014(学而思)因式分解

因式分解
一、因式分解的意义
二、提公因式法分解因式 三、公式法
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 实数范围内因式分解
4.
提公因式与完全平方公式结合
四、分组分解法 五、十字相乘法 六、换元法
七、其他高端方法 八、因式分解应用
一、 因式分解的意义
1. 【易】（2010年海淀初二上期末）下列各式中不能因式分解的是（ ）
A ．224x x −
B ．229x y +
C ．269x x −+
D ．21c −
【答案】B
2. 【易】（2012呼和浩特）下列各因式分解正确的是（ ）
A ．()()()2
2222x x x −+−=+− B ．()2
2212x x x +−=−
C ．()2
244121x x x −+=−
D ．()()2
4222x x x x −=+−
【答案】C
3. 【易】（2012·湖北省恩施市）43269a b a b a b −+分解因式的正确结果是（ ）
A ．()22
69a b a a −+
B ．()()2
33a b a a +−
C ．()2
23b a −
D ．()2
23a b a −
【答案】D
4. 【易】（2012安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A ．2m n +
B ．21m m −+
C ．2m n −
D ．221m m −+ 【答案】D
5. 【易】（北师大附属实验中学2009第一学期初二年级数学期中练习）
下列分解因式正确的是（ ）
A ．()2
221x xy x x x y −−=−−
B ．()2
2323xy xy y y xy x −+−=−−−
C ．()()()2
x x y y x y x y −−−=−
D ．()2
313x x x x −−=−−
【答案】C
6. 【易】（2011深圳外国语分校初二下期中）下列因式分解正确的是（ ）
A ．()()()2222
4444422a b a b a b a b −+=−−=−+− B ．()32
31234m m m m −=−
C ．()42222
4127437x y x y x y x y −+=−+
D ．()()2
492323m m m −=+−
【答案】D
7. 【易】（2011南山荔林中学初二下期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是
（ ）
A ．()()2
339a a a +−=−
B ．()2
515x x x x +−=+−
C ．2
11x x x x +=+
D ．()2
2442x x x ++=+
【答案】D
8. 【易】（2011南山外国语初二下期中）下列从左到右的变形中，是因式分解的是
（ ）
A ．()2
4444x x x x −+=−+
B ．()2
51052x x x x −=−
C ．()a x y ax ay +=+
D ．()()2
163443x x x x x −+=+−+
【答案】B
9. 【易】（深圳中学初二下期末）下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是（ ）
A ．()()2
4416x x x −+=−
B ．()()22
22x y x y x y −+=+−+
C ．()222ab ac a b c +=+
D ．()()()()1221x x x x −−=−−
【答案】C
10. 【易】（天津耀华中学2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学）下列等式的
变形是因式分解的是（ ）
A ．21234a b a ab =−
B ．()()2
224x x x +−=−
C ．()2
481421x x x x −−=−−
D ．()111
222
ax ay a x y −=−
【答案】D
11. 【易】（2012年安徽省初中毕业学业考试数学）下面的多项式中，能因式分解的是
（ ）
A ．2m n +
B ．21m m −+
C ．2m n −
D ．221m m −+ 【答案】D
12. 【易】（2010南京六中期中考试）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A ．296(3)(3)6x x x x x −+=+−+
B ．()()2
52310x x x x +−=+−
C ．()2
28164x x x −+=−
D ．()()2
32262x y x y x x +−=+−
【答案】C
13. 【易】（北京二中期中）下列多项式中，含有因式(1)y +的多项式是（ ）
A ．2223y xy x −−
B ．22(1)(1)y y +−−
C ．22(1)(1)y y +−−
D ．2(1)2(1)1y y ++++
【答案】C
14. 【易】（1）多项式3222236312x y x y x y −+的公因式是（ ）
（2）多项式3222236312x y x y x y −−+的公因式是（ ） 【答案】（1）223x y （2）223x y −
15. 【易】（2011福田外国语初二下）观察下列各式：①2a b +和a b +；②()5m a b −和
a b −+；③()3a b +和a b −−；④22x y −和22x y +，其中有公因式的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
【答案】B
二、 提公因式法分解因式
16. 【易】（2011年广东省湛江市中考数学真题试卷）
分解因式：23_______________x x +=． 【答案】()3x x +
17. 【易】（2011年松江区初中毕业生学业模拟考试）因式分解：24x xy += ．
【答案】()4x x y +
18. 【易】（北师大附属实验中学2009第一学期初二年级数学期中练习）
因式分解：224x x −=__________．
【答案】()212x x −
19. 【易】（2012湖南湘潭）因式分解：2m mn −= ．
【答案】()m m n −
20. 【易】（2011初二下期中联考）因式分解()()3a x y x y −−−
【答案】()()31x y a −−
21. 【易】（2010上海黄浦期中）分解因式：22226482x y x y xy xy −++
【答案】()23241xy xy x y −++
22. 【易】分解因式()()()222m x y n y x x y −−−=−（______）．
【答案】m n +
23. 【易】因式分解222(2)6(2)x x y x y x −−−
【答案】4(2)(2)x x y x y −−
24. 【易】（2010年北京师大附中期末）因式分解：()()()()a b x y b a x y −−−−+；
【答案】2()x a b −
25. 【易】分解因式：()()2
33x x +−+
【答案】()()23x x ++
26. 【易】因式分解3222462x x y x y −−+
【答案】()22
223x x y y −+−
27. 【易】（2012浙江省温州市）把24a a −多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A ．()4a a −
B ．()()22a a +−
C ．()()22a a a +−
D ．()2
24a −−
【答案】A
28. 【易】（天津耀华嘉诚2010年度第一学期形成性检测初二数学）
在分解因式()()2
2
353223x a b b a −−+−时，提出公因式()2
32a b −−后，另一个因式是（ ）
A ．35x
B ．351x +
C ．351x −
D ．35x − 【答案】C
29. 【易】因式分解
⑴232a b ab ab −+ ⑵()()22m a n a −+−
【答案】⑴()2322
1a b ab ab ab ab b −+=−+
⑵()()()()222m a n a a m n −+−=−−
30. 【易】分解因式（1）2211435xy xz x −+（2）()()22
222a x a a a x −−−
（3）()()2
3
152252b a b b a −+−
【答案】（1）()7325x y z x −+ （2）()()2
21a x a a −− （3）()()2
10245a b b a −−
31. 【中】⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b −−−+−
⑵346()12()m n n m −+−
【答案】⑴原式22323224()(652)x y z a b yz x x y z =−−+
⑵原式[]3433
6()12()6()12()6()(122)m n m n m n m n m n m n =−+−=−+−=−+−
32. 【中】分解因式：
⑴55()()m m n n n m −+−
⑵()()()2
a a
b a b a a b +−−+
【答案】⑴555556()()()()()()()m m n n n m m m n n m n m n m n m n −+−=−−−=−−=−
⑵()()()
2
a a
b a b a a b +−−+()()()()()()22a a b a b a b a a b b ab a b =+−−+=+−=−+
33. 【中】分解因式：
⑴2316()56()m m n n m −+− ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +−−+− 【答案】
⑴原式
[]232216()56()8()27()8()(75)m n m n m n m m n m n m n m =−+−=−+−=−−
⑵原式
(23)(2)(32)(2)(2)(55)5(2)()a b a b a b a b a b a b a b a b =+−++−=−+=−+
34. 【中】化简下列多项式：()()()()
2
3
2006
11111x x x x x x x x x ++++++++++⋯
【答案】()()()2005
1111x x x x x x =+++++++
⋯ ()()()()2004
11111x x x x x x x =++++++++
⋯
…()
()2005
111x x x x =++++ ()
2007
1x =+
35. 【中】分解因式：
⑴()
()21
21510n n
a a
b ab b a +−−−(n 为正整数)
⑵212146n m n m a b a b ++−−(m 、n 为大于1的自然数)
【答案】（1）原式=
()
()()()()
()
21
2221510532535n n n n
a a
b ab a b a a b a b b a a b a b +−−−=−−−=−− ⑵(21)(2)10n n n +−+=−>，(21)(2)n n +>+，
2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++−+−−−=−
36. 【中】分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−，n 为正整数.
【答案】n 是正整数时，2n 是偶数，22()()n n x y y x −=−；21n +是奇数，
2121()()n n x y y x ++−=−−.
2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +−−−−+−−
[]2()()()2()n x y x y x z y z =−−−−+−2()()n x y y z =−−.
三、 公式法
1. 平方差公式
37. 【易】（西城2012年初三一模)因式分解的结果是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
()2
19x −−()()24x x +−()()81x x ++()()24x x −+()()108x x −+
38. 【易】（2012年福建福州质量检查）（2012双柏县学业水平模拟考试）
分解因式：29x − = ．
【答案】()()33x x +−
39. 【易】（2012荆门东宝区模拟） 分解因式21a −＝_________．
【答案】()()11a a +−
40. 【易】(2012年福州模拟卷)分解因式：x 2
－9＝_____________．
【答案】(x ＋3)(x －3)
41. 【易】马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式：
()()()4242a a a a −++−■=▲中的两个数字盖住了，那么式子中的■、▲处对应的两个
数字分别是（ ） A ．64，8 B ．24，3 C ．16，2 D ．8，1 【答案】C
42. 【易】（北京二中期中）下列多项式, 在有理数范围内不能用平方差公式分解的是
（ ）
A ．22x y −+
B ．()2
24a a b −+
C ．228a b −
D ．221x y −
【答案】C
43. 【易】（2011长沙中考）分解因式：22a b −=____________
【答案】()()a b a b +−
44. 【易】（2011湖南怀化中考）因式分解：29a −=_________
【答案】(3)(3)a a +−
45. 【易】（2011湘潭市中考）因式分解：21x −＝_____________
【答案】()()11x x +−
46. 【易】（2012福州）分解因式：216x −=
【答案】()()44x x +−
47. 【易】（福州市中考）分解因式:225x −= ．
【答案】(5)(5)x x −+
48. 【易】（2011湖北咸宁市中考）分解因式：24m −= ．
【答案】(2)(2)m m +−
49. 【易】（2011年四川省广安市中考数学试卷）因式分解：281x −=___________
【答案】(9)(9)x x +−
50. 【易】（2012北海）因式分解：22m n −+=___________
【答案】()()m n n m +−
51. 【易】（2012湖北随州）分解因式：249x −=______________________。

【答案】()()2323x x +−
52. 【易】（2012江苏盐城）分解因式：224a b −=
【答案】()()22a b a b +−
53. 【易】（郑州市2009-2010学年第一学期期末考试）分解因式2294a b −=
【答案】()()3232a b a b +−
54. 【易】（郑州市2010年数学模拟一） 因式分解：229x y −=
【答案】()()33x y x y +−
55. 【易】（2011罗湖外国语初一下期中）已知()()2
9x a x a x −+=−，那么a =
【答案】3±
56. 【易】（2011年上海市初中毕业统一学业考试）分解因式：229x y −=___________
【答案】()()33x y x y +− 57. 【易】因式分解22916y x −
【答案】()()4334x y y x +−
58. 【易】(2011年广东茂名市初中毕业生学业水平考试与高中阶段学校招生考试)
化简：22()()x y x y +−− 【答案】4xy
59. 【易】（2011年七年级下半期测）计算：2
2
113322a b a b
−−+=
．
【答案】6ab −
60. 【易】（2012浙江丽水）已知2A x y =+，2B x y =−，计算22A B −．
【答案】()()()()()()22
22228A B A B A B x y x y x y x y xy −=+−=++−+−−=
61. 【中】（2010石厦中学初一下期末） 计算：22
2222a b c a b c −++− −
【答案】22ac ab −
62. 【中】（初一下期末模拟）计算：219991−=
【答案】()()2
1999119991199913996000−=+−=
63. 【中】（11-12北京十二中初一下期中）计算：22202198−=
【答案】()()22
2021982021982021981600−=+−=
64. 【中】（10年北京师大附中期末）因式分解：()2
22224x y x y +−．
【答案】()()()2
2
2
22224x y x y x y x y +−=+−
65. 【中】（2011南山荔林中学初二下期中）因式分解：()()22
416a b a b −−++
【答案】()()433a b a b ++ 66. 【中】因式分解()2
22416x x +−
【答案】()()2
2
22x x +−
67. 【中】（2011年广州中考）
分解因式：228(2)(7)x y x x y xy −−++ 【答案】228(2)(7)x y x x y xy −−++
=2228167x y x xy xy −−−+ =2216x y − =(4)(4)x y x y −+
68. 【中】（2011深圳外国语分校初二下期中）分解因式()2
222224c a b a b −−−
【答案】()()()()c a b c a b c a b c a b +−−+++−−
69. 【中】无论m 为何整数时，多项式()2
459m +−能被8整除
【答案】原式=()()8221m m ++
2. 完全平方公式
70. 【易】（2011南山荔林中学初二下期中）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因
式的是（ ）
A ．222x xy y −+−
B ．221x x −+
C ．2111934x x −+
D ．2
12x x −+
【答案】D
71. 【易】已知x 是有理数，则多项式2
114
x x −−
的值是（ ） A.一定为负数 B. 不可能为正数 C.一定为正数 D.可能是正数、负数、0 【答案】B
72. 【易】（2012江苏泰州市）分解因式：269a a −+= ．
【答案】()2
3a −
73. 【易】（2012江苏省淮安市）分解因式：221a a ++= ．
【答案】()
21a +
74. 【易】（11．福建三明市中考）分解因式：244a a −+=
【答案】()2
2a −
75. 【易】（2011年天津市南开区初中毕业生学业水平质量调查（二））分解因式
()44x x ++的结果是 ． 【答案】()2
2x +
76. 【中】因式分解42242a a b b −+
【答案】22()()a b a b +−
77. 【中】（天津市和平区2009-2010学年度第一学期八年级数学学科期末质量调查试卷）
分解因式：()2
22224a b a b −+ 【答案】22()()a b a b −+− 78. 【中】因式分解222(6)25x x +−
【答案】原式22(65)(65)x x x x =+++−
(2)(3)(2)(3)x x x x =++−−
79. 【中】（2011初二下期中联考）()2
22416x x +−
【答案】22(2)(2)x x +−
80. 【中】（2011江苏省无锡市）分解因式()()2
1211x x −−−+的结果是
【答案】()22x −
81. 【中】分解因式：2()6()9x y x y ++++=
【答案】2(3)x y ++
82. 【中】（朝外初二章测）分解因式()()2269x y z x y z +−++
【答案】2(3)x y z +−
83. 【中】（10年北京西城区期末）因式分解： ()()21449a b a b +−++
【答案】()2
7a b +−
84. 【中】（10年北京西城区期末）如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，
边长分别为a 、b 的长方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片4张．若用这9张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为__________．
【答案】2a b +
3. 在实数范围内因式分解
85. 【易】在实数范围内因式分解24x −=________
【答案】()(2242x x x x −=++
86. 【易】（1）253x − （2）49a −
【答案】（1）
+− （2）()(23a a a ++−
87. 【易】（1）2253x y − （2）23x −+ （3）221x ++
【答案】（1）
)+ （2）(2x （3）)2
1+
4. 提公因式完全平方公式结合 88. 【易】（1）316x x − （2）3244y y y −+
【答案】（1）()()3164141x x x x x −=+−
（2）()2
32442y y y y y −+=−
89. 【易】（11．哈尔滨中考）把2242a a −+分解因式的结果
【答案】()2
21a −
90. 【易】（11．黑河市中考）因式分解：22363x xy y −+−= ．
【答案】()2
3x y −−
91. 【易】（2011湖北鄂州）分解因式282a −=____________________________．
【答案】()()22121a a +−
92. 【易】(11．湖北黄石中考)分解因式：228x −= ．
【答案】2(2)(2)x x −+
93. 【易】（11．恩施自治州中考）分解因式：322x y x y xy −+−= ．
【答案】2(1)xy x −−
94. 【易】因式分解3221233
x x y xy −+− 【答案】21(3)3
x x y −−
95. 【易】分解因式：2mn m −= _____________．
【答案】()()11m n n +−
96. 【易】（11·南平中考）分解因式：22mx mx m ++=
97. 【易】（泸州市二O 一O 年初中毕业考试暨高中阶段学校招生统一考试）
分解因式：2363x x ++=_____________。

【答案】23(1)x +
98. 【易】（郑州市2009-2010学年第一学期期末考试）2232x y xy y ++=
【答案】2()y x y +
99. 【易】（郑州市2011年中考数学中招模拟考试）分解因式：244x y xy y −+=
【答案】()2
2y x −
100. 【易】（2012河南中招模拟试卷）分解因式22363x xy y ++=
【答案】()2
3x y +
101. 【易】（2012云南省）分解因式：2363x x −+= 【答案】()2
31x −
102. 【易】（2012四川宜宾）分解因式：22363m mn n −+= 【答案】()2
3m n −
103. 【易】(2012山东省临沂市）分解因式269a ab ab −+= 【答案】()2
13a b −
104. 【易】（2012黑龙江省绥化市）分解因式32232a b a b ab −+= ． 【答案】()2
ab a b −
105. 【易】（2012北京）分解因式：269mn mn m ++= ． 【答案】()2
3m n +
106. 【易】（2012山东泰安）因式分解：3269x x x −+=
107. 【易】（11．张家界中考）因式分解325x y x −=
【答案】3()()x y x y x −+
108. 【易】（2012浙江丽水）分解因式：228x −=________．
【答案】()()222x x +−
109. 【易】分解因式：2232x y xy y ++=
【答案】原式=2()y x y +
110. 【易】（2012·湖南省张家界市）因式分解：282a −=________．
【答案】()()22121a a +−
111. 【易】（2012湖北黄冈）分解因式39x x −=__________．
【答案】()()33x x x +−
112. 【易】（2012四川内江）分解因式：34ab ab −=
【答案】()()22ab b b +−
113. 【易】（2012深圳市）分解因式：316ab ab −+=
【答案】()()44ab b b −+−
114. 【易】(2012贵州黔西南州)分解因式：4216a a −= __________．
【答案】()()244a a a +−
115. 【易】（2011深圳外国语分校初二下期中）分解因式228168ax axy ay −+−=
【答案】28()a x y −−
116. 【易】因式分解：32269a a b ab −+=
【答案】2(3)a a b −
117. 【易】（10年北京海淀区期末）分解因式33312x y xy −=
【答案】3(2)(2)xy x y x y +−
118. 【易】分解因式33222ax y axy ax y +−=____________
【答案】2()axy x y −
119. 【易】因式分解：22363a ab b ++=
【答案】23()a b +
120.【易】（怀柔区2011二模）分解因式：322x x x −+−
【答案】()2
1x x −−
121. 【易】（延庆县2011二模）把多项式32242x x x −+分解因式的结果是 ． 【答案】22(1)x x −
122. 【易】（实验中学部2013月考）分解因式：()2
2323m x y mn −−= ．
【答案】()()322m x y n x y n −+−−
123. 【易】（天津市和平区2009-2010学年度第一学期八年级数学学科期末质量调查试卷） 分解因式：322321218x y x y xy −+−=
【答案】()2
23xy x y −−
124. 【易】（2011北京 高级中等学校招生考试数学试卷） 分解因式：321025a a a −+=______________
【答案】()2
5a a −
125. 【易】（2012通州二模）因式分解：244ax ax a −+= _________． 【答案】()2
2a x −
126. 【易】（2011南京三十九中期末）分解因式：349x x −= 【答案】()()2323x x x +−
127. 【易】分解因式：332244x y x y xy −+
【答案】()2
2xy xy −
128. 【易】因式分解：()()23x y x y +−+
【答案】()()3x y x y ++−
129. 【易】(2010年房山区初三年级统一练习) 分解因式：22ax ax a ++
【答案】()2
1a x +
130. 【易】（苏州市立达中学校2011-2012学年度第二学期期中试卷）
因式分解323812a b ab c −
【答案】()22423ab a bc − 131. 【易】（2011山东省潍坊市）分解因式：32412x x x −−=
【答案】()()62x x x −+
132. 【中】因式分解：2221a b b −−−=
【答案】(1)(1)a b a b ++−−
133. 【中】（天津耀华嘉诚2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学）
在有理数范围内分解因式：()2
610104m n m n −−+−
【答案】()()23312m n m n −+−−
134. 【中】（2012初三深圳实验第一次月考）分解因式：()2
2323m x y mn −−
【答案】()()322m x y n x y n −+−−
135. 【中】（天津耀华嘉诚2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学） 在有理数范围内分解因式：222328712x y y xy xy +++
【答案】()()437y x x y ++
136. 【中】（2011南山荔林中学初二下期中）利用分解因式进行简便运算：
13131318.937.1555555
×+×− 【答案】13131318.937.1555555×
+×− ()1318.937.1155=
+− 135555
=× 13=
137. 【中】（天津市河西区2010-2011学年度第一学期八年级期末质量调查数学试卷）
日常生活中需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码．
原理是：如对于多项式44x y −，因式分解的结果是()()()22x y x y x y −++，若取9x =，
9y =时，则每个因式的值分别是：22018162x y x y x y −=+=+=，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．（当然答案不唯一，因为各因式相乘的顺序可交换） 那么对于多项式324x xy −，若取1010x y ==，时，用上述方法产生的密码可能是什么？（写出一种即可）并说明理由．
【答案】()()22x x y x y +−，103010
四、 分组分解
138. 【易】因式分解：2m mn mx nx −+−=
【答案】()()m n m x −+
139. 【易】(2011年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷（试运转）)
分解因式：22x x y y +−−=
【答案】()()1x y x y −++
140. 【易】（天津市耀华中学初二年级期末阶段性形成检测数学试卷）
分解因式：222694a ab b x −+−
【答案】()()3232a b x a b x −+−−
141. 【易】（2012成都育才初二下5月测）分解因式22x y ax ay −++=
【答案】()()x y x y a +−+
142. 【易】（2011南京三十九中期末）分解因式：2()()a a b b b a −−−
【答案】()()2a b a b −+
143. 【易】（苏州市立达中学校2011-2012学年度第二学期期中试卷）
因式分解2244a a c −+−
【答案】()()22a c a c +−−−
144. 【易】（朝外初二章测）分解因式541x x x −−+
【答案】()()()2
2111x x x +−+
145. 【易】（2011福田外国语初二下）分解因式2212a b ab −+−=
【答案】(1)(1)a b a b −+−−
146. 【易】（2011深圳外国语初二下期末）因式分解：22144c ac a −+−=
【答案】(21)(12)a c c a −++−
147. 【易】（2010年芜湖市初中毕业学业考试）因式分解：22944x y y −−−=________
【答案】(32)(32)x y x y ++−−
148. 【中】因式分解：2224(1)4(1)(1)x x x −−−++
【答案】<法一>解：原式2224844412x x x x x =−+−++++
2961x x =−+
2(31)x =−
<法二>原式()()()22
224(1)4(1)(1)(1)21131x x x x x x x =−+−+++=−++=−
149. 【中】（临沂市中考题）因式分解22244−−+x y z yz .
【答案】原式=()()2
2222442−−+=−−x y yz z x y z =()()22+−−+x y z z y z .
150. 【中】因式分解：
⑴6664x y − ⑵1132n n n a a a +−++
⑶22222(1)4x y x y +− ⑷222()141424x x x x +−−+
【答案】⑴原式()()333388x y x y =+−
()()()()2222242242x y x xy y x y x xy y =+−+−++
⑵原式()()()1213212n n a a a a a a −−=++=++
⑶原式()()()()222222121211x y xy x y xy xy xy =+++−=+−
⑷原式()()2
221424x x x x =+−++
()()22212x x x x =+−+− ()()()()1234x x x x =−+−+
151. 【中】分解因式：222221x y z x z y z −−+
【答案】22222222221(1)(1)(1)(1)x y z x z y z x z y z y z y z x z −−+=−−−=−−
152. 【中】分解因式：2226923ax a xy xy ay −+−
【答案】原式3(23)(23)(3)(23)ax x ay y x ay ax y x ay =−+−=+−，体会利用系数分组引导整体因式分解
153. 【中】分解因式：325153x x x −−+
【答案】322251535(3)(3)(51)(3)x x x x x x x x −−+=−−−=−−
或322225153(51)3(51)(51)(3)x x x x x x x x −−+=−−−=−−
154. 【中】分解因式：251539a m am abm bm −+−
【答案】原式[]2(51539)5(3)3(3)(3)(53)m a a ab b m a a b a m a a b =−+−=−+−=−+
155. 【中】分解因式：3254222x x x x x −−++−
【答案】解6项可以分成三组，每组两项．我们把幂次相近的项放在一起，即
3254222x x x x x −−++−5432(2)(2)(2)x x x x x =−+−−−
42(2)(2)(2)x x x x x =−+−−−42(2)(1)x x x =−+−
本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为l 的放在一组，系数为2的
放在另一组．详细过程请读者自己完成．
156. 【中】分解因式：432x x x x +++
【答案】法1：43232(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x +++=+++=++.
法2：432x x x x +++32(1)(1)x x x x =+++22(1)(1)(1)x x x x x x =+−+++
22(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x =+−++=++ .
法3：4323222(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x +++=+++=+++=++
.
157. 【中】分解因式：2222()()()()a b a c c d b d +++−+−+
【答案】
2222()()()()()(2)()(2)2()()a b a c c d b d a d a b d a d a c d a d a b c d +++−+−+=−+++−++=−+++
158. 【中】分解因式：2293x x y y −−−
【答案】原式=22(9)(3)(3)(3)(3)(3)(31)x y x y x y x y x y x y x y −−+=+−−+=+−−
159. 【中】分解因式：5544()x y x y xy +−+
【答案】原式44()()x x y y x y =−−−44()()x y x y =−−22()()()()
x y x y x y x y =−−++222()()()x y x y x y =−++
160. 【中】分解因式：2212x x y −−−+
【答案】2212x x y −−−+22(21)y x x =−++(1)(1)y x y x =++−−
161. 【中】分解因式：241194
n n m x x y +−+ 【答案】241194n n m x x y +−+241149n n m x x y =++−222
11()()23
n m x y =+−221111()(3232
n m n m x y x y =+
+−+. 162. 【中】分解因式：33222x y x xy y ++++
【答案】
3322222222()()()()()x y x xy y x y x xy y x y x y x xy y x y ++++=+−+++=+−+++
163. 【中】分解因式：4333x x y xz yz +++
【答案】43333322()()()()()x x y xz yz x x y z x y x y x z x xz z +++=+++=++−+
164. 【中】分解因式：54321x x x x x +++++
【答案】原式
3223222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++=+−+++
165. 【中】(第十五届“五羊杯”第15题)333333()()()()
ay bx ax by a b x y +−++−−=_________.
【答案】原式22222()()()()()b a x y a b ab x y a b xy =−−++++++ ()()a b x y −−
22()a ab b ++22()x xy y ++
()()a b x y abxy =−−−.
166. 【中】分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++
【答案】333333222[()][()][()]3()()a b c b c a c a b a b c a b c =++++++++=++++
五、 十字相乘法
167. 【易】（2011深圳中学初一下期中）若248123x x +−可因式分解成()()13x a bx c ++，
其中a 、b 、c 均为整数，则下列叙述正确的是（ ）
A ．1a =
B ．468b =
C ．3c =
D ．29a b c ++=
【答案】C
168. 【易】（杭州吴中区2011—2012初一第二学期期末）已知2y x −=，31x y −=，则
2243x xy y −+的值为（ ）
A ．1−
B ．2−
C ．3−
D ．4−
【答案】B
169. 【易】（天津耀华中学2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学）
如果多项式212x kx ++能够分解成两个系数为整数的一次因式的积，那么整数k 可取的值有（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D 8个
【答案】C
170. 【易】（2011耀华实验初三四模）分解因式：231212b b −+= ．
【答案】23(2)b −
171. 【易】(2012四川省南充市) 分解因式：2412x x −−=__________________
【答案】(6)(2)x x −+
172. 【易】（苏州立达中学2011-2012学年度初一期末考试试卷）若多项式26x mx +−有
一个因式是()3x +，则m = ．
【答案】1m =
173. 【易】（2010兰生复旦期中）在实数范围内因式分解：21______x −+−=
22396_______x xy y −++=
【答案】(11)x x +−；3()()x y x y −+
+；
174. 【易】分解因式：268x x ++ 【答案】268(2)(4)x x x x ++=++
175. 【易】（2011苏州）分解因式：278x x +−
【答案】278(8)(1)x x x x +−=+−
176. 【易】已知关于x 的多项式23x x m ++因式分解以后有一个因式为()31x −．试求m 的
值，并将多项式因式分解． 【答案】23m =−，()2313x x −+
177. 【易】（苏州市立达中学校2011-2012学年度第二学期期中试卷）
因式分解2718x x −−
【答案】()()29x x +−
178. 【易】（初三练习）
分解因式：⑴256x x ++；⑵256x x −+；⑶276x x ++；⑷276x x −+
【答案】⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x −−；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x −−
179. 【中】（第22届希望杯初1第1试第2试）
若2009a =，2010b =−，则2223a b ab ++= ．
【解析】原式=()()2a b a b ++
【答案】2011
180. 【中】要使二次三项式25x x p −+在整数范围内能因式分解，那么整数p 的取值可以
为（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．无数个
【答案】D
181. 【难】（2005年山西省太原市初中数学竞赛试卷）三项式22x x n −−能分解为两个整
系数一次因式的乘积
⑴若130n ≤≤，且n 是整数，则这样的n 有多少个？
⑵当2005n ≤时，求最大整数n
【答案】⑴22x x n x x −−= 
则应有18n +=9，25，49，81，121，169，225，289
相应解得n =1，3，6，10，15，21，28，36（舍去）
故当130n ≤≤时，满足条件的整数n 有7个
⑵观察数列1，3，6，10，发现
1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4
故1232005n k =++++⋯≤ ()120052
k k +∴≤ 验证得当62k =时，n 取最大值为1953
182. 【易】如图，将三个正方形和两个矩形拼成一个较大的矩形，请用一个因式分解的式
子表示这个拼图：_______________________．
【答案】()()22322a ab b a b a b ++=++
183. 【中】分解因式：⑴2()4()12x y x y +−+−；
⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++−+−
【答案】⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.
2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +−+−=+++−
⑵将,x y x y +−看作整体，则原式
[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++−++−=++.
184. 【中】分解因式：
（1）2126−−x x ；
（2）2242411−+x xy y ；
（3）2422278+−x y x y x .
【答案】（1）原式(32)(43).=+−x x （2）原式(2)(211).=−−x y x y
（3）原式22(8)(1)(1).=++−x y y y
185. 【中】分解因式：257(1)6(1)a a ++−+
【答案】[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++−+=−+++=−+
186. 【中】分解因式：2(2)8(2)12a b a b −−−+
【答案】[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b −−−+=−−−−=−−−−
187. 【中】分解因式：633619216x x y y −−
【答案】6336333319216(27)(8)x x y y x y x y −−=−+
2222(2)(3)(24)(39)x y x y x xy y x xy y =+−−+++
188. 【中】分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++
【答案】22(64)(2)x x x +++
189. 【中】分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++
【答案】229(1)(41)x x x +++
190. 【中】分解因式：222()14()24x x x x +−++
【答案】(2)(1)(3)(4)x x x x +−−+
191. 【中】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++
【答案】把a 视为未知数，其它视为参数。

原式1a ab ac abc b c bc =+++++++
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b c bc b c bc a b c bc a b c =+++++++=++++=+++
192. 【中】分解因式：2()2a b x ax a b −+++
【答案】2()2a b x ax a b −+++(1)()x ax bx a b =+−++，利用十字相乘思想
193. 【中】分解因式：2()()x a b c x a b c +++++
【答案】2()()x a b c x a b c +++++()()x a b x c =+++，利用十字相乘思想
194. 【中】分解因式：222a bc ac acd abd cd d ++−−−
【答案】222()()a bc ac acd abd cd d ac d ab c d ++−−−=−++，利用十字相乘思想 195. 【中】分解因式：2222()abcx a b c x abc +++
【答案】2222()()()abcx a b c x abc abx c cx ab +++=++
196. 【中】分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++−−
【答案】将原式展开并写成关于a 的二次三项式：226(114)32a b a b b +++−−，
232b b −−可以分解为：(32)(1)b b +−，再次运用十字相乘法可知原式
(232)(31)a b a b =+++−.
197. 【中】分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc −+−−++
【答案】这个多项式是a 、b 、c 的三项式，相数多，似乎无从下手，解决它的方法
却是最基本的：把a 当作主要字母，也就是把这个多项式看成a 的二次式，
按a 降幂排列整理为：22222()(3)()b c a b c bc a b c bc +−++++，后用十字相乘
进行分解，“常数项”为22()b c bc bc b c +=+
2222223a b ab a c ac abc b c bc −+−−++[()][()]
a b c b c a bc =−++−()()a b c ab ac bc =−−+−
198. 【中】分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++
【答案】将x 看为主元，原式可化为：
22(1)(221)(1)y y x y y x y y ++++++[(1)][(1)]yx y y x y =++++(1)()yx y yx x y =++++ 199. 【中】分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y −−−+−++
【答案】以a 、b 为主要字母，这个多项式是a 、b 的二次齐次式，把它整理为：
2222[(1)()]()[()(1)]b xy x y ab x y a x y xy +−++−−+++
2222[()(1)]()[()(1)]b xy x y ab x y a x xy y =−−−+−−+++
2222[(1)(1)]()[(1)(1)]b x y y ab x y a x y y =−−−+−−+++
2222(1)(1)()(1)(1)b x y ab x y a x y =−−+−−++
[(1)(1)][(1)(1)]x b y a y b x a =−−+−−+
()()bx b ay a by b ax a =−−−−−+
双十字相乘
双十字相乘法双十字相乘法：： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。

由于这种方法两次使用了十字相乘法，故称之为双十字相乘法.
200. 【中】分解因式：222332x xy y x y +−+++
【答案】如果只有二次项2223x xy y +−，如图⑴，那么2223()(3)x xy y x y x y +−=−+
如果没有含y 的项，如图⑵，那么对于多项式232(1)(2)x x x x ++=++
如果没有含x 的项，如图⑶，那么对于多项式232(1)(32)y y y y −++=−++
把以上三个算式“拼”在一起，写成
便得到所需要的分解：222332(1)(32)x xy y x y x y x y +−+++=−+++
双十字相乘均可结合选主元的思想双十字相乘均可结合选主元的思想，，运用两次十字相乘可得运用两次十字相乘可得！！
201. 【中】分解因式：22344883x xy y x y +−+−−
【答案】将原式写成关于x 的二次三项式：223(48)483x y x y y ++−−−，2483y y −−−可
以用十字相乘法分解为：2483(21)(23)y y y y −−−=−++，再次运用十字相
乘法可得，
原式=(321)(23)x y x y −−++.
另解：22344883(32)(2)8()3
x xy y x y x y x y x y +−+−−=−++−−(321)(23)x y x y =−−++
202. 【中】分解因式：2265622320x xy y x y −−++−
【答案】2265622320(234)(325)x xy y x y x y x y −−++−=−++−
203. 【中】分解因式：22276212x xy y x y −++−−
(1) (2) (3)
-1 13 23 + -2 = 1y 常常1 11 2 1 + 2 = 3x 常常x y
-1 + 3 = 21 31 -1
⑷
1 -1 1
1 3 2
x y 常常
【答案】22276212(23)(234)x xy y x y x y x y −++−−−+−−=
204. 【中】分解因式：22121021152x xy y x y −++−+
【答案】22121021152(32)(421)x xy y x y x y x y −++−+−+−+=
205. 【中】分解因式：22243x y x y −−−−
【答案】22243(3)(1)x y x y x y x y −−−−−−++=
206. 【中】分解因式：22534x y x y −+++
【答案】22534(1)(4)x y x y x y x y −+++=++−+
207. 【中】分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++−+−
【答案】法1：这是x 的二次式，“常数项”可分解为
223103(3)(3)a ab b a b a b −+−=−−−再对整个式子运用十字相乘
2222()3103x a b x a ab b ++−+−(3)(3)x a b x a b =+−−+
法2：把2222()3103x a b x a ab b ++−+−看成x 、a 、b 的二次齐次式，对它采用双十字相乘2222()3103x a b x a ab b ++−+−(3)(3)x a b x a b =−++−
208. 【中】分解因式：22265622320x xy y xz yz z −−−−−
【答案】22265622320x xy y xz yz z −−−−−(234)(325)x y z x y z =−−++
六、 换元法
209. 【中】已知：10000a =，9999b =，用简便方法计算
()()222669a b ab a b +−−−+的值
【答案】原式2()6()9a b a b =−−−+
2(3)a b =−−
2(1000099993)=−−
4=
210. 【中】把下列各式分解因式
()()22525312++++−x
x x x ；
()()()()21236+++++x x x x x ；
()()()()211+++++−x y x y xy xy xy . (“希望怀”邀请赛试题)
【答案】（1）设25+=x x y ，则原式=()()23++y y -12=()()25661+−=+−y y y y
=()()225651+++−x x x x =()()()22351.+++−x x x x
（2）原式=()()2227656+++++x x x x x =()2
266++x x . （3）令+=x y a ，=xy b ，则原式 =()()()211+++−a a b b b =2221++−a ab b =()21+−a b
=()()()()1111+++−=+++++−a b a b x y xy xy x y =()()()111++++−x y xy x y .
211. 【中】(“五羊杯”竞赛题)分解因式：(1)(2)(3)(4)(5)________.++++++=x x x x x x
【答案】22(53)(58).++++x x x x
原式()()()()()=14235x x x x x x ++++++ ()()()222=54565x x x x x x ++++++
设25x x a +=，原式=()()()()246112438a a a a a a a +++=++=++
()()22=535+8x x x x +++
212. 【中】分解因式：422(24)44x y x y y +++++
【答案】令x y a +=，xy b =
则原式()()()2
122b a a b =−+−− 2212224b b a ab a b =−++−−+
222221a ab b a b =−+−++
()()2
21a b a b =−−−+
()21a b =−−
()21x y xy =+−−
()21xy x y =−−+
()()211x y =−−
()()2211x y =−−
213. 【难】（朝外初二章测）分解因式()()()()12341x x x x +++++
【答案】22(55)x x ++
214. 【难】(“希望杯”练习题)分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++
【答案】将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得
原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++
22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++
215. 【难】(“希望杯”培训试题)分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++−
【答案】将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则
原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++−=+−=−+=+++−
216. 【难】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91a a a +−−−
【答案】原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91a a a a a a a a =+−+−−=−−−−− 设2215a a x −−=，原式2(6)91691(13)(7)x x x x x x =−−=−−=−+22(228)(28)a a a a =−−−−
2(4)(27)(28)a a a a =−+−−
217. 【难】分解因式22(32)(384)90x x x x ++++−
【答案】原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90x x x x x x x x =++++−=++++−
设225y x x =+
原式(3)(2)90y y =++−
2584y y =+−
(12)(7)y y =+−
2(2512)(27)(1)x x x x =+++−
七、 其他高端方法
218. 【中】(“五羊杯”竞赛题)分解因式()()33
32332125()−+−−−x y x y x y =____________.
【答案】原式=()()()33323325−+−−− x y x y x y
=()()()()33323322332−+−−−+− x y x y x y x y =()()()152332.−−−−x y x y x y
219. 【中】（2011南山荔林中学初二下期中）对于形如222x ax a −+这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成()2
x a +的形式．但对21203456x x −+常数项数值较大，此时我们可以在二次三项式2120x x −中先加上一项260，再减去260，于是有： 221203456260360036003456x x x x −+=−×+−+． ()260144x =−− ()()60126012x x =−+−−
()()4872x x =−−
请按照上面的方法分解因式：2423528x x +−．
【答案】2423528x x +−
()2
213969x =+−
()222163x =+− ()()21632163x x =+++−
()()8442x x =+−
220. 【中】（“CASIO 杯”河南省竞赛题）分解因式:326116+++x x x .
【答案】【解法一】原式=()()()3225566+++++x x x x x
=()()()215161x x x x x +++++
=2(1)(56)+++x x x
=()()()123+++x x x
【解法二】原式=()()()322
24836++++x x x x x +
=()()()2
24232+++++x x x x x =()()2
243+++x x x
=()()()123+++x x x
【解法三】原式=()()32
16115++++x x x
= =()()2
156+++x x x
=()()()123+++x x x
221. 【中】分解因式：
（1）22463−+−a b a b ；
（2）222944−+−a b bc c ； （3）()()(2)+−+−a c a c b b a ；
（4）22(1)(2)12++++−x x x x ；
（5）222(231)22331−+−+−x x x x ； （6）2(1)(3)(5)12−+++x x x .
【答案】（1）(2)(23)−++a b a b
（2）(32)(32)+−−+a b c a b c （3）()()−+−−a b c a b c
（4）2(5)(2)(1)+++−x x x x
（5）(23)(3)(23)−−+x x x x 令223−=x x a ； （6）22(43)(41)+−++x x x x 原式=
[][]2(1)(3)(1)(5)12(43)++−++=++x x x x x x
2(45)12.+−+x x
222. 【中】（北京市竞赛题）44+a 分解因式的结果是（ ）.
22(22)(22)+−−+a a a a
B.22(22)(22)+−−−a a a a
C.22(22)(22)++−−a a a a
D.22(22)(22)++−+a a a a
【答案】D
()()
()()2
11165x x x x x +−++++
223. 【难】已知关于x 的多项式23x x m ++因式分解以后有一个因式为()31x −．试求m 的
值，并将多项式因式分解．
【解析】由题意可知，()()2
331x x m x x m ++=−−，由一次项系数可得23
m =−．
【答案】23m =−，()2313x x
−+
224. 【难】（北京海淀期末）阅读：把多项多2310x x −−分解因式得
2310(5)(2)x x x x −−=−+，由此对于方程23100x x −−=可以变形为(5)(2)0x x −+=，
解得5x =或2x =−．
观察多项式2310x x −−的因式(5)x −、(2)x +，与方程23100x x −−=的解5x =或2x =−之间的关系．可以发现，如果5x =、2x =−是方程23100x x −−=的解，那么(5)x −、(2)x +是多项式2310x x −−的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．
例如：对于多项式332x x −+．观察可知，当1x =时，3320x x −+=，则
332(1)x x x A −+=−，其中A 为整式，即(1)x −是多项式332x x −+的一个因式．若要
确定整式A ，则可用竖式除法． 23232
222
1032
32222
x x x x x x x x x x x x x x +−−+⋅−+−−−−+−+
∴32232(1)(2)(1)(1)(2)(1)(2)x x x x x x x x x x −+=−+−=−−+=−+．
填空：
⑴分解因式：22x x −−=___________________；
⑵观察可知，当x =__________时，32530x x x +−+=．可得_________是多项式3253x x x +−+的一个因式．分解因式：3253x x x +−+=________________： ⑶已知：32(1)x mx x B +−=+，其中B 为整式，则分解因式：
32x mx +−=_______________．
【答案】⑴()()2
221x x x x −−=−+。