高一数学平面向量单元测试
高一数学平面向量单元测试
必修4第二章《平面向量》单元测试 姓名 班级一、选择题(每小题5分,共50分)1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e -（ ）2．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||+=-④||4||||22=+ 2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+5．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 6．与向量)5,12(=平行的单位向量为 （ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或 )135,1312(-- D ．)135,1312(±± 7．若32041||-=-b a ，5||,4||==，则与的数量积为 （ ）A ．103B ．－103C ．102D ．108．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量,则的坐标为 ( ）A ． )223,22(-- B ．)223,22( C ．)22,223(-D ．)22,223(-9．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=一定不平行的向量是 （ ）A ．),(k k b =B ．),(k k c --=C ．)1,1(22++=k kD ．)1,1(22--=k k10．已知12||,10||==，且36)51)(3(-=b a ，则与的夹角为 （ ） A ．60° B ．120° C ．135°D ．150°二、填空题(每小题4分,共16分)11．非零向量||||||,+==满足，则,的夹角为 .12．在四边形ABCD 中，若||||,,-=+==且,则四边形ABCD 的形状是 13．已知)2,3(=a ，)1,2(-=，若b a b a λλ++与平行，则λ= .14．已知为单位向量，||=4，与的夹角为π32，则在方向上的投影为 . 三、解答题(每题14分,共84分)15．已知非零向量,满足||||-=+,求证: ⊥16．已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.17、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.18．已知2||= 3||=,与的夹角为60o,35+=,k +=3,当当实数k 为何值时，⑴∥ ⑵⊥19．如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形， 求证：①PA=EF ；②PA ⊥EF.20．如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
重点中学平面向量单元测试题(含答案)
平面向量单元测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．向量a =（1，－2），向量a 与b 共线，且|b |=4|a |．则b =（ ）A ．（－4，8）B ．（－4，8）或（4，－8）C ．（4，－8）D ．（8，4）或（4，8）2．已知a=（2，1），b =（x ，1），且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于（ ）A ．10B ．－10C ．2D ．－23．已知向量a 和b 满足|a |=1，|b |=2，a ⊥（a －b ）．则a 与b 的夹角为（ ） A ．30º B ．45º C ．75º D ．135º4．设e 1、e 2是两个不共线向量，若向量 a =3e 1＋5e 2与向量b =m e 1－3e 2共线，则m 的值等于（ ）A ．－ 53B ．－ 95C ．－ 35D ．－ 595．设□ABCD 的对角线交于点O ，AD → =（3，7），AB → =（－2，1），OB → =（ ）A ．（ －52 ，－3）B ．（52 ，3）C ．（1，8）D ．（12 ，4） 6．设a 、b 为两个非零向量，且a ·b =0，那么下列四个等式①|a |=|b |；②|a ＋b |=|a －b |； ③a ·（b ＋a ）=0；④（a ＋b ）2=a 2＋b 2．其中正确等式个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．下列命题正确的是（ ）A ．若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等D ．若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线8．a =），（21-，b =），（1-1，c =），（2-3用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为（ ）A ．p =4 q =1B ． p =1 q =4C ． p =0 q =4D ． p =1 q =09．设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB→ －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．设()()2211,,,y x b y x a ==定义一种向量积()()().,,,21212211y y x x y x y x b a =⊗=⊗已知,0,3,21,2⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πn m 点()y x P ,在x y sin =的图象上运动，点Q 在()x f y =的图象上运动，且满足()，为坐标原点其中O n OP m OQ +⊗=则()x f y =的最大值A 及最小正周期T 分别为（ ） A ．π，2 B ．，2π4 C ．,21π4 D ．π，21二、填空题：每小题5分，共25分．11．已知()2,1,10==b a ，且b a //，则a 的坐标为_______ 12．已知向量a 、b 满足a=b =1，b a 23-=3，则 b a +3 =13．已知向量a =（ 2 ，－ 2 ），b =（ 3 ，1）那么（a ＋b ）·（a －b ）的值是 ． 14．若a =（2，3），b =（－4，7），a ＋c =0，则c 在b 方向上的投影为 ．15．若对n 个向量 a 1，a 2，a 3，…，a n ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1 a 1＋k 2a 2＋…＋k n a n =0成立，则称a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”．依此规定，能使a 1=（1，0），a 2=（1，－1），a 3=（2，2）“线性相关”的实数k 1，k 2，k 3 依次可以取 ． 三、解答题16．（本题满分13分）已知向量a =(sin 2x ，cos 2x)，b =(sin 2x ，1), )(x f )=8a ·b ．（1）求)(x f 的最小正周期、最大值和最小值．（2）函数y=)(x f 的图象能否经过平移后，得到函数y=sin4x 的图象，若能，求出平移向量m ；若不能，则说明理由．17．（本题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知222a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，求b .18．（本题满分13分）如图，在矩形ABCD 中，，，22==BC AB 点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若，2=⋅AF AB 求BF AE ⋅的值.19． （本题满分12分）已知向量OA→ =3i －4j ，OB → =6i －3j ，OC → =（5－m ）i －（4＋m ）j ，其中i 、j 分别是直角坐标系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量．（1）若A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ΔABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．20．（本题满分12分）已知向量.1,43),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π（1）求向量n ； （2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈，若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.21． （本题满分13分）已知向量a 、b 、c 、d ，及实数x 、y ，且|a |=1，|b |=1，c =a ＋（x 2－3）b ，d =－y a ＋x b ，如果a ⊥b ，c ⊥d ，且|c |≤10 ．（1）求x 、y 的函数关系式y =f （x ）及定义域；（2）判断f （x ）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值．ECA BDF答案一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.C8.B9. B 10. D 二、填空题11．），），（（22-2-22,2 12．23 13．0 14.－ 65515．－4，2，1 . 16.解：（1）f(x)=8a ·b =8(sin 2x ，cos 2x)·(sin 2x ，1) = 8(sin 4x ＋cos 2x)= 2(1－cos2x)2＋4(1＋cos2x) =2(1－2cos2x ＋cos 22x)＋4＋4cos2x =6＋2cos 22x=7＋cos4x ．∴f(x)的最小正周期为最大值为8，最小值为6．（2）假设它的图象可以按向量m =(h,k)平移后得到y=sin4x 的图象．故按向量平移后便得到y=sin4x 的图象．17．3818．略19. （1）AB → =（3，1） ，AC → =（2－m ，－m ），AB → 与AC →不平行则m ≠1 .（2）AB → · AC → =0 m =2320．解：（1）令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21),(22y x y x y x y x y x n 或则π )1,0()0,1(-=-=∴n n 或 3分（2）)1,0(0),0,1(-=∴=⋅=n a n a 4分)1sin ,,(cos -=+x x b n 6分b n +=222)1(sin cos -+x x =x sin 22-=)sin 1(2x -； 8分∵ ―1≤sinx ≤1, ∴ 0≤b n +≤2, 10分21. 提示：（1） 由 |c |≤10 ，及a ·b = 0得 －6≤ x ≤6 又由c ⊥d 得 y =x 3－3x（2）单调增区间为[－6，－1]、[1，6]，单调减区间为[－1，1] 最大值为f （6）=36,最小值为f （－6）=－36 .。
高一数学单元测试题平面向量
高一数学单元测试题平面向量一、选择题1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。
A、-9B、-6C、9D、62．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。
A、B、C、D、3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。
A、（2，3）B、（1，2）C、（3，4）D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。
A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．已知||=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则|+b|等于（）。
A、B、C、D、6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。
A、B、C、D、7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。
A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)(·b)2=2·b2;(2)|+b|≥|-b|;(3)|+b|2=(+b)2;(4)(b)-(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是（）。
A、1B、2C、3D、49．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则等于（）。
A、B、C、D、10．向量和b的夹角平分线上的单位向量是（）。
A、+bB、C、D、11．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）。
A、0.5小时B、1小时C、1.5小时D、2小时12．设、b不共线，则关于x的方程x2+b x+=0的解的情况是（）。
A、至少有一个实数解B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解二、填空题13．把函数y=4x的图象按平移到F′, F′的函数解析式为y=4x-2-2, 则等于_____。
高一数学《平面向量》单元测试题(一)AqAlMU
高一数学《平面向量》单元测试题(一)姓名: 班级: 学号一、选择题:1．下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）①共线向量是在同一条直线上的向量 ②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 ③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 ④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是CD AB 与、AD BC 与分别共线 A.1 B.2 C.3 D.42．平面上有A 、B 、C 三点，设m =+，n =-，若m 与n 的长度恰好相等，则有（ ）A.A 、B 、C 三点必在一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形，且∠B =90°D.△ABC 必为等腰直角三角形3．若1a b ==，a ⊥b ，且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为（ ） A.－6B.6C.3D.－34．已知1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，则a =21e ＋2e 与b =－31e ＋22e 的夹角是（ ）A.30°B.60°C.120°D.150°5．设两个非零向量,不共线，且k k ++与共线，则k 的值为( ) A ．1B ．1-C ．1±D ．06．已知(2,1),(,1)a b λ=--=．若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2(2,21+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ．),2(+∞C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,7．设命题p ：向量b 与a 共线；命题q ：有且只有一个实数λ，使得b =λa .则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =则点P 的坐标是（ ） A 、)15,8(- B 、 (0,3) C 、)415,21(- D 、)23,1(9．将函数y =log 2（2x ）的图象F ，按a =（2，－1）平移到F ′，则F ′的解析式为（ ）A.y =log 2［2（x －2）］－1B.y =log 2［2（x ＋2）］－1C.y =log 2［2（x ＋2）］＋1D.y =log 2［2（x －2）］＋110．已知向量(cos ,sin ),(3,4)a b θθ==，其中(0,)2πθ∈，则a b ⋅的最大值为( )A 3B 4C 5D 不确定11．在边长为1的正三角形ABC 中，设,,BC a AB c AC b ===，则abbc ca ⋅+⋅+⋅的值是( )A 1.5B －1.5C 0.5D －0.512．已知,,OA a OB b ==C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，则用,a b 表示OD 的表达式为( )A 1(45)a b +B 1(97)a b +C 1(2)a b +D 1(3)a b +13．已知113a (,2sin ),b (cos ,),a 322=α=α且∥b ，则锐角α的值为 ；14．m,n a 2m a n,|a |=⊥=设是两个单位向量，向量-n ， 则 ； 15．若对n 个向量12,,,n a a a ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得1122n n k a k a k a +++=0成立，则称向量12,,,n a a a 为“线性相关”.依次规定，请你求出一组实数k 1，k 2，k 3的值，它能说明1a =(1,0), 2a =(1,－1), 3a =(2,2) “线性相关”： k 1，k 2，k 3的值分别是 ， ， .16．已知P 为△ABC 内一点，且3＋4＋5＝．延长AP 交BC 于点D ， 若＝，＝，用、表示向量=______________、=________________． 17．若把函数5422+-=x x y 的图象按a 平移，得到22x y =的图象，且a ⊥b ，c =（1，－1），b ·c =4，则b 的坐标为______________. 三．解答题18．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值.19、设平面内两向量b a,互相垂直，且1,2==b a ，又t k 与是两个不同时为零的实数。
完整版)平面向量单元测试卷及答案
完整版)平面向量单元测试卷及答案平面向量单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列命题中的假命题是（）A、AB与BA的长度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。
2.若a是任一非零向量，b是单位向量；①|a|。
|b|；②a∥b；③|a|。
|b|；④|b|= ±1；⑤a=|a|b，其中正确的有（）A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤3.设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a+b+c=0；命题乙：把a，b，c首尾相接能围成一个三角形。
则命题甲是命题乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件4.下列四式中不能化简为AD的是（A、(AB+CD)+BCB、(AM+MB)+(BC+CD)C、(AC+AB)+(AD-CB)D、OC-OA+CD5.设a=(-2,4)，b=(1,-2)，则（A、a与b共线且方向相反B、a与b共线且方向相同C、a与b不平行D、a与b是相反向量6.如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB 的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A、BG=2BE/3B、DG=AG/2C、CG=-2FGD、DA+FC=BC7.设a=(-2,1-cosθ)，b=(1+cosθ,-4)，且a∥b，则锐角θ=( )A、π/4B、π/6C、π/3D、5π/6 或7π/68.若C分AB所成比为-3，则A分CB所成的比是（A、-3/2B、3/2C、-2/3D、-29.XXX<0，则a与b的夹角θ的范围是（）A、[π/2，π)B、[0，π/2)C、(π/2，π)D、(0，π/2]10.设a与b都是非零向量，若a在b方向的投影为3，b 在a方向的投影为4，则a的模与b的模之比值为（）A、3/4B、4/3C、3/7D、4/7cos(－)a·b=cos(－)=1/2sin(－)=±√3/2又∵∈（,），=，且sin(－)＞0sin(－)=√3/2π/3sin cos－cos sin=1/2sin(＋)=√3/22π/3sin=√3/217．（1）|a+b|=|e1+e2|=√2a+b|2=2a|2+|b|2+2a·b=2a·b=-1/2又kab·(a－3b)=0ka·a－3kb·b=0k=9/52）ka·b+3kb·b=0k=-3/5四、19．（1）设所求向量为c，则c·a=0，c·b=0 c·(a+b)=0又∵a+b=（1,1,1），∴c·（1,1,1）=0c与（1,1,1）垂直又∵c·(a－b)=0c·（1，－1，0）=0c与（1，－1，0）垂直c∥（0，0，1）c=k（0，0，1）又∵c·a=0k=－1/3所求向量为（0，0，1/3）2）设所求向量为c，则c∥a×b又∵a×b=（1，1，1）c∥（1，1，1）c=k（1，1，1）又∵c·a=0k=-1/3所求向量为（－1/3，－1/3，－1/3）165∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)∵α∈(-π/2,π/2)sin(α-β)=-sinα=-(-cos(α-β)sinβ/cosβ)=cos(α-β)sinβ/cosβ5/4*sinβ+3/5*cosβ17.解：1) |a+b|²=|-2e₁+4e₂|²=4e₁²+16e₂²-8e₁e₂又e₁⊥e₂，e₁·e₂=0，e₁²+e₂²=1a+b|²=20a+b|=√20=2√5又|e₁|=|e₂|=1a|=|b|=√22) (ka+b)·(a-3b)=k|a|²-2k(a·b)+b·a-3|b|²又|a|=|b|=√2ka+b)·(a-3b)=2k-6+2=2k-4又(a+b)·(a-3b)=-4k=1918.解：1)a·b=cosx·cosx-sinx·sinx=cos2xa+→b|=√(4cos²x+4)=2√(cos²x+1)2)f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx2cos²x-1-4λcosx2(cosx-λ)²-2λ²-1当λ<0时，f(x)无最小值当0≤λ≤1时，f(x)在cosx=λ时取得最小值-2λ²-1当λ>1时，f(x)在cosx=1时取得最小值1-4λ要使f(x)取得最小值-3，需解方程-2λ²-1=-3，解得λ=√2/2。
《平面向量》单元检测题-高中数学单元检测题附答案(最新整理)
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.整理得：2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te2<0.(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1 1
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7<t<－ . 2
当向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 夹角为 180°时，设 2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．
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3 由 5c＝－3a－4b 两边平方得 a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－ .故选 B.
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【第 12 题解析】若 a＝(m，n)与 b＝(p，q)共线，则 mq－np＝0，依运算“⊙”知 a⊙b＝0，故 A 正确．由
于 a⊙b＝mq－np，又 b⊙a＝np－mq，因此 a⊙b＝－b⊙a，故 B 不正确．对于 C，由于 λa＝(λm，λn)，
k＋t2 y＝－ka＋tb，且 x⊥y，试求 的最小值．
t
→
→
→
20．(本小题满分 12 分)设OA＝(2,5)，OB＝(3,1)，OC＝(6,3)．在线段 OC 上是否存在点 M，使 MA⊥MB？
若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分 12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．
14．a，b 的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
1 15．已知向量 a＝(6,2)，b＝(－4， )，直线 l 过点 A(3，－1)，且与向量 a＋2b 垂直，则直线 l 的方程为
平面向量单元测试(含答案)
《平面向量》单元测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点， 则向量=CD （ ）A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是（ ）A ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与()2b a --r r共线，则λ=（ ）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量 的数量积中最大的是（ ）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=u u u r u u u r，则实数λ等 于 （ ）A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．设1(1,)2OM =u u u u r ，(0,1)ON =u u u r ，则满足条件01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r 的动点P 的 变化范围（图中阴影部分含边界）是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a =（ ）A ．（,16π-）B ．（,16π-）C ．（,112π）D ．（,112π--）9．已知向量a r 、b r 、c r 且0a b c ++=r r r r ，||3a =r ，||4b =r ，||5c =r .设a r 与b r 的夹角为1θ，b r与c r 的夹角为2θ，a r 与c r的夹角为3θ，则它们的大小关系是（ ）A ．123θθθ<<B ．132θθθ<<C ．231θθθ<<D ．321θθθ<<10．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是（ ）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ11．已知1OA =u u u r，OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AOB ∠内，且30oAOC ∠=，设OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，则mn等于（ ）A ．13B ．3 C．3D12．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中，.AC CB AB +> 其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．在中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r _______.（用a b r r 、表示）14．已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r，其中,m n R ∈且2222m n -=，则M 的轨迹方程为 .15．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值为 .16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin 1,sin 1(x x -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数x f ⋅=)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .19．（本小题满分12分）（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（1）若a⊥b，求θ；（2）求｜a＋b｜的最大值．20.（本小题满分12分）在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r． （1）求22AB AC +u u u r u u u r 的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．21．（本小题满分12分）（2006陕西卷）如图，三定点A (2,1)，B (0,－1)，C (－2,1); 三动点D ，E ，M 满足]1,0[,,,∈===t t t t （1）求动直线DE 斜率的变化范围; （2）求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r .（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP uuu r 和OM u u u u r夹角的最大值，并求此时P 点的坐标参考答案1．21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e r=（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b r r 的夹角都相等,故e b e a e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+r r 与-2共线，设a b λ+r rk =（-2），则有)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨⎧=+=-0021λk k ，解得5.0=k ，选D ． 4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u rg 的几何意义:数量积121i PP PP u u u u r u u u rg 等于12P P u u u u r的长度12PP u u u u r 与1i PP u u u r 在12P P u u u u r 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>u u u r u u u u r u u u r的乘积.显然由图可知13P P u u u u r 在12P P u u u u r 方向上的投影最大.所以应选(A).6．B (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r Q 即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r又OD Q 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=u u u r u u u r即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r ，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ． 7．A 设P 点坐标为),(y x ，则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A ．8．A 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16π-），故选A ．9．B 由0a b c ++=r r r r得)(+-=，两边平方得1222cos ||||2||||||θ++=，将||3a =r ，||4b =r ，||5c =r 代入得0cos 1=θ，所以0190=θ；同理，由0a b c ++=r r r r得)(b c a +-=，可得54cos 2-=θ，53cos 3-=θ，所以132θθθ<<.10． B 由已知得1||=b ，所以4||22=+=n m a ，因此)sin(sin cos 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m b a 4)sin(4≤+=ϕθ，由于2λ<⋅恒成立，所以42>λ，解得2>λ或2-<λ.11．答案B ∵ 1OA =u u u r，OB =u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r∴△ABC 为直角三角形，其中1142AC AB ==∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴31,44m n == 即3m n= 故本题的答案为B ． 12．答案B 取特殊值、数形结合A BC在ABC ∆中， 90oC ∠=，不妨取A （0，1）， C （0，0），B （0，1），则 ∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠；AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+＝＝||||||||AB B C C C C C ''''''''+++ ＝||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B ．13．解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12AM a b =+u u u u r r r，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r .14．2222=-y x 设),(y x M ，则),(y x =，又)1,1(),1,2(-=-=，所以由OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r 得),(),2(),(n n m m y x -+-=，于是⎩⎨⎧+-=-=nm y n m x 2，由2222m n -=消去m, n 得M 的轨迹方程为：2222=-y x . 15．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以)(+⋅OM OA OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r取最小值-2.AC 'CBB 'C ''16．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以与不共线，而当AB 与BC 共线时，有m m -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17．解析：（1）若与平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行.（2）由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(sin ∈x ， 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+x x x x ，当xx sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22.18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ， 于是d ＝（832ππ-k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求. 19．解析：解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．20．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 因此，228AB AC +=u u u r u u u r ． （Ⅱ）2cos AB AC A AB AC AB AC⋅==⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur ， 1sin 2ABC S AB AC A =⋅u u ur u u u r △12AB =⋅u u ur u u=≤=．（当且仅当2AB AC ==u u u r u u u r 时，取等号），当ABC △1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，所以3π=∠A . 解：（I ）由条件知： 0a b =≠r r 且2222(2)444a b a b a b b +=++=r r r r r r r g42-=⋅， 设a b r r 和夹角为θ，则41||||cos -==b a θ， ∴1cos 4arc θπ=-，故a b r r 和的夹角为1cos 4arc π-，（Ⅱ）令)a a b -r r r和(的夹角为βQ a b a -===r r r， ∴41021cos 222=+===β∴ )a a b -r r r和(的夹角为21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x ,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →,知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2ty E =2t －1.∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2)= 1－2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].（Ⅱ） 如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB →= OA →+ t(OB →－OA →) = (1－t) OA →+tOB →,OE →=OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →－OB →) =(1－t) OB →+tOC →,OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →=(－2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]22．解析：（1）设(,)P x y o o ，(,)M x y ，则(,)OP x y =o o u u u r ，(,0)OQ x =o u u u r，(2,)OM OP OQ x y =+=o o u u u u r u u u r u u u r222212,1,124x x x x x x y y y y y y⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩o o o o o o Q .（2）设向量OP uuu r 与OM u u u u r的夹角为α，则22cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 令231t x =+o，则cos α==≥当且仅当2t =时，即P点坐标为(时，等号成立.第21题解法图OP u u u r 与OM u u u u r夹角的最大值是.。
平面向量 单元测试(含答案)
《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-5．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是 （ ）A ．),(k k b =B ．),(k k c --=C ．)1,1(22++=k k dD ．)1,1(22--=k k e12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时，⑴c ∥dc⑵d21．如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；②PA⊥EF.22．如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.参考答案一．选择题：二、填空题：13． 120°； 14． 矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22ba b a -=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a为非零向量又b a ,b a ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k BC AC BC AC RT C 为 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19．()212121432e e e e e e CB CD BD-=+--=-=若A ，B ，D 三点共线，则BD AB 与共线，BD AB λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点DC 为x 轴正方向建立直角坐标系 则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r PA --=∴)0,22(:),22,1(r F r E 点为 )22,122(r r EF --=∴ 22)221()22(||r r PA -+-=∴ 22)22()221(||r r EF -+-=∴故EF PA =EF PA EF PA ⊥⇒=⋅0而22.证:PA PC AC PB PD BD-=-=,22222222||2||)(||||2||)(||PA PA PC PC PA PC AC PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥PC PA PB PD PC PA PB PD AC BD 故为直径 222222||||||||||||PD PC PB PA AC BD +++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。
高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(答案)
高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【答案】 A2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【答案】 A3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【答案】 D4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】 C6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】 D7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b 【答案】 B9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】 B10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．33【答案】 B11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【答案】 B12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【答案】 －614．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【答案】 －315．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．【答案】 －516．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧ 2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关；(2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20，∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10，∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →)＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100，∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关．(2)由(1)得，AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100. ∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.。
高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析
第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式： ①|a ＋b |＝|a |＋|b |； ②|a －b |＝±(|a |－|b |)； ③a 2>|a |2； ④|a ·b |＝|a |·|b |.其中正确的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．42．下列命题中，正确的是( ) A ．a ＝(－2,5)与b ＝(4，－10)方向相同 B ．a ＝(4,10)与b ＝(－2，－5)方向相反 C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反 D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A.7B.10C.13D ．4 4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．05．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C ．－43D ．－496．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．37．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( )A.34B.537C.2537D.537379．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 12．在△ABC 所在平面内有一点P ，如果P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝2，那么c ＝__________.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b .(1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．21．(12分)如图，在平面斜坐标系xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程． 22．(12分)如图，在四边形ABCD 中，BC →＝λAD →(λ∈R )，|AB →|＝|AD →|＝2，|CB →－CD →|＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB →·BA →的值．1.解析 对于①仅当a 与b 同向时成立．对于②左边|a －b |≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a 2＝|a |2，∴a 2>|a |2不成立．对于④当a ⊥b 时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2.解析 在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反． 答案 B3.解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13.答案 C4.解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )×2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5.解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23. ∴AP →2＝|AP →|2＝49.答案 A6.解析8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )，∴(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )·c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7.解析 依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)， 则b ＝12(λ－1)a ，∴a ·b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)×2＝λ－1>－1. 答案 B8.解析 ∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e 22＋24e 1·e 2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537×1＝537.答案 D9.解析 如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ：BE ＝DF ：BA ＝1：3. ∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b . 答案 B10.解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∴a ·b ≤|a |24，∴cos θ＝a ·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B11.解析 设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－(－3)，32－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)．答案 C12.解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以2P A →＋PC →＝0，PC →＝－2P A →＝2AP →，所以点P 是线段AC 的三等分点(如图所示)．所以△P AB 与△ABC 的面积之比是13.答案 A13.解析 由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0， ∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6. 答案 π6或76π14.解析 设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.② 由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32， y ＝－2，∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2) 15.解析 由题知 AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案216.解析当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD ＝60°，AC →＝a ＋b ，由菱形的性质可知，a 与a ＋b 的夹角为∠BAC ＝30°.答案 ②17.解 (1)令c ·d ＝0，则(3a ＋5b )·(m a －3b )＝0， 即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ·b ＝0， 解得m ＝2914. 故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18.证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →·CE →＝(AC →＋CD →)·(CA →＋AE →)＝AC →·CA →＋CD →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·AE →＝－a 2＋0＋a ·223a ·22＋a 2·223a ·22 ＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0， ∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19.解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎨⎧ x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0.∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝ (1－2)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20.解 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )，∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →.∴x 4＝y －4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x (5－x )＋y (1－y )＝0，x 4＝y －4，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2. ∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21.解 (1)因为点P 的斜坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1·e 2＝8－8cos60°＝4，∴|OP →|＝2，即|OP |＝2.(2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )，则OM →＝x e 1＋y e 2， 又|OM →|＝1.故(x e 1＋y e 2)2＝1.∴x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝1.即x 2＋y 2＋xy ＝1. 故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.22.解 (1)因为BC →＝λAD →，所以BC ∥AD ，且|BC →|＝λ|AD →|.因为|AB →|＝|AD →|＝2，所以|BC →|＝2λ.又|CB →－CD →|＝23，所以|BD →|＝2 3.作AH ⊥BD 交BD 于H ，则H 为BD 的中点．在Rt △AHB 中，有cos ∠ABH ＝BH AB ＝32，于是∠ABH ＝30°，所以∠ADB ＝∠DBC ＝30°. 而∠BDC ＝90°，所以BD ＝BC ·cos30°，即23＝2λ·32，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC ＝60°，|CB →|＝4，所以CB →与BA →的夹角为120°， 故CB →·BA →＝|CB →|·|BA →|cos120°＝－4.。
高一数学必修平面向量测试题含答案
高一数学必修平面向量测试题含答案XXX高一数学必修四第二章单元测试卷班级：______ 姓名：______ 座号：______一、选择题1.以下说法错误的是（）A。
零向量与任一非零向量平行B。
零向量与单位向量的模不相等C。
平行向量方向相同D。
平行向量一定是共线向量2.下列四式不能化简为 AD 的是（）AB+CD）+BC；（AD+MB）+（BC+CM）；MB+AD−BM；OC−OA+CD；3.已知 a = (3,4)，b = (5,12)，a 与 b 夹角的余弦为（）A。
13/65B。
1363/565C。
65D。
134.已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么a+3b=（）A。
7B。
10C。
13D。
45.已知 ABCDEF 是正六边形，且 AB = a，AE = b，则 BC = （）A。
(a-b)/2B。
(a+b)/2C。
(a-b)/2aD。
1/2(a+b)6.设 a，b 为不共线向量，AB = a+2b，BC = -4a-b，CD = -5a-3b，则下列关系式中正确的是（）A。
AD = BCB。
AD = 2BCC。
AD = -BCD。
AD = -2BC7.设 e1 与 e2 是不共线的非零向量，且 ke1+e2 与 e1+ke2 共线，则 k 的值是（）A。
0B。
-1C。
±1D。
任意不为零的实数8.在四边形 ABCD 中，AB = DC，且 AC·BD = 0，则四边形 ABCD 是（）A。
矩形B。
菱形C。
直角梯形D。
等腰梯形9.已知 M(-2,7)，N(10,-2)，点 P 是线段 MN 上的点，且PN = -2PM，则 P 点的坐标为（）A。
(-14,16)B。
(22,-11)C。
(6,1)D。
(2,4)10.已知 a = (1,2)，b = (-2,3)，且 ka+b 与 a-kb 垂直，则 k =（）A。
-1/2B。
1/2C。
2D。
-211.若平面向量 a = (1,x) 和 b = (2x+3,-x) 互相平行，其中 x ∈ R，则 a-b =（）A。
高中数学必修《平面向量》单元测试卷
学习好资料欢迎下载平面向量单元测试卷（8）一、选择题1．向量与（≠0）共线的充要条件是（）A ．=B ．﹣ =0C．﹣=0D．+λ =0（λ∈R）2．如图，已知，，，用，表示，则=（）A．B．C．D．3．已知向量=（ 1， 2），=（x+1 ，﹣ x），且⊥，则 x=（）A ．1B ．2C．D．04．已知向量=（ 1， 0）与向量=（﹣ 1，），则向量与的夹角为（）A．B．C．D．5．设点 P 分有向线段的比为，则点P1分所成的比为（）A ．﹣B．﹣C．D．6．函数 f（ x）=2sin（ x+ θ）的图象按向量a=（，0）平移后，它的一条对称轴为x=，则θ的一个可能值是（）A．B．C．D．7．设平面上有四个互异的点 A 、B、C、D，已知（+﹣2）?（﹣）=0，则△ ABC 的形状是（）A ．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8．△ ABC 中，已知b=10， c=15， C=30°，则此三角形的解的情况是（）A ．一解B ．两解C．无解D．无法确定9．已知，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．10．平面向量与的夹角为 60°， =（2， 0）， | |=1，则 |+2 |=（）A ．B ．C．4D．1211．已知△ABC 的外接圆半径为 R，角 A 、B 、C 的对边分别为22 a、b、c，且 2R（sin A﹣ sin C）=（a﹣ b） sinB ，那么角 C 的大小为（）A ．B ．C．D．12．若，且，则向量与的夹角为（）A ．30°B ．60°C．120°D．150°二、填空题13．点 M （ 4，﹣ 3）关于点N（ 5，﹣ 6）的对称点是．14．若平面向量，满足，平行于x轴，，则=．15．在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a、b、 c．若∠ B=45 °， b= ，a=1，则∠C 等于度．16．已知△ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a、 b、 c．若 a=1，∠ B=45 °，△ ABC 的面积 S=2，那么△ ABC 的外接圆的直径等于．三、解答题17．已知 | |=1， | |=，（1）若∥，求；（2）若，的夹角为135°，求 | +|．18．设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（ 2）求的最大值；（3）若 tanαtanβ=16，求证：∥ ．19．在△ ABC 中，A 、B 为锐角，角 A 、B、C 所对的边分别为a、b、c，且 cos2A=，sinB=．（1）求 A+B 的值；（ 2）若 a﹣b=﹣1，求a、b、c的值．20．已知△ABC 的角 A 、B 、 C 所对的边分别是a、 b、 c，设向量，，．（1）若∥，求证：△ ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．21．设函数（1）求函数f （x） =a?b，其中向量a=（ 2cosx，1）， b= （cosx，﹣f（ x）的单调减区间；（ 2）若 x∈[ ﹣， 0]，求函数sin2x）， x∈R．f （x）的值域；（3）若函数y=f （ x）的图象按向量c=（ m， n）（ |m|＜）平移后得到函数y=2sin2x的图象，求实数m、 n 的值．22．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为a、 b、 c，且 a=22．， b +c ﹣ bc=3（1）求角 A ；（ 2）设 cosB=，求边c的大小．《第 2 章平面向量》单元测试卷（ 8）参考答案一、选择题（共12 小题，每小题 5 分，满分60 分）1．D2． B3．A4．C5． A6． B7． B8．A9．C10． B 11． B 12． C二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（ 6， -9） 14．（ -1，1）或（ -3，1） 15． 105 16． 5三、解答题（共 6 小题，满分70 分）17．18．19．20．21．22．。
(完整版)平面向量单元测试题及答案
平面向量单元测试题2一，选择题：1，以下说法中错误的选项是（）A ．零向量没有方向B．零向量与任何向量平行C．零向量的长度为零D．零向量的方向是随意的2 ，以下命题正确的选项是（）A. 若a、b都是单位向量，则 a ＝ bB.若 AB = DC ,则A、B、C、D四点组成平行四边形C.若两向量 a 、b相等，则它们是始点、终点都同样的向量D.AB 与 BA 是两平行向量3，以下命题正确的选项是（）A 、若a∥b，且b∥c，则a∥c。
B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不一样。
C、向量AB的长度与向量BA 的长度相等,D 、若非零向量AB 与 CD 是共线向量，则 A 、 B、 C、 D 四点共线。
4，已知向量a m,1，若， a =2，则m（）A ．1 B.3 C. 1 D.35，若a =（x1，y1）， b=（ x2， y2）， a ∥ b，则有（），且A ，x1y2+x2y1=0，B ，x1y2― x2 y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2―y1y2=0，6，若a =（x1，y1），b =（x2，y2），，且 a ⊥ b ，则有（）A ，x1y2+x2y1=0，B ，x1y2― x2 y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2―y1y2=0，7，在ABC 中，若BA BC AC ，则ABC 必定是（）1A ．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形 D ．不可以确立r r r uur r r r r r r r r8，已知向量a, b, c知足| a |1,| b |2, c a b, c a ，则 a与b 的夹角等于（）A ．1200B600C300D90o二，填空题：（ 5 分× 4=20 分）r rb =1， 3a2b =3，则3a b9。
已知向量a、b知足a ==r r r r10，已知向量a＝（ 4， 2），向量b＝（ x ，3），且a//b ,则x＝11， . 已知三点 A(1,0),B(0,1),C(2,5),求 cos ∠ BAC =12， .把函数y x24x7 的图像按向量 a 经过一次平移此后获得y x2的图像，则平移向量 a 是（用坐标表示）三，解答题：（ 10 分×6 = 60分）13，设P1(4,3), P2 (2,6), 且P在 P1 P2的延伸线上，使P1P 2 PP 2 ,，则求点P 的坐标14，已知两向量a (1r3,,1 3), ,b ( 1, 1), 求a与 b 所成角的大小，15，已知向量 a =（6，2），b=（－3，k），当k为什么值时，有1），a ∥b?2），a ⊥b?3a与 b 所成角θ是钝角？（（（），216，设点 A （ 2， 2）， B（ 5， 4），O 为原点，点P知足OP = OA + t AB，（ t 为实数）；（ 1），当点 P 在 x 轴上时，务实数t 的值；（ 2），四边形 OABP 可否是平行四边形？假如，务实数t 的值；若否，说明原因，17，已知向量OA =（3,－4）, OB =（6,－3）, OC =（5－m,－3－m）,（ 1）若点 A 、 B 、C 能组成三角形，务实数 m 应知足的条件；（ 2）若△ ABC 为直角三角形，且∠ A 为直角，务实数 m 的值．318，已知向量m(1,1), 向量 n 与向量m 的夹角为3, 且 m n1 . 4（ 1）求向量n；（2）设向量a(1,0),向量 b(cos x,, sin x) ，此中x R ，若 n a0 ，试求| n b |的取值范围.平面向量单元测试题2答案：一，选择题：ADCD BCCA二，填空题：9 ， 23；10，6；11，21312 ，(2, 3) 13三，解答题：13，解法一：设分点P（x,y），∵P1P =―2 PP2，=―2∴(x ―4,y+3)= ―2( ―2― x,6 ― y),x― 4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P(―8,15 )4解法二：设分点 P （x,y ）， ∵ P 1P =―2 PP 2 ， =―2∴ x=4 2( 2)=―8, 1 2y=3 2 6 =15,∴ P(―8,15 )1 2解法三：设分点 P （x,y ）， ∵ P 1 P2 PP 2 ,∴ ―2=4x , x= ― 8,26= 3y , y=15,∴ P(―8,15 )214，解：a=2 2 ,b= 2＜a ,b ＞=― 1, ∴＜ a , b ＞ = 1200，, cos215 ，解：（ 1）， k= － 1;(2), k=9;(3),k ＜ 9, k ≠ －116 ，解：（ 1），设点 P （ x ， 0），AB =(3,2),∵ OP = OA + t AB ， ∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),则由 , x 2 3t∴ 即x10 2 2t, t1,(2),设点 P （ x,y ），假定四边形 OABP 是平行四边形，则有 OA ∥BP ,OP ∥ABy=x2y=3x―1,∴ 即x2 ①,y3又由 OP =OA + t AB ，(x,y)=(2,2)+ t(3,2),得 ∴ 即x3 2t ②,y2 2tt 43， 矛盾，∴假定是错误的，由①代入②得：t52∴四边形 OABP 不是平行四边形。
平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习(含答案)
平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习（含答案）《平面向量》单元测试考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(),3a k =，()1,4b =，()2,1c =，且()23a b c -⊥，则实数k 的值为（ ）A ．32-B ．152C ．32D ．32．在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b =，则AF =（ ）A ．1344a b +B ．2133ab C ．3144a b +D ．1233a b +3．如图，ABC 中，3BD DC =，AE mAB =，AF nAC =，0m >，0n >，则13m n+=（ ）A ．3B ．4C ．43D ．344．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在线段BD 上，且EB mDE =（m R ∈），若AC AE AD λμ=+（λ，μ∈R ）且20λμ+=，则m =（ ）A ．13B ．3C ．14D ．45．已知平面向量,,a b c 满足1a =，2b =，a 与b 的夹角为45，当1c b -=时，a c ⋅的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若AF x AE yDC =+，且0x m >>，0y >，则()my x m -的最大值为（ ）A ．8243B ．4243C ．381D ．4817．已知ABC 中，()min 2,||3R AB AC BQ QA AB BC λλ===+=∈，()1221,33AP AB AC μμμ=+-≤≤，则PQ 的最小值为（ ）A ．3B ．5CD 8．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=，24b a +=，32CA CD CB =-，则线段CD 长度的最小值为（ ）A ．2B C ．3 D 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（ ） A ．4a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30︒D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a10．已知向量()3,1a =，()2,3b =，()1,2c =-，若()()ma c a nb ++∥（m ，n ∈R ），则(),m n 可能是（ ） A ．()2,1B ．()0,1-C ．()3,2D ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．已知向量()()2,1,cos ,sin (0π)a b θθθ==<<，则下列命题正确的是（ ） A ．·a bB ．存在θ，使得=+a b a b +C ．若a b ⊥，则tan θ=D ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为2π3 12．下列说法正确的是（ ）A ．已知向量()2,3a =-，(),21b x x =-，若a ∥b ，则2x =B ．若向量a ，b 共线，则a b a b +=+C ．已知正方形ABCD 的边长为1，若点M 满足12DM MC =，则43AM AC ⋅= D ．若O 是ABC 的外心，3AB =，5AC =，则OA BC ⋅的值为8-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，()5a a b ⋅+=，则cos ,a b =____________. 14．设向量,a b 的夹角的余弦值为13-，且|2||3|6a b ==，则|2|a b +=___________． 15．在ABC 中，点D 在边BC 上，且2BD DC =，若AD AC AB λμ=+，则λμ=____16．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且2||2AC AB AC S -⋅=，则C =______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量,a b 满足||2,||1a b ==，且()(2)9a b a b -⋅-=. (1)求|3|a b +；(2)记向量b 与向量3a b +的夹角为θ，求cos θ.18．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =，M 是线段CE 上一动点．(1)若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值； (2)若9AB =，43CA CE ⋅=，求解AD .19．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB ，CD 分别交于点M ，N ．(1)若Q 是BC 的中点，求QM QN ⋅的取值范围；(2)若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC λλ=+-，求PM PN ⋅的最小值．20．已知向量()cos ,sin OA a αα==，()2cos ,2sin OB b ββ==，()0,OC c d ==（0d >），其中O 为坐标原点，且π0π2βα<<<<． (1)若()a b a ⊥-，求βα-的值；(2)若向量a 在向量c b c d ⋅=，求AOB 的面积，21．已知函数()f x a b =⋅，其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈. (1)求函数()y f x =的单调递减区间；(2)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,a b c f A a =且3sin 2sin B C =，求ABC 的面积.22．已知向量(1,3=-m ，()sin ,cos n x x =，函数()()f x m n n =+⋅，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()1f C =． (1)求C 的大小；(2)若ABC D 在边AC 上，且12CD DA =，求BD 的最小值．《平面向量》课时作业参考解析1．D【解析】由已知得，()()()232,331,423,6a b k k -=-=--. 又()23a b c -⊥，所以()230a b c -⋅=，即()()()23,62,12236k k --⋅=--4120k =-=.解得，3k =.故选：D. 2．D【解析】12AE AD DE AD AB =+=+.设AF AE λ=()01λ<<，则1122BF AF AB AD AB AB AD AB λλλ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又BD AD AB =-，且,,B F D 三点共线，则,BF BD 共线，即R μ∃∈，使得BF BD μ=，即12AD AB AD AB λλμμ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，又,AB AD 不共线，则有12λμλμ=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，22112123323333AF AE AD AB AB AD a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.3．B【解析】由题意得：()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， AE mAB =，AF nAC =，1344AD AE AF m n∴=+， ,,E D F 三点共线，13144m n ∴+=，即134m n+=.故选：B. 4．B【解析】方法1：在平行四边形ABCD 中，因为EB =mDE ，所以()AB AE m AE AD -=-，所以11AE AB m =++1m AD m+，又∵AB DC AC AD ==-， ∴()111mAE AC AD AD m m=-+++，∴()()11AC m AE m AD =++-， 又∵AC AE AD λμ=+，∴1m λ=+，1m μ=-，（平面向量基本定理的应用） 又∵20λμ+=，∴()1210m m ++-=，解得3m =，故选：B.方法2：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，设(),0B a ，(),D b c ，∵AB DC = 则 (),C a b c +，又∵EB mDE =，设(),E x y ，则()()11mb a x a x m x b m y m y c mc y m ⎧+⎧=⎪⎪-=-⎪⎪+⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩即：,11mb a mc E m m +⎛⎫⎪++⎝⎭，∴,11mb a mc AE m m +⎛⎫= ⎪++⎝⎭，(),AC a b c =+，(),AD b c =， 又∵AC AE AD λμ=+，20λμ+=，∴2AC AE AD μμ=-+ ∴()(),=2,,11mb a mc a b c b c m m μμ+⎛⎫+-+⎪++⎝⎭∴2()121a bm a b b m mc c c m μμμμ-+⎧+=+⎪⎪+⎨-⎪=+⎪+⎩①②由②得1=1m mμ+-，将其代入①得3m =，故选：B. 5．B【解析】1a =，2b =，a 与b 的夹角为45，∴可设()1,0a =，()1,1b =，设(),c x y =，由1c b -=得：()()22111x y -+-=，则点C 轨迹是以()1,1为圆心，1为半径的圆，a c x ⋅=，∴当2x =时，a c ⋅取得最大值2.故选：B.6．B【解析】由题意可得12AE AD DE AB AD =+=+，所以，1122x AB AD y AB A x A F xAE x yDC y B AD ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭+，因为F 为线段BD 上的点，所以，存在()0,1λ∈，使得DF DB λ=， 所以，()AF AD AB AD λ-=-，则()1AF AB AD λλ=+-，所以，121x y x λλ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，则312x y +=，因为03102x y x >⎧⎪⎨=->⎪⎩，则203x <<， 所以，()()()3321223my x m m x x m m x m x ⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223232323448383839m x m x m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅-+-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()32344839f m m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中203m <<， 则()238432233839833f m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当209m <<时，()0f m '>，此时函数()f m 单调递增， 当2293m <<时，()0f m '<，此时函数()f m 单调递减，所以，()max 249243f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当且仅当29m =，49x =时，()my x m -取最大值4243.故选：B. 7．C【解析】如图，设点O 为BC 上的一点，令BO BC λ=，即AB BC AB BO AO λ==++，当AO BC ⊥时AO 取最小值3，此时根据勾股定理可得BO OC ==ABC 为等边三角形，当点O 为BC 的中点时建立如图直角坐标系：()0,3A ，3,0B，)C，()3AB =--，()3,3AC =-()226AB μμ=--，())()()131,31AC μμμ-=---()()213,33AP AB AC μμμ=+-=---，故),3Pμ-因为2BQ QA =，所以2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则32PQ μ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭3PQ ⎛== 因为1233μ≤≤，所以当13μ=时PQ 取最小值，min 23PQ =:C 8．D【解析】由()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=及正弦定理， 得2()()a c a c b ab +-+=，即222a b c ab +-=，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,C π∈，∴3C π=． 由32CA CD CB =-，1233CD CA CB =+，两边平方，得22144999CD CA CA CB CB =+⋅+，即222144cos 999CD b a ab C =++22142999b a ab =++()212299b a ab -=+()221122992b a b a +⎛+-⎫≥ ⎪⎝⎭()21212b a =+， 当且仅当224b a b a =⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩时取等号，即2214(2)123CD b a ≥+=，∴线段CD D ． 9．ABD【解析】由题意得((11,0a b +=++=， 所以(224a b +=+，故A 正确；()21202a b a +⋅=⨯+=，故B 正确；()21cos ,142a ab a a b a a b⋅++===⨯+， 0,πa a b ≤+≤，∴π,3a ab +=，故C 错误；向量a b +在a 上的投影向量为()2a a baa aa⋅+⋅=，故D 正确，故选：ABD . 10．ABD【解析】由题意得()32,13a nb n n +=++，()31,2ma c m m +=-+， 由()()ma c a nb ++∥可得()()()()3221331n m n m ++=+-，整理得1mn n =+. 对于选项A ，2111⨯=+，故选项A 正确； 对于选项B ，()0111⨯-=-+，故选项B 正确； 对于选项C ，3221⨯≠+，故选项C 错误； 对于选项D ，()111122⎛⎫-⨯-=-+ ⎪⎝⎭，故选项D 正确，故选：ABD . 11．ABD【解析】对于A ，()2cos sin a b θθθϕ⋅=++，其中tan 0,2πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以当=2πθϕ+，a b ⋅A 正确.对于B ，因为0πθ<<，所以当a b λ=，且0λ>时，a b a b +=+，即θ使得cos θ=，sin θ=时，符合题意，所以B 正确. 对于C ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅=+=，此时tan θ=C 错误. 对于D ，b 在a 上的投影向量为cos ,3cos ,63a ba b a b a a a⋅==-， 所以1cos ,2a b =-，所以a 和b 的夹角为2π3，D 正确. 故选：ABD. 12．CD【解析】对于A ，因为()2,3a =-，(),21b x x =-，a ∥b ， 所以2(21)3x x --=，解得27x =，故错误；对于B ，因为向量a ，b 共线，当向量a ，b 同向时，则有a b a b +=+；当向量a ，b 反向时，则有||a b a b +=-，故错误；对于C ，因为12DM MC =，所以M 为CD 的三等分点中靠近D 的点， 所以13AM AD DM AD DC =+=+,AC AD DC =+,所以2211414()()||||1033333AM AC AD DC AD DC AD DC DC AD ⋅=+⋅+=++⋅=++=,故正确；对于D ，因为O 是ABC 的外心，所以||||||OA OB OC R ===(R 为ABC 的外接圆半径),又因为OB OA AB -=,所以22()||OB OA AB -=,即2229R OA OB -⋅=,① 同理可得22225R OA OC -⋅=,②由①-②可得：8OA OC OA OB ⋅-⋅=-，即有()8OA OC OB OA BC ⋅-=⋅=-，故正确. 故选：CD.13．【解析】∵()242cos ,5a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+=，∴1cos ,2a b =14．【解析】由题意|2||3|6a b ==，所以||3,||2,a b ==所以1cos 232,3a b a b θ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以2|2|(2)a b ab +=+2244a a b b =+⋅+==15．【解析】由2BD DC =，得23BD BC =， 则在ABC 中，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 因AD λAC μAB =+，故2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此2λμ=. 16．【解析】22||cos sin 222AC AB AC b bc A bc AS -⋅-===，则()cos sin b c A A =+，由正弦定理得()()()sin cos sin sin sin πsin sin cos cos sin C A A B A C A C A C A C ⎡⎤+==-+=+=+⎣⎦，故 ()sin cos sin 0C C A -=，∵sin 0A ≠，∴πsin cos sin 04C C C ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∵()0,πC ∈，∴π4C =.17．【解析】（1）因为()(2)9a b a b -⋅-=，所以22329a a b b -⋅+=. 因为向量,a b 满足||2,||1a b ==，所以2223219a b -⋅+⨯=，所以1a b ⋅=-.所以()2222|3|3692a b a ba ab b +=+=+⋅+=+（2）因为()231323a b b b a b ⋅+=-+⋅==+，所以()32cos 173b a bb a bθ⋅+==⨯⨯+ 18．【解析】（1）因为点E 在边AB 上，且2AE EB =，所以23AE AB =， 因为M 是线段CE 的中点，所以1()2AM AC AE =+112()223AB AD AB =++⨯5162AB AD =+， 因为AM mAB nAD =+，,AB AD 不共线，所以51,62m n ==， 所以514623m n +=+=；（2）由题意可得CA CD CB AB AD =+=--，13CE CB BE AD AB =+=--， 因为43CA CE ⋅=，所以1()()433AB AD AD AB --⋅--=，所以1()()433AB AD AD AB +⋅+=，所以22144333AD AB AB AD ++⋅=，因为9AB =，0AB AD ⋅=，所以2219433AD +⨯=，得216AD =，所以4AD =. 19．【解析】（1）因为直线l 过中心O 且与两边AB 、CD 分别交于点M 、N ． 所以O 为MN 的中点，所以OM ON =-， 所以()()QM QN QO OM QO ON ⋅=+⋅+22QO OM =-．因为Q 是BC 的中点，所以||1QO =，1||2OM ≤≤2210QO OM -≤-≤， 即的QM QN ⋅取值范围为[1,0]-；（2）令2OT OP =，则 2(1)OT OP OB OC λλ==+-，∴OT OB OC OC λλ=+-，即：OT OC OB OC λλ-=-，∴CT CB λ= ∴点T 在BC 上，又因为O 为MN 的中点，所以||1OT ≥，从而1||2OP ≥，()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+22PO OM =-，因为1||2OM ≤≤，所以2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=-， 即PM PN ⋅的最小值为74-．20．【解析】（1）由题知(2cos cos ,2sin sin )b a βαβα-=--，因为()a b a ⊥-， 所以()cos (2cos cos )sin (2sin sin )2cos()10a b a αβααβααβ⋅-=-+-=--= 即1cos()2αβ-=，因为π0π2βα<<<<，所以0αβπ<-<，所以3παβ-=，所以3πβα-=-（2）由题知sin a c d d c α⋅==sin α=， 因为2απ<<π，所以23πα=，又2sin b c d d β⋅==，即1sin 2β=，因为02βπ<<，所以6πβ=，易知，2AOB π∠=，1,2OA OB ==，所以112AOBSOA OB =⨯=21．【解析】（1）因为函数()f x a b =⋅，其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈，所以，()22cos cos212sin 216f x a b x x x x x π⎛⎫=⋅==+=++ ⎪⎝⎭，由题意有()3222Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈，解得()2Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； （2）结合（1）得()12sin 212,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0A π<<，所以132666A πππ<+<，所以，5266A ππ+=，解得3A π=，因为3sin 2sin B C =，所以332,2b c c b ==，又在ABC 中，a =所以，由余弦定理得2222772cos34a b c bc b π==+-=，解得3,2c b ==，所以1232ABC S =⨯⨯=△.22【解析】（1）()1sin ,cos m n x x +=+，()()()22sin 1sin cos cos sin sin cos f x x x x x x x x x∴=++=++πsin 12sin 13x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，()π2sin 113f C C ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，πsin 03C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，()0,πC ∈，ππ2π,333C ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，π03C ∴-=，解得：π3C =.（2）1sin 2ABCSab C ===2ab ∴=；12CD DA =，13CD b ∴=， 在BCD △中，由余弦定理得：2222211112cos 3393BD a b a b C a b ab ⎛⎫=+-⋅=+- ⎪⎝⎭，2111223333BD a b ab ab ∴≥⋅-==（当且仅当13a b =，即a =，b 时取等号），BD ∴≥BD .。
高一数学平面向量单元检测题及答案
<平面向量>试题一、选择题1．在矩形ABCD 中；O 是对角线的交点；若125,3BC e DC e OC ==则=（ ）A ．121(53)2e e + B ．121(53)2e e - C ．211(35)2e e - D ．211(53)2e e - 2．对于菱形ABCD ；给出下列各式： ①AB BC =②||||AB BC =③||||AB CD AD BC -=+ ④22||||4||AC BD AB +=2其中正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．在 中；设,,,AB a AD b AC c BD d ====；则下列等式中不正确的是（ ） A ．a b c +=B ．a b d -=C ．b a d -=D ．c a b -=4．已知向量a b 与反向；下列等式中成立的是（ ）A ．||||||a b a b -=-B ．||||a b a b +=-C ．||||||a b a b +=-D ．||||||a b a b +=+ 5．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1；0）；（3；0）；（1；－5）；则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1；5）或（5；－5） B ．（1；5）或（－3；－5） C ．（5；－5）或（－3；－5） D ．（1；5）或（－3；－5）或（5；－5） 6．与向量(12,5)d = 平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或 )135,1312(-- D ．)135,1312(±± 7．若||41a b -=-；||4,||5a b ==；则a b 与的数量积为 （ ）A ．103B ．－103C ．102D ．108．若将向量(2,1)a =围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ；则b 的坐标为 ( ）A ． )223,22(-- B ．)223,22( C ．)22,223(-D ．)22,223(-9．设k ∈R ；下列向量中；可与向量(1,1)q =-组成基底的向量是 （ ）A ．(,)b k k =B ．(,)c k k =--C ．22(1,1)d k k =++D ．22(1,1)e k k =--10．已知||10,||12a b ==；且1(3)()365a b ⋅=-；则a b 与的夹角为 （ ） A ．60° B ．120° C ．135° D ．150°11．在△ABC 中；D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点；点M 是△ABC 的重心；则 MA MB MC +-等于（ ） A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 412．已知,1a e e ≠=；满足：对任意t R ∈；恒有a te a e -≥-；则（ ） A ．a e ⊥ B ．()a a e ⊥-C ．()e a e ⊥-D ．()()a e a e +⊥-二、填空题13．非零向量,a b 满足||||||a b a b ==+；则,a b 的夹角为 .14．在四边形ABCD 中；若,,||||AB a AD b a b a b ==+=-且；则四边形ABCD 的形状是15．已知(3,2)a =；(2,1)b =-；若a b a b λλ++与平行；则λ= .16．已知e 为单位向量；||a =4；a e 与的夹角为π32；则a e 在方向上的投影为 . 17．两个粒子a ；b 从同一粒子源发射出来；在某一时刻；以粒子源为原点；它们的位移分别为S a =（3；-4）；S b =（4；3）；（1）此时粒子b 相对于粒子a 的位移 ； （2）求S 在S a 方向上的投影 。
高一数学平面向量单元测试题
高一数学平面向量单元测试题高一数学平面向量单元测试题一、选择题: 本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知,3,2,==⊥b a b a 且b a 23+与b a-λ垂直，则实数λ的值为---------（）A . ;23-B . ;23C . ;23± D . ;12．已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外一点，设,=,=,=且存在实数m ，使30ma b c -+=成立，则点A 分的比为 ------（）A . 31-B . 21- C . 31 D . 213．已知向量(2,2),(4,1)OA OB ==，在x 轴上有一点P ，使AP BP 有最小值，则点P 的坐标为（） (3,0)A - B .(2,0) C . (3,0) D .(4,0) 4．已知向量(6,4),(0,2),,a b OC a b λ===+若点C 在函数sin 12 y x π=的图象上，则实数λ的值为（） A52 B 32 C 52- D 32- 5．在△ABC 中，若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos 2B ＋cosB ＋cos (A －C )＝1，则 ( )A 、a 、b 、c 等比B 、a 、b 、c 等差C 、a 、c 、b 等比D 、a 、c 、b 等差6．已知函数y ＝－3cos (2x ＋π3)＋4按向量a →平移后所得图象表示的函数y ＝f (x )是奇函数，则向量a →可以是( ) A 、(－π6，－4) B 、(－π12，－4) C 、(π6，4) D 、(－π12，4) 7．在?ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ccb A 22cos 2+=,则?ABC 的形状为（） A ．正三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，则cot A 2·cot C2＝( )A 、－2B 、－3C 、2D 、39．O 是ABC ?所在平面内一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC ?的形状是( ) A 正三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 斜三角形10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( ) (A ) a ⊥e (B ) a ⊥(a －e ) (C ) e ⊥(a －e ) (D ) (a ＋e )⊥(a －e ) 11.在OAB ?中，a OA =，b OB =，M 为OB 的中点，N 为AB 交点，则=AP （）A ．3132-B ．3132+-C ．3231-D ．3231+-12．在同一个平面上有ABC ?及一点Ｏ满足关系式：222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则Ｏ为ABC ?的（） A ．外心B ．垂心C ．重心D ．内心二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.把答案填在题中横线上.A13、已知),3(λ=a，)3,4(-=b ，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围为________ 14．在ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的得边长,若B aC B A c b a sin 3)sin sin )(sin (=-+++,则=C ．15．在△ABC 中，tanB=1，tanC=2，b=100，则a =______.16．在△ABC 中，BC 边上的中线长为m a ，用三边a 、b 、c 表示m a ，其公式是__________. 17．若 a 、b 、c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC =123，bc =48，b －c =2，则a=_________. 三．解答题（共32分）18．（10分）已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且BC AB BC AB 与,6=?的夹角为θ．(Ⅰ)求θ的取值范围；(Ⅱ)求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最值及相应的θ的值．19．(10分) 某市现有自市中心O 通往正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路上选取A 、B 两点，使环城公路在A 、B 间为直线段，要求AB 路段与市中心O 的距离为10km ，且使A 、B 间距离|AB |最小，请你确定A 、B 两点的最佳位置.20．(12分)已知向量a →＝(cos 32x ，sin 32x )，b →＝(cos x 2，－sin x 2)，其中x ∈[0，π2](1)求a →·b →及|a →＋b →|；(2)若f (x )＝a →·b →－2λ|a →＋b →|的最小值为－32，求λ的值A O B30°[参考答案]13、4λ<且94λ≠-14．60ο15．605 16．222)(221a c b -+17．a =213或237.18．解：（Ⅰ）,6cos ||||=?=?θBC AB BC AB ① ,sin ||||21θS ?=② ②÷①得：,tan 3,tan 216θθ==S S 由3≤S ≤3，得,3tan 33≤≤θ-----2分 ,1tan 33≤≤θ ∴ ]4,6[ππθ∈．--------------------------------------5分（Ⅱ）θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f ＝２θθ2cos 2sin ++＝)42sin(22πθ++．]43,127[42πππθ∈+．--------------------------------8分当6,12742πθππθ==+时，2325)(max +=θf ；当4,4342πθππθ==+时，3)(min =θf ．------------------------------------------10分19．作OC ⊥AB 于C ，并设∠AOC ＝α，于是|AB |＝|AC |＋|BC |＝10tan α＋10tan (120°－α)＝10[sin αcos α＋sin (120°－α)cos (120°－α)]＝10sin 120°cos αcos (120°－α)＝5312[cos 120°＋cos (2α－120°)] ＝103cos (2α－120°)－12当cos (2α－120°)＝1，即2α－120°＝0°，也即α＝60°时，|AB |最小，可求得，此时|OA |＝|OB |＝20(km )满足条件.20、(1)a →·b →＝cos 32xcos x 2－sin 32xsin x2＝cos 2x ，|a →＋b →|＝2＋2cos 2x ＝2cosx(2)f (x )＝a →·b →－2λ|a →＋b →|＝cos 2x －4λcosx ＝2cos 2x －1－4λcosx ＝2(cosx －λ)2－2λ2－1注意到x ∈[0，π2]，故cosx ∈[0，1]，若λ＜0，当cosx ＝0时f (x )取最小值－1。
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高一数学平面向量单元测试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．a =(0,0) , b =(1,2) B. a =(1,-2), b =(-5,7)C. a =(2,-3), b =(2,-3)D. a =(2,5), b =(21,45) 2、在四边形ABCD 中，，，b a CD b a BC b a AB 3542--=--=+=且b a 、不共线，则ABCD 为（ ） （A ）梯形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形3、设向量()2,1-=a ，)1,2(-=b ，则()()b a b a +⋅等于（ ）A 、()1,1B 、()4,4--C 、4-D 、()2,2-- 4、设c b a 、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①0)()( =⋅⋅-⋅⋅b a c c b a ；②b a b a -<-；③b a c a c b )()(⋅-⋅不与c 垂直；④)23()23(b a b a -⋅+=2249b a - 中真命题有（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④ （ ）5、),4,3(),1,2(==b a 则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）（A ）52 （B ）2 （C ）5 （D ）106、已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m ＝a -4b 的模为（ ） A 2 B 23 C 6 D 127、若θ的夹角与，则，，b a b a b a 721=+==的余弦值为（ ）（A ）21- （B ）21 （C ）31 （D ）以上都不对 8、ABCD 的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ）A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)9、△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则⋅的值为（ ）（A ）19 （B ）－19 （C ）－18 （D ）－1410、已知向量、，且2+=，65+-=，27-=，则一定三点共线的三点是（ ）A 、A 、C 、DB 、A 、B 、C C 、B 、C 、D D 、A 、B 、D11、若b a b a 与，，12==的夹角为060，且，，b m a d b a m c -=+=23d c ⊥，则m 的值是（ ） （A ）0 （B ）1或-6 （C ）-1或6 （D ）6或-612. 若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 则与一定满足（ ）（A ）与的夹角等于βα- （B ）)(+⊥)(- （C ）∥ （D ）⊥二、填空题：(本大题共3小题，每小题5分，共15分)．13、在菱形ABCD 中，（+）·（-）= 。
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必修4第二章《平面向量》单元测试 姓名 班级
一、选择题(每小题5分,共50分)
1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===
A ．
)35(2
1
21e e + B ．
)35(2121e e - C ．)53(2
1
12e e - D ．)35(2
1
12e e -（ ）
2．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①=
②||||BC AB =
③||||+=-
④||4||||22=+ 2
其中正确的个数为 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）
A ．c b a =+
B ．d b a =-
C ．d a b =-
D ．b a c =-
4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）
A ．||||||b a b a -=-
B ．||||b a b a -=+
C ．||||||-=+
D ．||||||+=+
5．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 6．与向量)5,12(=平行的单位向量为 （ ）
A ．)5,13
12
(
B ．)135,1312(--
C ．)135,1312(
或 )135,1312(-- D ．)13
5,1312(±± 7．若32041||-=-，5||,4||==，则b a 与的数量积为 （ ）
A ．103
B ．－103
C ．102
D ．10
8．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转
4
π
得到向量,则的坐标为 ( ）
A ． )2
23,22(-- B ．)22
3,22( C ．)22,223(-
D ．)2
2,2
23(-
9．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=一定不平行的向量是 （ ）
A ．),(k k b =
B ．),(k k c --=
C ．)1,1(22++=k k
D ．)1,1(22--=k k
10．已知12||,10||==，且36)5
1)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为 （ ） A ．60° B ．120° C ．135°
D ．150°
二、填空题(每小题4分,共16分)
11．非零向量||||||,+==满足，则,的夹角为 .
12．在四边形ABCD 中，若||||,,-=+==且,则四边形ABCD 的形状是 13．已知)2,3(=a ，)1,2(-=，若λλ++与平行，则λ= .
14．已知e 为单位向量，||=4，e a 与的夹角为π3
2，则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题(每题14分,共84分)
15．已知非零向量,满足||||-=+,求证: b a ⊥
16．已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.
17、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.
18．已知2||=a 3||=b ,b a
与的夹角为60o
,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何
值时，⑴c ∥d ⑵d c ⊥
19．如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形， 求证：①PA=EF ；
②PA ⊥EF.
20．如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，
求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2
.。