若25π≤α≤27π，则ααsin 1sin 1-++等于( )A.2cos2α- B. 2cos 2αC. 2sin2α- D. 2sin2α 4．4cos 2sin 22+-的值等于( ) Ａ.sin2 Ｂ.－cos2 Ｃ.3 cos2 Ｄ.－3cos2 5.求值：15cos 15sin +=________.6．已知sin ｘ＝215-，则sin2（ｘ－4π）的值等于 .7.已知12tan =α，则αt an 的值________.9.不查表．求下列各式的值（１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+ （２）2sin 2cos44αα-（３）ααtan 11tan 11+--（４）θθ2cos cos 212-+10.在ABC ∆中，,2tan ,54cos ==B A 求)22tan(B A +的值.11.求94cos 92cos9cosπππ的值.探究：1322cos2cos2cos2coscos -⋅⋅⋅n ααααα的值.8.已知,212cos =α则αsin _______.15课后自我检测（3.1.3二倍角的正弦.余弦.正切公式）1．自查小结：（10分） . 2．24cos 1+等于（） A ．2cos B ．2cos - C ．2sin D ．2sin - 3.如果｜cos θ｜＝51，25π＜θ＜3π,则sin 2θ的值等于( ) 515.510.510.510.D C B A -- 4.设5π＜θ＜6π且cos2θ＝a ,则22sin 4θ等于( )21.21.21.21.a D a C a B a A --+--+ 5.)872(cos )872(cos 22ππ+--x x 可化简为( ) A. x sin 2 B.x sin 2-C.x sin 22 D. x sin 22- 6.已知sin A ＋cos A ＝2，0＜Ａ＜π，则tan A ＝ .7．sin6°cos24°sin78°cos48°的值为_____.8. 若tan θ = 3，则sin2θ - cos2θ 的值为________.9. 已知παπα<<-=+0,54)2s i n ( ,求α2sin ，α2cos ，α2tan 的值.10. 求证：)2sin 211(2cos sin cos 288A A A A -=-.11. 求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域.12.挑战题：已知1sin sin =+βα,0cos cos =+βα ,求βα2cos 2cos +的值. 163.1.3二倍角的正弦.余弦.正切公式答案重难点合作探究1.ααcos sin 2 αα22s i n c o s -1cos 22-α α2s i n 21-2.二倍角公式适用范围只要两角成倍角关系即可。

高一数学必修4第一章第一节导学案

高一数学必修4第一章第一节导学案课题：1.1.1任意角一、学习目标（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a 终边相同的角（包括角a ）的表示方法；教学重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

教学难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

二、问题导学1、角的定义：___________________________;2、角的概念的推广：___________________________;3、正角___________________________; 负角 ___________________________; 零角概念___________________________.4、象限角___________________________。

5.终边相同的角的表示___________________________ 。

三、问题探究例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.四、课堂练习（1）教材6P 第3、4、5题.（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为，分针转过的角度为。

注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 五、自主小结六、当堂检测1．设第一象限的角｝＝锐角｝，的角｝　小于{G {F 90{o==E ，，那么有（）．A ．B ．C ．（） D ．2．用集合表示：（1）各象限的角组成的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．3．在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）；（2）；（3）．3.解：（1）∵∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；（3）所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．课后练习与提高1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？2. 下列命题正确的是：（）（A ）终边相同的角一定相等。

沪教版名校导学案高一数学第一章集合与命题

第一章集合与命题Sets and Propositions我们知道，事物既有个性，也有共性．我们研究一个具体问题时，常把讨论对象限制在一定的整体范围内，便于讨论其共同性质；而对整体来说，每个对象又有着其各自的特点．这就是集合与其元素之间的基本关系．集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的基本语言和重要基础．一方面，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上；另一方面，集合论及其思想，在越来越广泛的领域中得到应用．数学中的命题比比皆是，而连接相关命题之间的链条就是逻辑推理．逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．在高中数学里，集合的初步知识与命题等相关知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，基于上述原因，我们把“集合与命题”安排在高中数学的起始章．一、集合（Sets）1.1集合及其表示法（Sets and Their Expressions）在现实生活和数学中，我们经常要把一些确定的对象作为一个整体来考察研究．例如：(1)某校高一（1）班的全体学生；(2)中国运动员在历届夏、冬季奥运会上取得的所有金牌；(3)1~100之间的所有质数；(4)不等式2x－3>0的解的全体；(5)所有的平行四边形；(6)平面上到两个定点的距离相等的点的全体．我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合(set)，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素(element)．对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，也是各不相同的，而且各元素地位相等，与顺序无关．我们把含有有限个元素的集合称为有限集(finite set)，含有无限个元素的集合称为无限集(infinite set)．为了研究的需要，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作∅．例如，方程x2+1=0的实数解组成的集合就是空集．集合通常用大写的英文字母表示，如A、B、C、……，元素通常用小写的英文字母表示，如a、b、c、……．如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于(belong to)A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于(not belong to)A”．数的集合简称数集，常用的数集我们一般用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集(natural numbers set)，记作N；不包括零的自然数组成的集合，即正整数集，记作N*；全体整数组成的集合，即整数集（set of integer），记作Z；全体有理数组成的集合，即有理数集（rational numbers set），记作Q；全体实数组成的集合，即实数集（set of real numbers ），记作R ．我们还把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为Z +、Z －、Q +、Q －、R +、R －．集合的表示方法通常有两种，即列举法和描述法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法．如：{1，3，5，7，9}，{x 2，3x －2，x +7y 3，x 2－4y 2}．在大括号内，先写出此集合中元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中的元素的公共属性，即A ={x | x 满足性质P }，这种表示集合的方法称为描述法．如：不等式2x －3>0的解集可表示为{x | x －3>2}，函数y =x +1图像上的点组成的集合可表示为{(x , y ) | y =x +1}．例1. 用适当的方法表示下列集合：(1)30的所有正因数组成的集合A ；(2)被5除余3的自然数全体组成的集合B ；(3) 二次函数y =x 2+2x －3图像上的所有点组成的集合C ．解：(1)用列举法表示：A ={1,2,3,5,6,10,15,30}；(2)用描述法表示：B ={x | x=5n +3, n ∈N}；(3)用描述法表示：C ={(x , y ) | y =x 2+2x －3}．例2. A 是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合，试证明：(1)任意奇数都是A 的元素；(2)偶数4k －2(k ∈Z)不属于A ．证明：设A ={x | x =a 2－b 2，a 、b ∈Z}，(1) 设任意奇数x=2k+1,k ∈Z ，则x =k 2+2k+1－k 2=(k +1)2－k 2∈A ；(2) 反证：假设任意偶数x=4k －2,k ∈Z 属于A ，则设x =a 2－b 2，a 、b ∈Z ，于是有2(2k －1)=(a +b )(a －b )，…①在上述①式中，等号右边的a +b 与a －b 同奇同偶，则x 或为奇数，或为4的整数倍；而等号左边是2与一个奇数的积，则x 不能被4整除，由此产生矛盾．所以，原假设不成立，即“偶数4k －2(k ∈Z)不属于A ”得证．例3. 若集合{}2210,R A x ax x x =--=∈中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：当0a =时，方程只有一个根12-，则0a =符合题意；当0a ≠时，则关于x 的方程2210ax x --=是一元二次方程，由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程2210ax x --=有两个相等的实数根或没有实数根，所以∆＝440a +≤，解得1a ≤-．综上所得，实数a 的取值范围是{}01a a a =≤-或．课堂活动·大家谈1、集合中的元素有什么特性？集合的表示法中是如何体现这些性质的？2、用列举法和描述法表示集合有什么区别？各有什么优势与不足？3、通过实例分别选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）表述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用，体验用集合思想去观察和思考问题的乐趣．课堂活动·自己想1、区分∅，{∅}，{0}，0等符号的含义；2、集合{1，2}与集合{(1，2)}有什么区别？3、能否将“身材高大的人”组成一个集合？课外活动·自己学集合论简介集合论是德国著名数学家康托尔(George Cantor，1845－1918)于19世纪末创立的．十七世纪数学中出现了一门新的分支——微积分．在之后的一至二百年中，这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕的成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础．十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念，他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃．然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦．在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．今天，我们可以说绝对的严格已经达到了．”然而这种自得的情绪并没能持续多久．不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界，这就是1902年罗素得出的罗素悖论．罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中，这就是数学史上的第三次数学危机．危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去．1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统．原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现，这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论．与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论，公理化集合论是对朴素集合论的严格处理，它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机．公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等，而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时一些著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．德国伟大的数学家希尔伯特（David Hilbert，1862－1943）称康托尔的集合论是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”．英国数学家和哲学家罗素（Bertrand Russell，1872－1970）把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．前苏联著名的数学家科尔莫戈洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903－1987)说，“康托尔的不朽功绩，在于他敢向无穷大冒险迈进．”还有如：它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一等等．课外活动·自己找借助图书馆或电脑网络系统查阅有关集合论创始人康托尔的生平简介等资料，了解其创立集合论的艰辛历程，进一步体验和学习数学家追求真理的不懈精神．习题练习·自己练1. 用描述法表示下列集合：(1){1，4，7，10，13}； (2){－2，－4，－6，－8，－10}；(3) { 1，5，25，125，625 }； (4) { 0，±21，±52，±103，±174，……}． 2. 用列举法表示下列集合：(1){x | x 是15的正约数}； (2){(x ，y ) | x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}； (3)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+-=+22),(22y x y x y x ； (4) {(x ，y ) | y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}． 3. 关于x 的方程ax ＋b =0，当a ，b 满足条件_______时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_________时，解集是无限集．4. 已知集合{2a ，a 2－2a }为数集，求a 的取值范围．5. 把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M ，试证明集合M 的任意两个元素的乘积仍属于M ．6. 已知全集M ={}，求集合M ． 7. 已知集合(){}0121|2=+--=x x m x A 中至多含有一个元素，求实数m 的取值范围． 8. 设A ={x | x 2+(b +2)x +b +1=0，b ∈R}，求A 中所有元素之和．9. 设A={x | x=m 2 –n 2，m 、n ∈ Z}，问8、9、10与集合A 有什么关系？并证明你的结论．10. 设集合S ={a 0，a 1，a 2，a 3}，在S 上定义运算为：a i ⊕a j = a k ,其中k 为i+j 被4除的余数，i 、j=0,1,2,3，则求满足关系式（x ⊕x ）⊕a 2= a 0的x ( x ∈S )的个数．11. 设集合A ={－3，－1，2，7}，集合B ={x | f (x ) >0}，在下列条件下，是否存在函数f (x )，使得集合A 中恰有一个元素不是B 的元素？(1) f (x )为一次函数；(2) f (x )为二次函数．12. 已知实数集A 满足：若x ∈A ，则A xx ∈-+11． (1) 求证：当2∈A 时，A 中还有3个元素；(2) 试找寻一个实数a ，使得a ∈A ，并由此求出相应的集合A ；(3) 由上述研究过程，你能得出什么结论？1.2集合之间的关系（Relations of Sets ）考察下列集合：A={1,2}，B={1,2,3,4}，C={ x ︱x 2-3x+2=0}，D={ x ︱x 是四边形}，E={ x ︱x 是多边形}．容易发现，集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，集合D 中的任何一个元素都是集合E 的元素，而集合B 中的元素3和4不是集合A 的元素，集合C 中的元素与集合A 的元素完全相同．一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 是集合B 的子集（subset ），记作B A ⊆或A B ⊇，读作“A 包含于（be contained in ）B ”或“B 包含(contain)A ”．我们规定，空集包含于任何一个集合，即空集是任何集合的子集．对于两个集合A 与B ，如果有B A ⊆，且A B ⊇，我们集合A 与集合B 相等，记作A=B ，读作“集合A 等于集合B ”．如对于集合A=｛x ︱x=2k+1，k ∈Z ｝与B=｛x ︱x=2k －1，k ∈Z ｝，则有A=B ．对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A B 或B A 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”．用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，如右图所示，表示B A ⊆（A B ）所用的图叫做文氏图（Venn diagram ）．例1. 写出集合{a ，b ，c }的所有子集和真子集．解：集合的所有子集为∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{b ，c }，{a ，c }，{a ，b ，c }，除了{a ，b ，c }，其余七个子集均为集合{a ，b ，c }的真子集．例2. 设集合A ={a ，a 2，ab }，B={1，a ，b }，A=B ，求实数a ，b 的值．解：由于A=B ，则(1)若a 2=b ，ab=1，则a 3=1，即a=b=1，与集合中元素的互异性矛盾；(2)若a 2=1，ab=b ，则由集合中元素的互异性可得a=－1，b=0．例3. 已知{}Z n Z m n m x x S ∈∈+==,,3614，{}Z k k x x T ∈==,2，求证S=T ．解：(1)任意x ∈S ，则存在m ,n ∈Z ，使得x=14m+36n=2(7m+18n )，令7m+18n=k ，由于m ,n ∈Z ，所以k=7m+18n ∈Z ，则x=2k ，k ∈Z ，即x ∈T ，因此S ⊆T ；(2)反之，任意x ∈T ，则存在k ∈Z ，使得x=2k ，要使得x=2k=14m+36n ，m ,n ∈Z ，则k=7m+18n=7×(－5k )+18×(2k )，可见当m=－5k ，n=2k (k ∈Z)时，x=14m+36n ，m ,n ∈Z ，即x ∈S ，因此T ⊆S ．所以，综合(1)和(2)知，S=T 得证．课堂活动·大家谈1、讨论符号“∈”与“⊆”的意义、区别及作用；2、集合之间的关系与实数中的大小关系、相等关系有相似之处吗？类比实数中有关不等式的性质，研究集合的有关包含和真包含关系的性质．3、考察数集N ，Z ，Q ，R 之间的包含关系，了解和感受数域的扩张过程．课堂活动·自己想1、如果B A ⊆，那么集合A 与B 的关系有几种可能？2、如何理解空集是任何集合的子集？进一步体会∅与{∅}、{0}之间的关系．3、判断下列写法是否正确？为什么？①∅A ；②A A ．课外活动·自己做试探究含n 个元素的有限集合的子集的个数．课外活动·自己学悖论悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”．这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比．悖论是自相矛盾的命题．即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的．古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力．解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念．悖论有三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）．2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）．3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾．事实上，悖论古已有之．一般认为，最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”，见于《新约全书·提多书》，属于语义学悖论．另一类悖论涉及数学中的集合论，被称为“数学悖论”或“集合论悖论”．在康托尔创立集合论不久，他自己就发现了问题，这就是1899年的“康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”．与此同时，还发现了其他集合论悖论，其中最著名的当属“罗素悖论”．1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M 表示是其自身成员的集合的集合，N 表示不是其自身成员的集合的集合．然后问N 是否为它自身的成员？如果N 是它自身的成员，则N 属于M 而不属于N ，也就是说N 不是它自身的成员；另一方面，如果N 不是它自身的成员，则N 属于N 而不属于M ，也就是说N 是它自身的成员．无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论．1919年罗素给出了上述悖论的通俗形式，即“理发师悖论”：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理．如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理．由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．课外活动·自己找借助图书馆或电脑网络系统查阅资料，了解集合论的有关著名悖论和英国哲学家、数学家罗素．习题练习·自己练1. 设集合{}{}31,,32,M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈,若,,x M y N ∈∈则x y 与集合M 、N 的关系是( )A ．x y M ∈B ．x y M ∉C ．x y N ∈D ．x y N ∉2. 设集合,,,22k M x x k Z N t t n t n n Z ππππ⎧⎫⎧⎫==∈===+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或，则集合M 、N 的有怎样的关系？为什么？3. 已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆．4. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=1,,m n m M ，{}0,,2n m m N +=，若M=N ，求m 2008+n 2009． 5. 已知集合A={0，1}，B={x | x ∈A ，x ∈N ﹡} ，C={x | x ⊆ A } 则A 、B 、C 之间有怎样的关系？6. 已知集合A=},,53|{Z b a b a x x ∈+=，B=},,107|{Z n m n m y y ∈+=，判断A 与B 的关系并说明理由．7. 已知集合A={}Z b a b a x x ∈+=,,812|，B={}Z d c d c x x ∈+=,,1620|，求证A=B ．8. 已知集合A={x |－2k+6< x <k 2－3}，B={x |－k < x < k }，若AB ，求实数k 的取值范围． 9. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中有3个元素组成的子集数为T ，则求ST的值．10. 已知集合A={ m | m=n 2+1，n ∈N *}，B={y |y=x 2－2x +2，x ∈N *}，研究A 与B 的关系，并给予证明．11. 已知A={ x | 22≤≤-x }，①若集合B={ x | a x ≤ }，满足A ⊆B ，求a 范围；②若集合C={x | 152+≤≤-a x a }，满足A ⊆C ，求a 的取值范围；③若把②中条件“A ⊆C ”改为“C ⊆A ”，求a 的取值范围．12. 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），求k 的最大值．1.3集合之间的运算（Operation of Sets ）1. 交集考察集合A={ x | x 是我校在校女生}，B={ x | x 我校高一学生}与C={ x | x 是我校高一女生}之间的关系，易知集合C 是由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的．一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合，叫做A 与B 的交集(intersection)．记作A ∩B ，读作“A 交B ”，即A ∩B=｛x |x ∈A 且x ∈B 用文氏图可以直观地表示A ∩B 的一般情况．由交集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：(1)A ∩B= B ∩A ； (2)A ∩A=A ； (3)A ∩∅=∅；(4)A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ；(5)若A ∩B=A ，则有A ⊆B ；反之若A ⊆B ，则A ∩B=A ．例1. 设集合A={(x ，y )|3x －y=7}，集合B={(x ，y )|2x+y=3}，求A ∩B ．解：A ∩B =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+=-32,73),(y x y x y x =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==1,2),(y x y x ={(2,－1)}．2. 并集一般地，由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合,叫做A 与B 的并集(union)．记作A ∪B ，读作“A 并B ”，即A ∪B=｛x |x ∈A 或x ∈B ｝．用文氏图可以直观地表示A ∪B 的一般情况．由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：(1)A ∪B= B ∪A ； (2)A ∪A=A ； (3)A ∪∅= A ；(4)A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ；(5)若A ∪B=B ，则有A ⊆B ；反之若A ⊆B ，则A ∪B=B ．例2．设A=｛x |－1<x <2｝，B=｛x |1<x <3｝，求A ∩B ，A ∪B ．解：A ∩B=｛x |1<x <2｝，A ∪B=｛x |－1<x <3｝．例3．已知关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，若A ∩B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31，求A ∪B ．解： ∵A ∩B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31，∴－31∈A 且－31∈B ． ∴3(－31)2+p (－31)－7=0且3(－31)2－7(－31)+q =0， ∴p =－20,q =－38．由3x 2－20x －7=0得A ={－31，7}，由3x 2－7x －38=0得B ={－31，38}． ∴A ∪B ={－31，38，7}．3. 补集在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集(universe)．若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集(complementary set)，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ∉∈=,．用文氏图可以直观地表示A C U 的一般情况．由并集运算的定义，容易得到以下一些基本性质：(1)=A C A U ∅； (2)U A C A U = ； (3)A A C C U U =)(．例4. 已知全集I={－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A={－3，a 2，a +1}， B={a －3，2a －1，a 2+1}，其中a ∈R ，若A ∩B ={－3}，求C I （A ∪B ）．解：由a －3=－3或2a －1=－3，可求得A={－3，0，1}，B={－4，－3，2}，则A ∪B={－4，－3，0，1，2}，C I （A ∪B ）={－2，－1，3，4}．例5. 设U ={x | x <10，x ∈N *}，A ∩B={3}，(C u A )∩B={4，6，8}，A ∩(C u B )={1，5}，求C u(A ∪B )，A ，B ．解： A ∪B 中的元素可分为三类：一类属于A 不属于B ；一类属于B 不属于A ；一类既属于A 又属于B ．由(C u A )∩B ={4,6,8}，即4,6,8属于B 不属于A ；由(C u B )∩A ={1,5}，即1,5属于A 不属于B ；由A ∩B ={3}，即3既属于A 又属于B ；又U ={x | x <10，x ∈N *}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，若2属于A 不属于B ，则与(C u B )∩A ={1,5}矛盾，若2属于B 不属于A ，则与(C u A )∩B ={4,6,8}矛盾，而2∉ A ∩B ，∴2既不属于A 也不属于B ，同理7，9既不属于A 也不属于B ．综上，C u （A ∪B ）={2，7，9}，A={1,3,5}，B={3,4,6,8}．课堂活动·大家谈1. 关于集合的交、并、补的三种运算的性质是如何证明的？2. 设全集U={a ,b ,c ,d ,e }，A={a ,c ,d }，B={b ,d ,e }，通过计算A C U ，B C U ，)(B A C U ，)(B A C U ，B C A C U U 和B C A C U U ，在发现这些集合之间的关系后给予证明，并将结论推广到一般情形．课堂活动·自己想1. 思考性质“=A C A U ∅”的意义及作用，并进一步深刻理解引入空集概念的意义和作用．2. 思考集合A ，B ，A ∩B 和A ∪B 中元素的个数有何关系？课外活动·自己学容斥原理及其应用在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理．对于有限集合P ，我们用n (P )表示P 中的元素个数．容斥原理（1）如果被计数的事物有A 、B 两类，那么，A 类或B 类元素个数= A 类元素个数+B 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素个数．即 )()()()(B A n B n A n B A n ⋂-+=⋃．容斥原理（2）如果被计数的事物有A 、B 、C 三类，那么，A 类或B 类或C 类元素个数= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素个数－既是A 类又是C 类的元素个数－既是B 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数．即 )()()()()()()()(C B A n A C n C B n B A n C n B n A n C B A n +---++=．例6 对某学校的100名学生进行调查，了解他们喜欢看球赛、看电影和听音乐的情况．其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看电影，52人喜欢听音乐，既喜欢看球赛又喜欢看电影的有18人，既喜欢听音乐又喜欢看电影的有16人，三种都喜欢的有12人，问有多少人只喜欢听音乐？解：设A ＝｛x | x 为喜欢看球赛的人｝，B ＝｛x | x 为喜欢看电影的人｝，C ＝｛x | x 为喜欢听音乐的人｝，则A ∩B ＝｛x | x 为既喜欢看球赛的人又喜欢看电影的人｝，B ∩C ＝｛x | x 为既喜欢听音乐又喜欢看电影的人｝，A ∩B ∩C ＝｛x | x 为三种都喜欢的人｝，A ∪B ∪C ＝｛x | x 为看球赛和电影、听音乐至少喜欢一种｝．则)(A n =58，)(B n =38，)(C n =52，)(B A n =18，)(C B n =16，)(C B A n =12，)(C B A n =100，由)()()()()()()()(C B A n A C n C B n B A n C n B n A n C B A n +---++=得)()()()()()()()(C B A n C B n B A n C B A n C n B n A n A C n +---++= ＝148－（100＋18＋16－12）＝26，所以，只喜欢听音乐的人共有n (C )－n (B ∩C )－n (C ∩A )＋n (A ∩B ∩C )＝52－16－26＋12＝22．课外活动·自己找借助图书馆或电脑网络系统查阅英国数学家德·摩根的简介及德·摩根定理．习题练习·自己练1. 分别用集合符号表示下图的阴影部分：(1) (2)(3) (4)2. 设A={x | x ＞－2}, B={x |x ＜3}, 求A ∩B , A ∪B ．3. 已知A={2，－1，x 2－x +1}，B={2y ，－4，x +4}，C={－1，7}，且A ∩B=C ，求A ∪B ．4. 若A 、B 、C 为三个集合，C B B A =，则一定有（）(A)C A ⊆ (B)A C ⊆ (C)C A ≠ (D)=A ∅5. 已知集合A={x ︱x ≤ 2}，B ={x ︱x > a }，在下列条件下分别求实数a 的取值范围：(1) A ∩B ＝∅；(2) A ∪B ＝R ；(3) 1∈A ∩B ．6. 设(){}N a a a A x x x f ∈≤≤=+-=,101|,36122，B A C =，{}A a a f b b B ∈==),(|，求：(1)集合C ；(2)C 的所有子集中的各个元素和的总和．7. 全集I={ x | x 为三角形}，A={ x | x 为锐角三角形}，B={ x | x 为钝角三角形}，C={ x | x为直角三角形}，D={ x | x 为斜角三角形}，求()()D C C B A C I I ．8. 设全集为U=Z ，{}Z k k x x M ∈==,2|，{}Z k k x x P ∈==,3|，求()P C M U ．9. 已知全集I=}32,3,2{2-+a a ，若}2,{b A =，}5{=A C I ，求实数b a ,．10. 已知全集U={}20|≤X x x 是质数且，A ，B 是U 的子集，且同时满足(){}5,3=B C A U ，(){}197，=B A C U ，()(){}17 2，=B C A C U U ，求A 和B ．11. 设全集(){}R y x y x U ∈=,|,，集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=--=R x x y y x A ,123|,， ①若(){}R y x x y y x B ∈+=,,1|,＝，B A U 求Ｃ；②若(){}R y x x y y x B ∈+≠=,,1|,，求()B A C U ．12. 某公司有120人，其中乘轨道交通上班的84人，乘汽车上班的32人，两种都乘的18人，求：（1）只乘轨道交通上班的人数；（2）不乘轨道交通上班的人数；（3）乘坐交通工具的人数；（4）不乘交通工具而步行的人数；（5）只乘一种交通工具的人数．二、四种命题的形式（Four Forms of Propositions ）1.4命题的形式及等价关系（The Forms of Propositions and Equivalent Relationship ）1. 命题与推出关系在初中，我们已经知道，判断真假的语句叫做命题(proposition)．命题通常用陈述句表述．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．一般地，命题是由题设（条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．命题常写成“如果…，那么…”的形式．具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．有些命题，没有写成“如果…，那么…”的形式，题设和结论不明显．对于这样的命题，要经过分折才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果…，那么…”的形式．命题的题设(条件)部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．例1. 判断下列语句是否为命题？如果是命题，判断它们是真命题还是假命题？为什么？(1) 你是高一学生吗？(2) 过直线AB 外一点作该直线的平行线．(3) 个位数是5的自然数能被5整除．(4) 互为余角的两个角不相等．(5)竟然得到5＞9的结果!(6)如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．解：(1)、(2)、(5)不是命题，(3)、(4)、(6)是命题，其中(4)是假命题．(1)语句“你是高一学生吗？”是疑问句，不是判断语句，所以它不是命题．(2)语句“过直线AB外一点作该直线的平行线．”是祈使句，不是判断语句，所以它也不是命题．(3)此命题为真命题．这是因为个位数是0的自然数总可以表示为10k(k∈N)的形式，而10k=5·2k，所以10k能被5整除．(4)取一个角为45°，另一个角也为45°，它们互为余角，但是它们是相等的．所以“互为余角的两个角不相等．”是假命题．(5)语句“竟然推出6＞8的结果！”是感叹句，不是判断语句，所以它不是命题．(6)此命题为真命题．它是三角形相似的判定定理，在初中数学中已经给出证明．由例1的(4)可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的例子即可，这在数学中称为“举反例”．要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论．一般地，如果事件α成立可以推出事件β也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”．换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题．如果事件α成立，而事件β不能成立，那么就说事件α不能推出事件β成立，可记作αβ．换言之，α表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题．如果α⇒β，并且β⇒α，那么记作α⇔β，叫做α与β等价．显然，推出关系满足传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ．2.四种命题形式一个命题由条件和结论两部分组成，如果把原命题的条件和结论互换，所得的命题是原命题的逆命题( inverse proposition)，显然它们互为逆命题．例如，命题(1)“对顶角相等”和命题(2)“相等的角是对顶角”互为逆命题．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，则称这两个命题为互否命题，其中一个命题是另一个命题的否命题( negative proposition)．像命题(3)“不是对顶角的角不相等”与命题(1)是互否命题．如果将一个命题的结论的否定作为条件，而将此命题的条件的否定作为结论所得到的命题叫做原命题的逆否命题( inverse negative proposition)．如命题(4)“不相等的角不是对顶角”与命题(1)是互为逆否命题．若α为原命题条件，β为原命题结论，则其四种命题的形式及关系为：原命题：若α，则β；逆命题：若β，则α；否命题：若α，则β；逆否命题：若β，则α．例2. 写出命题：“若x + y = 5，则x = 3且y = 2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解：原命题：若x + y = 5，则x = 3且y = 2．。

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§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1．集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .[预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b=,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x 3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。

陕西省吴起高级中学人教A版必修一数学导学案：1-1集合

吴起高级中学高一数学导学案（教师版）
课题：集合的含义与表示(一)
学习目标：
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2.掌握集合元素的三个特征、常用数集及其记法.
学习重点：集合的含义与元素的特征.
学习难点：集合元素的三个特征.
导学过程
过程设计
一、自主学习
1、集合的含义
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合.标记：A，B，C，D，…
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.标记：a，b，c，d，…
（3）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性.
（4）元素与集合的关系：属于和不属于，记作：和 .
2、常用数集及记法：
（1）自然数集：自然数组成的集合，记作N；
（2）正整数集：正整数组成的集合，记作N*或N+；
（3）整数集：整数组成的集合，记作Z；
（4）有理数集：有理数组成的集合，记作Q；
（5）实数集：实数组成的集合，记作R；
★思考：列举一些集合例子和不能构成集合的例子.
二、合作探究
★探究一、判断下列一组对象是否构成一个集合呢？
（1）小于10的质数；
（2）著名数学家；
（3）中国的直辖市；
（4）maths中的字母；
（5）book中的字母；
（6）所有的偶数；
(3)所有不在N*中的数都不在Z中；（）
(4)所有不在Q中的实数都在R中；（）
(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0；（）
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立.（）
四、课堂小结
（7）所有直角三角形；
（8）满足3x-2>x+3的全体实数；
（9）方程的实数解.

导学先锋高一数学上原卷

导学先锋高一数学上原卷1.引言1.1 介绍导学先锋高一数学上原卷的重要性和普遍性导学先锋高一数学上原卷是高中数学学习中的重要组成部分，对于学生来说具有普遍性。

这一阶段的数学学习是打下数学基础的关键时期，而导学先锋高一数学上原卷则是检验学生所学知识的重要指标。

在这一阶段，学生将接触到更加深入的数学知识，包括代数、几何、概率等多个方面的知识，而导学先锋高一数学上原卷则是对这些知识的全面检测。

通过导学先锋高一数学上原卷的考试，学生可以全面了解自己在数学学习中的掌握情况，找出学习中存在的疏漏和不足，为今后的学习和提高提供有力的反馈和指导。

导学先锋高一数学上原卷的重要性和普遍性不言而喻，它是学生学习数学过程中的重要一环，也是学生学业发展的重要指标。

通过导学先锋高一数学上原卷的学习，学生可以更好地了解数学知识的重要性，提高自己的学习动力和效率。

1.2 强调了解数学知识的重要性了解数学知识的重要性不言而喻。

数学是一门通识教育中至关重要的学科，它不仅在学术领域具有重要地位，更是在生活中有着举足轻重的作用。

数学所涵盖的知识面广阔，包括代数、几何、概率论等多个领域，可以帮助我们理解世界、解决问题并做出有效的决策。

而在当今信息化的社会中，数学的重要性更是日益凸显，许多职业都需要数学知识来进行数据分析、计算和建模。

了解数学知识还有助于培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决问题的能力。

这些能力不仅在学习过程中有所帮助，更是在日常生活和职业发展中至关重要的素养。

我们不仅应该重视数学知识的学习，更应该深刻理解其重要性，学会运用数学知识来解决实际问题。

本文旨在介绍导学先锋高一数学上原卷，以强调数学知识的重要性，帮助学生更好地备考和复习，并提供一些数学解题技巧和答题注意事项。

希望通过本文的阅读，读者能够深刻理解数学知识的重要性，并且通过有效的学习方法和策略取得成功。

1.3 提出文章的目的和结构提出文章的目的和结构:本文的目的是针对导学先锋高一数学上原卷，通过介绍考试范围和知识点、复习备考指导、解题技巧和易错题解析，帮助学生更好地应对数学考试，提高考试成绩。

高一数学导学案平面向量【精选文档】

必修4第二章第1课时向量概念及物理意义【学习目标】1。

了解向量的实际背景，理解向量的概念。

2。

理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量等概念。

【教学重点】向量、零向量、单位向量、平行向量的概念。

【教学难点】向量及相关概念的理解,零向量、单位向量、平行向量的判断【教材助读】1.我们把____________的量叫做向量;把____________ 的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作____，线段AB的长度叫做有向线段AB的长度,记作_____，有向线段包括三要素__ 、____、___;向量是自由向量,只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量.2。

向量可以用有向线段表示,向量AB的长度（或称____）记作_____，长度为零的向量叫做____向量，记作0,长度等于1个单位的向量,叫做__ 向量；3.______________________的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作______，规定0与任一向量平行,即对任意向量a都有___ ；4。

_______的向量叫做相等向量；若a与b相等,记作__ ；5.由于任一组平行向量可以移动到同一直线上，平行向量也叫_______向量【预习自测】1.下列各量中不是向量的是（）（考察向量的概念)A. 浮力B.风速 C。

位移 D.密度 E.温度 F.体积2。

下列说法中错误的是（ )（A）零向量是没有方向的；(B）零向量的长度为0；(C) 零向量与任一向量平行； (D) 零向量的方向是任意的。

3。

给出下列命题：错误!向量AB和向量BA的长度相等；错误!方向不相同的两个向量一定不平行;错误!向量就是有向线段；错误!向量0=0；错误!向量AB大于向量CD。

其中正确的个数是( )(A）0 （B）1 （C）2 （D）3【我的疑惑】【学始于疑】探究一：判断下列命题是否正确：（1）若a //b ，则a 与b 的方向相同或相反；（2）AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； (3）|a |=|b ｜，a ,b 不一定平行；若//a b ，|a ｜不一定等于｜b ｜; (4）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. (5)方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量．（6）若a 与b 平行同向,且a ＞b ，则a ＞b探究二：给出下列六个命题:错误!两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；错误!若|a ｜=｜b ｜，则a =b ；错误!若AB =DC ，则四边形ABCD 是平行四边形；错误!平行四边形ABCD 中，一定有AB =DC ;错误!若m n =，n k =，则m k =；其中不正确的是命题个数是（）（A ）2 （B)3 (C ）4 （D ）5 探究三:如右图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，写出与→→→FD EF DE 、、相等的向量．【能力拓展】1．单位向量是否唯一？有多少个单位向量？若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是什么？ 2．温度有零上零下之分，“温度”是否为向量？ 3．关于零向量，下列说法中正确的有（1)零向量是没有方向的。

高一上学期数学必修1导学资料11集合

第一学期第一周1、准备知识要点：数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）的感性认识2、本阶段知识要点：了解集合的含义及表示,理解元素及集合之间、集合及集合之间的关系及集合及集合之间的运算.集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容，它是高中数学的基础知识，学习这些内容主要是为进一步学习其它知识作准备，随着后续章节的学习，对集合知识的应用将越来越深入和广泛。

（一）集合的含义及表示 1．集合的概念集合是现代数学中不加定义的基本概念。

我们不能用其它更基本的概念来给它下定义，只能对它做描述性说明。

观察下面几组对象：（1）数组 1、3、5、7；（2）满足 5x-2>2x+1 的全体实数；（3）直角三角形；（4）x2、3x+2、5y2-x、x2+y2；（5）某校的计算机；上面的几组对象分别是由一些确定的数、图形、整式、物体组成，象这样,某些指定的对象集在一起就成为一个集合（简称集），常用大写的拉丁字母A、B、C……表示。

集合中的每个对象叫做集合的元素，常用小写的拉丁字母 a、b、c……表示。

2．集合中的元素具有三个特征：（1）确定性，集合中的元素必须是确定的。

设 A 是一个给定的集合，x 是某一具体对象，则 x 或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性，对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。

（3）无序性，集合中的元素是不排序的。

3．元素及集合的关系有属于及不属于两种：（1）元素 a 是集合 A 中的元素，称为元素 a 属于集合 A，记作：a∈A.（2）元素 a 不是集合 A 中的元素，称为元素 a 不属于集合 A，记作：a A.4．集合的种类有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不含有任何元素的集合,记作：Ф5．集合的表示方法：（1）常见数集表示法非负整数集（自然数集）：N；正整数集：N*（或 N+）；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。

2021年秋高一数学苏教版必修一名师导学：第2章第3课时函数的表示方法

第3课时函数的表示方法教学过程一、问题情境问题1教材P23中的3个函数问题在表示方法上有什么区分?回顾教材第2.1.1节开头的3个函数问题:(1)在第一个问题中,只要知道某个年份,就能从下表中查得相应的人口数.年份194919541959196419691974人口数/百万542603672705807909年份19791984198919941999人口数/百万9751035110711771246这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.(2)在其次个问题中,下落的距离y(单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2(x≥0).这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.(3)在第三个问题中,我们用图象(如图1)表示时刻和气温的关系.这种用图象来表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.(图1)问题2观看3个函数问题,你能说出各种函数表达形式上的特点吗?问题3如何用数学语言来精确地描述函数表示法?问题4你能说出几种函数表示法的优缺点吗?二、数学建构(一)生成概念函数的三种表示方法:(1)解析法:将两个变量的函数关系用一个等式来表示,如y=3x2+2x+1,S=πr2,c=2πr,S=6t2等.(2)列表法:列出表格表示两个变量的函数关系,如平方表、三角函数表、利息表、列车时刻表、国民生产总值表等.(3)图象法:用图象来表示两个变量的函数关系,如图2.(图2)(二)理解概念解析法的优点:简明,全面地概括了变量之间的关系;可以通过解析式求出自变量的任意一个值所对应的函数值.列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.图象法的优点:直观形象地表示了变化趋势.三、数学运用【例1】(教材P33例1)购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1, 2, 3, 4})的函数,并指出该函数的值域.(见同学用书课堂本P15)(例1)[处理建议]以前学校所学的函数图象通常是一条连续的线,但是函数图象具有多样性,也可以是一些孤立的点.引导同学体会函数的对应关系以及实际问题的定义域.[规范板书]解(1)解析法:y=2x,x∈{1, 2, 3, 4}.(2)列表法:x/听1234y/元2468(3)图象法:图象由点(1, 2),(2, 4),(3, 6),(4, 8)组成,如图,函数的值域是{2, 4, 6, 8}.[题后反思]函数的图象可以是不连续的散点,实际问题要考虑自变量的实际意义.变式小明粉刷他的卧房共花去10h,他记录的完成工作量的百分数如下表:时间/h12345678910完成的百分数/%52535505065708095100(1) 5h他完成工作量的百分数是50%;(2)小明在第2 h内的工作量最大.[题后反思]充分体现了列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.【例2】(教材P34例2)画出函数f(x)=|x|的图象,并求出f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值.(见同学用书课堂本P15)[处理建议]对于含有确定值的函数解析式,通常通过去确定值符号写成分段形式,然后再分别处理.去确定值通常接受“零点”分类法,即使确定值里的式子为0,从而解出对应的x的值作为分点,再进行争辩.[规范板书]解由于f(x)=|x|=(例2)所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、二象限的一条折线,如图.其中f(-3)=3,f(3)=3,f(-1)=1,f(1)=1.[题后反思]通过本例我们可以发觉,有些函数在它的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数通常称为分段函数.留意分段函数是一个函数,而不是几个函数.变式作出分段函数y=|x-1|+|x+2|的图象.[规范板书]解依据“零点分段法”去掉确定值符号,即y=|x-1|+|x+2|=作出图象如下:(变式)【例3】某市郊区空调公共汽车的票价按下列规章制定:。

2021年秋高一数学苏教版必修一名师导学：第3章第15课时函数与方程(1)

第15课时函数与方程(1)教学过程一、问题情境学校教材中已经争辩过二次函数问题,请回忆以下几个问题:1.如何求一元二次方程的根?2.如何画二次函数的图象?怎样表示二次函数的图象和x轴交点的横坐标?3.二次函数和一元二次方程之间有哪些内在的联系?二、数学建构(一)生成概念问题1观看二次函数y=x2-2x-3的图象(如图1),x取哪些值时,y=0?(图1)我们把二次函数y=x2-2x-3的值为0的实数-1, 3(即一元二次方程x2-2x-3=0的实数根)称为二次函数y=x2-2x-3的零点.从图象上看,二次函数y=x2-2x-3的零点,就是抛物线与x轴交点的横坐标.一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.问题2二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根之间有怎样的关系?(1)当Δ=b2-4ac>0时,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点(x1, 0),(x2, 0),(不妨设x1<x2)对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个不等实根x1,x2;反之亦然.(2)当Δ=b2-4ac=0时,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有且只有一个交点(x0, 0),对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个相等实根x0;反之亦然.(3)当Δ=b2-4ac<0时,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与x轴没有交点,对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实根;反之亦然.一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.因此,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.从图象上看,函数y=f(x)的零点,就是它的图象与x轴交点的横坐标.(二)理解概念1.函数的零点即相应方程的根.2.函数的零点就是相应图象与x轴交点的横坐标.(三)巩固概念问题3函数y=(x-1)(x+2)的零点是什么?三、数学运用【例1】求证:二次函数y=3x2+x-8有两个不同的零点.(见同学用书课堂本P61)[处理建议]本题可以结合一元二次方程的根的状况来推断处理,也可以直接考察二次函数y=3x2+x-8的图象与x轴交点的个数.[规范板书]证法一考察一元二次方程3x2+x-8=0.∵Δ=12-4×3×(-8)=97>0,∴一元二次方程3x2+x-8=0有两个不相等的实数根.∴二次函数y=3x2+x-8有两个不同的零点.证法二∵Δ=12-4×3×=97>0,∴二次函数y=3x2+x-8的图象与x轴有两个不同的交点,即二次函数y=3x2+x-8有两个不同的零点.[题后反思]还可以先说明函数的图象是一条开口向上的抛物线,然后由f(0)=3×02+0-8=-8<0,得到函数的图象与x轴有两个不同的交点,即说明白二次函数y=3x2+x-8有两个不同的零点.【例2】(教材P92例2)推断函数f(x)=x2-2x-1在区间(2, 3)上是否存在零点.(见同学用书课堂本P62) [规范板书]解法一依据求根公式可得方程x2-2x-1=0的两个根分别为x1=1+,x2=1-.由于1<<2,所以2<1+<3.因此,函数f(x)=x2-2x-1在区间(2, 3)上存在零点.解法二由于f(2)=-1<0,f(3)=2>0,而二次函数f(x)=x2-2x-1在区间[2, 3]上的图象是不间断的,这表明此函数图象在区间(2, 3)上确定穿过x轴,即函数在区间(2, 3)上存在零点.[题后反思]一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.变式已知二次函数y=f(x)的零点分别是-2和3,且该函数的最大值为5,求y=f(x)的表达式.[处理建议]本题条件中提到了函数的零点,需要先弄清楚零点的定义,然后再合适地设二次函数的解析式,最终通过待定系数法解决问题.[规范板书]解设该二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-3),则该函数图象的对称轴为x==.由题意得f=5,即a=5,解得a=-.∴y=-(x+2)(x-3)=-x2+x+.[题后反思]合适地选择二次函数解析式的形式,会大大地削减计算量.【例3】已知函数f(x)=2x2-x+m有两个不相等的正零点,求实数m的取值范围.(见同学用书课堂本P62)[处理建议]本题涉及的函数有两个正零点,同学可能会条件反射地说Δ>0.讲解本题时可以先让同学自己思考,然后从同学中找几个有代表性的解答做具体的分析.[规范板书]解由题意可得即即解得0<m<3-2或m>3+2.[题后反思]本题实质上就是一元二次方程的根的分布问题,很多时候会接受函数的零点来描述,要留意概念的转换,其中写等价组是关键,本题也可以用韦达定理来解决.*【例4】已知m,n是二次函数y=x2+(2-k)x+k2+3k+5(k∈R)的两个零点,求m2+n2的最大值和最小值.[处理建议]本题实质上是对应的一元二次方程x2+(2-k)x+k2+3k+5=0 有两个实数根,要求m2+n2的最值,首先要考虑根与系数的关系,并由此得到以k为自变量的m2+n2的函数解析式.[规范板书]解由题意可知方程x2+(2-k)x+k2+3k+5=0(k∈R)有两个实根,所以Δ=(2-k)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0,解得-4≤k≤-.又m+n=-(2-k),mn=k2+3k+5,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.而f(k)=-(k+5)2+19在k ∈上是单调减函数,因此,当k=-4时,m2+n2取最大值18;当k=-时,m2+n2取最小值.[题后反思]这实质上是一个与一元二次方程的根有关的问题,必需先确定k的取值范围,构造以k为变量。

北师大版数学必修1导学案第一章

§1.1.1 集合的含义与表示（1）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.23讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学 ※ 探索新知探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车； ⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答：各组对象分别是一些什么有多少个对象新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：① 不等式30x ->的解； ② 3的倍数；③ 方程2210x x -+=的解； ④ a ，b ，c ，x ，y ，z ； ⑤ 最小的整数；⑥ 周长为10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a ∉A .试试3：设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B ， B ， 0 B ，－1 B .探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢新知4：常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +；整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ；实数集：全体实数的集合，记作R .试试4：填∈或∉：0 N ，0 R ， N ， Z ，.探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※典型例题例1 用列举法表示下列集合：①15以内质数的集合；②方程2(1)0x x-=的所有实数根组成的集合；③一次函数y x=与21y x=-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x=的图象与二次函数2y x=的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※知识拓展集合论是德国着名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（）.A．某个村子里的高个子组成一个集合B．所有小正数组成一个集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D．1361,0.5,,,2242. 给出下列关系：①12R=；②Q；③3N+-∉；④.Q其中正确的个数为（）.A．1个B．2个C．3个D．4个3. 直线21y x=+与y轴的交点所组成的集合为（）.A. {0,1}B. {(0,1)}C.1{,0}2- D.1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230x x-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100x x-=的所有实数根组成的集合.2. 设x∈R，集合2{3,,2}A x x x=-.（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.45复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .集合中的元素具备、、特征. 集合与元素的关系有、 .复习2：集合2{21}A x x =++的元素是，若1∈A ，则x = .复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么四个集合有何关系二、新课导学 ※ 学习探究思考：① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗探究：比较如下表示法 ① {方程210x -=的根}； ② {1,1}-；③ 2{|10}x R x ∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程230x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 . ※ 典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合；（2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如 {|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线21y x =-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别. （1）2{(,)|1}x y y x =-；（2）2{|1}y y x =-；（3）2{|1}x y x =-. 反思与小结：① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}x y y x =-与2{|1}y y x =-不同.② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x >，{|3,}x x k k Z =∈.③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z ，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R }也是错误的.④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※ 动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.练 2. 已知集合{|33,}A x x x Z =-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A ==+∈. 试用列举法分别表示集合A 、B .三、总结提升 ※ 学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※ 知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x =+与集合2{|1}y y x =+是同一个集合吗2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn 图.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 设{|16}A x N x =∈≤<，则下列正确的是（）. A. 6A ∈ B. 0A ∈ C. 3A ∉ D. 3.5A ∉ 2. 下列说法正确的是（）.A.不等式253x -<的解集表示为{4}x <B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k =C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x -=实数根的集合表示为{(2,2)}- 3. 一次函数3y x =-与2y x =-的图象的交点组成的集合是（）.A. {1,2}-B. {1,2}x y ==-C. {(2,1)}-D. 3{(,)|}2y x x y y x =-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x =∈≤<为. 5.集合A ＝{x |x =2n 且n ∈N }， 2{|650}B x x x =-+=，用∈或∉填空：4 A ，4 B ，5 A ，5 B .1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N =+=∈∈ ，试用列举法表示集合A .（2）设A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N ，且n <10}，B ＝{3的倍数}，求属于A 且属于B 的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A =-，集合2{|0}B x x ax b =++=，且A B =，求实数a 、b .§1.1.2 集合间的基本关系1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.学习过程一、课前准备 67 复习1：集合的表示方法有、、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空. （1） 0 N ；2 Q ； R . （2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢二、新课导学※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： {3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且； {}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生； {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为： ()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）. ⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 试试：用适当的符号填空. （1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ；（3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题. （1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗任何一个集合是它本身的真子集吗试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论① 若,,a b b a a b ≥≥=且则； ② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.※ 典型例题例 1 写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.BA变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x=->与{|250}B x x=-≥；（2）设集合A={0,1}，集合{|}B x x A=⊆，则A与B的关系如何变式：若集合{|}A x x a=>，{|250}B x x=-≥，且满足A B⊆，求实数a的取值范围.※动手试试练 1. 已知集合2{|320}A x x x=-+=，B＝{1,2}，{|8,}C x x x N=<∈，用适当符号填空：A B，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合{|5}A x a x=<<，{|2}B x x=≥，且满足A B⊆，则实数a的取值范围为.三、总结提升※学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※知识拓展如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2nn-个.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列结论正确的是（）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z⊆ D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x xB x x a=>=>，且A B⊆，则实数a的取值范围为（）.A. 1a< B. 1a≤C. 1a> D. 1a≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c=++=，则（）.A. 3,2b c=-= B. 3,2b c==-C. 2,3b c=-= D. 2,3b c==-4. 满足},,,{},{dcbaAba⊂⊆的集合A有个.5. 设集合{},{},{}A B C===四边形平行四边形矩形，{}D=正方形，则它们之间的关系是，并用Venn图表示.课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立,,,A B B A A C C A⊆⊆⊆⊆试用Venn图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q=++=，2{|320}B x x x=-+=且A B⊆，求实数p、q所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）学习目标1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89复习1：用适当符号填空.0 {0}；0 ∅；∅{x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S，{x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}A=，{3,5,7,8}B=.（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：{|,}.A B x x A x B=∈∈I且Venn图如右表示.②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A BU，读作：A并B，用描述法表示是：{|,}A B x x A x B=∈∈U或.Venn图如右表示.试试：（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝；（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A ∩B＝；（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝，A∩B＝.（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系（3）A∩A＝；A∪A＝.A∩∅＝；A∪∅＝.※典型例题例1 设{|18}A x x=-<<，{|45}B x x x=><-或，求A∩B、A∪B.变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，{|45}B x x x=><-或，则A∩B= ；A∪B= .小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.例2 设{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|327}B x y x y=+=，求A∩B.A变式：（1）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|43}B x y x y =+=，则A B =I ；（2）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|8212}B x y x y =+=，则A B =I .反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义※ 动手试试练 1. 设集合{|23},{|12}A x x B x x =-<<=<<.求A ∩B 、A ∪B .练2. 学校里开运动会，设A ={x |x 是参加跳高的同学}，B ={x |x 是参加跳远的同学}，C ={x |x 是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A B I 与B C I 的含义.三、总结提升 ※ 学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展A B C A B A C =I U I U I （）（）（）， A B C A B A C =U I U I U （）（）（）， A B C A B C =I I I I （）（）， A B C A B C =U U U U （）（）， A A B A A A B A ==I U U I （），（）. 你能结合Venn 图，分析出上述集合运算的性质吗学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z x B x Z x =∈≤=∈>那么A B I 等于（）. A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{}15x x <≤2. 已知集合M ＝｛(x , y )|x +y =2｝，N ={(x , y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为（）.A. x =3, y =－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C ===，则()A B C I U 等于（）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8} 4. 设{|}A x x a =>，{|03}B x x =<<，若A B =∅I ，求实数a 的取值范围是 .5. 设{}{}22230,560A x x x B x x x =--==-+=，则A B U = .课后作业1. 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试分别说明下面三种情况时直线1l 与直线2l 的位置关系（1）12{}L L P =I 点；（2）12L L =∅I ；（3）1212L L L L ==I .2. 若关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，且A ∩B ={13-}，求A B U .§1.1.3 集合的基本运算（2）学习目标1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.学习过程一、课前准备 1011 复习1：集合相关概念及运算. ① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的，记作 . 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的，记作 . 若A B B A ⊆⊆且，则 .② 两个集合的部分、部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为： A B =I ；A B =U .复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系二、新课导学 ※ 学习探究探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系新知：全集、补集.① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ；（2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝；（3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A ð= ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集在研究图形集合时，一般把什么作为全集（2）Q 的补集如何表示意为什么 ※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求U C A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B U 、()()U U C A C B I .※ 动手试试练1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B满足()(){1,9}I I C A C B =I ，(){4,6,8}I C A B =I ，{2}A B =I . 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1）；（2）；（3）；（4） .反思：结合Venn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A =I ，()U A C A =U ；（2）()U U C C A = . 三、总结提升 ※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立（1）()()()U U U C A B C A C B =U I ；（2）()()()U U U C A B C A C B =I U .学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（）.A. {|02}x x x ≤≥或B. {|02}x x x <>或C. {|2}x x ≥D. {|2}x x > 3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--, {}0,3,4N =--，则()I M N =I ð（）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .课后作业1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =I ，试用列举法表示集合A§ 集合（复习）学习目标1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.214复习1：什么叫交集、并集、补集符号语言如何表示图形语言A B =I ； A B =U ； U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝；A ∩∅＝； A ∪A ＝；A ∪∅＝；()U A C A =I ；()U A C A =U ； ()U U C C A = . 你还能写出一些吗二、新课导学※ 典型例题例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得出什么结论吗例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =U ，A B ≠I ∅，(){1,2}U A C B =I ，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.例3 若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==U I 且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练 1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A⊇B 时，求实数m的取值范围。

2021年秋高一数学苏教版必修一名师导学：第1章第3课时子集、全集、补集

第3课时子集、全集、补集教学过程一、问题情境观看下列各组集合,说说集合A与集合B的关系(共性).(1)A={-1, 1},B={-1, 0, 1, 2};(2)A=N,B=R;(3)A={x|x为北京人},B={x|x为中国人}.二、数学建构(一)生成概念问题1集合A中的元素与集合B中的元素有什么关系?(引导同学说出:集合A中的元素都在集合B中)问题2集合A与集合B有什么关系?(得出集合A与B的关系,引导同学概括子集、真子集的定义)子集:一般地,对于两个集合A与B,假如集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,(图1)记作A⊆B或B⊇A,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.(参见图1)真子集:对于两个集合A与B,假如A⊆B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集,记作A⫋B或B⫌A,读作“A真包含于B”或“B 真包含A”.如{a}⫋{a,b}.(二)理解概念(1)子集概念理解:关键词是“任意”、“都是”.(2)真子集概念理解:若A⊆B,且存在b∈B,但b∉A,则称集合A是集合B的真子集.(3)留意子集与真子集符号及符号方向的异同点.(4)空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.(5)空集是任何非空集合的真子集,即⌀⫋A(其中A≠⌀).(6)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.(7)易混符号:①“∈”与“⊆”:∈表示元素与集合之间的属于关系,⊆表示集合与集合之间的包含关系.如:1∈N,-1∉N, N⊆R,⌀⊆R,{1}⊆{1, 2, 3}.②{0}与⌀:{0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合.如:⌀⊆{0}不能写成⌀={0},也不能写成⌀∈{0}.三、数学运用【例1】(依据教材P8例1改编)写出集合{a,b}的全部子集,并指出其中哪些是它的真子集.(见同学用书课堂本P5) [处理建议]强调“全部”两字.[规范板书]解集合{a,b}的全部子集是⌀,{a},{b},{a,b},其中真子集有⌀,{a},{b}.[题后反思]寻求子集、真子集的主要依据是定义,最好依据规律写才能防止重漏现象,但⌀特殊要留意,简洁漏写.变式1(教材P9练习第1(3)题)写出集合{1, 2, 3}的全部子集.[规范板书]解⌀,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3}.[题后反思]写全部子集时,最好依据规律(如集合中元素的个数递增等)写才能防止重漏现象,但⌀特殊要留意,简洁漏写.变式2(1)集合{a,b,c,d}的全部子集的个数是多少?(2)集合{a1,a2,…,a n}的全部子集的个数是多少?[规范板书]解(1) 24=16;(2) 2n.[题后反思]推广:假如一个集合的元素有n个,那么这个集合的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.【例2】(教材P8例2)下列各组的3个集合中,哪2个集合之间具有包含关系?(1)S={-2,-1, 1, 2},A={-1, 1},B={-2, 2};(2)S=R,A={x|x≤0,x∈R},B={x|x>0,x∈R};(3)S={x|x为地球人},A={x|x为中国人},B={x|x为外国人}.(见同学用书课堂本P5)[处理建议]利用数形结合思想,通过Venn图或数轴挂念,挂念同学观看得出结论.[规范板书]解在(1)(2)(3)中都有A⫋S,B⫋S.问题3观看上述A,B,S三个集合,它们之间还存在着怎样的关系?(A和B中的全部元素共同构成了集合S,且S中除去A中元素即为B中元素;反之亦然)问题4请同学们举出类似的例子.(如A={班上男同学},B={班上女同学},S={全班同学}.通过举例分析,让同学观看并概括出补集、全集的概念)补集:设A⊆S,由S中不属于A的全部元素组成的集合称为S的子集A的补集,(图2)记作∁S A(读作“A在S中的补集”),即∁S A={x|x∈S,且x∉A}.(参见图2)全集:假如集合S包含我们所要争辩的各个集合的全部元素,这时集合S就可以看做一个全集,全集通常记作U.变式(1)若S={2, 3, 4},A={4, 3},则∁S A=;(2)若S={三角形},B={锐角三角形},则∁S B=;(3)若S={1, 2, 4, 8},A=⌀,则∁S A=;(4)若U={1, 3,a 2+2a+1},A={1, 3},∁U A={4},则a=;(5)已知A={0, 2, 4},∁U A={-1, 1},∁U B={-1, 0, 2},则B=;(6)设全集U={2, 3,m2+2m-3},A={|m+1|, 2},∁U A={5},求实数m的值.[规范板书]解(1){2};(2){直角三角形或钝角三角形};(3){1, 2, 4, 8};(4)-3;(5){1, 4};(6)由题意得m2+2m-3=5且|m+1|=3,解得m=-4或m=2.[题后反思]第(1)题主要是比较集合A与S的区分;第(2)题要留意三角形的分类;第(3)题要留意空集定义的运用;第(4)题利用集合中元素的特征;第(5)题利用Venn图;第(6)题留意补集定义的运用.【例3】(1)若不等式组的解集为A,试求A和∁R A,并把它们分别在数轴上表示出来;(2)设全集U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},若B是∁U A的真子集,求实数a的取值范围.(见同学用书课堂本P6)[处理建议]利用数轴表示不等式确定的数集的运算.[规范板书]解(1)A=,∁R A=,数轴表示略.(2)由题意可得B={x|x<-a},∁U A={x|x≤1}.∵B是∁U A的真子集(如图),∴-a≤1,即a≥-1.(例3(2))[题后反思]利用数轴或Venn图挂念解题,能很好地解决集合之间的运算.变式设全集U=R,若A={x|3m-1<x<2m},B={x|-1<x<3},B⫋∁U A,求实数m的取值范围.[处理建议]利用数轴引导同学进行分类争辩.[规范板书]解①若A=⌀,则3m-1≥2m,即m≥1.此时∁U A=R,满足题意.②若A≠⌀,则m<1,此时∁U A={x|x≥2m或x≤3m-1}.(i)当-1≥2m时,即m≤-,满足m<1;(ii)当3m-1≥3时,即m≥,与前提m<1冲突,舍去.。