学案1：1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词

1.4.1全称量词1.4.2存在量词
【课时目标】
1.了解全称量词、全称命题及存在量词、特称命题的含义.
2.会判定含有一个量词的命题的真假.
1.短语“所有的”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.
2.一般的，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么命题就是全称命题.用符号简记为∀x∈M，p(x) .
3.短语“有一个”“有些”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题.
4.一般的，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么命题存在性命题，用符号简记为∃x∈M，p(x) .
一、选择题
1．下列命题不是“∃x0∈R，x20>3”的表述方法的是()
A．有一个x0∈R，使x20>3
B．有些x0∈R，使x20>3
C．任选一个x∈R，使x2>3
D．至少有一个x0∈R，使x20>3
答案C
解析“任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，不能用符号“∃”表示，故选C.
2．下列命题是真命题的是()
A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0
B．∃x0∈R，－x0＋1≥0
C．∀x∈N*，log2x>0
D．∃x0∈R，cos x0<2x0－x20－3
答案B
解析当x0＝－1时，－x0＋1＝0，所以命题“∃x0∈R，－x0＋1≥0”正确，故选B.
3．下列命题是全称真命题的是()
A．∀x∈R，x2>0
B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q
C ．∃x 0∈Z ，x 20>1
D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0
答案 B
解析 A ，B ，D 是全称命题，当x ＝0时，x 2＝0；当x ＝0，y ＝0时，x 2＋y 2＝0，因此A ，D 为假命题．故选B.
4．下列语句不是全称命题的是( )
A ．任何一个实数乘以零都等于零
B ．自然数都是正整数
C ．高二(一)班绝大多数同学是团员
D ．每一个向量都有大小
答案 C
解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是特称命题．故选C.
5．给出下列命题：①存在实数x 0，使x 20>1；
②全等三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a ，使ax 2－ax ＋1＝0的根为负数．其中特称命题有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案 C
解析 ①③④是特称命题，②是全称命题．
6．下列命题正确的是( )
A ．对所有的正实数t, t 为正且t <t
B ．存在实数x 0，使x 20－3x 0
－4＝0 C ．不存在实数x ，使x <4且x 2＋5x －24＝0
D ．存在实数x 0，使得|x 0＋1|≤1且x 20>4
答案 B
解析 t ＝14时t ＝12，此时t >t ，所以A 错；由x 2－3x －4＝0，得x ＝－1或x ＝4，因此当x 0＝－1或x 0＝4时，x 20－3x 0－4＝0，故B 正确；由x 2＋5x －24＝0，得x ＝－8或x ＝3，所
以C 错；由|x ＋1|≤1，得－2≤x ≤0，由x 2>4，得x <－2或x >2，所以D 错．
二、填空题
7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题．
(1)________x ∈R ，使x 2＋2x ＋1≥0；
(2)________α，β∈R ，使cos(α－β)＝cos α－cos β；
(3)________a ，b ∈R ，使方程组⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋by ＝1a 2x ＝2，有唯一解． 答案 (1)∀ (2)∃ (3)∃
8．将下列命题用含有“∀”或“∃”的符号语言来表示．
(1)任意一个整数都是有理数，________.
(2)实数的绝对值不小于0，________.
(3)存在一实数x 0，使x 30＋1＝0，________.
答案 (1)∀x ∈Z ，x ∈Q (2)∀x ∈R ，|x |≥0 (3)∃x 0∈R ，x 30＋1＝0
三、解答题
9．判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，并判断其真假．
(1)∃x 0，x 0－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分；
(3)三角形两边之和大于第三边；
(4)有些素数是奇数．
解 (1)特称命题，真命题；
(2)全称命题，假命题；
(3)全称命题，真命题；
(4)特称命题，真命题．
10．试用不同的表述写出全称命题“矩形都是正方形”．
解 所有的矩形都是正方形．一切矩形都是正方形．每一个矩形都是正方形．任一个矩形都是正方形．凡是矩形都是正方形.。