安徽省舒城县二中2017-2018学年高二上学期1月月考数学

舒城二中2017-2018学年上学期高二1月月考卷
数学（理科）试题
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.“1=a ”是“直线01=++y ax 与直线023)2(=--+y x a 垂直”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
2.已知命题:,21000n p n N ∃∈>，则非p 为（ ） A. ,21000n n N ∀∈≤ B. ,21000n n N ∀∈> C. ,21000n n N ∃∈≤ D. ,21000n n N ∃∈<
3.一条光线从1,02A ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
处射到点()0,1B 后被y 轴反射，
则反射光线所在直线的方程为（ ） A. 210x y --= B. 210x y +-= C. 210x y --= D. 210x y ++= 4.设抛物线()2:20C y px p =＞的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2，则C 的方程为（ ）
A ．24y x =或28y x =
B ．22y x =或28y x =
C ．24y x =或216y x =
D ．22y x =或216y x = 5.在极坐标系中，圆的圆心到直线
的距离是（ ）
A.
B.
C. D.
6.已知双曲线的一条渐近线方程为
,,分别是双曲线的左, 右焦点,
点在双曲线上, 且
, 则
等于
A. B. C. D. 7.设
，若直线
与圆
相切，则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定
(),A B k k A B AB
ϕ-=
叫做曲线在点A 与点B 之间的“弯曲度”．设曲线x y e =上不同的两点
()()1122,,,A x y B x y ，且121x x -=，若()•,3t A B ϕ<恒成立，则实数t 的取值范围是
（ ）
A. (],3-∞
B. (],2-∞
C. (],1-∞
D. []
1,3
9.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点(),0(0)F c c ->,作圆222x y a +=的切线，
切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ，若则双曲线的离心率为
（ ）
A. B.
C.
D. 10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线与圆()22
31x y +-=相切，则双曲线的离
心率为（ ）
A. 2
B.
C. D. 3
11.已知点(),P x y 在直线10x y --=上运动，则()()2
2
22x y -+-=的最小值是
A.
12 B. C. D. 12.已知点(a ，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a 的值为 ( )
A. 1
B. -1
C.
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13.直线y kx =与圆()()2
2
214x y -++=相交于,A B 两点，若AB ≥则k 的取值范围是______．
14.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22
211x y a a
+=>的右顶点为A ，直线y x =与椭圆交
于,B C 两点，若ABC ∆____________． 15.焦点在y 轴上的椭圆
2212
x y m +=的离心率为12，则m 的值为__________． 16.若,A B 分别是椭圆2
2:1(1)x E y m m
+=>短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，若直线AP 与直线BP 的斜率之积为4
m
-，则椭圆E 的离心率为__________． 三、解答题
17.已知定点)0,1(A ，动点P 在圆B ：16)1(22=++y x 上，线段PA 的中垂线为直线l ，直线l 交直线PB 于点Q ，动点Q 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；
（2）若点P 在第二象限，且相应的直线l 与曲线E 和抛物线C ：2
32
1x y -
=都相切，求点P 的坐标.
18.已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0． （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；
（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，
求证：为定值；
（3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大． 19.在平面直角坐标系xOy 中，已知半径为2的圆C ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线
20x +=相切.
（1）求圆C 的方程；
（2）在圆C 上，是否存在点P ，满足PQ PO =
，其中，点Q 的坐标是(1,0)Q -.若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
（3）若在圆C 上存在点(),M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交不同两点,A B ，求m 的取值范围.并求出使得OAB ∆的面积最大的点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积.
20.如图，在平面直角坐标系中，过点(2,0)A 的直线l 与y 轴交于点B ，1
tan 2
OAB ∠=，直线l 上的点P 位于y 轴左侧，且到y 轴的距离为1. （1）求直线l 的表达式；
（2）若反比例函数
m
y x =
的图象经过点P ，求m 的值．
21.如图，设抛物线21:4(0)C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆
22222:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为1
2e =，抛物线
1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ， M 为1C 上一动点，
且在,P Q 之间移动
.
（1
）当
2a 取最小值时，求1C 和2C 的方程； （2）若12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ ∆面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．
22.已知抛物线2
:2(0)C x py p =->的焦点到准线的距离为
1
2
，直线:(1)l y a a =<-与抛物线C 交于,A B 两点，过这两点分别作抛物线C 的切线，且这两条切线相交于点D . （1）若D 的坐标为()0,2，求a 的值；
（2）设线段AB 的中点为N ，点D 的坐标为()0,a -，过()0,2M a 的直线l '与线段DN 为直径的圆相切，切点为G ，且直线l '与抛物线C 交于,P Q 两点，求
PQ MG
的取值范围.
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.A
6.C
7.C
8.A
9.B10.D11.A12.D 13.4,03⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
15.
32
17.
（1）圆B 的圆心为)0,1(-B ，半径4=r ，连结QA ， ∵Q 在PA 的中垂线l 上，∴||||QP QA =，
∴||24||||||||||AB r BP QB QP QB QA =>===+=+ ∴点Q 的轨迹是以B A 、为焦点，以4为长轴长的椭圆，
∴42=a ，2=a ；22=c ，1=c ；32
2=-=c a b ，
∴曲线E 的方程为13
42
2=+y x . （2）∵直线l 与椭圆E 和抛物线C 都相切，∴直线l 斜率一定存在，设l ：m kx y += ①，
①代入13
42
2=+y x ，得0)3(48)34(222=-+++m kmx x k ， 由0)3(4)34(4)8(2
221=-⨯+-=∆m k km ，得03422=+-m k ②.
有把①代入2321x y -
=，得0321
2=++m kx x ， 由032
142
2=⨯⨯-=∆m k ，得28k m = ③. 由② ③解得⎪⎩⎪
⎨⎧=±=2
21m k
设),(00y x P ，∵P 在第二象限，∴0,000><y x ， 注意A 与P 关于直线l 对称，0<AP k ，∴0>k ，∴21=
k ，∴l ：22
1
+=x y ， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯-++⨯=12
11221
2120000x y x y ，解得⎩⎨⎧=-=4100y x ，经检验)4,1(-P 在圆B 上，故所求点P 的坐标为
)4,1(-P .
18.
19.
（1）设圆心是()()00,00x x >
，它到直线20x +=
的距离是2d =
=，解得
02x =或06x =-（舍去）,所以,所求圆C 的方程是()2
224x y -+=.
（2）假设存在这样的点),(y x P ，则由PO PA 2
2
=
，得02422=+++x y x . 即，点P 在圆D:()2
2
22x y ++=上，点P 也在圆C:()2
224x y -+=上.
因为=42c d CD r r >+=，所以圆C 与圆D 外离，圆C 与圆D 没有公共点.所以，不存在点P 满足条件.
（3）存在，理由如下：因为点(),M m n 在圆C 上，所以()2
2
24m n -+=，
()2
22424n m m m =--=-且04m ≤≤.
因为原点到直线:1l mx ny +=的距离
1h =
=
<，解得144m <≤
而AB =所以12OAB S AB h ∆==== 因为
111164m ≤<，所以当1142m =，即12m =时，OAB S ∆取得最大值1
2
，
此时点M 的坐标是12
⎛ ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭
，OAB ∆的面积的最大值是12. 20.
（1） ∵(2,0)A ，∴2OA =. ∵tan OAB OB OA ∠=
＝1
2
，∴1OB =，∴(01)B ， 设直线l 的表达式为y kx b =+，则 1
20b k b =⎧⎨+=⎩
∴1
,12
k b =-=，
∴直线l 的表达式为112
y x =-+.
（2）∵点P 到y 轴的距离为1，且点P 在y 轴左侧，∴点P 的横坐标为－１.
又∵点P 在直线l 上，∴点P 的纵坐标为：13(1)122-⨯-+=
，∴点P 的坐标是31,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
∵反比例函数m
y x =
的图象经过点P ，∴ 321
m =-，
∴33122
m =-⨯
=-.
21.
（1）因为1,2c c m e a ==
=
，则2,a m b ==
，所以2a 取最小值时1m =， 此时抛物线2
1:4C y x =-，此时2
2,3a b ==，所以椭圆2C 的方程为22
143
x y +=； （2）因为1
,2c c m e a ===
，则2,a m b ==，设椭圆的标准方程为222
2143x y m m
+=， ()()0011,,,P x y Q x y 由22
22
21{434x y m m y mx
+==-得22
316120x mx m --=，所以023
x m =-或06x m =（舍去）
，代入抛物线方程得0y =
，即23m P ⎛- ⎝⎭
， 于是12112
576,2,2333
m m m
PF PF a PF F F m =
=-===，又12PF F ∆的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =．此时抛物线方程为212y x =-， (
)(13,0,F P --，则直线PQ
的方程为)3y x =+．
联立)23{
12y x y x
=+=-，得19
2
x =-
或12x =-（舍去），
于是9,2Q ⎛-- ⎝．所以
25
2
PQ ==
，
设(()
2
,12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ
的距离为d
，则2
753022d t ⎛=⨯+- ⎝⎭
，当t =时
，
max 752d ==
，所以M P Q ∆的面积最大值为
125
22416
⨯⨯=
:MP y = 22.
（1）由抛物线2:2(0)C x px p =->的焦点到准线的距离为12，得12
p =， 则抛物线C 的方程为2x y =-.
设切线AD 的方程为2y kx =+，代入2x y =-得220x kx ++=，
由2
80k ∆=-=得k =±
当k =A 的横坐标为2
k
-=
则(2
2a =-=-，
当k =-2a =-. 综上得2a =-。

（2）由（1）知， ()()0,,0,N a D a -，
所以以线段ND 为直径的圆为圆2
2
2
:O x y a +=， 根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l '即可， 因为G 为直线l '与圆O 的切点， 所以OG MG ⊥， 1cos 22
a MOG a
∠=
=
， 所以3
MOG π
∠=
，
所以,l MG k '==，
所以直线l '的方程为2y a +，
由22{
y a x y
=+=-消去y 整理得220x a +=，
因为直线与圆相交，所以380a ∆=->。

设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,x x x x a +==，
所以
PQ ==
所以PQ
MG ===， 设1t a =-
，因为1a <-，所以()0,1t ∈， 所以()2380,11t t +∈，
所以
PQ MG ⎛== ⎝⎭
.。