2-2无约束最优化方法结构
第8章 无约束问题最优化方法
8 ． 1 ． 3 计算举例
例 8-1 用变量轮换法求解
2 2 min f ( x) 3x12 2x2 x3 ，
( n 1) （1） T x (1) 0.01 时停止 已知初始点 x (1, 2, 3) ，当 x
迭代．
8.2
模式搜索方法
模式搜索方法 ( Pattern Search Method ) 是 R.Hooke 和 T.A.Jeeves 于 1961 年提出的 , 因此也称为 Hook-Jeeves 方法 , 此方法有明显的几何意义 , 为介绍这种方法 , 从求一个二元函 数的极小点谈起．这相当于寻找某个曲面的最低点 , 或者形象 地说 , 相当于从一座山岭的某处出发 , 设法走到附近某一盆地 的最低点 , 怎样才能尽快达到这一目标呢 ? 很显然 , 如果能找 到一条山谷 , 沿山谷行进是最好的方法． 模式搜索方法就是根据上述思想设计的．它由两部分组成 , 包括探测移动和模式移动． 利用这种算法建立的迭代点移动 不需要使用一维搜索技巧．
(1) (1) (1) (1) (1) (1) e2 ) f (t 2 ) , 则 置 t3 t3 t2 e2 ； 否 则 若 f (t 2 t2 e2 ； 否 则
置 t 3 (1) = t 2 (1) ．
(1) 重复以上过程， 最后得到 t n 1 ．
8 ． 2 ． 2 模式移动
8.3 可变单纯形法
可变单纯形法的基本思想是， 给定 R n 中的一个单纯 形， 求出 n +1 个顶点的函数值 , 并确定这些函数值中的 最大值、 次大 值和最小 值， 然后通过 反射 、扩张、 内 缩、缩边 等方 法（几种 方法 不一定同 时使 用）求出 一 个较好点，用它取代最大值的点，以构成新的单纯形， 通过多次 迭代 逼近极小 点， 迭代过程 中逐 渐地把单 纯 形向最优点移动．
无约束问题的最优化条件
f
(x)
f
(xk ) f
(xk )T
(x
xk )
1 (x 2
xk )T 2
f
(xk )(x
xk )
Q(k) (x)
f
(xk ) f
(xk )T (x xk )
1 2
(
x
xk
)T
2
f
(xk )(x xk )
令
Q(k) (x) x
0
f
( xk
)
2
f
(
xk
)(
x
xk
)
0
x xk (2 f (xk ))1f (xk ) xk Gk1gk
k 满足:
f (xk
dk ) 0
T f (xk k dk )gdk 0
ห้องสมุดไป่ตู้
d
T k 1
gd
k
0
14
a
5.3 牛顿法
自动化学院
15
a
一、牛顿迭代公式
牛顿法的基本思想是利用目标函数在当前迭代点 xk 处 的二次近似的极小点作为 f (x) 的近似极小点。
16
a
设 xk 是当前迭代点， 2 f (xk ) 正定，
5.1 无约束问题的 最优性条件
自动化学院
1
a
一、极小点的概念
1．局部极小点 2．严格局部极小点 3．全局（总体）极小点 4．严格全局（总体）极小点。 注：在非线性规划中，大多数算法都致力于求最优化 问题的局部极小点，一般求全局极小点极为困难，仅 当问题为凸规划时，局部极小为全局极小。
2
a
二、无约束问题最优性条件
的极小值,0.01,x(0)(0,0)T ,只迭代一次
无约束优化方法
第四章无拘束优化方法——最速降落法，牛顿型方法概括在求解目标函数的极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加限制，则称这种最优化问题为无拘束优化问题。
只管对于机械的优化设计问题，多半是有拘束的，无拘束最优化方法仍然是最优化设计的基本构成部分。
因为拘束最优化问题能够经过对拘束条件的办理，转变为无拘束最优化问题来求解。
为何要研究无拘束优化问题（1）有些实质问题，其数学模型自己就是一个无拘束优化问题。
（2）经过熟习它的解法能够为研究拘束优化问题打下优秀的基础。
（3）拘束优化问题的求解能够经过一系列无拘束优化方法来达到。
所以无拘束优化问题的解法是优化设计方法的基本构成部分，也是优化方法的基础。
依据构成搜寻方向所使用的信息性质的不一样，无拘束优化方法能够分为两类。
一：间接法——要使用导数的无拘束优化方法，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。
二：直接法——只利用目标函数值的无拘束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法纯真形法等。
无拘束优化问题的一般形式可描绘为：求 n 维设计变量X x1x2L x n T R n使目标函数 f ( X )min当前已研究出好多种无拘束优化方法，它们的主要不一样点在于结构搜寻方向上的差异。
无拘束优化问题的求解：1、分析法能够利用无拘束优化问题的极值条件求得。
马上求目标函数的极值问题变为求方程min f ( X * )0的解。
也就是＊使其知足求Ｘf ( X *)0x1f ( X*)x2f ( X*)x n解上述方程组，求得驻点后，再依据极值点所需知足的充足条件来判断能否为极小值点。
但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实质问题中一般是非线性的，很难用分析法求解，要用数值计算的方法。
由第二章的叙述我们知道，优化问题的一般解法是数值迭代的方法。
所以，与其用数值方法求解非线性方程组，还不如用数值迭代的方法直接求解无拘束极值问题。
2、数值方法数值迭代法的基本思想是从一个初始点 X (0)出发，依据一个可行的搜寻方向 d ( 0)搜寻，确立最正确的步长0使函数值沿 d (0 )方向降落最大，获得 X (1)点。
最优化方法：第三章无约束问题的最优化方法
f1 f 2 ，则新区间＝ [a, 2 ]
f1 f 2
[a1 , b]
a 1 , 1 2 , f1 f 2
，记N0=1；
4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够精度，
如果收敛条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小 点的数值近似解。如果条件不满足则转向步骤5）。
(3）产生新的探测点a3＝a1＋h，y3＝f(a3); (4) 比较函数值 y2与y3： （a） 如y2>y3, 加大步长 h＝2 h ，a1=a2, a2=a3,转（3） 继续探测。 （b）如y2<y3, 则初始区间得到： a=min[a1,a3]， b=max[a3,a1]，函数最小值所在的区间 为 [a ， b] 。
解得： b
c
p 3 a b 3 c 3 f 3
2 2 2 2
2 3 f1 3 1 f 2 1 2 f 3 1 2 2 3 3 1
3 f1 3 1 f 2 1 2 f 3 1 2 2 3 3 1
确定的搜索区间必定
f (x) f (x)
α
是一个含有最优点α*的 单峰区间。
0Leabharlann α1α3α
0
α1
α3
α
2、确定初始单谷区间的进退法 基本思想： 对f(x)任选一个初始点a1及初始步长h， 通过比较这两点函数 值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是 否为 “高—低—高” 形态。 步骤： （1）选定初始点a, 初始步长h＝h0，计算 y1＝f(a1)，y2＝f(a1＋h)。 （2）比较y1和y2。 （a）如y1>y2, 向右前进；加大步长 h＝2 h ，转（3）向前； （b）如y1<y2, 向左后退；h＝－ h0， 将a1与a2，y1与y2的 值互换。转（3）向后探测； （c）如y1＝y2，极小点在a1和a1＋h之间。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例： 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
非线性规划-无约束问题的最优化方法
f x( ) + l e1 = 3( + l ) + 2? 22 1
1
(
)
2
32 = 3( + l ) + 17 1
2
fl ' = 0 ? l 1
- 1
轾 轾 1 1 犏 犏 2 1 x( ) = x( ) + l e1 = 犏 + (- 1)犏 = 2 0 犏 犏 犏 犏 3 0 臌 臌
轾 0 犏 犏 ? f x(2) 2 犏 犏 3 臌
第 二 节 最
二、最速下降法的算法步骤
速 下
降 法
第1步：给定初始点 x(0)，及终止误差 e > 0 ，令k =0 第2步：求梯度向量的范数 Ñ f (x(k )) 若 ? f (x(k )) 停止计算，输出x e ，停止计算，输出 (k)作为极小点的近
p( ) = - f x( )
k k
似值，否则转到下一步。 似值，否则转到下一步。 第3步：构造负梯度方向
第 一 节
一、基本思想
变
量
轮 换
法
认为最有利的搜索方向是各坐标轴的方向， 认为最有利的搜索方向是各坐标轴的方向，因此它轮流 按各坐标的方向搜索最优点。 按各坐标的方向搜索最优点。 过程：从某一个给定点出发，按第 个坐标轴 个坐标轴x 过程：从某一个给定点出发，按第i个坐标轴 i的方向搜 索时，假定有 个变量 则只有x 在变化，其余(n-1)个变量 个变量， 索时，假定有n个变量，则只有 i在变化，其余 个变量 都取给定点的值保持不变。这样依次从 做了n次单变 都取给定点的值保持不变。这样依次从x1到xn做了 次单变 量的一维搜索，完成了变量轮换法的一次迭代。 量的一维搜索，完成了变量轮换法的一次迭代。
无约束优化方法PPT课件
从点xk出发，沿G某一共轭方向d k作一维搜索,到达xk 1
xk 1 xk ak d k
xk 1 xk ak d k 而在点xk、xk 1处的梯度分别为：
gk Gxk b gk1 Gxk1 b
gk1 gk G xk1 xk akGd k
等式两边同乘 d 0 T 得 d 0 T Gd1 0
d 0 d 1 是对G的共轭方向。
三、共轭方向法
1、选定初始点 x0 ，下降方向d 0 和收敛精度ε，k=0。
2、沿 d k 方向进行一维搜索，得 xk1 xk ak d k
3、判断 f xk1 是否满足，若满足则打印 xk1
xk1 xk k Hf xk
变尺度法是对牛顿法的修正，它不是计算二阶导数的矩阵和 它的逆矩阵，而是设法构造一个对称正定矩阵H来代替Hesse 矩阵的逆矩阵。并在迭代过程中，使其逐渐逼近H-1 。
由于对称矩阵H在迭代过程中是不断修正改变的，它对于一 般尺度的梯度起到改变尺度的作用，因此H又称变尺度矩阵。
第二节 最速下降法
优化设计追求目标函数值最小，若搜索方向取该点的负 梯度方向，使函数值在该点附近的范围内下降最快。 按此规律不断走步，形成以下迭代算法：
xk1 xk akf xk
以负梯度方向为搜索方向，所以称最速下降法或梯度法。
搜索方向确定为负梯度方向，还需确定步长因子ak
即求一维搜索的最佳步长，既有
共轭方向的概念是在研究二次函数
f x 1 xTGx bT x c
2 时引出的。 首先考虑二维情况
1 共轭方向
定义1：设G为 n n阶实对称正定矩阵，而 d i , d 为j 在n
无约束最优化的常用方法
⽆约束最优化的常⽤⽅法11/22/2017 12:40:56 PM优化问题在很多领域有着重要的应⽤。
为了⽇后查阅⽅便，本⽂列举常见的⽆约束优化⽅法的计算公式。
需要说明的是，本⽂的⼤部分内容选⾃图书《算法笔记》。
⼀、梯度下降法梯度下降法（Gradient Descent Method）也叫做最速下降法（Steepest Descent Method），因为负梯度是函数局部下降最快的⽅向。
梯度下降梯度下降法的迭代格式为x k+1=x k−αk∇f(x k)梯度下降法⾮常简单，只需要知道如何计算⽬标函数的梯度就可以写出迭代格式。
因此，尽管在不少情况下梯度下降法的收敛速度都很慢，也依然不影响它在⼯业界的⼴泛应⽤。
梯度下降法应⽤到⼀些具体模型上有时也会被视作⼀类特定的算法，例如神经⽹络中的后向传导算法（Back Propagation Algorithm）。
随机梯度下降在机器学习中经常有f(x)=∑m i=1ℓi(x)，其中ℓi(x)是第i个训练样本的损失函数。
这时我们可以使⽤随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent Method）。
其迭代格式为x k+1=x k−αk∇ℓr(x k)其中r∈1,2,⋯,m为随机数。
这种做法可以理解为随机选择⼀个训练样本，进⾏⼀次梯度下降的训练。
在机器学习的问题中，我们通常不需要真的求得最优值，这样不精确的迭代，使得算法不容易过拟合。
由于随机梯度下降法的普及，与此相对的梯度下降法有时被称为批量梯度下降法（Batch Gradient Descent Method），因为它同时考虑所有训练样本。
介于批量梯度下降法和随机梯度下降法之间，还有⼩批量梯度下降法（Min-Batch Gradient Descent Method），也就是每次迭代选择若⼲个训练样本。
步长αk的选取梯度下降法可采⽤BB步长（Barzilai Borwein）。
BB步长有两个计算公式，选择其⼀即可。
无约束最优化问题
引言
约束最优化问题：具有辅助函数和形态约束条件的优 化问题。 无约束最优化问题：没有任何限制条件的优化问题。 工程实践中大多数问题都是具有约束的优化问题。
但在优化方法的处理上可以将有约束优化问题 转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行 处理。或者是将有约束优化部分转化为无约束优化 问题，即在远离极值点和约束边界处按无约束来处 理，当接近极值点和约束边界时，在按有约束的优 化问题来处理。 因此无约束优化方法是优化方法的基本组成部 分，也是优化设计中较常用的方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
解题一般步骤
例
多元函数的梯度和对应矩阵
迭代法主要解决两个问题： 如何选择一个最有利的搜索方向 S( k ) 使目标函数沿此方向快速下降，且计算简便。
在搜索方向既定的前提下，如何确定沿此方向 迭代的最优步长 ( k )
无约束最优化方法可以分为两类：直接法和间接法。 直接法又称数值方法，它只需计算目标函数诸点的函 数数值，而不需求其导数，如坐标轮换法，单纯性法 等。 间接法又称解析法，是应用数学极值理论和解析方法， 首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后 根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造各种算法，从 而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速 下降法、共轭梯度法及变尺度法。
常用的无约束优化方法
一系列沿坐标轴方向的一维搜索问题来求解。在每一 次迭代中，只改变 n 个变量中的一个，其余变量固定 不动，因此常称为单变量法或变量交错法或降维法
#
4.1 坐标轮换法-迭代步长的确定
(1) 最优步长
在沿坐标轴方向的搜索中，利用一维优化方法来确定沿该方向 上具有最小目标函数值的步长，即：
基本方向组为：
S1(
k
)
,S(k 2) Nhomakorabea,
各方向最优步长： a1(k ) , a2(k ) ,
,
S
(k n
)
, an(k )
新生方向：
Sk
x(k) n
x(k) 0
a S (k ) (k ) 11
a2(k ) S2(k )
an(k ) Sn(k )
若在优化搜索过程中出现1(k) =0(或近似等于0)，则方向 Sk
F2 < F3 F2 F3
其中： △ 是在第k 环方向组中，依次沿各方向优化搜索函数值下
降量的最大值，即Sm(k) 方向函数下降量最大
#
鲍威尔修正算法的方向淘汰
x
(k 2
)
S (k) 3
S
( 2
k
)
x1(k )
S1(k )
x(k) m
x(k) m 1
函数下降量△
S (k) n
x(k) 0
(F1)
S (k)
x(k) n
(F2)
第四章 常用的无约束优化 方法
王桂从
无约束优化问题的数学模型
min F(x)
x [x1 x2 xn ] Rn
求上述问题最优解(x*, F*)的方法称为无约束优化方法 无约束优化方法理论研究开展的比较早，构成的优 化方法已很多，也比较成熟。使用无约束优化方法 ，不仅可以直接求无约束优化设计问题的最优解， 而且通过对无约束优化方法的研究给约束优化方法 建立明确的概念及提供良好的基础，某些优化设计 方法就是先把优化设计问题转化为无约束问题后， 再直接用无约束优化方法求解。
无约束最优化2009工研
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
搜索方向替换的判别准则
缺点 收敛速度慢，仅线性收敛，会 出现锯齿现象； 不具有二次终止性。 局部收敛，可能不收敛，和初 始点有关。 需要计算 Hesse 矩阵及其 逆矩 阵，计算量大，存贮量大。 不需要计算 Hesse 矩阵及其 逆 矩阵； 存贮量小，适合大型优化问 题，尤其在最优控制中。
对于大型问题，存储量比共轭 梯度法大； 公式复杂。
无约
束最
优化
方法
使
最速下降法
用
牛顿法
导
共轭梯度法
数
拟牛顿法
不
模式搜索法
使
Rosenbrock法
用
单纯形搜索法
导
Powell方法
数
Powell 方法（1964） (方向加速法）
Powell 方法
Powell 方法
Powell 方法
Powell 方法
Powell 方法
Powell 方法
搜索方向
最 速 下 降 法
最 速 下 降 法
最 速 下 降 法
最 速 下 降 法
最 速 下 降 法
最速下降法
最速下降法
最速下降法
最 速 下 降 法
最 速 下 降 法
Questions
最 最速下降法收敛吗？ 速 若收敛，收敛速度是多少？ 下 降 法
最速下降法
最速下降法
最 速 下 降 法
方 向 法
共 轭 方 向 法
第三章无约束最优化方法技巧
2 在每次迭代中需要计算 。
3 每次迭代需要求解线性方程组，程
，该方
组有可能是奇异或病态的（有时 非正定），
可能不是下降方向。 （4）收敛于鞍点或极大点的可能性并不小。
§3.3.3 Newton法的改进
为了克服Newton法的缺点，人们保留选取Newton方向作为搜索方
向，采用一维搜索确定最优步长，由此产生的算法称为修正Newton法
1 给定初点 ，允许误差 ＞0，令k=0。
2 计算搜索方向
（3）若
，则
，停止；否则令
，
由一维搜索步长 ，使得
（4）令
，k=k+1，转步骤（2）。
§3.2.1 最速下降法
例 3.2.1 用最速下降法求解 解：
，设初始点为 。
显然，目标函数是正定二次函数，有唯一的极小点
。
可以证明，如果 是正定二次函数，则由精确一维搜索确定步长
§3.4.1 共轭方向法
定义3.4.1 共轭向量 设G为n阶正定矩阵，
为n维向量组，如果
=0，i，j=1，2，……k，i≠j 则称向量组
关于G共轭。
如果G=I，则化为
=0，即
是正交的，所以共
轭概念是正交概念的推广。
定理3.4.1 设G为n阶正定矩阵，非零向量组
关于G共轭，则此向
量组线性无关。
推论1
（或阻力Newton法）。其迭代步骤如下：
（1）选取初始点 ，令k=0。
（2）计算 ，若
停止迭代，输出 ，否则转（3）。
（3）构造Newton方向。计算 ，取
。
（4）进行一维搜索。求 ，使得
。
令
，k=k+1，转（2）。
运筹学-无约束最优化方法
§4 共轭方向法
对于简单的二次函数
任给一个初始向量x(0),沿着方向e1=(1,0,· · · ,0)T 进行搜索,即求解下面问题
min f1 (a1 ) ( x ( 0 ) a1e1 b)T ( x ( 0 ) a1e1 b)
a1
1 T 1 T x x b x c ( x b)T ( x b) c bT b 2 2
13
2.2 收敛性 1 整体收敛性 定理 2.1 设f(x)具有一阶连续偏导数,给定 x0∈Rn,假定水平集L={x∈Rn|f(x)≤f(x0)}0)=0; 或者(ii)
14
2 用于二次函数时的收敛速度
* T * * *
6
考虑无约束优化问题：
min f ( x ) n
xR
假设函数 f ( x ) 是一阶（或二阶）连续可微函数。
无约束最优化方法： 1.最速下降法 2.Newton法 3.共轭方向法和共轭梯度法 4.拟Newton法 DFP算法 Broyden族拟Newton法
7
若 z f ( x, y )在点M 0 ( x0, y0 )可微，则f ( x, y ) 在点M 0沿任一方向l 的方向导数都存在，且 z l
26
共轭方向法
将此过程进行下去有
x ( k ) (b 1,
(1) , bk , xk 1 , (1) T , xn ) .
x(k)是函数在{x(0) +a1e1+a2e2+· · · +akek,a1,a2· · · ,ak∈R} 中的极小点. 进行n步后有 x( n) (b 1, b2 , , bn )T b.
若Gk正定,则qk(x)有唯一极小点,该极小点即为 Newton法取的xk+1. 显然 0 qk ( xk 1 ) Gk ( xk 1 xk ) gk Newton迭代公式为
第三章非线性规划无约束问题的最优化方法
x0
0p 0
1.919877 还需要经过10次迭代才
能满足精度要求
0.003070
第三节 牛顿法
3. 牛顿法的缺点： 牛顿法要求初始解离最优解不远，若初始点选得离最优解太
远时，牛顿法并不能保证其收敛，甚至也不是下降方向。因此， 常将牛顿法与最速下降法结合起来使用。前期使用最速下降法， 当迭代到一定程度后，改用牛顿法，可得到较好的效果。 4. 修正牛顿法 基本思想： 保留了从牛顿法中选取牛顿方向作为搜索方向，摒弃其步长恒 为1的做法，而用一维搜索确定最优步长来构造算法。
2
2
0
2e2 2 3
00 21 0
03
f x3 9
第二节 最速下降法
再从x(3)点 出发，沿x3轴方向e3进行一维搜索：
0 x 3 e3 0
3
00 00 13
f x 3 e3
32
f' 0 x4 x3
3
3
0
3e3 0 0
f x4 0
第二节 最速下降法
因为 x 1
x 4 ，0故.0以1 x(4)点作为新的x(1) ，进行新一轮迭代。
0
1 33 22
f x0
p0
52 5
42
f' x0
p0 5 5 0
22
01
第三节 牛顿法
x1 x0
1 p0 3
2
3
f x1
14
12 2
0
30
12 1 2
2
f x1
所以选取 x* x 1
1 3 作为极小点。 2
第三节 牛顿法
6. 修正牛顿法的缺点： 修正牛顿法虽然比牛顿法有所改进，但也有不足之处：
无约束最优化
无约束最优化绪论人们总是尽可能的找优化方法，航空公司合理安排时刻表，工作人员和飞行器，使支出最小。
投资者寻找投资组合，避免风险，从而获得更高的回报。
生产商在设计和操作方面使他们的操作过程效率最大化。
自然优化，物理系统使一个系统趋向能量最小的状态，分子在一个隔离的化学系统中相互反应直到电子能量总和最小。
光线跟随着一定的路径，使传播的时间最小。
最优化问题在工程技术和科学研究中是一个重要的工具。
为了使用最优化，必须定义一个目标，选取决策变量的值，使函数值取得最大值或者最小值。
这个目标可以用一个简单的数值代表（比如利润、时间、势能或者任何一个组合变量）。
这个目标取决于系统特征，称为变量或者未知量。
我们的目标是求出使目标函数最优的一个值。
这些变量可以是受限的也可以是不受限的。
同样，分子中的电子量和贷款的利率不可能是负数。
对于一个给定的问题，定义目标函数和变量约束条件的时候可以认为是一个最优化问题模型，适当的模型约束条件是第一步也是最重要的一步。
如果模型太简单就不能给实用问题一个有用的解，太复杂就解不出来解了。
一旦模型有了公式表达，最优化算法就可以得到解决。
通常算法和模型可以复杂到连计算机都不能算出整个最优化过程，然而仍然有很多算法可以处理实际问题。
通常由用户选择合适的算法来应用于他们的问题，这个选择很重要，它决定着是否可以很快的解决问题，决定着能否建立解决方案。
一个优化算法是否能用取决于它是否能在一个模型中得到一个确切的解。
很多时候，我们利用决策变量把问题的条件表示成等式或不等式，称为约束条件。
如果约束条件不满足问题，则通常利用给出的信息来估计这个问题是否可以改善。
最后，可以在例如灵敏性分析的应用技术来改善模型和数据。
数学公式在数学中，优化就是在约束条件下求出变量的值，使目标函数取得最大值或者最小值。
我们采用以下符号：X：未知变量F : 目标函数Ci ：约束条件约束问题可以写成********************************************** 式（1.1）其中f 、c 是关于x的函数，Г、ε为指标集。
无约束问题的最优化条件PPT课件
.
4) 校正 Hk 产生 H k 1 ，计算 Hk1 Hk Ek , Ek 称为 Hk 的第 k 次校正矩阵.
5) k : k 1， 转 2）
37
.
三、拟牛顿条件
拟牛顿法设计关键在于 Hk 的构成 为保证 Hk 与 2 f (xk )1 近似并有容易计算的特点， Hk 应该满足如下条件： 1） Hk 对称正定，因为只要 Hk 对称正定，即可保证迭代
方向是下降方向。
38
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dk Hkf (xk ) T f (xk )dk T f (xk ) Hk f (xk ) 0 T f (xk ) Hk f (xk ) 0 只要 Hk 正定，可保证迭代是下降的。
似程度越好，应加大 hk ，否则相反。
31
.
二. 信赖域算法基本步骤
1）给出初始点 x0 ，令 h0 g0
2）给出 xk 和 hk ，计算 gk 和 Gk 3）解信赖域模型（子问题），求出 dk 4）求 f (xk dk ) 和 rk 的值
5）如果 rk 0.25 ，令 hk1
dk 4
（缩减信赖域半径）
注：按照这种方法选取搜索方向，再加上一维搜索（精确
或非精确）算法的总体收敛性一般可以得到保证，但当 Gk
非正定时候较多时也可能失去牛顿法快速收敛的特点。
26
.
5.4 信赖域法
自动化学院
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一、信赖域算法
1．牛顿法的基本思想
在当前迭代点 xk 附近用二次函数
(k) (d)
f
(xk ) gkT d
)
12 12
12
1
2)方向 d (0 ) (G (x (0 ))) 1 f(x (0 )) 1 , 3 2 T
无约束最优化方法
⽆约束最优化⽅法梯度的⽅向与等值⾯垂直，并且指向函数值提升的⽅向。
⼆次收敛是指⼀个算法⽤于具有正定⼆次型函数时，在有限步可达到它的极⼩点。
⼆次收敛与⼆阶收敛没有尽然联系，更不是⼀回事，⼆次收敛往往具有超线性以上的收敛性。
⼀阶收敛不⼀定是线性收敛。
解释⼀下什么叫正定⼆次型函数：n阶实对称矩阵Q，对于任意的⾮0向量X，如果有X T QX>0，则称Q是正定矩阵。
对称矩阵Q为正定的充要条件是：Q的特征值全为正。
⼆次函数，若Q是正定的，则称f(X)为正定⼆次函数。
黄⾦分割法黄⾦分割法适⽤于任何单峰函数求极⼩值问题。
求函数在[a,b]上的极⼩点，我们在[a,b]内取两点c,d，使得a<c<d<b。
并且有1）如果f(c)<f(d)，则最⼩点出现在[a,d]上，因此[a,d]成为下⼀次的搜索区间。
2）如果f(c)>f(d)，则[c,b]成为下⼀次的搜索区间。
假如确定了[a,d]是新的搜索区间，我们并不希望在[a,d]上重新找两个新的点使之满⾜(1)式，⽽是利⽤已经抗找到有c点，再找⼀个e点，使满⾜：可以解得r=0.382，⽽黄⾦分割点是0.618。
练习：求函数f(x)=x*x-10*x+36在[1,10]上的极⼩值。
#include<stdio.h>#include<math.h>#include<limits.h>double func(double x){return x*x-10*x+36;}void main(){double zeta=0.001;double a=1.0,b=10.0;double t1=a-1;double t2=b+1;double v1=0.0;double v2=0.0;double min_value=INT_MAX;int iteration=0;while(++iteration){if(t1==a-1){t1=a+0.382*(b-a);v1=func(t1);}if(t2==b+1){t2=a+0.618*(b-a);v2=func(t2);}if(v1<v2){min_value=v1;b=t2;t2=t1;v2=v1;t1=a-1;}else{min_value=v2;a=t1;v1=v2;t2=b+1;}if(fabs(b-a)<zeta)break;printf("当前极⼩值%f\n",min_value);}printf("迭代次数%d\n",iteration);printf("极⼩值%f\n",min_value);}最速下降法泰勒级数告诉我们：其中Δx可正可负，但必须充分接近于0。
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2 无约束最优化方法的结构 考虑无约束最优化问题 min f(x)
xR n
给定初始点 x( 1 )
第1次迭代： 用某种方法寻找搜索方向 d 出发，沿 d ( 1 ) 作一维搜索：
(1) (1) f( min (λ ) x λ d ) λ 0 f( x ( 1 ) λ1 d ( 1 ) )
16 2 2 2 ( ) (-1 4 ) (1 - 2 ) 81 81 16 64 ( ) (-1 4 ) (1 - 2 ) 81 81
令 ( ) 0
5 得到 2 12
(2) (2) x x 2d (3)
2 1 27 1
1 (1) 从x 1 出发，沿 d 方向进行一维搜索，
(1)
求步长 1
即
(1)
(1) (1) ( ) f( min x d )
0
x d
(1)
1 - 4 1 - 4 1 2 1 2
1 9 1 5 - 4 4 1 18 - 2 9
得到新的点 x
(2)
(2)
(2) (1) ) f ( x 对应的目标函数值 x 比 x 对应的 (1) (2) f ( ) 目标函数值 x 小，因此，有理由认为 x
距最优解进了一步。
2 2
( ) 2 (1 - 4 ) (1 - 2 )
( ) -16 (1 - 4 ) 4 (1 - 2 )
令 ( ) 0
5 解得 1 18 (2) (1) (1) x x 1d
1 - 4 1 1 - 2
……
第k次迭代： (k) (k) 用某种方法寻找搜索方向 d , 再从 x 出发，沿 d 作一维搜索： (k) (k) f( min (λ ) x λ d ) λ 0 f( x (k) λ1 d (k) )
(k) (k) f( ( λ ) x λ d ) 的极小点 k 即,求
非线性规划
第二章 无约束最优化方 法的结构
§2.2 无约束最优化方法的结构
1 引例 考虑无约束最优化问题 2 2 minf ( x ) 2 x 1 x 2
1 给定初始点 x 1
(1)
第1次迭代 用某种方法寻找搜索方向 4 (1) d 2
(k)
求出 k 之后，便可得到新的迭代点
x
(k 1 )
x λ1 d
(k)
(k)
…… 按照上述方法，可得一点列 {x } 我们希望这一点列会越来越接近无约束最优 化问题的最优解。
(k)
上述方法就是无约束最优化方法的结构。 问题： 1 搜索方向 d (k) 如何确定？
(k) (k) ( ) f( x λ d ) 2 如何求 min
(2) (2) f( min (λ ) x λ d ) λ 0 f( x ( 2 ) λ 2 d ( 2 ) )
(2) (2) f( ( λ ) x λ d ) 的极小点 2 即,求
求出 2 之后，便可得到新的迭代点
(2) (2) x x λ2 d 3
(3) (3) ( ) f( min x d )
(3)
0
x d
(3)
(3)
2 1 4 - 2 27 1 27 - 1
2 1 - 4 27 1 - 2
( )
8 27
2
(1 4 )
(1) (1) f( ( λ ) x λ d ) 的极小点 1 即,求
(1)
, 再从 x
(1)
求出 1 之后，便可得到新的迭代点
x
(2)
x
(1)
λ1 d
(1)
第2次迭代： 用某种方法寻找搜索方向 d ( 2 ) , 再从 x( 2 ) 出发，沿 d ( 2 ) 作一维搜索：
2
4 27
2
(1 - 2 )
2
令 ( ) 0
5 解得 3 18
(3) (3) x x 3d 1 2 9 2 1 27 4 243 4 9 (4)
得到新的点 x
(4)
(4) (4)
(3)
x 对应的目标函数值 f ( x ) 比 x 对应的 (3) (4) 目标函数值 f ( x ) 小，因此，有理由认为 x
得到新的点 x
(3)
(3) (3)
(2)
x 对应的目标函数值 f ( x ) 比 x 对应的 (2) (3) 目标函数值 f ( x ) 小，因此，有理由认为 x
距最优解进了一步。
第3次迭代： 用某种方法寻找搜索方向 4 - 2 (3) d 1 27 再从 x 出发，沿 d ( 3 ) 作一维搜索：
0
的极小点 λ k
(k) { 3 点列 x } 会越来越接近无约束最优化
问题的最优解吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
这些问题将在后面详细讨论。
第2次迭代 用某种方法寻找搜索方向 4 9 (2) d 8 9 (2) (2) x 从 出发沿 d 进行一维搜索：
min ( ) f( x d )
(2) (2)
0
4 1 4 1 9 9 9 (2) (2) 9 x d 4 8 4 8 9 9 9 9