广东省潮州市饶平县凤洲中学2014-2015学年高一下学期知识竞赛数学试题

饶平县凤洲中学 2014级高一数学知识竞赛试题卷（满分120分 考试时间：120分钟）一、选择题：(本大题共12小题每小题3分；共36分)1．若{1,2,3,4},{1,2},{2,3}U M N ===，则()N M C U ⋃是 ( )A ．{1,2,3}B ．{2}C ．{1,3,4}D ．{4}2．如图2，已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，设α为二面角D AE D --1的平面角，则αsin ＝（ ）(A)32 （B ）35(C)32 (D)322 3．点(,)P x y 是直线l ：30x y ++=上的动点，点(2,1)A ，则AP 的长的最小值是( )（B ）(C)(D)4．有下列命题：①a a n n =(1,)n n N +>∈；②=；③623)5(5-=-；④33log 15log 62-=，其中正确命题的个数是 ( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知α角与120°角的终边相同，那么3α的终边不可能落在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．若幂函数1)(-=m xx f 在(0，+∞)上是增函数，则 ( )A ．m >1 B.m <1 C. m =1 D.不能确定7．已知f (x )=ax 2＋bx ＋c （a ＞0），分析该函数图象的特征，若方程f (x )=0一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定．．．成立的是 ( ) A ．2＜－2ba＜3 B ．4a c －b 2≤0 C ．f (2)＜0 D ．f (3)＜0 8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点)2,0(A 与点B(4,0)重合．若此时点)3,7(C 与点),(n m D 重合，则n m +的值为（ ）图２(A)531(B)532 (C) 533 (D) 534 9．函数1)12(cos )12(sin 22--++=ππx x y 是( )A ．周期为π2的偶函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π的奇函数10．ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量),(b c a p +=,),(a c a b q --=, 若p ∥q ,则角C 的大小为 ( ) A .6π B .3π C.2π D.23π 11．已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若)1()(lg f x f >，则x 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛1,101 B ．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,1101,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛10,101 D ．()()+∞⋃,101,0 12．设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,λ= ,若PB PA AB OP ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是 ( )A112λ≤≤ B.11λ≤≤ C.112λ≤≤ D.1122λ-≤≤+二、填空题：（本大题共6小题；每小题4分，共24分．）133=4=，与的夹角为60=14．在ABC ∆中，O B 45=，OC 60=，1=c ，则最短边的边长＝15．已知tan （π－α）=2，则222sin sin cos cos αααα--的值是 16．某同学在借助计算器求“方程lg x =2－x 的近似解（精确到0.1）”时，设f (x )=lg x ＋x －2，算得f (1)＜0，f (2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x ≈1.8 ．那么他又取的x 的4个值分别依次是 ． 17．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则公共弦AB 所在直线的直线方程是 ．18．正六棱锥ABCDEF P -中，G 为侧棱PB 的中点，则三棱锥D -GAC 与三棱锥P -GAC 的体积之比GAC P GAC D V V --:＝ ．三、解答题：（本大题共5小题；共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．(本题10分)如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1CC BC =，M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点.（Ⅰ）求证：11ABC CB 平面⊥； （Ⅱ）求证：1//ABC MN 平面.20．(本题12分)已知圆04222=+--+m y x y x .(1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线042=-+y x 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．21.（本小题满分10分）已知函数()f x =()1求函数()f x 的定义域并判断函数的奇偶性；()2设()()F x f x =，若记()f x t =，求函数()F x 的最大值的表达式()g m ．22（本小题满分14分） 已知向量()()()c o s s i n c o s s i n s i n 2s i nc o sx x x x αααα===++，，，，，a b c ，其中0πxα<<<．（1）若π4α=，求函数()f x =⋅b c 的最小值及相应x 的值； （2）若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．23（本小题满分14分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足802g t t =-（）（件），价格近似满足()120 10 2f t t =--（元）。

(1) 试写出该种商品的日销售额y 与时间t （020t ≤≤）的函数关系表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值饶平县凤洲中学 2014级高一数学基础知识竞赛试题参考答案（满分120分 考试时间：120分钟）一、选择题（每题3分，共36分）二、填空题：（每题4分，共16分）13．37 14．3615． 2 16．1.5, 1.75, 1.875, 1.8125 17． 30x y +=； 18． 2：1． 三、解答题： 19．(本题10分)解析：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11⊥底面ABC ，且侧面C C BB 11∩底面ABC =BC ，∵∠ABC =90°，即BC AB ⊥，∴⊥AB 平面C C BB 11 ∵⊂1CB 平面C C BB 11，∴AB CB ⊥1. ∵1BC CC =，1CC BC ⊥，∴11BCC B 是正方形， ∴11CB BC ⊥，∴11ABC CB 平面⊥. （Ⅱ）取1AC 的中点F ，连BF 、NF 在△11C AA 中，N 、F 是中点，∴1//AA NF ,121AA NF =，又∵1//AA BM ,121AA BM =，∴BM NF //,BM NF =，分 故四边形BMNF 是平行四边形，∴BF MN //，而BF ⊂面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，∴//MN 面1ABC20．(本题12分)解析：(1)方程04222=+--+m y x y x ，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆， ∴5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0， 消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0， 化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0， 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， ∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85.(3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125. ∴M ⎝⎛⎭⎫－45，125，N ⎝⎛⎭⎫125，45， ∴MN 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，85.又|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫125＋452＋⎝⎛⎭⎫45－1252＝855， ∴所求圆的半径为455.∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165. 21（本小题满分10分）解：（１）函数()f x 有意义，须满足1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，得11x -≤≤，故函数定义域是{x|-1≤x ≤1}---2分因为)(11)(x f x x x f =++-=-，所以函数()f x 是偶函数。

……………………4分（２）设()f x t =2112t =-， ∵2[()]2f x =+，01≤≤∴22[()]4f x ≤≤，∵()0f x ≥()2f x ≤≤，即函数()f x 的值域为[]2,2，即2]t ∈∴2211()(1)22F x m t t mt t m =-+=+-，2]t ∈ ………………………………6分 令21()2h t mt t m =+- ∵抛物线()y h t =的对称轴为1t m=-①当0m >时，10m-<，函数()y h t =在2]上单调递增，∴()(2)2g m h m ==+； ②当0m =时，()h t t =，()2g m = ……………………8分 ③当0m <时，10m ->，若10m<-≤即m ≤时，函数()y h t =在2]上单调递减，∴()g m h ==12,m <-≤即12m <≤-时，11()()2g m h m m m=-=--； 若12,m ->即102m -<<时，函数()y h t =在2]上单调递增， ∴()(2)2g m h m ==+； ……………………9分综上得12,()211(),()22m m g m m m m m ⎧+>-⎪⎪⎪=--<≤-⎨⎪≤……………………10分22（本小题满分14分）解：（1）∵()()cos , sin , sin 2sin , cos 2cos x x x x αα==++b c ，π4α=， ∴()f x =⋅b c cos sin 2cos sin sin cos 2sin cos x x x x x x αα=+++2sin cos cos )x x x x =+．令sin cos (0π)t x x x =+<<，则22sin cos 1x x t =-，且1t -<则223()1(2y f x t t ==+-=+-，1t -<∴t =时，min 32y =-，此时sin cos x x +=． 由于0πx <<，故11π12x =．所以函数()f x 的最小值为32-，相应x 的值为11π12．（2） ∵a 与b 的夹角为π3， ∴πcos cos cos sin sin cos()3||||sx x x ααα⋅==+=-⋅a b a b ．∵0πx α<<<，∴0πx α<-<，∴π3x α-=． ∵a ⊥c ，∴cos (sin 2sin )sin (cos 2cos )0x x αααα+++=． ∴sin()2sin 20x αα++=，πsin(2)2sin 203αα++=．∴5sin 2202αα+=，∴tan 2α=．23、（本小题满分14分） 解：（1）依题意，可得：1()()=(80-2t)(20-10)2=(40-t)(40-10)(30)(40),(010) =(40)(50),(1020)y g t f t t t t t t t t t =⋅⋅--+-≤≤⎧⎨--≤≤⎩（2）当010t ≤<时，y 的取值范围是[]1200,1225，在t =5时，y 取得最大值为1225； 当1020t ≤≤时，y 的取值范围是[]600,1200，在t =20时，y 取得最小值为600； 综上所述，第五天日销售额y 最大，最大为1225元；第20天日销售额y 最小，最小为600元。