西城区2021年初三一模数学试卷及答案

西城区2021届初三年级一模考试
数学试卷
2021.4
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.右图是某几何体的三视图，该几何体是
（A ）圆柱 （B ）三棱锥
（C ）三棱柱
（D ）正方体
2.2021年2月27日，由嫦娥五号带回的月球样品（月壤）正式入藏中国国家博物馆，盛放月球样品的容器整体造型借鉴自国家博物馆馆藏的系列青铜“尊”造型，以体现稳重大方之感，它的容器整体外部造型高38.44cm
，象征
地球与月亮的平均间距约384400km 。

将384400用科学记数法表示应为
（A ）438.4410⨯ （B ）53.84410⨯ （C ）43.84410⨯
（D ）60.384410⨯
3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
（A ） （B ） （C ） （D ）
4.若实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是
（A ）0a b ->
（B ）0ab >
（C ）b a >-
（D ）2a b <
5.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是
（A ）4
（B ）5
（C ）6
（D ）8
6.如图，AB 是
O 的直径，CD 是弦（点C 不与点A ，点B 重合，且点C 与点D 位于直径AB 两侧），若∠AOD=110°，
则∠BCD 等于
（A ）25° （B ）35° （C ）55° （D ）70°
7.春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季。

游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是
（A ）
1
7
（B ）
27
（C ）
149
（D ）
249
8.风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系。

下表中列出了当气温为5℃时，风寒温度T （℃）和风速v （km/h ）的几组对应值，那么当气温为5℃时，风寒温度T 与风速v 的函数关系最可能是
（A （C ）二次函数关系
（D ）反比例函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.若分式
3
2
x x -+的值为0，则实数x 的值为________。

10.将一副直角三角板如图摆放，点A 落在DE 边上，AB ∥DF ，则∠1=________°。

1l.
大的整数中，最小的是________。

12.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,D 是网格线的交点，那么∠DAC 与∠ACB 的大小关系为：∠DAC________∠ACB （填“>”，“=”或“<”）。

13.已知方程组2521x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
，
则x y +的值为________。

14.某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品15天的日销售额的数据，制作了如下的统计图。

关于这个产品销售情况有以下说法：
①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值； ②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差； ③这15天日销售额的平均值一定超过2万元。

所有正确结论的序号是________。

15.将二次函数2y x =的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x 的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x 的取值范围是________。

16.某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500
元全部花完。

已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是________。

三、解答题（本题共68分，第17~21题，毎小题5分，第22题6分，第23题5分，第24~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.
计算：2
14sin 60|5|3-︒
⎛⎫+-- ⎪⎝⎭。

18.解不等式组5(1)71123
4x x x x +>-⎧⎪
--⎨>⎪⎩，，并求它的整数解。

19.已知2340x x +-=，求代数式(21)(21)3(1)x x x x +---的值。

20.阅读材料并解决问题：
①以点O 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线（2）完成下面的证明证明：连接MN 。

由②得，线段CN________CP （填“>”，“=”或“<”）。

在△MCN 和△DCP 中，
_________,
_________,_________,⎧⎪
⎨⎪⎩
∴△MCN ≌△DCP 。

∠NMC=∠PDC 。

∵.MN ∥EF （________）（填推理的依据）。

又由①得，线段OM=ON 。

可得OE=OF 。

21.奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点。

小华和小萱相约去奥森南园跑步踏青，奥森南园有5千米和3千米的两条跑道（如图所示）。

小华选择了5千米的路线，小萓选择了3千米的路
线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑100米，两人同时出发，结果同时到达终点。

求小萱的速度。

22.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，CE=DE=2BC 。

DC 的中点为F ，DE 的中点为G ，连接AF ，FG 。

（1）求证：四边形AFGD 为菱形； （2）连接AG ，若BC=2，3
tan 2
B =
，求AG 的长。

23.在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =-+与双曲线(0)k
y k x
=
≠交于A ，B 两点，点A ，点B 的横坐标A x ，B x 满足B A x x >，直线y x b =-+与x 轴的交点为C （3,0），与y 轴的交点为D 。

（1）求b 的值；
（2）若A x =2，求k 的值；
（3）当AD≥2BD 时，直接写出k 的取值范围。

24.国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标。

某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M 和标准N ），对市面上常见的9种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息：
a.标准M 下的实测续航里程数据为324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，445，463.2（单位：km ）；
b.标准N 下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1）；
c.标准N 下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x （单位：km ），数据分为A~F 六组（图2）。

不同标准下实测续航里程统计表（单位：km）
（1）补全图2；
（2）不同标准下实测续航里程统计表中，a=________，在A~F六组数据中，b所在的组是________（只填写A~F中的相应代号即可）；
判断a与b的大小关系为a________b（填“>”，“=”或“<”）。

（3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成比”）越高越好，但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的限制只能达到一定比例，晓春打算为家里选购纯电动汽车，如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，请在图1中圈出实测续航里程不低于300km的车型中，符合他要求的车型所对应的点。

25.如图，AB为O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与O相切，切点为A，连接BO并延长，
交O于点E，交直线DA于点F。

（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AF=，
1
sin
3
B=，求O的半径。

26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221(0)y ax a x a =-+≠与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线与抛物线交于点B 。

（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若AB=4，求抛物线所对应的函数解析式；
（3）已知点()4,1P a +，()0,1Q a +，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围。

27.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC>90°，D 是△ABC 内一点，∠ADC=∠BAC 。

过点B 作BE ∥CD 交AD 的延长线于点E 。

（1）依题意补全图形； （2）求证：∠CAD=∠ABE ；
（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD 相等的线段并加以证明。

28.对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ ，给出如下定义：若存在△PQR 使得2
PQR S PQ ∆=，则称△PDR 为线段PQ 的“等幂三角形”，点R 称为线段PQ 的“等幂点”。

（1）已知A （3,0）。

①在点1234(1,3),(2,6),(5,1),(3,6)P P P P --中，是线段OA 的“等幂点”的是__________； ②若存在等腰△OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，求点B 的坐标；
（2）已知点C 的坐标为C （2，-1），点D 在直线y=x-3上，记图形M 为以点T （1,0）为圆心，2为半径的T 位于x 轴上方的部分。

若图形M 上存在点E ，使得线段CD 的“等幂三角形”△CDE 为锐角三角形，直接写出点D 的横坐标D x 的取值范围。

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分） 9.3. 10.75
11.3
12.＞.
13.2.
14.①②③
15.答案不唯一，如：03x ＜＜.
16.答案不唯一，如：购买24块彩色地砖，60块单色地砖。

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23题5分，第24~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分） 17.（本小题满分5分）
解：原式=42
⨯
4分
=14 5分 18.（本小题满分5分）
解：原不等式组为 5x+17x-1x-1x-234
（）＞， ①
＞， ②
解不等式①，得x 3＜. 1分 解不等式②，得x -＞2. 3分
∴原不等式组的解集为-2x 3＜＜. 4分 ∴原不等式组的整数解为-1,0,1,2. 5分
19.（本小题满分5分）
解：
2x+1)(2x-1)-3x(x-1)（ 2=4x 31x +-
2=x 31x +- 3分
22
x 34=0x +3x=4
x +-∴，
2=x +3x-1=4-1=3∴原式 5分
20.（本小题满分5分）
解：（1）不全的图形如图1所示。

2分
（2） 3分
,,;CN CP MCN DCP CM CD =∠=∠= 4分
内错角相等，两直线平行。

5分 21.（本小题满分5分）
解：设小萱的速度为x 米/分。

1分 则小华的速度为x+100（）
米/分。

由题意得
50003000
=x+100x
2分
整理，得5x=3x+100（）
解得x=150 3分 经检验，x=150是原方程的解，且符合题意 4分 答：小萱的速度为150米/分。

5分 22.（本小题满分6分）
（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，点E 在BC 的延长线上，
∴AD BE AD BC =∥， 1分 ∵DC 的中点为F ，DE 的中点为G ，
∴1
2
E CE =
FG ∥C ，FG . ∴AD ∥FG . 又∵2CE BC =，
∴1
2
BC CE =
， ∴12
AD CE =
∴AD FG =
∴四边形AFGD 为平行四边形. 2分
∵11
=
,,.22
FG CE DG E CE DE == ∴FG DG =
∴四边形AFGD 为菱形 3分 （2）解：如图2，设AG 与DF 的交点为O 。

∵四边形AFGD 为菱形 ∴2.AG DF AG AO ⊥=，
∵四边形ABCD 为平行四边形，3
2,tanB=
2
BC =，
∴32,tan 1=tan B=
2
AD BC ==∠，
在Rt △AOD 中，3=90?tan 1=
2
AOD ∠∠，AD=2,，
若设0=3k 2k A OD AD ===，则，
解得k=
13
∴=2AG AO = 6分 23.（本小题满分5分）
解：（1）∵直线y x b =-+与x 轴的交点为C （3,0）， ∴03b =-+
∴=3b 1分 （2）由（1）得直线y 3x =-+
∵直线y 3x =-+与双曲线k
y k 0x
=（≠）的一个交点为A ，2A X =,
∴点A 十五坐标为A （2,1） 2分
∴k 12
=
解得k=2 3分 （3）0k 2＜≤或-k 018≤＜ 5分 24.（本小题满分6分）
解：（1）
（2）403.7，C 1 4分 ＞1 5分 （3）
6分
25.（本小题满分6分）
（1）证明：如图3，连接OA.
∵DA 与⊙O 相切，切点为A ，OA 为⊙O 的半径， ∴0DA A ⊥ 1分
90?1+90?OAD CAD ∴∠=∠∠=，
=OB OA ，C 为AB 的中点
,.901OC B B D CAD D
∴⊥∠=∠∴∠+∠=∴∠=∠ B D ∴∠=∠ 3分
（2）解：如图3，连接AE ， 设⊙O 的半径为r
∵O 为BE 的中点，C 为AB 的中点，
1
2
AE OC OC AE ∴=∥，, FA AE
FD OD
∴
= 1,sinB 3
1
sinD sin 1sinB=
3
B D ∠=∠=
∴=∠=
在Rt △OAD
中，3r sinD
OA
OD AD =
===， 在Rt △OAC 中，1sin 1r 3
OC OA =⋅∠=
2
2r
34AE OC AF ∴=
==
2r
33r
5分 化简，得42=4+2r 9
∴
解得r 7=
经检验，r 7=是原方程的解。

∴r 7= 6分
26.（本小题满分6分）
解：（1）x=α； 1分
（2）∵抛物线22
y=x -2x+10ααα（≠）与y 轴的交点为A.
∴点A 的坐标为A （0，1）.
∵过A 所作x 轴的平行线与抛物线的交点为B ，4AB =， ∴点B 的坐标为（4，1）或（-4，1）. ∴抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2. ∴=2α或=-2α.
∴抛物线所对应的函数解析式为2
y=2x -8x+1或2
y=-2x -8x+1. 3分
（3）∵过A 所作x 轴的平行线与抛物线22
y=x -2x+10ααα（≠）的交点为B ，
∴点B 的纵坐标为1.
∵点B 的横坐标是关于x 的方程22
x -2x+1=1αα的解.
解得12x =0x =2α， ∴点B 的坐标为B （2a ，1）. 又∵点P 的坐标为P （a+4，1）， ∴点P 在直线AB 上.
①如图4.当a 0＞时，2a 0a+1
1a+4a ＞，＞，＞
∴B （2a ，1）在A （0，1）右侧，且Q （0，a+1）在y 轴上N （0，1）的上方，P （a+4，1）在抛物线的对称轴右侧.
∵抛物线22
y=x -2x+10ααα（≠）与
线段PQ 恰有一个公共点，
∴结合图象可得，点P ，点B 的横坐标x 满足x p ， x B 满足p x x B ≥ ∴ a 0＞
a+42a ≥
解得0a 4＜≤
②如图5，当0a <时，20a+11a <，＜
a+4a ＞
∴B （2a ，1）在A （0，1）左侧，且Q （0，a+ 1）在y 轴上A （0，1）的下方，P （a+4，1）在抛物线的对称轴右侧.
∵抛物线22
y=x -2x+10ααα（≠）与
线段PQ 恰有一个公共点，
∴结合图象可得，点P ，点A 的横坐标x p X A 满足x x P A ≥ ∴a 0＜
a+40≥
解得-4a 0≤＜
综上所述，-4a 0≤＜或0a ≤＜4 6分 27.（本小题满分7分）
（1）解：补全图形如图6所示。

1分
（2）证明：如图7，延长BE 至点F 。

∵BE ∥CD ，点F 在BE 的延长线上，
1ADC ∴∠=∠
ADC BAC ∠=∠ 1BAC ∴∠=∠
∵1∠是△ABE 的外角
1ABE BAE ∴∠=∠+∠ 1ABE BAE ∴∠=∠-∠
又
CAD BAC BAE ∠=∠-∠
CAD ABE ∴∠=∠ 3分
证明：如图8，延长BE 至点F ，在BE 上截取BG=AD ，连接AG
由（2）得ABG CAD ∠=∠ 又
ABG CAD ≅△△
,,AG CD BGA ADC ∴=∠=∠
1ADC ∠=∠
1BGA ∴∠=∠
180,21180,AGE BGA ∠+∠=∠+∠= 2,AGE ∴∠=∠
.AE AG ∴=
.AE CD ∴= 7分
28.（本小题满分7分）
解：（1）①P 2，P 4; 2分 ②如图9
∵△OAB 是线段OA 的“等幂三角形”， ∴2
=OA OAB S △
∵点A 的坐标A （3，0）， 若记△OAB 中OA 边上的高为h ， 则有13
=
h=h=922
OAB S OA ⨯⨯△
∴点B 在直线y=6或y=-6上， ∴△OAB 是等腰三角形，
∴点B 在半径为3的⊙O ，半径为3的⊙A 或线段OA 的垂直平分线上，
综上所述，点B 的坐标为（
3
,62
）或（3,-62）。

5分
（2）
x 12P ＜或x 2
P 3＜＜。