平面向量综合练习
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
高考数学复习专题八考点22《平面向量的综合应用》练习题(含答案)
高考数学复习专题八考点22《平面向量的综合应用》练习题（含答案）1.长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度1v 的大小为110km /h =v ，水流的速度2v 的大小为24km /h =v .设1v 和2v 的夹角为()0180θθ︒︒<<，北岸的点A '在A 的正北方向，则游船正好到达A '处时，cos θ=( ) 21 B.21 C.25 D.25-2.已知A ，B ，C 是平面内不共线的三个点.若,(0,)||||AB AC AB AC AB AC λλ⎛⎫+=+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭，则ABC 一定是( )A.直角(非等腰)三角形B.等腰(非等边)三角形C.等边三角形D.锐角(非等腰)三角形3.一个物体受到同一平面内二个力123,,F F F 的作用，沿北偏东45︒方向移动了8m ，已知12N =F ，方向为北偏东30︒，24N =F ，方向为北偏东360,6N ︒=F ，方向为北偏西30︒，则这三个力的合力所做的功为( )A.24JB.242JC.243JD.2464.已知单位向量a ，b 满足||30-+⋅=a b a b ，则||()t t +∈R a b 的最小值为( ) 23 222 5.已知向量()()1,1,1,m ==a b ，其中m 为实数，当a 与b 的夹角在π0,12⎛⎫⎪⎝⎭内变动时，实数m 的取值范围是( ) A.(0,1)B.33⎝C.33)⎫⋃⎪⎪⎝⎭D.3)6.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则122=+a e e 与1232=-+b e e 的夹角的余弦值是( ) A.12B.12-3 D.3 7.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度1v 的大小110km /h =v ，水流的速度2v 的大小24km /h =v ，设1v 和2v 所成的角为(0π)θθ<<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于( )A.215-B.25-C.35-D.45-8.已知单位向量12,e e 分别与平面直角坐标系x ，y 轴的正方向同向，且向量12123,26AC BD =-=+e e e e ，则平面四边形ABCD 的面积为( )10 B.210 C.10 D.209.如图，在ABC △中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若ABC △的面积为3||AP 的最小值为( )23 C.3D.4310.在ABC 中，向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，且12||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰(非等边)三角形D.等边三角形11.某物体做斜拋运动，初速度的大小010m /s =v ，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是______________m/s.12.如图，某体重为70kg 的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊之间的夹角为60︒，拉力大小均为F .若要使该体育老师的身体能向上移动，则F 的最小整数值为_________N.（取重力加速度10N /kg,173.32g =≈）13.如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，定点A ，B 是如图所示的两个顶点，动点P 在这些正六边形的边上运动，则AP AB ⋅的最大值为______.14.已知(2,1)=--a ，(,1)λ=b ，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为__________.15.已知等边三角形ABC 的边长为2，PQ 为ABC 内切圆圆O 的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为___________.参考答案1.答案：D解析：设船的实际速度为1,v v 与南岸上游的夹角为α，如图所示.要使得游船正好到达A '处，则12cos α=v v ，即212cos 5α==v v ，又πθα=-，所以2cos cos(π)cos 5θαα=-=-=-，故选D.2.答案：B解析：设AP AB AC =+，则根据平行四边形法则知，点P 在BC 边上的中线所在的直线上.设,||||AB ACAE AF AB AC ==，它们都是单位向量.由平行四边形法则，知点P 也在A ∠的平分线上，所以 ABC 一定是等腰三角形.故选B. 3.答案：D解析：如图，建立平面直角坐标系，则123(1,3),(23,2),(3,33)===-F F F ，则合力123(232,243)=++=-+F F F F ，又位移(42,42)=s ，故合力F 所做的功 (232)42(243)424263246(J)W =⋅=-⨯++⨯=⨯=F s .选D.4.答案：B解析：由||230-+⋅=a b a b ，得||23-=-⋅a b a b ，两边平方，得222212() -⋅+=⋅a a b b a b ，即212()220⋅+⋅-=a b a b ，整理得(21)(31)0⋅+⋅-=a b a b ，所以1 2⋅=-a b 或13⋅=a b .因为||230-=-⋅a b a b ，所以0⋅a b ，所以12⋅=-a b ，所以2222133||||121242t t t t t t t ⎛⎫+=+++⋅=-+-+⎪⎝⎭a b a b a b ，故选B. 5.答案：C解析：如图，作OA =a ，则(1,1)A ，作12,OB OB ，使12π12AOB AOB ∠=∠=，且12,OB OB 均在直线1x =上，则12ππππππ,41264123B Ox B Ox ∠=-=∠=+=，故123,3)B B ⎛ ⎝⎭.因为 a 与b 的夹角不为0， 故1m ≠.由图易知实数m 的取值范围是33)⎫⋃⎪⎪⎝⎭.6.答案：B解析：由题可知121cos602⋅==e e ，则()()22121212127232622⋅=+⋅-+=-++⋅=-e e e e e a e e b e ，()2121||25472=+=+⨯=a e e ()2121||32131272-+-⨯b e e 1cos ,||||2⋅〈〉==-a b a b a b .故选B. 7.答案：B解析：设游般的实际速度为v ，1v 与河流南岸上游的夹角为 α，1AD =v ，2AC =v .以AD ，AC 为邻边作平行四边形如图所示，要使得游船正好航行到B 处，则12cos α=v v ，即212cos 5α==v v .又πθα=-，所以2cos cos(π)cos 5θαα=-=-=-，故选B.8.答案：C解析：取{}12,e e 作为基，则(3,1),(2,6)AC BD =-=，则2222||3(1)10,||26210AC BD =+-==+=因为32(1)60AC BD ⋅=⨯+-⨯=，所以AC BD ⊥，所以平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积||||10210102AC BD S ⋅⨯===.故选C. 9.答案：B解析：设||3AB a =，||AC b =，则ABC △的面积为1π3sin 2323ab ⨯=，解得83ab =.由1324AP mAC AB mAC AD =+=+，且C ，P ，D 三点共线，可知314m +=，得14m =，故1344AP AC AD =+.以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过A 作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)D a ，(3,0)B a ，132C b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则132AC b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(2,0)AD a =，13382AP b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，222133||82AP b a ⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222221933191644864164b a ab b b a +++=++2219321131644b a ab ≥⨯=+=，当且仅当2219164b a =，即6b a =时取等号，故||AP 310.答案：D解析：如图，分别在AB ，AC 上取点D ，E ，使得||AB AD AB =，||AC AE AC =，则||||1AD AE ==.以AD ，AE 为一组邻边作平行四边形ADFE .则平行四边形ADFE 为菱形，即对角线AF 为DAE ∠的平分线.由0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，即()0AD AE BC +⋅=，即0AF BC ⋅=，所以AF BC ⊥，即DAE ∠的平分线AF 满足AF BC ⊥，所以AB AC =.又12||||ABACAB AC ⋅=，即12AD AE ⋅=，所以111cos 2AD AE BAC ⋅=⨯⨯∠=，所以60BAC ∠=，所以ABC 为等边三角形.故选D.11.答案：5解析：设该物体在竖直方向上的速度为1v ，水平方向上的速度为2v ，如图所示.由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，201cos60105(m /s)2=︒==⨯v v ，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.12.答案：405解析：如图所示，设AB AD ⋅表示两个拉力F ，合力用AC 表示，由于60BAD ︒∠=，且四边形ABCD 为菱形，所以||3||AC AB =，所以若要使该体育老师的身体能向上移动，则3|||mg >F ，即7010||404.16(N)1.732⨯>≈F ，所以||F 的最小整数值为405 N.13.答案：452解析：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则339(0,0),(23,3),(3,5),,22A B M N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.由图可知，当AP AB ⋅取得最大值时，点P 在线段MN 上.易得线段333:(3)5,3,32MN y x x ⎡⎤=--+∈⎢⎥⎣⎦.设33(,),3,.(23,3),(,),2333182P x y x AB AP x y AB AP x y x ⎡⎤∈==⋅=+=+⎢⎥⎣⎦，因为333,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且函数318y x =+为增函数，所以334531822AB AP⋅⨯+=.14.答案：1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭解析：由题意2cos 90180,1cos 0||||51αααλ⋅=<<∴-<<⋅+a b a b °°，22210,10,2155,51λλλλ--<⎧⎪∴-<<∴⎨-->-+⋅+⎪⎩ 即221,2(21)55,λλλ⎧>-⎪⎨⎪+<+⎩即1,22,λλ⎧>-⎪⎨⎪≠⎩∴实数λ的取值范围是1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.15.答案：[0,1]解析：如图所示，O为等边三角形ABC内切圆的圆心，OD为内切圆半径，在BDO中,1,30,BD OBD︒=∠=可求得内切圆半径3.3OD=又PQ为圆O的直径，,OQ OP∴=-利用向量的线性表示可得，MP=,MO OP MQ MO OQ MO OP+=+=-，22()()||||MP MQ MO OP MO OP MO OP∴⋅=+⋅-=-=21||3MO-.又M为ABC边上的动点，由图可知，当M在ABC各边的中点时，MO最小，为3 3，即min()0;MP MQ⋅=当M在ABC的各个顶点时，MO最大，为23,3即max() 1.MP MQ MP MQ⋅=∴⋅的取值范围为[]0,1.。
平面向量复习综合练习题及答案
10、（全国2 理5）在?ABC中，已知D是AB边上一点，若 =2 ， = ,则?=
(A) (B) (C) - (D) -
11、（北京理4）已知 是 所在平面内一点， 为 边中点，且 ，那么
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12、（福建理4文8）对于向量，a、b、c和实数 ，下列命题中真命题是
A.(2,14)B.(2,- )C.(-2, )D.(2,8)
答案：选B
16．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b= mq-np,下面说法错误的是（ ）
A．若a与b共线,则a⊙b =0B．a⊙b =b⊙a
C．对任意的 R,有( a)⊙b = (a⊙b)D．(a⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|2
求 。
31、已知A（2，0），B（0，2），C（cos ，sin ），且0< <
（1）若|OA+OC|= ，求OB与OC的夹角；
（2）若AC⊥BC，求tan 的值。
32、
求证：（1）A、B、D三点共线．
33、已知 之间有关系 ，其中k＞0,
（1）k表示 ；（2）求 的最小值，并求此时 夹角的大小。
20．P是圆C: 上的一个动点,A( ,1),则 的最小值为______2( -1)
21．已知 =(3,2), =(-1,0),向量 + 与 -2 垂直,则实数 的值为_________1
22．在直角三角形 中, ,点 是斜边 上的一个三等分点,则
23、（江西理15）如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若 ， ，则 的值为．
(1)求角 的大小；
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
平面向量经典练习题(含答案)
平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。
4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。
6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。
10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。
二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。
2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。
3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。
4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。
7、略。
8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。
平面向量及其应用全章综合测试卷(基础篇)(教师版)
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【解题思路】根据零向量的方向是任意的； ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或 与, 都垂直；长度相等的向
量是相等向量或相反向量；即可解决.
【解答过程】零向量的方向是任意的，故 A 错；
若 ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或 与, 都垂直，故 B 错；
13．（5 分）（2024·高一课时练习）下列各量中，向量有： ③⑤⑥⑧⑩
．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速
度．
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速
A．1
B．2
）
C． 2
D． 3
1
【解题思路】由正弦定理及余弦定理得cos = 2，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答过程】∵sin2 + sin2−sinsin = sin2，
∴2 + 2− = 2，cos =
2 2−2
2
1
= 2，可得sin = 1−cos2 =
∵2 + 2− = ( + )2−3 = 2， + = 4， = 2，
∴ = 4，
1
1
所以三角形的面积为 = 2sin = 2 × 4 ×
3
2
= 3.
故选：D.
二．多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
9．（5 分）（2024·高一课时练习）下列说法中正确的是（
【解答过程】由题设sin = 1−cos2 =
平面向量及其应用综合练习题 百度文库
一、多选题1．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥2．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 3．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 4．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.B ．若4AC =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒6．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）A ．B ．C ．8D ．8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）A BC D ．9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆ 10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形11．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量12．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 13．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ⋅=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=±14．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥15．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=的格点B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个二、平面向量及其应用选择题16．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．2B ．106C ．103D ．1017．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若3a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ） A ．23π B ．43π C ．6π D ．3π 18．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ） A ．MB ．NC ．22D ．119．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒20．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =，45B =︒，则sin C 的值等于（ ）A ．441B ．45C ．425D ．44121．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（ ）A 23B 3C 33D 4322．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．23BG BE = B ．2CG GF = C ．12DG AG =D ．0GA GB GC ++=23．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定24．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ）A ．4B ．6C ．10D ．1425．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-26．题目文件丢失！27．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形28．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 29．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形30．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ） A 7B 27C ．2D 21 31．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．332C ．33D 332．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭33．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A ．3 B ．2 C ．31- D ．21-34．题目文件丢失！35．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）A ．500米B ．1500米C ．1200米D ．1000米【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．2．CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(解析：CD 【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.3．AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，解析：AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin a R A ===，R =D 错． 故选：AB ． 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．4．ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图解析：ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒，故A 正确；对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当122x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；当AD AB AC <<，即122x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．5．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为csin 83sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解； 对于选项C 中：因为sin 2sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC .【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．ACD【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中解析：ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．AC 【分析】利用余弦定理：即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：，即，解得.故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a =故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.8．AB【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】中，因为，，面积，所以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABC S ab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC S =所以1sin 2ABC S ab C ==所以sin 2C =，解得60C =或120C =，当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．ACD【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A 正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又 ，所以角为解析：ACD【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大， 又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小， 又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯，所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =，又sin 8C ==所以2R =，解得：7R =，所以D 正确. 故选:ACD.【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.10．AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.故选：AC本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题. 11．AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若a b=，则a与b平行，A选项合乎题意；=，但a与b的方向不确定，则a与b不一定平行，B选项不合乎题对于B选项，若a b意；对于C选项，若a与b的方向相反，则a与b平行，C选项合乎题意；对于D选项，a与b都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a与b不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.12．C【分析】对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B，两边平方化简；对C，根据向量相等的定义判断；对D，根据向量共线的定义判断.【详解】A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C【分析】对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量；+=+；对B，两边平方化简a b a b对C，根据向量相等的定义判断；对D，根据向量共线的定义判断.A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.13．ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确； 当时，，故选项B 错误； 因为，故选项C 正确；当共线同向时，，当共线反解析：ACD 【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当a b ⊥时，0a b ⋅=，故选项B 错误； 因为||cos ||||a b a b a b θ⋅=≤，故选项C 正确；当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ⋅==，当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ⋅=︒=-，所以选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.14．BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误； AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；故选：BD .【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.15．BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，，设，若，所以解析：BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确． 若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．二、平面向量及其应用选择题16．B【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有3x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．【详解】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有3x ，23x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CD BDC CBD = 可得，BC=10sin 453102sin 303x ==. 则6；所以塔AB 的高是6米；故选B ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．17．A【分析】根据题意得出tan tan tan A B C a b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长.【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a b OC OA OB c c∴=--， 同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C b B cC ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B C a b c∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C==， cos cos cos A B C ∴==， 由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===， 设ABC ∆的外接圆半径为R，则22sin a R A ===，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A.【点睛】 本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.18．C【分析】当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.【详解】当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()22>0c c c ≥，所以2c ≥， 所以+M a b ===≥（当且仅当a b =时，取等号），当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号），当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）；故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.19．C【分析】 首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=，所以2()7a b +=， 即22447a a b b +⋅+=， 因为221a b ==，所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒，故选：C.【点睛】 该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目.20．B【分析】在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b c B C=求解. 【详解】在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=，所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C=，所以2sin 42sin 55c B C b ===，故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．A【分析】首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值.【详解】AB =3==，222cos 22AB BC AC B AB BC +-∴===⋅， 又因为角B 是三角形的内角，所以6B π=，90BAC ∴∠=，sin BAD ∠=，cos 7BAD ∴∠==，sin cos 7DAC BAD ∴∠=∠=， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD B AD BAD ⋅=∠， 在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DC C AD DAC⋅=∠，()1DC DC ⨯=，解得：3DC =. 故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.22．C【分析】由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案．【详解】 ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G 为重心，则23BG BE =，2CG GF =，12DG GA =且0GA GB GC ++= 故选：C【点睛】本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题．23．C【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．【详解】 解：在ABC 中，(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=， a b ∴=，ABC ∴为等腰三角形，故选：C ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．24．C【解析】【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得.【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++ ()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．25．D【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+，∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=．解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．无27．D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．28．D 【分析】 利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.【详解】 利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +， E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．29．D【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．【详解】∵22:tan :tan a b A B =， 由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A AB B B B B B AB===， ∵sin sin B 0A ≠， ∴sin cos sin cos A B B A=， ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形， 故选D ．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．30．C【分析】 化简得到22AM AB AC λμ=+，根据1AM =得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大值. 【详解】 ()1222AM AE AF AB AC λμ=+=+， 故2222224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭ 故()()()222223134λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立.故选：C .【点睛】本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.31．B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.32．D【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x 的取值范围.【详解】设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-，所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.33．C【分析】易求30ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可求BC ，在BCD 中，由正弦定理可求sin BDC ∠，再由90BDC θ∠=+︒可得答案．【详解】45CBD ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，在ABC 中，由正弦定理，得sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，即50sin15sin30BC =︒︒，解得25(62)BC =-， 在BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CD BDC CBD =∠∠，即25(62)50sin 45-=︒， 31sin BDC -∴∠=，即31sin(90)θ-+︒=， 31cos θ-∴=， 故选：C ．【点睛】该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键．34．无35．D【分析】作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ．【详解】解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒，在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒，在Rt BSD ∆中，sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，故选：D ．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．。
平面向量全章综合练习
平面向量全章综合练习一、选择题1．向量OM CB BO MB AB +-++)()(化简后等于( )(A ) (B ) (C ) (D )2．点A 的坐标为(1，－3)，向量的坐标为(3，7)，则点B 的坐标为( )(A )(4，4) (B )(－2，4) (C )(2，10) (D )(－2，－10)3．已知向量a ＝(－2，4)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2，3)，则(a ＋b )·(a －c )的值为( )(A )10 (B )14 (C )－10 (D )－144．已知向量a ＝(2，t )，b ＝(1，2)．若t ＝t 1时，a ∥b ；t ＝t 2时，a ⊥b ，则( )(A )t 1＝－4，t 2＝－1 (B )t 1＝－4，t 2＝1(C )t 1＝4，t 2＝－1 (D )t 1＝4，t 2＝15．若点O 是△ABC 所在平面内一点，满足⋅⋅⋅==，则点O 是△ABC 的( )(A )三个内角的角分线的交点 (B )三条边的垂直平分线的交点(C )三条中线的交点 (D )三条高线的交点二、填空题6．河水的流速为2 m /s ，一只小船想要以垂直于河岸方向10 m /s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度的大小应为______________．7．数轴上的点A ，B ，点A 的坐标为－3，且向量的长度为5，则点B 的坐标为______．8．已知p ＝(－2，2)，q ＝(1，3)，则p 在q 方向上的正射影的数量为______．9．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若(a ＋b )⊥(a ＋λb )，则实数λ＝______．10．给出下列命题： ①;2ab a b a =⋅ ②｜a |－｜b |＜｜a －b ｜； ③|a ·b |＝|a ｜｜b |； ④(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直； ⑤已知a ，b 是非零向量，若|a ＋b |＝｜a －b ｜，则a ⊥b ；⑥已知a ，b 是两个单位向量，则a 2＝b 2．所有正确的命题的序号为____________．三、解答题11．已知点A (－2，1)，B (1，3)．求线段AB 中点M 和三等分点P ，Q 的坐标．12．已知|a ｜＝2，|b ｜＝4，〈a ，b 〉3π2．求｜a －b ｜和〈a ，a －b 〉的余弦值． 13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)．(1)求与a 垂直的单位向量的坐标；(2)求｜b －2a ｜的最小值以及此时b 的坐标；(3)当x 为何值，a ＋2b 与b －2a 平行，并确定它们此时是同向还是反向．14．如图，以原点O 和A (5，2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，使∠B ＝90°．求点B 的坐标和的坐标．一、选择题1．A 2．A 3．B 4．C 5．D二、填空题6．m/s 262 7．－8或2 8．5102 9．917- 10．④⑤⑥三、解答题11．解：)2,3(=-=OA OB AB ，),2,21()(21-=+=OM 所以)2,21(-M ，)35,1(31-=+=，所以)37,0(32),35,1(=+=-p ，所以)37,0(Q ．12．答：｜a -b ｜72=，cos 〈a ，a -b 〉772=.13．略解：(1)设单位向量为e ＝k (－2，1)＝(－2k ，k )，因为|e |＝1，得55±=k ， )55,552(-=e 或)55,552(-=e ．(2)9)2(|2|2+-=-x a b ，当x ＝2时，|b －2a ｜最小值为3，此时b ＝(2，1)．(3) 21=x ，反向．14．解：设B (x ，y )，则),(),2,5(y x y x =--=，由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅||||0OB AB ，所以⎩⎨⎧-+-=+=-+-2222)2()5(0)2()5(y x y x y y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧==232272271231y x y x 或， 所以)27,23(B 或)23,27(-B ，)21,23(--=AB 或)23,27(-=AB ，。
平面向量相关练习题
平面向量相关练习题一、基础概念题1. 判断下列说法是否正确：(1) 任何两个向量都可以进行加法运算。
(2) 向量的长度称为向量的模。
(3) 零向量与任何向量共线。
2. 填空题：(1) 若向量a = (3, 4)，则向量a的模为______。
(2) 向量b = (5, 2)与向量c = (5, 2)的关系是______。
(3) 若向量d = (2x, 3)，向量e = (4, 6)，且d与e共线，则x的值为______。
二、向量运算题1. 计算下列向量的和：(1) a = (2, 3) 与 b = (4, 1)(2) c = (3, 5) 与 d = (6, 2)2. 计算下列向量的差：(1) e = (7, 4) 与 f = (2, 3)(2) g = (5, 8) 与 h = (2, 1)3. 计算下列向量的数乘：(1) 3 i = (2, 1)(2) 2 j = (4, 3)三、向量应用题1. 已知点A(2, 3)，点B(5, 1)，求向量AB。
2. 已知点C(3, 4)，点D(1, 2)，求向量CD的模。
3. 已知向量a = (4, 6)，求与向量a共线且模为10的向量。
4. 已知向量b = (2x, 3)，向量c = (4, 6)，且向量b与向量c垂直，求x的值。
四、综合题1. 已知平行四边形ABCD，向量AB = (3, 4)，向量AD = (1, 2)，求向量BC和向量CD。
2. 已知三角形ABC，点A(0, 0)，点B(4, 0)，点C(2, 3)，求向量AB、向量AC和向量BC的模。
3. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，求向量a和向量b的夹角。
4. 已知向量u = (x, 2)，向量v = (3, 4)，且向量u与向量v的夹角为45°，求x的值。
五、几何问题1. 若向量OA = (1, 2)，向量OB = (4, 6)，判断点O、A、B是否共线。
平面向量的应用综合练习题
平面向量的应用综合练习题在平面向量的学习中，我们不仅需要掌握向量的基本概念和运算规律，还需要灵活运用向量解决实际问题。
本文将通过一系列综合练习题来巩固和应用平面向量的知识。
题目1：若向量A = 2A− A + 3A，A = A + A，A = 3A− 2A + 4A，求向量A = 2A + 3A− A的模长。
解析：首先，根据向量的加法和数乘定义，我们可以得到向量A的表达式为A = 2A + 3A− A = 2(2A− A + 3A) + 3(A + A) − (3A− 2A + 4A) = 3A + 4A− A。
接下来，我们通过向量的模长公式计算向量A的模长，即|A| =√(AA² + AA² + AA²) = √(3² + 4²+ (−1)²) = √26。
综上所述，向量A的模长为√26。
题目2：已知向量A = 3A + A，A= −2A− 4A，求向量A满足2A + A = 3A的坐标表示。
解析：设向量A的坐标表示为A = AA + AA，其中A、A为待求常数。
根据题意，我们可以列出线性方程组2A + A = 3A的坐标表示表达式，即2(3A + A) + (AA + AA) = 3(−2A− 4A)。
化简得到(6 + A)A + (2 + A)A= (−6A− 12A)。
由向量的相等定义可知，两边的A和A的系数相等，即A + 6 = −6，A + 2 = −12。
解得A = −12，A = −14。
因此，向量A的坐标表示为A= −12A− 14A。
题目3：平面上有三点A(1, 2)，A(−3, −4)，A(5, −1)，求向量AA和向量AA的夹角。
解析：首先，根据两点确定一向量的公式，我们可以求得向量AA和向量AA的坐标表示为AA= (−3 − 1, −4 − 2) = (−4, −6)，AA= (5 − 1,−1 − 2) = (4, −3)。
高中数学平面向量习题五篇
高中数学平面向量习题五篇篇一：高中数学平面向量练习题一．填空题。
1． +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v=（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角； （3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a=(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b=(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）求|a －b|的取值范围3．已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t∈R)的模取最小值时，（1）求t的值（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直4. 设向量)2,11,3(-=，向量垂直于向量，向量平行于，=(),试求OD=时+的坐标.OAOCOD,5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使.,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且 （1）试求函数关系式k=f （t ） （2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）3.74.90°（21，321）．6.73．7.（－3，2）． 8.－2 9.1210.3111.0 12. 90° 13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ②由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a+tb)18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OB OC y x OC ①又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y hx x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x .由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y . 解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即（2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即篇二：高中数学平面向量习题及答案第二章 平面向量 一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．与共线 B ．与共线 C ．与相等 D ．与相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若＝，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C 满足，其中R 1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是( )．A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)，则＝( )．(第1题)A ．λ(＋)，λ∈(0，1)B ．λ(＋)，λ∈(0，22) C ．λ(－)，λ∈(0，1)D ．λ(－BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋D ．＋7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，则向量a 的模为( )． A ．2B ．4C ．6D ．128．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，则点O 是△ABC 的( )． A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点9．在四边形ABCD 中，＝a ＋2b ，＝－4a －b ，C ＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )． A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形10．如图，梯形ABCD 中，|AD |＝|BC |，EF ∥AB ∥CD 则相等向量是( )． A ．AD 与BC B ．OA 与OB C ．AC 与BD D ．EO 与OF二、填空题11．已知向量OA ＝(k ，12)，OB ＝(4，5)，OC ＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点(第10题)共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，||＝4，||＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a ＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE(利用向量证明)．20．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值．(第19题)参考答案 一、选择题 1．B解析：如图，与，与不平行，与共线反向． 2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若＝，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对． 3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)OA ＝(3)OB ＝(3)OAOB ＝(33)，∴ (x ，y)＝(33)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x1，由此得到答案为D ． 4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b2－2a ·b ＝0，∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴ a 与b 的夹角是3π．(第1题)5．A解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6题)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA,即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴ O是△ABC的三条高的交点．9．C解析：∵AD＝＋＋C＝－8a－2b＝2BC，∴∥BC且||≠|BC|．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k)＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32．12．－1．解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或 ∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ 3＝4，5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即⊥，∴·＝0， ∴ ·BC ＋BC ·CA ＋CA · ＝·＋· ＝CA ·(BC ＋) ＝－(CA )2＝－25．思路2：∵3＝4＝5，∴∠ABC ＝90°，∴ cos ∠CAB53，cos ∠BCA＝54．根据数积定义，结合图(右图)知·＝0，BC ·CAcos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴ ·＋·＋·＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0 m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ， ∴ ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．(第15题)D(第13题)解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)． ∵ AP ＝＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．＝(47，2)．解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点，∴ ＝21(＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点，(第18题)∴ F 是AD 的中点，∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． 19．证明：设＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b2－21a2＋43a ·b ．又AB ⊥，且，∴ a2＝b2，a ·b ＝0．∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos 3π－cos θsin 3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴ |2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b 终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第19题)篇三：平面向量练习题精心汇编选择题:1．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，=，=，=，则向量等于 （ ）A ．++B ．+-C ．-+D ．--2．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a ab =+=则b等于( )（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）13．设a ，b 是两个非零向量．下列正确的是( ) A ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b|＝|a|－|b|C ．若|a ＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b ＝λ aD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a|－|b|高☆考♂资♀源€网 4．已知→a ＝(sin θ，1＋cos θ)，→b ＝(1，1－cos θ)，其中θ∈(π，3π2)，则一定有 （ ）A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b | 5．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝（ ） A ．52 B ．32C ．－52D ．－326. 已知∈Z k ，(,1),(2,4)==AB k AC ，若≤10AB ABC 是直角三角形的概率为（ ）A ．17B ．27C ．37D ．477.将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为( )Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭8.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足−→−=−→−PM AP 2,则()PA PB PC ⋅+等于( )（A ）49 （B ）43 （C ）43- (D) 49-9.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =10.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b ,a= 1 ,b= 2, 则CD =（ ）（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b11．已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6π]B.[,]3ππC.2[,]33ππD.[,]6ππ12. 设非零向量a =)2,(x x ,)2,3(x b -=,且b a ,的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）（A ）)(0,∞- （B ）) ⎝⎛0,34 （C ）)(0,∞- ) ⎝⎛0,34（D ）⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31, ) ⎝⎛-0,31 )⎝⎛∞+,3413.已知点O 、N 、P 在三角形ABC 所在平面内，且==,0=++NC NB NA ,则PB PA ∙=∙=∙则点O 、N 、P 依次是三角形ABC 的( )（A ）重心、外心、垂心 （B ）重心、外心、内心 （C ）外心、重心、垂心 （D ）外心、重心、内心14.设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b += 15.（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个填空题：16．四边形ABCD 中，()()()1,2,4,1,5,3AB BC CD ==--=--则四边形ABCD 的形状是17.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ 18.已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范围是_________19.若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA-=+-，则ABC的形状为_ ___20若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0P A B P C P ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为__21下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a bc b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a=；⑦2a bba a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。
初一数学上册综合算式专项练习题简单平面向量计算
初一数学上册综合算式专项练习题简单平面向量计算在初一数学上册的学习中，综合算式是一个重要的内容，而平面向量的计算也是其中的一部分。
本文将为大家介绍一些简单的平面向量计算的练习题，帮助大家更好地掌握这一知识点。
1. 给定向量AB(3, -2)和向量AC(4, 1)，计算向量AB + 2向量AC。
解析：根据向量的加法规则，我们可以将向量AB和向量AC的对应分量相加，得到向量AB + 2向量AC的结果向量。
向量AB + 2向量AC = (3, -2) + 2(4, 1)= (3, -2) + (8, 2)= (3 + 8, -2 + 2)= (11, 0)所以，向量AB + 2向量AC的结果向量是(11, 0)。
2. 给定向量AB(-5, 2)和向量AC(3, -1)，计算向量AB - 向量AC。
解析：根据向量的减法规则，我们可以将向量AB和向量AC的对应分量相减，得到向量AB - 向量AC的结果向量。
向量AB - 向量AC = (-5, 2) - (3, -1)= (-5 - 3, 2 - (-1))= (-8, 3)所以，向量AB - 向量AC的结果向量是(-8, 3)。
3. 给定向量AB(2, 3)，计算向量AB的模长。
解析：向量的模长可以通过使用勾股定理计算。
根据勾股定理，向量AB的模长等于向量AB的横坐标的平方加上纵坐标的平方的平方根。
向量AB的模长= √(2² + 3²)= √(4 + 9)= √13所以，向量AB的模长是√13。
4. 给定向量AB(1, 2)和向量AC(2, 3)，计算向量AB与向量AC的数量积。
解析：向量的数量积可以通过分别将两个向量的对应分量相乘后相加得到。
向量AB与向量AC的数量积 = 1*2 + 2*3= 2 + 6= 8所以，向量AB与向量AC的数量积是8。
5. 给定向量AB(2, 1)和向量AC(-3, 4)，计算向量AB与向量AC的夹角的余弦值。
平面向量综合练习7讲(等和线,极化恒等式,奔驰定理,矩形大法一应俱全)
目录第1讲平面向量基本概念和基本定理..............................................................................................1第2讲平面向量基本定理及三点共线定理....................................................................................21第3讲平面向量中的范围、最值问题..........................................................................................30第4讲极化恒等式............................................................................................................................44第5讲矩形大法................................................................................................................................50第6讲五心问题（奔驰定理）........................................................................................................55第7讲等和线 (67)第1讲平面向量基本概念和基本定理题型1平面向量的线性运算1．如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC的夹角为30︒，且||||1,||3OA OB OC === ，若OC OA OB λμ=+，则(λμ+=)A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解： OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC的夹角为30︒，且||||1,||3OA OB OC === ；∴对OC OA OB λμ=+两边平方得：223λλμμ=-+①；对OC OA OB λμ=+ 两边同乘OA 得：322μλ=-，两边平方得：22944μλλμ=-+②；①-②得：23344μ=；根据图象知，0μ>，1μ∴=，代入322μλ=-得，2λ=；3λμ∴+=．故选：C ．2．已知向量,OA OB 满足||||1,,(,)OA OB OA OB OC OA OB R λμλμ==⊥=+∈，若M 为AB 的中点，并且||1MC =，则λμ+的最大值是()A ．1-B ．1+C ．D ．1【解析】解：如图所示，向量,OA OB 满足||||1OA OB == ，OA OB ⊥，不妨取(1,0)A ，(0,1)B ．M 为AB 的中点，11(,)22M ∴．(1OC OA OB λμλ=+=，0)(0μ+，1)(λ=，)μ． ||1MC =，∴2211(()122λμ-+-=，设1cos 2λθ=+，1sin 2μθ=+，[0θ∈，2)π．则1sin cos 1)14πλμθθθ+=++=++ sin(14πθ+=时取等号．λμ∴+的最大值是1+故选：B ．3．在ABC ∆中，AB c = ，AC b =．若点D 满足2,(BD DC AD == 则)A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+【解析】解：由题意可得AD AB BD=+22()33AB BC AB AC AB =+=+- 12213333AB AC b c =+=+故选：A ．4．已知OA ，OB 是两个单位向量，且0OA OB =．若点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则(m n=)A ．13B ．3C ．D 【解析】解：因为OA ，OB 是两个单位向量，且0OA OB = ．所以OA OB ⊥，故可建立直角坐标系如图所示．则(1,0)OA = ，(0,1)OB = ，故(1OC mOA nOB m =+=，0)(0n +，1)(m =，)n ，又点C 在AOB ∠内，所以点C 的坐标为(,)m n ，在直角三角形中，由正切函数的定义可知，tan 30n m ︒==mn=故选：D ．5．在ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为()A ．12B ．13C ．14D ．1【解析】解：设BM tBC=则1111()2222AN AM AB BM AB BM==+=+ 111()2222t AB tBC AB AC AB =+⨯=+-1()222t t AB AC =-+∴122t λ=-，2tμ=∴12λμ+=故选：A ．6．点M 是ABC ∆的边BC 上任意一点，N 在线段AM 上，且AN xAB y AC =+ ，若13x y +=，则NBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值是()A ．12B ．13C ．23D ．14【解析】解：如图，设BM BC λ= ，AM AN μ=，∴111()()AN AM AB BM AB BC λμμμ==+=+11()AB AC AB AB AC λλλλμμμ-=+-=+， AN xAB y AC =+ ，且13x y +=，∴1113λλμμμ-+==，则3μ=．∴3AM AN = ，则2AM NM = ，又NBC ∆ 与ABC ∆的底边BC 相等，NBC ∴∆的面积与ABC ∆的面积的比值是||23||AM NM =．故选：C ．7．ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为线段AM 上一点，且3AM AN =，又AN AB AC λμ=+ ，则λμ+的值为()A ．12B ．13C ．14D ．1【解析】解：设BM tBC = ，3AM AN =，∴11()33AN AM AB BM ==+ 1133AB BM =+1133AB tBC =+11()33AB t AC AB =+-1(333t t AB AC =-+，又AN AB AC λμ=+ ，所以11(3333t t λμ+=-+=故选：B ．8．在ABC ∆中，点D 满足3,(,)AD DC BD BA CB R λμλμ==-∈，则λμ= 316．【解析】解： 点D 满足3AD DC =，∴34AD AC = ，又AC BC BA =- ，∴3()4AD BC BA =- ，∴313()444BD BA AD BA BC BA BA CB =+=+-=- ．又BD BA CB λμ=- ，∴14λ=，34μ=．∴1334416λμ=⨯=．故答案为：316．9．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为12．【解析】解：以A 为原点，以AB 所在的为x 轴，建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则1(2E ，0)，(1,1)C ，(0,1)D ，(0,0)A ，(1,0)B ．设(cos ,sin )P θθ，∴(1,1)AC =．再由向量1(2AC DE AP λμλ=+= ，1)(cos μθ-+，sin )(θ=cos 2λμθ+，sin λμθ-+)(1=，1)，∴cos 12sin 1λμθλμθ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，∴2sin 2cos 2cos sin 32cos sin θθλθθμθθ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，32sin 2cos (2cos sin )3sin 33sin 312cos sin 2cos sin 2cos sin θθθθθθλμθθθθθθ+---+++∴+===-++++．由题意得02πθ ，0cos 1θ∴，0sin 1θ ．求得223cos (2cos sin )(33)(2sin cos )66sin 3cos ()0(2cos sin )(2cos sin )sn θθθθθθθθλμθθθθ+-+-++-+'=>++，故λμ+在[0，2π上是增函数，故当0θ=时，即cos 1θ=，这时λμ+取最小值为3021202+-=+，故答案为：12．10．如图，在ABC ∆中，M 为BC 上不同于B ，C 的任意一点，点N 满足2AN NM =．若AN xAB y AC =+ ，则229x y +的最小值为25．【解析】解：不妨设BM BC λ=，01λ<<，∴222222222()()33333333AN AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλ-==+=+=+-=+ ，AN xAB y AC =+，223x λ-∴=，23y λ=，222222(22)4084401294()99999105x y λλλλλ-∴+=+=-+=-+，当110λ=时，229x y +有最小值，最小值为25，故答案为：25．题型2平行问题1．已知(1,1),(1,0),(1,2)a b c =-==- ，若a与b mc - 平行，则(m =)A ．1-B ．1C ．2D ．3【解析】解：(1,1),(1,0),(1,2)a b c =-==-，(1,2)b mc m m -=-，当a与b mc - 平行时，1(1)(1)20m m ⨯---⨯=，解得1m =-．故选：A ．2．已知向量()()1,2,,1,2,2,//a b x u a b v a b u v ===-=+若，则实数x 为()A ．112-B ．72或2-C ．1D ．12【解析】解：由题意可得：22(1u a b =-=，2)(x -，1)(2x =-，3)，2(1v a b =+=，2)2(x +，1)(12x =+，4)//u v，(2)43(12)0x x ∴-⨯-⨯+=，解得12x =故选：D ．3．已知向量(3,)m k = ，(2,4)n = ，若//m n ，则m n =30．【解析】解： 向量(3,)m k = ，(2,4)n = ，且//m n，212k ∴=，即6k =．则(3m n =，6)(2 ，4)326430=⨯+⨯=．故答案为：30．4．已知向量(,2)a x x =+ ，(3,4)b = ，若//a b ，则向量a的模为10．【解析】解：向量(,2)a x x =+，(3,4)b = ，若//a b，则43(2)0x x -+=，解得6x =，∴(6,8)a =，∴向量a的模为||10a == ．故答案为：10．5．已知||10a =，(3,4)b = ，//a b ，则向量a =(6,8)或(6,8)--．【解析】解；设：(,)a x y =， //b a ，||10a =，∴22430100x y x y +=⎧⎨+=⎩解得；68x y =⎧⎨=⎩或68x y =-⎧⎨=-⎩∴a等于(6,8)或(6,8)--故答案为(6,8)或(6,8)--．题型3模长问题1．设向量a，b满足||a b +=||a b -= ，则(a b = )A ．1B ．2C ．3D ．5【解析】解：||a b +=||a b -=，∴分别平方得22210a a b b ++= ，2226a a b b -+= ，两式相减得41064a b =-=，即1a b =，故选：A ．2．若向量a，b 满足||1a = ，(2)a b a +⊥ ，(2)a b b +⊥ ，则||(b = )A ．2B ．22C ．1D【解析】解： 向量a，b 满足||1a = ，(2)a b a +⊥ ，(2)a b b +⊥ ，∴222cos ,02cos ,0a ab a b a b a b b ⎧+<>=⎪⎨<>+=⎪⎩ ，∴22b a =，||||1b a ∴== ．故选：C ．3．已知向量a，b 的夹角为45︒，且||1a =，|2|a b -= ||(b = )AB．C．D．【解析】解：因为向量a，b 的夹角为45︒，且||1a =，|2|a b -= 所以224410a a b b -+=，即2|||60b b --= ，解得||b = 或||b =)．故选：C ．4．已知向量a与b 的夹角为45︒，且||1a = ，||b = ||a b -=1．【解析】解：根据题意得，222()21221451a b a a b b -=-⋅+=+-⨯⨯︒=∴1a b-= 故答案为1．5．已知向量a，b 夹角为45︒，且||1a = ，||b = ，则|2|a b - 【解析】解：根据题意，得；|2|a b -====6．已知向量(2,1),10,||a a b a b =⋅=+=，则||b = 5．【解析】解： 向量(2,1),10a a b =⋅=，又 ||a b +=∴2()50a b +=即22||||250a b a b ++⋅=即25||2050b ++=即2||25b =∴||5b = 故答案为：57．已知向量,a b满足||2a = ，||b = ，a 与b 的夹角为4π，则||a b +【解析】解：向量,a b满足||2a =，||b = a 与b 的夹角为4π，则||a b +===．题型4夹角问题1．已知向量a = ，(3,)b m = ，若向量a，b 的夹角为6π，则实数(m =)A．BC ．0D．【解析】解：由题意可得cos 62||||a b a b π== ，解得m =，故选：B ．2．已知非零向量a ，b 满足||4||b a = ，且(2)a a b ⊥+ ，则a与b 的夹角为()A ．3πB ．2πC ．23πD ．56π【解析】解：由已知非零向量a，b 满足||4||b a = ，且(2)a a b ⊥+ ，可得2(2)20a a b a a b +=+= ，设a与b 的夹角为θ，则有22||||4||cos 0a a a θ+= ，即1cos 2θ=-，又因为[0θ∈，]π，所以23πθ=，故选：C ．3．已知非零向量,a b满足：||2||a b a b ==- ，则a与b 的夹角为()A ．23πB ．2πC ．3πD ．6π【解析】解：由||2||a b a b ==-，所以22222874(2)a b a a b b ==-+ ，解得||2||b a = ，且2||a b a =- ；所以2||1cos ||2||2||||a b a a a a b θ-===-⨯⨯ ；又[0θ∈，]π，所以23πθ=，即a与b 的夹角为23π．故选：A ．4．已知非零向量,a b满足||||a b a b +=- ，则a 与b 的夹角为()A ．3πB ．2πC ．4πD ．23π【解析】解：由于非零向量,a b满足||||a b a b +=- ，等号两边同时平方化简得：0a b =，则夹角为2π，故选：B ．5．已知向量(1,2)a =- ，(1,)b λ= ，若a b ⊥ ，则2a b + 与a的夹角为()A ．23πB ．34πC ．3πD．4π【解析】解：根据题意，设2a b + 与a的夹角为θ，向量(1,2)a =-，(1,)b λ= ，若a b ⊥，则有(1)120a b λ=-⨯+= ，解可得12λ=，则1(1,2b = ，则2(1,3)a b +=，则有|2|a b +=，||a =(2)(1)1235a b a +=-⨯+⨯= ，则有(2)cos 2|2|||a b a a b a θ+===+，则4πθ=；故选：D ．6．在ABC ∆中，22AB AC ==，120BAC ∠=︒，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =，则AB AD =23．【解析】解：由题意可知D 为BC 的靠近C 的三等分点，∴2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，∴21212122()412cos1203333333AB AD AB AB AC AB AB AC =+=+=⨯+⨯⨯⨯︒= ．故答案为：23．题型5平面向量的坐标运算1．已知(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈ ，则m n -的值为()A ．2B ．2-C ．3D ．3-【解析】解：(2,1)a =，(1,2)b =- ，(2,2)ma nb m n m n +=+- ，(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈，可得：2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，可得2m =，5n =．3m n -=-故选：D ．2．向量a，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈ ，则(λμ=)A ．2B ．4C ．12D ．12-【解析】解：以向量a，b 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得(1,1)a =- ，(6,2)b = ，(1,3)c =--(,)c a b R λμλμ=+∈，∴1632λμλμ-=-+⎧⎨-=+⎩，解之得2λ=-且12μ=-，因此，则4λμ=故选：B ．3．已知向量(1,1)a =-，(1,2)b =- ，则(2)(a b b += )A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】解： (1,1)a =-，(1,2)b =- ，222(2)22(12)(1)2651a b b a b b ∴+=+=--+-+=-+=- 故选：A ．4．在ABC ∆中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若(4,3)PA = ，(1,5)PQ = ，则(BC = )A ．(2,7)-B ．(6,21)-C ．(2,7)-D ．(6,21)-【解析】解：(3,2)AQ PQ PA =-=-点Q 是AC 的中点∴2(6,4)AC AQ ==-(2,7)PC PA AC =+=-2BP PC = 3(6,21)BC PC ==-故选：B ．5．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则(AE BD =)A ．2-B ．6C ．2D ．6-【解析】解：根据题意，如图：以B 为坐标原点建立坐标系，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立坐标系，则(2C ，0)(0A ，2)，(2,2)D ，则(2,1)E ，则(2,1)AE =- ，(2,2)BD =，则22(1)22AE BD =⨯+-⨯=，故选：C ．6．已知向量(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9ma nb += ，8)(m -，)n R ∈，则m n -的值为3-．【解析】解：向量(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9,8)ma nb +=- 可得2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得2m =，5n =，3m n ∴-=-．故答案为：3-．7．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC的值为18．【解析】解：以BC 所在的直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，ABC ∆ 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，1(2B ∴-，0)，1(2C ，0)，(0,0)E ，2A ，1(4D ∴-，∴(1,0)BC = ，1(4DE = ，34-，设(,)F x y ，∴(,)EF x y =，2DE EF = ，∴2DE EF = ，1(4∴，2(x =，)y ，解得18x =，38y =，∴(AF = 18，8-，∴(AF BC = 18，(1 ，10)8=，故答案为：18．题型6投影问题1．已知点(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为()A ．3152-B ．3152C ．322-D ．322【解析】解：(2,1),(5,5)AB CD ==；∴向量AB 在CD 方向上的投影为：32||cos ,2||AB CD AB AB CD CD <>==．故选：D ．2．已知ABC ∆外接圆圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+ ，且||||OA AB = ，则向量AB 在向量BC方向的投影为()A ．12B ．2C ．2D ．12-【解析】解：由2AO AB AC =+知，O 为BC 的中点，如图所示；又O 为ABC ∆外接圆的圆心，半径为1，BC ∴为直径，且2BC =，1OA AB ==，3ABC π∠=；∴向量AB 在向量BC 方向的投影为1||cos()32AB ππ-=- ．故选：D ．3．已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++= ，则向量CA 在向量CB方向上的投影为()A ．3B C ．3-D ．【解析】解：ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++= ，∴OB CA =，OBAC ∴为平行四边形．ABC ∆ 的外接圆的圆心为O ，半径为2，得||||||OA AB OB ==，∴四边形OBAC 是边长为2的菱形，且60ABO ACO ∠=∠=︒，因此，1302ACB ACO ∠=∠=︒，∴向量CA 在CB方向上的投影为：||cos 2cos30AC ACB ∠=︒= 故选：B ．4．已知向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a = ，|2|a b -= ，则向量b 在a方向上的投影等于()A ．2B ．32C ．12D ．1【解析】解： ,60a b <>=︒，||2a = ，|2|a b -= ，∴244||4||28b b +-= ，解得||3b =或2-（舍去），∴b 在a方向上的投影等于3||cos 602b ︒= ．故选：B ．5．已知向量(1,2)a = ，(,1)b m = ，且向量b 满足()3b a b ⋅+= ，则向量a在b 方向上的投影为()A B ．22C ．2D ．2或22【解析】解：向量(1,2)a =，(,1)b m = ，()3b a b ⋅+= ，可得：20m m +=，解得0m =，1m =-，当0m =时，(0,1)b =，向量a在b 方向上的投影为2||a b b ⋅= ，当1m =-时，(1,1)b =-，向量a在b 方向上的投影为2||a b b ⋅== ，故选：D ．6．向量a ，b 满足a = ，||1b = ，||a b += b 在a方向上的投影为()A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】解：向量a，b 满足a = ，||1b = ，||a b += 可得2223a a b b ++= ，所以1a b =-，则b 在a方向上的投影为：1||2a b a =- ．故选：B ．7．已知向量b =，向量a在b 方向上的投影为4-，若()a b b λ+⊥ ，则实数λ的值为()A ．3B ．12C ．13D ．23【解析】解： ||2b = ，a在b 方向上的投影为4-，∴42a b =- ，8a b =-，又()a b b λ+⊥，∴2()840a b b a b b λλλ+=+=-+= ，解得12λ=．故选：B ．8．若b 为单位向量，||||a b a += ，则向量a在向量b 方向上的投影为()A ．1-B ．1C ．12D ．12-【解析】解： ||1,||||b a b a =+=，∴2212a a b a ++= ，∴12a b =-，∴a在b 方向上的投影为：12||a b b =- ．故选：D ．9．已知非零向量a ，b 满足||2a = ，|2|4a b -= ，a在b 方向上的投影为1，则(2)b a b ⋅+= 36．【解析】解：设a ，b 的夹角为θ，则a在b 方向上的投影为||cos 1||a b a b θ⋅== ，∴||a b b ⋅=，|2|4a b -= ，∴224||4||16a a b b -⋅+=，2164||||16b b ∴-+= ，解得：||4b = ，∴4a b ⋅=，∴2(2)2||43236b a b a b b ⋅+=⋅+=+=．故答案为：36．10ABC ∆中，则向量AB在向量CA方向上的投影为32．【解析】解：根据题意，||,120AB AB CA =<>=︒，∴AB 在CA 方向上的投影为：1||cos120()22AB ︒=-=-．故答案为：11．已知向量||3b = ，且6a b ⋅= ，则向量a在向量b 的方向上的投影为2．【解析】解： ||3,6b a b =⋅=，∴a在b 的方向上的投影为2||a b b ⋅= ．故答案为：2．12．若两单位向量a ，b 的夹角为3π，则向量2a b - 在a方向上的投影为32．【解析】解： ||||1,,3a b a b π==<>=，∴12a b = ，213(2)2222a b a a a b -=-=-=，∴2a b - 在a方向上的投影为：(2)3||2a b a a -= ．故答案为：32．13．已知向量a ，b 满足|||2|a b a b +=- ，其中b 是单位向量，则a在b 方向上的投影为．【解析】解： ||1b = ，|||2|a b a b +=-，∴221244a a b a a b ++=+- ，∴12a b = ，∴a在b 方向上的投影是12||a b b = ．故答案为：12．题型7垂直问题1．已知向量(1,2)a =，(,1)b m =- ，且()a a b ⊥+ ，则(m =)A ．5-B ．5C ．6D ．7【解析】解：(1,3)a b m +=- ，(1,2)a =，且()a a b ⊥+ ，∴()160a a b m +=-+=，解得7m =．故选：D ．2．已知向量(1,2)a = ，(,4)b x = ，(2,)c y = ，若//a b ，a c ⊥，则()(b ac -= )A ．14B ．14-C ．10D ．6【解析】解：向量(1,2)a = ，(,4)b x = ，(2,)c y =，//a b，可得142x ⨯= ，解得2x =，(2,4)b = ，a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=．故选：C ．3．已知向量(1,2)a =，向量(,4)b x = ，且a b ⊥ ，则(x =)A ．6B ．2C ．6-D ．8-【解析】解： 向量(1,2)a = ，向量(,4)b x = ，且a b ⊥，∴80a b x =+=，则8x =-，故选：D ．4．已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ．若向量a b + 与a垂直，则(m =)A ．6B ．3C ．7D ．14-【解析】解：已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ，若向量a b + 与a垂直，则2()5(2)0a b a a a b m +=+=+-+=，求得7m =，故选：C ．5．设x ，y R ∈，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ==-=- 且a c ⊥，//b c ，则||(a b += )A B C ．D ．10【解析】解： a c ⊥；∴240a c x =-=；2x ∴=； //b c ；420y ∴-=；2y ∴=；∴(2,1),(1,2)a b ==-；∴(1,3)a b +=；∴||10a b +=．故选：B ．6．已知两个单位向量a，b 的夹角为60︒，(1)c t a tb =-+ ，若0b c = ，则t =1-．【解析】解： 两个单位向量a，b 的夹角为60︒，∴111cos 602a b =⨯⨯︒=．(1)c t a tb =-+ ，0b c =，∴20(1)b c t a b tb ==-+ ，10(1)2t t ∴=-+，解得1t =-，故答案为：1-．第2讲平面向量基本定理及三点共线定理一．选择题（共4小题）1．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则x y +的最小值为()A ．2B ．13C ．43D ．34【解析】解：根据条件：1AC AN y= ，1AB AM x =；又1133AG AB AC =+ ；∴1133AG AM AN x y=+；又M ，G ，N 三点共线；∴11133y x+=；0x > ，0y >；111124()()23333333333x y x y x y x y x y y x y x ∴+=++=++++= ；x y +的最小值为43．当且仅当23x y ==．故选：C ．2．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则2x y +的最小值为()A ．2B ．13C ．3223+D ．34【解析】解：M ，N ，G 三点共线，∴MG GN λ= ，∴()AG AM AN AG λ-=- ， 点G 是ABC ∆的重心，∴1()3AG AB AC =+ ，∴11()(())33AB AC x AB y AC AB AC λ+-=-+，∴11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得，(31)(31)1x y --=；结合图象可知112x ，112y ；令31x m -=，31y n -=，1(22m ，12)2n ；故1mn =，13m x +=，13ny +=；故112233m n x y +++=+⨯211221333m n =+++ ，（当且仅当233m n=，即2m =，22n =时，等号成立），故2x y +的最小值为132222133++= ；故选：C ．3．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点（点N 与点C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则111x y +-的最小值为()A ．2B ．12+C ．32D ．22+【解析】解：G 为ABC ∆的重心，∴21()32AG AB AC =⨯+ 1()3xAM y AN =+又G 在线段MN 上，∴11133x y +=3x y ∴+=(1)2x y ∴+-=∴11111[(1)]()121x y x y x y +=+-+--11(11)21x y y x-=+++-1(22)22+= 故选：A ．4．已知G 是三角形ABC 的重心，过G 的直线分别交直线AB ，AC 于M ，N 两点，AB mAM = ，AC nAN =，(m ，n 都是正数），12m n+的最小值是()A ．2B ．3C ．1D ．2213+【解析】解：如图所示，设D 是BC 的中点．M ，N ，G 三点共线，∴存在实数λ使得(1)AG AM AN λλ=+-， AB mAM = ，AC nAN =，(m ，n 都是正数），∴1AG AB AC m n λλ-=+，G 是三角形ABC 的重心，∴22111()33233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+．∴13113m nλλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，化为3m n +=．又m ，n 为正数，∴1211212122()()(3)(313333n m m n m n m n m n +=++=+++=+，当且仅当1)n ==时取等号．∴12m n +的最小值是2213+．故选：D ．二．填空题（共5小题）5．如图，在ABC ∆中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ= ，(0,0)AN AC μλμ=>>，则3λμ+的最小值是3．【解析】解： 若AM AB λ= ，(0,0)AN AC μλμ=>>，∴(1)MB MD DB AB λ=+=- ，M ，D ，N 三点共线，∴存在实数k ，使()MD kMN k AN AM k AB k AC λμ==-=-+． 111444DB CB AB AC ==- ，11()((1)44k AB k AC AB λμλ∴-+-=-，∴114k λλ-=-，104k μ-=，43λμλ∴=-，3343λλμλλ+=+-．设3()43f λλλλ=+-，0λ>，则29()1(43)f λλ-'=+-，令()0f λ'=得，0λ=，或32λ=．在3(0,)2上，()0f λ'<；在(32，)+∞时，()0f λ'>；32λ∴=时，()f λ取极小值，也是最小值；()f λ∴的最小值为3，即3λμ+的最小值是3，故答案为：3．6．在ABC ∆中，M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM MB = ，3BN NC =，AN 交CM 于点P ，若BP xPA yBC =+ ，则x =18，y =．【解析】解：如图：过点M 作//MD BC 交AN 于D ； 2AM MB = ，3BN NC = ，2AD DN ∴=；2DP PN =；18NP AP ∴=∴3148BP BN NP BC PA =+=+ ；BP xPA yBC =+ ，18x ∴=，34y =．故答案为：18，34．7．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC == ，则xyx y+的值为13．【解析】解：根据题意G 为三角形的重心，∴1()3AG AB AC =+ ，111()()333MG AG AM AB AC x AB x AB AC =-=+-=-+ ，111()()333GN AN AG y AC AG y AC AB AC y AC AB =-=-=-+=-- ，由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ= ，即1111()[(]3333x AB AC y AC AB λ-+=--，∴113311()33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去λ得30x y xy +-=，3x y xy ∴+=，即13xy x y =+．8．已知点G 为ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且,AM xAB AN y AC ==，x ，y R +∈，则x y +的最小值为43．【解析】解：M ，G ，N 三点共线，∴存在m ，使(1)(1)AG mAM m AN mxAB m y AC =+-=+-，又G 是ABC ∆的重心，∴1()(1)3AG AB AC mx AB m y AC =+=+- ，13mx ∴=，1(1)3m y -=，∴11133x y +=，即113x y+=．111114()()(2)(23333y x x y x y x y x y ∴+=++=+++= ，当且仅当23x y ==时取等号．故答案为：43．9．点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM xAB = ，AN y AC =．若12x =，则y =1，若23AMN ABC S S ∆∆=，则x y +=．【解析】解：根据条件：1AC AN y = ，1AB AM x=；又1133AG AB AC =+ ；∴1133AG AM AN x y=+；又M ，G ，N 三点共线；∴11133x y+=；12x =，1y ∴=； 23AMN ABC S S ∆∆=，∴1sin 2213sin 2AM AN MANAM AN xy AB AC AB AC BAC ∠===∠ ，又113x y +=，即3x y xy+=，2x y ∴+=．故答案为：1，2．三．解答题（共3小题）10．已知点G 为ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC == ，求11x y+的值．【解析】解：根据题意G 为三角形的重心，1()3AG AB AC =+ ，111()()333MG AG AM AB AC x AB x AB AC =-=+-=-+ ，GN AN AG y AC AG=-=-1()3y AC AB AC =-+ 11(33y AC AB =--，由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ= ，即1111()[()]3333x AB AC y AC AB λ-+=--，即113311(33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴11331133xy -=--即30x y xy +-=两边同除以xy 整理得113x y+=．11．若点M 是ABC ∆所在平面内一点，且满足：3144AM AB AC =+．（1）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比．（2）若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO xBM yBN =+，求x ，y 的值．【解析】解（1）由3144AM AB AC =+，根据三点共线的性质，31144+=，且AB 与AC 不共线，可知M 、B 、C 三点共线．如图令1()(1)4BM BC AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλλλ=⇒=+=+=+-=-+⇒= ，∴14ABM ABC S S ∆∆=，即面积之比为1:4．（2）由2y BO xBM yBN BO xBM BA =+⇒=+，4x BO BC yBN =+ ，由O 、M 、A 三点共线及O 、N 、C 三点共线41726147y x x x y y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩12．在ABC ∆中，3144AM AB AC=+（Ⅰ）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比（Ⅱ）若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点P 且(,)AP xAB y AC x y R =+∈，求x y +的值．【解析】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3144AM AB AC =+⇒4303()AM AB AC AM AB AC AM--=⇒-=- 3BM MC ⇒=，即点M 在线段BC 上的靠近B 的四等分点，ABM ∴∆与ABC ∆的面积之比为14．（Ⅱ） 3144AM AB AC =+ ，(,)AP xAB y AC x y R =+∈，//AP AM ，∴设334424AP AM AB AC AN AC λλλλλ==+=+ ；三点N 、P 、C 共线，∴341,247λλλ+==解得，3311,4747x y λλ====，47x y +=．第3讲平面向量中的范围、最值问题一．选择题（共17小题）1．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，3OD =，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于()A ．14B ．43C ．13D ．1【解析】解：以O 为原点，以OD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设点(,)P x y ， OP OC OD αβ=+，则(x ，)(0y α=，1)(3β+，0)(3β=，)α．所以，3x y βα=⎧⎨=⎩13x y αβ+=+．由于点P 在BCD ∆内（包含边界），目标函数为13x y αβ+=+，如图所示，当点P 为点(1,1)B 时，13x y αβ+=+取得最大值，其最大值为14133+=，故选：B ．2．已知1,||,||AB AC AB AC t t ⊥== ，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值等于()A ．13B ．15C ．19D ．21【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A ，1(B t，0)，(0,)C t ，4||||AB ACAP AB AC =+，(1,4)P ∴，∴1(1PB t=- ，4)-，(1,4)PC t =-- ，∴11(1)4(4)17(4PB PC t t t t ⋅=----=-+ ，由基本不等式可得144t t += ，117(4)17413t t ∴-+-= ，当且仅当14t t =即12t =时取等号，∴PB PC ⋅的最大值为13，故选：A ．3．已知AB AC ⊥ ，1||AB t = ，||AC t = ，1[4t ∈，4]；若P 是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB AC AP AB AC =+，则PB PC的取值范围是()A ．[13，17]B ．[12，13]C ．3[4，12]D ．3[4，13]【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A ，1(B t，0)，(0,)C t ，4(1||||AB ACAP AB AC =+=，0)(0+，4)(1=，4)，(1,4)P ∴，∴1(1PB t =- ，4)-，(1,4)PC t =-- ，∴11(1)4(4)17(4)1713PB PC t t t t =----=-+-= ，当且仅当14t t =，即11[24t =∈，4]，时，取等号，由4t =可得1317(1644-+=，由14t =可得17(14)12-+=，∴PB PC 的最大值为13，最小值为34．则PB PC 的范围是3[4，13]．故选：D ．4．已知a，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且||1a = ，a b - 与b 的夹角为150︒，则||b 的取值范围是()A ．(0B ．[1C ．(0，2]D ．2]【解析】解：如图所示，设OA a = ，OB b = ，则BA OA OB a b =-=-．由于||1a =，a b - 与b 的夹角为150︒，可得OAB ∆中，1OA =，30OBA ∠=︒．由正弦定理可得：OAB ∆的外接圆的半径1r =．则点B 为圆上的动点．由图可令(1cos ,sin )b OB θθ==+，则||b ==．∴||(0,2]b ∈．故选：C ．5．设向量α，β 的夹角θ定义：||||sin αβαβθ⨯= 若平面内互不相等的两个非零向量a ，b满足：||1a = ，()a b - 与b 的夹角为150︒，a b ⨯的最大值为()A ．2BC ．D 【解析】解：设a OA =，b OB = ，则BA a b =- ，||1a = ，a b - 与b的夹角为150︒，OAB ∴∆中，1OA =，30OBA ∠=︒，由正弦定理可得：OAB ∆的半径为1，则B 点为圆上与OA 不重合的动点，设(0150)AOB θθ∠=︒<<︒，由正弦定理可得，2sin AB θ=，2sin(150)OB θ=︒-，则sin 2sin30OAB a b OA OB S AB OB θ∆⨯===︒2sin sin(150)[cos150cos(2150)]θθθ=︒-=-︒--︒cos(2150)2θ=+-︒，当75θ=︒时，a b ⨯取得最大值，且为1+故选：C ．6．已知平面内互不相等的非零向量a，b 满足||1a = ，a b - 与b 的夹角为150︒，则a b 的最大值为()A ．2BC ．32D ．32【解析】解：如图所示，设OA a = ，OB b =．则BA OA OB a b =-=- ．||1a =，a b - 与b 的夹角为150︒，OAB ∴∆中，1OA =，18015030OBA ∠=︒-︒=︒．由正弦定理可得：OAB ∆的外接圆的半径1r =．则点B 为圆上与A 点重合的动点．由图可令：1(,2a OA ==，(1cos ,sin )b OB θθ==+ ．∴11313cos sin()222622a b πθθθ=+-=--+ ，当sin(16πθ-=-时取等号．∴a b 的最大值为32．故选：C ．7．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，||2OA = ，||1OB = ，OP tOA = ，(1)OQ t OB =-，||PQ 在0t 时取最小值，当0104t <<时，cos θ的取值范围为()A ．1(2-，0)B ．1(2-，14-C ．1(4，1)D ．1(2-，1)4【解析】解：由题意得：21cos 2cos OA OB θθ=⨯⨯=，(1)PQ OQ OP t OB tOA =-=-- ，∴22222(1)2(1)PQ t OB t OA t t OA OB=-+-- 222(1)44(1)cos (54cos )(24cos )1t t t t t t θθθ=-+--=++--+，由二次函数知，当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，0104t <<，12cos 1054cos 4θθ+∴<<+，解得11cos 24θ-<<．cos θ∴的取值范围为11(,)24-．故选：D ．8．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，||2OA = ，||1OB = ，OP tOA = ，(1)OQ t OB =-，||PQ 在0t 时取得最小值．当0105t <<时，夹角θ的取值范围为()A ．(0,)3πB ．(3π，)2πC ．(2π，2)3πD ．2(0,3π【解析】解：由题意可得21cos 2cos OA OB θθ=⨯⨯=，(1)PQ OQ OP t OB tOA =-==-- ，∴2222222(1)2(1)(1)44(1)cos PQ t OB t OA t t OA OB t t t t θ=-+--=-+-- 2(54cos )(24cos )1t t θθ=++--+，由二次函数知，当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，由题意可得12cos 1054cos 5θθ+<<+，求得1cos 02θ-<<，∴223ππθ<<，故选：C ．9．设向量1e 、2e 满足：12||2,||1e e == ，1e ，2e 的夹角是90︒，若1227te e + 与12e te +的夹角为钝角，则t 的取值范围是()A ．(,0)-∞B ．1414(,(22-∞-C ．(,)2-∞-D ．(2-【解析】解： 向量1e 、2e 满足：12||2,||1e e == ，1e ，2e 的夹角是90︒，∴120e e =．若1227te e + 与12e te +的夹角为钝角，则1212(27)()0te e e te ++< ，且12(27)te e + 与12()e te +不共线，即22122070te te ++< ，且271t t≠，即870t t +<，且t ≠．求得0t <，142t ≠±，即(t ∈-∞，1414)(22--⋃，0)，故选：B ．10．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,3)OA = ，(2,1,2)OB = ，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB取得最小值时，点Q 的坐标为()A ．131(,,)243B ．133(,,)224C ．448(,,)333D ．447(,,333【解析】解： 点Q 在直线OP 上运动，∴存在实数λ使得(OQ OP λλ==，λ，2)λ，∴(1,2,32)QA λλλ=--- ，(2,1,22)QB λλλ=---．∴(1)(2)(2)(1)(32)(22)QA QB λλλλλλ=--+--+--22498616106()33λλλ=-+=--，当且仅当43λ=时，上式取得最小值，448(,,333Q ∴．故选：C ．11．已知Rt AOB ∆的面积为1，O 为直角顶点，设向量||OA a OA ==，||OB b OB =，2OP a b =+ ，则PA PB 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设(,0)A m ，(0,)B n ，则(1,0)a =，(0,1)b = ，2(1,2)OP a b =+=，(1,2)PA m =-- ，(1,2)PB n =-- ，Rt AOB ∆的面积为1，即有2mn =，则12(2)PA PB m n =---5(2)55221m n =-+-=-⨯= ．当且仅当22m n ==时，取得最大值1．故选：A ．12．已知向量a ，b 均为单位问量，且12a b = ．向量a c - 与向量b c - 的夹角为6π，则||a c - 的最大值为()A ．32B ．1C ．233D ．2【解析】解： 由12a b = ，向量a ，b 为单位向量，可得a ，b的夹角为60︒．设OA a = ，OB b = ，OC c = ．由向量12a b = ，向量a ，b 均为单位问量11cos a ∴⨯⨯<，12b >= ，∴a <，3b π>= ．设OA a = ，OB b = ，OC c = ． 向量c 满足a c -与b c - 的夹角为6π，6ACB π∴∠=．由等边三角形OAB ，点C 在AB 外且ACB ∠为定值，可得C 的轨迹是两段圆弧，ACB ∠是AB 所对的圆周角．可知：当AC 时是弧 AB 所在圆（上述圆弧）的直径时，||a c -取得最大值||AC ，在ABC ∆中，由正弦定理可得：2sin 30ABAC ==︒．|∴，||a c -取得最大值||AC 取得最大值是2．故选：D ．13．已知平面向量(1,2)a = ，(2,1)b = ，(,)c x y =，满足0x ，0y ．若1a c ⋅ ，1b c ⋅ ，()z a b c=-+⋅ 则()A ．z 有最大值2-B ．z 有最小值2-C ．z 有最大值3-D ．z 有最小值3-【解析】解： 21a c x y ⋅=+21b c x y ⋅=+332x y ∴+ ()(33)3()2Z a b c x y x y =-+⋅=-+=-+-Z ∴的最大值为2-故选：A ．14．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0c a c b --= ，则||c 的最大值是()A ．1B ．2C ．D【解析】解：由题意可得0a b =，可得||a b +== 2()()()c a c b c a b c a b --=+-+ 2||||||cos (c c a b a b =-+<+ ，0c >=，即为||c a b =<+ ，c > ，当cos a b <+ ，1c >= 即a b + ，c同向时，||c故选：C ．15．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量b = 1)-则|2|a b - 的最大值，最小值分别是()A ．0B ．4，C ．16，0D ．4，0【解析】解：2(2cos a b θ-=-，2sin 1)θ+，|2|a b -===4，最小值为0．故选：D ．16．已知,a b是单位向量，0a b = ，若向量c 满足||1c a b -+= ，则|||c b - 的取值范围是()A ．1]-B ．1]+C ．[0，2]D ．1]-+【解析】解：由,a b是单位向量，且0a b = ，则可设(1,0)a = ，(0,1)b = ，(,)c x y = ；向量c满足||1c a b -+= ，|(1,1)|1x y ∴-+=，∴1=，即22(1)(1)1x y -++=，它表示圆心为(1,1)C -，半径为1r =的圆；又|||(c b x -=，1)|y -=C 上的点到点(0,1)B 的距离，如图所示：且||BC =，∴1||1PB - ；即||c b -的取值范围是1-1]+．故选：D．17．设1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x ，y R ∈，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||b x的最小值为()A ．14B ．12C ．1D ．4【解析】解： 1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x ，y R ∈，若1e ，2e 的夹角为6π，∴12123||||cos 62e e e e π==，则22221212||()2b xe ye x y xye e =+=++=，则||1||2b x ==== ，当且仅当y x =故选：B ．二．填空题（共7小题）18．在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则EB ED的取值范围为23[16，3]．【解析】解：由题意可得AE 和AB 的夹角为60︒，设||AE x =，[0x ∈，2]，22()()212cos60cos60EB ED AB AE AD AE AB AD AB AE AD AE AE x x x=--=--+=⨯-︒-︒+ 2233232()2416x x x =-+=-+，故当34x =时，EB ED 取得最小值为2316，当2x =时，EB ED 取得最大值为3，故EB ED 的取值范围为23[,3]16，19．已知向量,,a b c满足||6,||a b == ，a 与b 的夹角为4π，()()4c a c b --=- ，则||c a - 的最小值为1-．【解析】解：由向量||6a = ，||b = ，a与b 的夹角为4π，可设(6,0)OA a == ，4OB b π== ，(24π=，2)，(,)OC c x y == ，由()()4c a c b --=-，得(6)(2)(2)4x x y y --+-=-；化为22(4)(1)1x y -+-=，所以点C 在以(4,1)M 为圆心，以1为半径的圆的上；且||c a -=表示圆上的点到点(6,0)A 的距离，。
(完整版)平面向量综合练习题.doc
一、选择题1．下列命题中正确的是 ( )→ → → A. OA － OB ＝ AB → → B.AB ＋BA ＝ 0→C ．0·AB ＝0 → → → → D.AB ＋ BC ＋ CD ＝ AD考点 向量的概念 题点 向量的性质 答案 D解析 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量， → → → → →OA －OB ＝ BA ；AB ，BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，→ → →AB ＋BA ＝ 0； 0·AB ＝ 0.2．已知 A ， B ，C 三点在一条直线上，且 A(3，－ 6)， B(－ 5,2)，若 C 点的横坐标为 6，则 C点的纵坐标为 ( )A ．－ 13B ． 9C ．－ 9D ． 13考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知三点共线求点的坐标 答案 C解析→→设 C 点坐标 (6， y)，则 AB＝ ( －8,8)， AC ＝ (3， y ＋ 6)．3y ＋ 6∵ A ， B ， C 三点共线， ∴ －8＝ 8 ， ∴ y ＝－ 9.3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， → →AB ＝(1，－ 2)，AD ＝ (2,1) ， → → 则 AD ·AC 等于 () A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 A解析→ → →→ → ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AC ＝ AB ＋ AD ＝ (1，－ 2)＋ (2,1) ＝ (3，－ 1)，∴ AD ·AC＝ 2× 3＋ (－ 1)× 1＝ 5.4． (2017 ·宁大连庄河高中高一期中辽 )已知平面向量a ＝ (1，－ 3)，b ＝ (4，－ 2) ，a ＋ λb 与 a垂直，则λ等于 ( )A ．－ 2 B． 1C．－ 1 D． 0考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数答案 C解析a＋λb＝(1＋ 4λ，－ 3－ 2λ)，因为 a＋λb 与 a 垂直，所以 (a＋λb) ·a＝0，即 1＋4λ－ 3(－ 3－ 2λ)＝ 0，解得λ＝－ 1.5．若向量 a 与 b 的夹角为60°， |b|＝ 4，( a＋2b) ·(a－ 3b) ＝－ 72，则向量 a 的模为 ()A ． 2 B． 4C．6 D． 12考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案 C解析因为 a·b＝ |a| ·|b| ·cos 60 °＝ 2|a|，所以 (a＋2b) ·(a－3b)＝|a|2－ 6|b|2－a·b＝|a|2－ 2|a|－96＝－ 72.所以 |a|＝ 6.6．定义运算 |a× b|＝ |a| ·|b| ·sin θ，其中θ是向量 a，b 的夹角．若 |x |＝ 2， |y|＝ 5， x·y＝－ 6，则|x× y|等于 ( )A ． 8 B．－ 8C．8 或－ 8 D． 6考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案 A解析∵ |x|＝ 2， |y|＝5， x·y＝－ 6，∴ cos θ＝x·y －6＝－3＝|x| |y|· 2×5 5.4又θ∈ [0，π]，∴ sin θ＝5，∴|x×y|＝ |x| ·|y| ·sin θ＝ 2× 5×45＝8.→→→7．如图所示，在△ ABC 中，AD ＝ DB，AE＝ EC，CD 与 BE 交于点 F .设 AB＝ a，AC＝ b，AF ＝xa＋ yb，则 (x， y)为 ()1， 1B. 2，2A. 2 2 3 31， 1D. 2， 1C. 3 3 3 2 考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案 C解析→→令 BF.由题可知，→→→→→AF＝ AB ＋ BF＝ AB＋λBE→ 1 →→→ 1 →＝ AB＋λ2AC －AB ＝(1－λ)AB＋2λAC.→→令 CF ＝μCD，→→→→→则 AF ＝ AC＋ CF ＝ AC＋μCD→ 1 →→ 1 →→＝ AC＋μ2AB －AC ＝2μAB ＋ (1－μ)AC.→→因为 AB 与 AC不共线，1 2所以1－λ＝2μ，解得λ＝3，1 22λ＝1－μ，μ＝3，→ 1 → 1 →所以 AF ＝3AB ＋3AC，故选 C.二、填空题8．若 |a|＝ 1， |b|＝ 2，a 与 b 的夹角为60°，若 (3a＋ 5b)⊥ (ma－ b)，则 m 的值为 ________．考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数23答案8解析由题意知 (3a＋ 5b) ·(ma－ b)＝ 3ma2＋ (5m－ 3)a·b－5b2＝ 0，即 3m＋ (5m－ 3)×2× cos 60 °23－ 5× 4＝ 0，解得 m＝8 .→→→9．若菱形 ABCD 的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝ ________.考点题点答案解析向量加、减法的综合运算及应用利用向量的加、减法化简向量2→→→→→→→→→|AB－CB＋CD|＝ |AB＋BC＋CD |＝ |AC＋CD |＝|AD|＝2.10．已知向量a， b 夹角为 45°，且 |a|＝ 1， |2a－ b|＝10，则 |b|＝ ________.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案3 2解析因为向量a， b 夹角为 45°，且|a|＝1， |2a－ b|＝ 10.所以4a2＋ b2－ 4a·b＝10，化为 4＋ |b|2－ 4|b|cos 45 ＝°10，化为 |b|2－ 22|b|－ 6＝0，因为 |b|≥ 0，解得 |b|＝ 3 2.11．已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b·(a－ b) ＝0，则 |b|的取值范围是________．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案[0,1]解析b·(a－ b)＝ a·b－|b|2＝ |a||b|cos θ－ |b|2＝ 0，∴|b|＝ |a|cos θ＝ cos θ(θ为 a 与 b 的夹角，θ∈ 0，π2)，∴0≤ |b|≤ 1.三、解答题→→12． (2017 四·川宜宾三中高一月考)如图，在△ OAB 中， P 为线段 AB 上一点，且 OP＝xOA＋→ yOB.→ →(1)若 AP ＝ PB ，求 x ， y 的值；→ → → →→ → → →(2)若 AP ＝ 3PB ， |OA|＝ 4， |OB|＝ 2，且 OA 与 OB 的夹角为 60°，求 OP ·AB 的值．考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 解→ → →1 → 1 →(1) 若 AP＋ ，＝ PB ，则 OP ＝2OA 2OB1故 x ＝ y ＝ 2.→ →(2)若 AP ＝ 3PB ，→→ ＋ 3 → ，则 OP ＝14OA 4OB→ → 1 → ＋ 3 → → →)＝ OA OB · － OA4 4(OB1 → 1 → →3 →＝－ 4OA 2 －2OA ·OB ＋4OB 2＝－ 1× 42－ 1× 4× 2× cos 60 °＋ 3× 224 24＝－ 3.→→θ， 2cos θ)，其中 θ∈ 0， π→13．若 OA ＝ (sin θ，－ 1)， OB ＝ (2sin，求 |AB|的最大值．2 考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 利用坐标求向量的模解 → → →θ＋ 1)， ∵AB ＝OB － OA ＝ (sin θ， 2cos ∴→sin 2θ＋ 4cos 2θ＋ 4cos θ＋ 1 |AB|＝＝ 3cos 2 θ＋ 4cos θ＋ 2＝3 cos θ＋ 2 2＋ 2，33→∴ 当 cos θ＝ 1，即 θ＝ 0 时， |AB|取得最大值 3.四、探究与拓展→ → → → →14．在△ ABC 中，点 O 在线段 BC 的延长线上，且 |BO|＝3|CO|，当 AO ＝ xAB ＋ yAC 时， x －y＝ ________.考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 － 2解析 →→ →→，由 |BO|＝ 3|CO|，得 BO ＝ 3CO→3 →则 BO ＝ 2BC ，→→ →→ 3 → → 3 → →所以 AO ＝ AB ＋ BO ＝ AB ＋2BC ＝ AB ＋ 2(AC － AB) 1 → 3 →＝－ 2AB ＋2AC .1 31 3所以 x ＝－ 2， y ＝2，所以 x － y ＝－ 2－2＝－ 2.→ → →15．已知 OA ＝ (1,0) ， OB ＝ (0,1) ， OM ＝ (t ， t)(t ∈ R )，O 是坐标原点． (1)若 A ，B ， M 三点共线，求 t 的值；→ →(2)当 t 取何值时， MA ·MB 取到最小值？并求出最小值．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数→ → →解(1)AB ＝ OB － OA ＝ (－ 1,1)，→ → →AM ＝OM － OA ＝( t － 1， t)．→ →∵ A ， B ， M 三点共线， ∴ AB 与 AM 共线，1∴ － t － (t － 1)＝ 0， ∴t ＝ .→→→ → 1 1 (2)∵ MA ＝ (1－t ，－ t)，MB ＝ (－ t,1－ t)，∴MA ·MB ＝ 2t 2－ 2t ＝ 2 t －22－ ，故当21 → →t ＝ 2时，MA ·MB1取得最小值－ 2.。
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题(附答案)平面向量练题一．填空题。
1.XXX等于0.2.若向量a=(3,2)，b=(-1,1)，则向量2b-a的坐标是(-7,-3)。
3.平面上有三个点A(1,3)，B(2,2)，C(7,x)，若∠ABC=90°，则x的值为-16.4.向量a、b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为90°。
5.已知向量a=(1,2)，b=(3,1)，那么向量2a-1b的坐标是(1,3)。
6.已知A(-1,2)，B(2,4)，C(4,-3)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|的值等于5.7.将点A(2,4)按向量a=(-5,-2)平移后，所得到的对应点A'的坐标是(-3,2)。
8.已知a=(1,-2),b=(1,x)，若a⊥b，则x等于-1.9.已知向量a,b的夹角为120°，且|a|=2,|b|=5，则(2a-b)·a=-6.10.设a=(2,-3),b=(x,2x)，且3a·b=4，则x等于-2/3.11.已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3)，且BC∥DA，则x+2y的值为-5.12.已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为60°。
13.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OAOB+OC的最小值是5.14.将圆x+y=2按向量v=(2,1)平移后，与直线x+y+λ相切，则λ的值为-1.二．解答题。
15.设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)。
1）向量2AB+AC=(3,4)，其模为5.2）向量AB=(1,-1)，向量AC=(1,5)，则它们的夹角为arccos[(1*(-1)+5*1)/(sqrt(2)*sqrt(26))]≈69.4°。
3）向量BC=(2,4)，与向量(-4,2)垂直，故与向量(1,-1)垂直的单位向量为(1/sqrt(2),1/sqrt(2))。
平面向量练习题大全及答案
平面向量练习题大全及答案平面向量练习题大全及答案平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。
通过练习平面向量的题目，可以帮助我们巩固和深化对平面向量的理解。
本文将为大家提供一些平面向量的练习题，并给出详细的答案解析。
一、基础练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的和。
解析：向量的和等于对应分量相加，所以a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。
2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的差。
解析：向量的差等于对应分量相减，所以a - b = (3 - 5, -2 - 1) = (-2, -3)。
3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的模长。
解析：向量的模长等于各分量平方和的平方根，所以|a| = √(4^2 + 5^2) =√(16 + 25) = √41。
4. 已知向量a = (3, -2)，求向量a的单位向量。
解析：向量的单位向量等于将向量除以其模长，所以a的单位向量为a/|a| = (3/√41, -2/√41)。
二、综合练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量的数量积等于对应分量相乘再相加，所以a·b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10。
2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的向量积。
解析：向量的向量积等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦值，所以a×b =|a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b的夹角。
首先计算|a|和|b|：|a| = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13，|b| = √(5^2 +1^2) = √(25 + 1) = √26。
然后计算夹角θ的正弦值：sinθ = |a×b|/(|a|*|b|)，其中|a×b|为向量a×b的模长。
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平面向量综合练习
1．化简AC -BD +CD -AB 得（ ） A ．AB B ．DA C ． D ．0
2．下列命题中正确的是（ ）
A ．OA O
B AB -= B ．0AB BA +=
C ．00AB ⋅=
D ．AB BC CD AD ++=
3．设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（ ）
A ．(3,1)
B ．(1,1)-
C ．(3,1)或(1,1)-
D ．无数多个
4．已知下列命题中：其中真命题的个数是（ ）
（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =， （2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =
（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a
（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5、已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
6．若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=b ( )
A ．)6,3(-
B ．)6,3(-
C ．)3,6(-
D ．)3,6(-
7．向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于( ) A ．2- B ．2 C ．2
1 D ．12- 8．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．
6π B ．3π C ．32π D ．65π 9．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（ ） A ．030 B ．060 C ．075 D ．045
10．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ．
11．已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =____。
12． 1a =,2b =，与的夹角为060，若(35)a b +⊥()ma b -，则m 的值为 ． 13．若菱形A B C D 的边长为2，则A
B C B C D -+=__________。
14．若→a =)3,2(，→b =)7,4(-，则→a 在→b 上的投影为________________。
15．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________
16．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅=，则向量=____。
17．若3a =,2b =，且a 与b 的夹角为060，则a b -= 。
18..已知(cos ,sin ),(3,1)a b θθ==-，则|2|a b -的最大值是__________。
19.设向量,a b 的夹角为θ，且(3,3),2(1,1)a b a =-=-，则cos θ＝________。
20.、已知(0,1)A B ，坐标原点O 在直线AB 上的射影为点C ，则O AO C ⋅＝________。
21.、已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在线段AB 上，且30AOC ∠=，设
(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m n
＝____________。
22.、ABC ∆中，15,,0,,||3,||54ABC AB a AC b a b S a b ∆==⋅<===，则,a b 夹角为_______. 23、已知非零向量,AB AC 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12
||||A B A C A B A C ⋅=，则ABC ∆ 的形状为_____________。
24．已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时，
（1）ka b +与3a b -垂直？ （2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？
25、已知(3,0),(0,3)(cos ,sin )A B C αα。
（1）若1AC BC ⋅=-，求sin()4πα+
的值；
（2）若||13,(0,)OA OC απ+=∈，求,OB OC 的夹角的大小。
26、已知锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为,,a b c ，向量(sin )m B =， 222(,cos )n b a c B =--，且m n ⊥。
（1）求角B 的大小；（2）若3b =，求AC 边上的高的最大值。
27、已知向量3311(cos ,sin ),(cos ,sin ),[0,]22222
a x x
b x x x π==-∈ （1）求a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值是32
-
，求实数λ的值。
28.．已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模。
29.．已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<．
(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；
(2)若ka →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．。