第三章3.7知能演练轻松闯关
北师大版数学必修1：第三章 §3 知能演练轻松闯关
1．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( )A ．(－89，8]B ．[－89，8]C ．(19，9)D ．[19，9] 解析：选A.∵y ＝(13)x －1在[－2,2)上是减函数， ∴y ∈(－89，8]． 2．(2012·九江质检)若0＜x ＜1，则2x 、(12)x 、0.2x 间的大小关系为( ) A ．2x ＜0.2x ＜(12)x B ．2x ＜(12)x ＜0.2x C ．(12)x ＜0.2x ＜2x D ．0.2x ＜(12)x ＜2x 解析：选D.2x ∈(1,2)，0.2x ∈(0,1)，(12)x ∈(0,1)． 根据图像x ∈(0,1)时，y ＝(12)x 在y ＝0.2x 的图像上方． 3．函数y ＝a x －2012＋1(a ＞0且a ≠1)的图像过定点________．解析：令x －2012＝0，∴x ＝2012，y ＝a 0＋1＝2.答案：(2012,2)4．已知x ＞0，指数函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为x ＞0，指数函数y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8＞1，即a 2＞9，解得a ＞3或a ＜－3.答案：{a |a ＞3或a ＜－3}[A 级 基础达标]1．(2010·高考重庆卷)函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4) 解析：选C.∵4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，0≤16－4x ＜16＝4，即函数y ＝16－4x 的值域是[0,4)．2．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2解析：选D.y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝23×0.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5且y ＝2x 在R 上是增函数， ∴y 1＞y 3＞y 2.故选D.3．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 为( ) A.12 B.32 C.12或32 D.14解析：选C.当a ＞1时，a 2－a ＝a 2⇒a 2－32a ＝0，得a ＝32，当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2⇒a 2－a 2＝0，得a ＝12. 综上可知选C.4．函数y ＝(12)x －a 的定义域是R ，则a 的取值范围为________． 解析：由题意知(12)x －a ≥0恒成立，即a ≤(12)x 恒成立 ∵(12)x ＞0(x ∈R)， ∴a ≤0.答案：a ≤05．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3a ，x ＜0，a x ，x ≥0(a ＞0且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：当x ＜0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 是减函数，当x ≥0时，若函数f (x )＝a x 是减函数，则0＜a ＜1.要使函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足0＋3－3a ≥a 0，解得a ≤23，所以a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a ≤23，即0＜a ≤23答案：(0，23] 6．求函数y ＝9x －3x ＋1的最小值．解：令3x ＝t ，则y ＝t 2－t ＋1(t ＞0)，∴y ＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34(t ＞0)，如图所示，可知y ≥34， 即当t ＝12时，y min ＝34. ∴函数的最小值是34. [B 级 能力提升]7．(2012·合肥质检)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图像不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.函数y ＝a x ＋b (0＜a ＜1，b ＜－1)的图像是由y ＝a x (0＜a ＜1)的图像向下平移|b |个单位长度得到的，如图，因而一定不经过第一象限．8．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a ＞b )，例如1*2=1,则函数y = 1*2x 的值域为( ) A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0,1]解析：选D.由函数f (x )＝2x 的图像可知，y ＝1*2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)，1 (x ＞0)，又∵当x ≤0时，0＜2x ≤1， ∴函数y ＝1*2x的值域为(0,1].9.设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R ，是偶函数，则实数a ＝________.解析：∵函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )·(e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )．整理，得(a ＋1)·x ·(1＋e 2x )＝0.∵x ∈R,1＋e 2x ＞0，∴a ＋1＝0，故a ＝－1.答案：－110．已知f (x )＝2x ，g (x )＝3x .(1)当x 为何值时，f (x )＝g (x )?(2)当x 为何值时，f (x )＞1？f (x )＝1？f (x )＜1?(3)当x 为何值时，g (x )＞3？g (x )＝3？g (x )＜3?解：作出函数f (x )，g (x )的图像，如图所示．(1)∵f (x )，g (x )的图像都过点(0,1)，且这两个图像只有一个公共点，∴当x ＝0时，f (x )＝g (x )＝1.(2)由图可知，当x ＞0时，f (x )＞1；当x ＝0时，f (x )＝1；当x ＜0时，f (x )＜1.(3)由图可知：当x ＞1时，g (x )＞3；当x ＝1时，g (x )＝3；当x ＜1时，g (x )＜3.11．(创新题)已知9x －10·3x ＋9≤0，求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2的最大值与最小值． 解：∵9x －10·3x ＋9≤0，∴(3x )2－10·3x ＋9≤0，即(3x －1)(3x －9)≤0，∴1≤3x ≤9，∴0≤x ≤2，又y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4⎝⎛⎭⎫12x ＋2＝⎝⎛⎭⎫14x ·⎝⎛⎭⎫14－1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2＝4·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2， 令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝⎛⎭⎫t －122＋1， ∵0≤x ≤2，∴14≤⎝⎛⎭⎫12x ≤1，∴14≤t ≤1，如图所示，当t ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝12时，y min ＝1；当t ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝1时，y max ＝2.。
高中物理必修第三章4知能演练轻松闯关
1．(2012·重庆双桥中学高一检测)关于作用力和反作用力，下列叙述正确的是()A．一个作用力和它的反作用力的合力等于零B．作用力和反作用力性质不一定相同C．作用力和反作用力同时产生，同时消失D．两个物体处于相对静止时，它们之间的作用力和反作用力的大小才相等解析：选C.作用力与反作用力产生的原因相同，必定是同一性质的力，B错误；作用力和反作用力一定同时产生，同时消失，而且始终大小相等方向相反，与物体所处的状态无关，所以C正确，D错误；作用力与反作用力分别作用在相互作用的两个物体上，不能求合力，A错误．图3－4－72．“用传感器探究作用力与反作用力的关系”的实验中，两个力传感器同时连接到计算机上，把两个挂钩连接在一起，向相反方向拉动，观察显示器屏幕上出现的结果如图3－4－7所示，观察分析两个力传感器的相互作用力随时间变化的曲线，可以得到以下哪些实验结论()A．作用力与反作用力大小始终相等B．作用力与反作用力方向相反C．作用力与反作用力作用在同一物体上D．牛顿第三定律不仅适用于静止的物体也适用于运动的物体解析：选AB.从图像可知，两力的曲线以时间轴为对称轴，总是大小相等、方向相反的，故A、B正确，C错误．D项结论正确，但不能从实验现象得出，故正确选项为A、B.图3－4－83．(改编题)现在城市滑板运动非常流行，如图3－4－8所示，在水平地面上的一名滑板运动员双脚站在滑板上以一定的速度向前滑行，在横杆前起跳并越过杆，从而使人与滑板分别从杆的上下通过，假设人和滑板运动过程中受到的各种阻力忽略不计，运动员能顺利完成该动作，最终仍能落在滑板上原来的位置，要使这个表演成功，运动员在起跳的过程中()A．双脚对滑板的作用力方向竖直向上B．运动员对滑板的作用力大小等于运动员的重力C．跳起之前运动员只受两个力作用D．滑板对运动员的作用力方向向上偏前解析：选C.因为运动员在滑板向上的作用力下跳起，由作用力与反作用力的关系可知，双脚对滑板的作用力竖直向下，A 错误；但由于滑板对运动员的作用力大于运动员的重力，所以运动员对滑板的作用力大于运动员的重力，B 错误；跳起之前，运动员只受两个力作用，C 正确；滑板对运动员的作用力竖直向上，运动员能向前运动是因为其惯性，D 错误．4．一小球用一细绳悬挂于天花板上，以下四种说法正确的是( )A ．小球所受的重力和细绳对它的拉力是一对作用力和反作用力B ．小球对细绳的拉力就是小球所受的重力C ．小球所受重力的反作用力作用在地球上D ．小球所受重力的反作用力作用在细绳上答案：C图3－4－95．(2011·高考浙江卷)如图3－4－9所示，甲、乙两人在冰面上“拔河”．两人中间位置处有一分界线，约定先使对方过分界线者为赢．若绳子质量不计，冰面可看成光滑，则下列说法正确的是( )A ．甲对绳的拉力与绳对甲的拉力是一对平衡力B ．甲对绳的拉力与乙对绳的拉力是作用力与反作用力C ．若甲的质量比乙大，则甲能赢得“拔河”比赛的胜利D ．若乙收绳的速度比甲快，则乙能赢得“拔河”比赛的胜利解析：选C.甲对绳的拉力与绳对甲的拉力是一对作用力与反作用力，故选项A 错误．甲对绳的拉力与乙对绳的拉力作用在同一物体上，不是作用力与反作用力，故选项B 错误．设绳子的张力为F ，则甲、乙两人受到绳子的拉力大小相等，均为F ，若m 甲>m 乙，则由a ＝F m得，a 甲<a 乙，由x ＝12at 2得在相等时间内甲的位移小，因开始时甲、乙距分界线的距离相等，则乙会过分界线，所以甲能赢得“拔河”比赛的胜利，故选项C 正确．收绳速度与“拔河”比赛胜负无关，故选项D 错误．一、选择题1．(2012·北京首都师大附中高一测试)一物体受绳的拉力作用由静止开始前进，先做加速运动，然后改为匀速运动，最后改做减速运动，则下列说法中正确的是( )A ．加速前进时，绳拉物体的力大于物体拉绳的力B ．减速前进时，绳拉物体的力小于物体拉绳的力C ．只有匀速前进时，绳拉物体的力与物体拉绳的力大小相等D ．不管物体如何前进，绳拉物体的力与物体拉绳的力大小总相等解析：选D.不论物体加速、匀速还是减速运动，绳拉物体的力与物体拉绳的力总是作用力与反作用力，大小相等、方向相反，故D 正确，A 、B 、C 错误．图3－4－102．如图3－4－10是中国运动员黄珊汕在第16届广州亚运会女子蹦床比赛中的精彩镜头，黄珊汕在与蹦床接触的时候受到几对作用力与反作用力(忽略空气阻力)()A．一对B．两对C．三对D．四对解析：选B.与蹦床接触时，黄珊汕共受两个力，即重力与蹦床对她的支持力，这两个力的反作用力分别是她对地球的引力和对蹦床的压力，故共有两对作用力与反作用力，B正确．3．下面说法中正确的是()A．以卵击石，鸡蛋“粉身碎骨”，但石头却“安然无恙”是因为鸡蛋对石头的力小于石头对鸡蛋的力B．马拉车前进，马对车的拉力等于车对马的拉力的大小C．物体间的作用力在先的是作用力，其后的是反作用力D．人压弹簧时“人弱它就强”说明人与弹簧间的相互作用力不是等大的解析：选B.相互作用的两个力总是大小相等的，故B对，A、D错误，两力总是同时产生，同时消失，C错，故选B.4．人在沼泽地行走时容易下陷，下陷时()A．人对沼泽地地面的压力大于沼泽地地面对他的支持力B．人对沼泽地地面的压力等于沼泽地地面对他的支持力C．人对沼泽地地面的压力小于沼泽地地面对他的支持力D.无法确定解析：选B.人对沼泽地地面的压力和沼泽地地面对他的支持力是一对作用力和反作用力，一定是大小相等的，人容易下陷是因为人的重力大于地面对他的支持力所致．5．吊在大厅天花板上的电扇所受重力为G，静止时固定杆对它的拉力为F，扇叶水平转动起来后，杆对它的拉力为F′，则()A．F＝G，F′＝F B．F＝G，F′>FC．F＝G，F′<F D．F′＝G，F′>F解析：选C.电扇静止时只受竖直向下的重力和杆对它的拉力F，由二力平衡可得：F＝G，扇叶水平转动后，对空气有向下的作用力，而空气对扇叶则有向上的反作用力，设为F″，则由二力平衡可得：F′＋F″＝G，故F′<G＝F，只有C正确．图3－4－116．(2012·辽宁附中高一检测)如图3－4－11所示，用质量不计的轻细绳l1和l2将A、B两重物悬挂起来，下列说法正确的是()A．l1对A的拉力和l2对A的拉力是一对平衡力B．l2对A的拉力和l2对B的拉力是一对作用力与反作用力C．l1对A的拉力和A对l1的拉力是一对平衡力D．l2对B的拉力和B对l2的拉力是一对作用力和反作用力解析：选D.重物A在l1的拉力、l2的拉力和自身重力三个力作用下处于平衡状态，故A错．A、B之间是通过l2发生作用的，没有直接作用，B错．l1对A的拉力和A对l1的拉力是一对作用力和反作用力，不是平衡力，故C错，l2对B的拉力和B对l2的拉力是B和l2之间相互作用而产生的，因而是一对作用力与反作用力，D正确．图3－4－127．如图3－4－12所示，P、Q叠放在一起，静止在水平面上，在下列各对力中，属于作用力和反作用力的有( )A ．P 所受的重力和Q 对P 的支持力B ．P 所受的重力和P 对Q 的压力C ．P 对Q 的压力和Q 对P 的支持力D ．Q 对桌面的压力和桌面对Q 的支持力解析：选CD.P 所受重力的施力物体是地球，Q 对P 的支持力的施力物体是Q ，它们是一对平衡力；P 对Q 的压力的施力物体是P ，受力物体是Q ，P 所受的重力和P 对Q 的压力大小相等、方向相同，但不是同一个力；P 对Q 的压力的施力物体是P ，受力物体是Q ，而Q 对P 的支持力的受力物体是P ，施力物体是Q ，它们是一对相互作用力；Q 对桌面压力的施力物体是Q ，受力物体是桌面，而桌面对Q 的支持力的受力物体是Q ，施力物体是桌面，它们是一对相互作用力．综上所述，正确的选项是C 、D.8．(2012·成都新津中学高一检测)下列有关相互作用的说法正确的是( )A ．苹果从树上落下，落向地球，说明苹果受地球的引力，而地球不动，说明地球不受苹果的作用力B ．人拉车加速运动时，人拉车的力大于车拉人的力C ．篮球运动员甲将球扔出去的力和运动员乙接球时的力是作用力与反作用力的关系D ．大炮发射炮弹的过程，炮弹对炮身也有反作用力解析：选D.A 中地球“不动”是因为地球的质量太大．由a 1a 2＝m 2m 1可知，当苹果的质量与地球质量相比可以忽略时，地球受苹果的吸引而产生的加速度也可以小到忽略的程度．B 情形是作用力与反作用力，也必定相等．C 不属于作用力与反作用力，甲扔球时，与球发生作用和反作用，乙接球时，球与乙发生作用和反作用．大炮发射炮弹时，大炮给炮弹一个作用力，同时，炮弹给炮身一个反作用力，故D 正确．图3－4－139．如图3－4－13所示，一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环．箱和杆质量为M ，环的质量为m ，已知环沿着杆加速下滑，环与杆的摩擦力大小为f ，则此时箱对地面的压力为( )A ．MgB ．(M ＋m )gC ．(M ＋m )g －fD ．Mg ＋f解析：选D.取木箱为研究对象，它受向下的重力Mg 、环给它向下的摩擦力f 和地面的支持力N 三个力的作用而平衡，N ＝Mg ＋f .由牛顿第三定律知，箱对地面压力N ′＝N ＝Mg ＋f .10．利用牛顿第三定律，有人设计了一种交通工具，在平板车上装了一个电风扇，风扇运转时吹出的风全部打到竖直固定在小车中间的风帆上，靠风帆受力而向前运动，如图3－4－14所示．对于这种设计，下列分析中正确的是( )图3－4－14A ．根据牛顿第二定律，这种设计能使小车运行B ．根据牛顿第三定律，这种设计能使小车运行C ．这种设计不能使小车运行，因为它违反了牛顿第二定律D ．这种设计不能使小车运行，因为它违反了牛顿第三定律解析：选D.风扇吹出的风吹到风帆上时，根据牛顿第三定律，风会给风扇一个反作用力，因此对于整个装置而言，作用力和反作用力是内力，小车不会运行，故选D.二、非选择题图3－4－1511．在北京残奥会开幕式上，运动员手拉绳索向上攀登，最终点燃了主火炬，体现了残疾运动员坚韧不拔的意志和自强不息的精神．为了探求上升过程中运动员与绳索和吊椅间的作用，可将过程简化．一根不可伸缩的轻绳跨过轻质的定滑轮，一端挂一吊椅，另一端被坐在吊椅上的运动员拉住，如图3－4－15所示．设运动员的质量为65 kg ，吊椅的质量为15 kg ，不计定滑轮与绳子间的摩擦．重力加速度取g ＝10 m/s 2.当运动员与吊椅一起以加速度a ＝1 m/s 2上升时，试求：(1)运动员竖直向下拉绳的力；(2)运动员对吊椅的压力大小．解析：(1)设运动员竖直向下拉绳的力为T ，则由牛顿第三定律可知，绳子对运动员竖直向上的拉力大小为T ，绳对吊椅竖直向上的拉力大小也为T ，选取运动员和吊椅整体为研究对象，则有2T －(M ＋m )g ＝(M ＋m )a ，所以T ＝(M ＋m )(g ＋a )2＝(65＋15)×(10＋1)2N ＝440 N. (2)设吊椅对运动员的支持力为F ，以运动员为研究对象，由牛顿第二定律得：T ＋F －Mg ＝Ma所以F ＝M (g ＋a )－T ＝65×11 N －440 N ＝275 N.据牛顿第三定律知，运动员对吊椅的压力大小为275 N.答案：(1)440 N (2)275 N图3－4－1612．如图3－4－16所示，质量为M 的木板放在倾斜角为θ的光滑斜面上，一个质量为m 的人站在木板上，若人相对于木板静止，木板的加速度为多大？人对木板的摩擦力为多大？ 解析：先以M 、m 为一整体，受力分析如图所示，取沿斜面向下为正方向，由牛顿第二定律得(M ＋m )g sin θ＝(M ＋m )aa ＝g sin θ以人为研究对象，设木板对人的摩擦力为f 人，方向沿斜面向下，受力分析如图所示．由牛顿第二定律得：mg sinθ＋f人＝ma且a＝g sinθ.可得f人＝0，由牛顿第三定律得：人对木板的摩擦力也为零．答案：g sinθ0。
教科版物理选修3-3：第三章 2 知能演练轻松闯关
1.下列关于半导体的说法中，正确的是()A．纯净半导体的电阻比导体小B．温度降低，半导体的电阻减小C．光照变强，光敏电阻阻值变小D．不能用半导体做激光器解析：选C.纯净半导体内的自由电子数目极少，电阻很大，A错；温度降低，半导体内自由电子数减少，电阻增大，B错；光照变强，半导体内自由电子数增大，光敏电阻阻值变小，C对；半导体可以发光，利用它可以制成半导体激光器，D错．2.下列关于晶体和非晶体的几种说法，正确的是()A．不具有规则几何形状的物体一定不是晶体B．晶体的物理性质与方向有关，这种特性叫做各向异性C．若物体表现为各向同性，它就一定是非晶体D．晶体有一定的熔化温度，非晶体没有一定的熔化温度解析：选BD.单晶体具有规则的几何外形，而非晶体和多晶体则没有．单晶体在物理性质上具有各向异性，而非晶体和多晶体则是各向同性，晶体有固定的熔点，非晶体则没有．3.如图所示的交流电压，通过一个含有理想二极管的电路(如图3－1－6)，则电阻上的电压的波形图是图3－1－7中的()图3－1－6图3－1－7解析：选B.根据二极管的单向导电性，只有一个方向的电流可以通过二极管，只有B图满足此项要求．4.云母薄片和玻璃薄片的表面分别涂一层很薄的石蜡，然后用烧热的钢针去接触云母薄片和玻璃薄片的反面，石蜡熔化，如图3－1－8所示，那么()图3－1－8A．熔化的石蜡呈圆形的是玻璃薄片B．熔化的石蜡呈现圆形的是云母薄片C．实验说明玻璃薄片各向同性是非晶体D．实验说明云母薄片各向同性是晶体解析：选AC.云母薄片是单晶体，具有各向异性；玻璃薄片是非晶体，具有各向同性，所以A、C选项正确．5.有一块物质薄片，某人为了检验它是不是晶体，做了一个实验．他以薄片的正中央O为坐标原点，建立xOy平面直角坐标系，在两个坐标轴上分别取两点x1和y1，使x1和y1到O点的距离相等．在x1和y1上分别固定一个测温元件，再把一个针状热源放在O点，发现x1点和y1点的温度在缓慢升高，但两点温度的高低没有差别．于是得出结论，这块薄片是非晶体．显然，以上结论存在着科学性问题．请你具体说明：以上实验结论的形成，存在着什么科学性问题？解析：以上实验说明该物质薄片在x、y两个方向上导热性能相同．说明该物质导热性能为各向同性，则该物质可能是非晶体，也可能是多晶体．答案：见解析一、选择题1.下列说法正确的是()A．黄金可以切割加工成各种形状，所以是非晶体B．同一种物质只能形成一种晶体C．单晶体的所有物理性质都是各向异性的D．玻璃没有确定的熔点，也没有规则的几何形状解析：选D.常见的金属都是多晶体，因而黄金也是多晶体，只是因为多晶体内部小晶粒的排列杂乱无章，才使黄金没有规则的几何形状，故A错；同一种物质可以形成多种晶体，如碳可以形成金刚石和石墨两种晶体，故B错；单晶体只在某些物理性质上表现出各向异性，并不是所有的物理性质都表现出各向异性，故C错；玻璃是非晶体，因而没有确定的熔点和规则的几何形状，故D对．2.北京奥运会的国家游泳中心——水立方，像一个透明的水蓝色“冰块”，透过它，游泳池中心内部设施尽收眼底．这种独特的感觉就源于建筑外墙采用了一种叫做ETFE(四氟乙烯和乙烯的共聚物)的膜材料．这种膜材料属于非晶体，那么它具有的特性是()A．在物理性质上具有各向同性B．在物理性质上具有各向异性C．具有一定的熔点D．没有一定的熔点解析：选AD.非晶体没有一定的熔点，在物理性质上表现为各向同性．3.在一些城市中，路灯的亮度和开关是通过光线实际照射的强度来进行控制的，其中就有二极管的作用，这是利用的半导体的()A．压敏特性B．光敏特性C．热敏特性D．以上说法都不对答案：B图3－1－94.一块厚度和密度都均匀分布的长方体被测样品，长AB是宽AD的两倍，如图3－1－9所示．如果用多用电表的欧姆挡沿两个对称轴O1O1′和O2O2′方向测量，结果阻值均为R，则这块样品可能是()A．单晶体B．多晶体C．非晶体D．金属解析：选A.用多用电表的欧姆挡沿两个对称轴O1O1′和O2O2′方向测量结果均相同，说明该物体沿O1O1′和O2O2′方向电阻率(即导电性能)不同，即表现出各向异性的物理性质，所以A正确．如果是普通金属，可以分析出沿O1O1′方向电阻比较大．5.在甲、乙、丙三种固体薄片上涂上蜡，由烧热的针接触其上一点，蜡熔化的范围如图3－1－10甲、乙、丙所示，而甲、乙、丙三种固体在熔解过程中温度随加热时间变化的关系如图丁所示()图3－1－10A．甲、乙为非晶体，丙是晶体B．甲、丙为晶体，乙是非晶体C．甲、丙为非晶体，丙是晶体D．甲为多晶体，乙为非晶体，丙为单晶体解析：选BD.由题图甲、乙、丙可知：甲、乙各向同性，丙各向异性；由题图丁可知：甲、丙有固定熔点，乙无固定熔点，所以甲、丙为晶体，乙是非晶体．其中甲为多晶体，丙为单晶体．故B、D正确．6.用多用表的欧姆挡(表内一个电池与电流表串联)测二极管的正反电阻，已知A表笔与电池的正极相连，第一次表笔A接二极管的C端，表笔B接二极管D端时电阻很小，第二次反接时电阻很大．则()A．第一次表笔A一定与二极管正极相接B．第二次表笔A一定与二极管负极相接C．C端一定是二极管的正极D．C端一定是二极管的负极解析：选AC.二极管正向电阻很小，所以第一次二极管一定处于正向相连的情况，A与电源正极相连，所以第一次表笔A一定与二极管正极相连，同时C端一定是二极管的正极．7.晶体在熔化过程中所吸收的热量，主要用于()A．破坏空间点阵结构，增加分子动能，不改变体积B．破坏空间点阵结构，增加分子势能，改变体积C．重新排列空间点阵结构，增加分子势能，同时增加分子动能和改变体积D．重新排列空间点阵结构，但不增加分子势能和动能，也不改变体积解析：选B.晶体熔化过程中保持温度不变，所以分子的平均动能不变，所以选项A、C都不对；晶体分子是有序排列的空间点阵结构，熔化成液体后分子排列是无序的，故选项D 不对；晶体熔化的过程是破坏空间点阵结构的过程，空间点阵结构被破坏以后，分子排列无序，故体积改变，分子势能增加，选项B正确．图3－1－118.如图3－1－11所示，曲线M、N分别表示晶体和非晶体在一定压强下的熔化过程．图中横线表示时间t，纵轴表示温度T.从图中可以确定的是()A．晶体和非晶体均存在固定的熔点T0B．曲线M的bc段表示固液共存状态C．曲线M的ab段、曲线N的ef段均表示固态D．曲线M的cd段、曲线N的fg段均表示液态解析：选B.只有晶体存在固定的熔点T0，曲线M的bc段表示固液共存状态，曲线M的ab 段、表示固态，曲线N的ef段不表示固态，曲线N的fg段不表示液态，选项B正确，A、C、D错误．二、非选择题9.你也许已经知道金刚石和石墨一些物理性质上的差别，你能不能根据它们的微观结构给予合理的解释？解析：石墨的分子结构是层状结构，层与层之间间距较大，原子间的作用力比较弱，所以石墨质地松软，可以用来做粉状润滑剂；金刚石中碳原子间的作用力很强，所以金刚石有很大的硬度．答案：见解析图3－1－1210.小红设计的电动机能正反转的电路如图3－1－12，操作时发现电动机的转向不易确定．请你利用发光二极管帮助小红解决这个问题．画出相应电路图．答案：。
教科物理必修1：第三章2知能演练轻松闯关
1．在“探究加速度与力、质量的关系”的实验中，下列做法和理由正确的是() A．实验中所用电源为直流电源B．可以将装有砂子的小桶用来代替钩码，这样会使实验更加方便C．处理数据时不用a－m图像，而用a－1mD．改变小车质量时，要重新平衡摩擦力解析：选C.打点计时器要用交流电源；用砂桶代替钩码，是因为可以连续改变拉力的大小，但并不是由于使实验更加方便；从本实验中平衡摩擦力的方法来看，改变小车质量时，并不用重新平衡摩擦力．2．(2012·重庆巴蜀中学高一检测)利用打点计时器探究加速度与力、质量关系的实验中，以下做法正确的是()A．平衡摩擦力时，应将重物用细绳通过定滑轮系在小车上B．每次改变小车质量时，不需要重新平衡摩擦力C．平衡摩擦力时，小车后面的纸带必须连好，打点计时器处于工作状态D．若纸带上的点分布均匀，说明已平衡了摩擦力解析：选BCD.因为小车在运动时要受到阻力，纸带与打点计时器间也有阻力，将长木板一端垫高一些，利用小车重力沿斜面向下的分力来平衡摩擦力，此时不能将重物用细绳通过定滑轮系在小车上．3．如图3－2－6是某些同学根据实验数据画出的图像，下列说法中正确的是()图3－2－6A．形成图甲的原因是平衡摩擦力时长木板倾角过大B．形成图乙的原因是平衡摩擦力时长木板倾角过小C．形成图丙的原因是平衡摩擦力时长木板倾角过大D．形成图丁的原因是平衡摩擦力时长木板倾角过小解析：选AD.图甲和图丙是小车的质量确定不变，图甲中F＝0时，即不施加拉力就有加速度，说明长木板的倾角过大，A正确；图丙中，当拉力达到某一值前没有加速度，说明平衡摩擦力不足，即长木板倾角过小，故C错误；乙和丁是对小车的拉力F确定不变，乙图中，1m＝0时，即小车的质量无穷大时还有加速度，说明平衡摩擦力过度，木板倾角过大，B错误；丁图是小车的质量小到一定程度才有加速度，说明平衡摩擦力不足，木板倾角过小，故D正确．4．在“探究加速度与力、质量的关系”的实验中，备有下列器材：A.电火花打点计时器；B.天平；C.秒表；D.交流电源；E.电池；F.纸带；G.细绳、砝码、滑块(可骑在气垫导轨上)；H.气垫导轨(一端带定滑轮)；I.毫米刻度尺；J.小型气泵(1)实验中应选用的器材有________________________________________________________________________；实验的研究对象________________________________________________________________________．(2)本实验分两大步骤进行：①________________________________________________________________________；②________________________________________________________________________.解析：本实验的重点是：在m一定时，根据不同力作用下打出的纸带，求出加速度；在F 一定时，根据不同质量条件下打出的纸带，求出加速度，故只要明确电火花打点计时器及气垫导轨的工作条件，则不难将器材选出．答案：(1)ABDFGHIJ骑在气垫导轨上的滑块(2)①研究a与F的关系(m一定)②研究a与1/m的关系(F一定)图3－2－75．如图3－2－7所示是某同学探究加速度与力、质量的关系时，已接通电源正要释放纸带时的情况，请你指出该同学的五个差错．(1)电源__________；(2)电磁打点计时器位置__________；(3)滑轮位置__________；(4)小车位置__________；(5)长木板____________________．解析：探究加速度与力、质量的关系时，电火花打点计时器应使用交流电源，且要固定在长木板无滑轮的一端，即应靠右端；释放纸带时小车应靠近打点计时器；连接小车的细线应保持水平，故应调节滑轮位置使拉线水平；实验时应平衡摩擦力，使小车所受重力沿斜面方向的分力与小车所受摩擦力平衡，故应垫高长木板右端平衡摩擦力．答案：(1)应用220 V交流电源(2)应靠右端(3)应使拉线水平(4)应靠近打点计时器(5)应垫高右端平衡摩擦力6．(2012·扬州中学高一月考)“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置如图3－2－8甲所示．图3－2－8(1)在平衡小车与桌面之间摩擦力的过程中，打出了一条纸带如图乙所示．计时器打点的时间间隔为0.02 s．从比较清晰的点起，每5个点取一个计数点，量出相邻计数点之间的距离．该小车的加速度a＝________m/s2.(结果保留两位有效数字)(2)平衡摩擦力后，将5个相同的砝码都放在小车上．挂上砝码盘，然后每次从小车上取一个砝码添加到砝码盘中，测量小车的加速度．小车的加速度a与砝码盘中砝码总重力F的实验数据如下表：图3－2－9(3)根据提供的实验数据作出的a －F 图线不通过原点，请说明主要原因．解析：(1)a ＝Δx T 2＝(3.68－3.52)×10－20.12 m/s 2＝0.16 m/s 2或a ＝Δx T 2＝(3.83－3.68)×10－20.12 m/s 2＝0.15 m/s 2.(2)如图所示 (3)小车、砝码盘和砝码组成的系统所受合外力为砝码盘和砝码的总重力，而表中数据漏计了砝码盘的重力，导致合力F 的测量值小于真实值，a －F 的图线不过原点．答案：(1)0.16(0.15也算对)(2)见解析(3)未计入砝码盘的重力。
教科物理必修1：第三章1知能演练轻松闯关
1．伽利略的理想实验()A．证明了要使物体运动必须有力的作用，没有力的作用物体将处于静止状态B．证明了要使物体静止必须有力的作用，没有力的作用，物体将处于匀速直线运动状态C．证明了物体不受外力作用时，总保持静止状态D．不能在实际中得以实现，是因为实际中总有阻力存在解析：选D.伽利略由理想实验推断出，物体运动时若不受外力作用，它将永远运动下去．但在实际条件下这种不受外力作用的情况是无法实现的．2．下列对运动的认识不正确的是()A．亚里士多德认为物体的自然状态是静止的，只有当它受到力的作用才会运动B．伽利略认为力不是维持物体速度的原因C．牛顿认为力的真正效应总是改变物体的速度，而不仅仅是使之运动D．伽利略根据理想实验推论出，如果没有摩擦，在水平面上的物体，一旦具有某一个速度，将保持这个速度继续下去解析：选A.亚里士多德认为没有力作用在物体上，物体就不会运动，伽利略认为力不是维持物体运动的原因，伽利略根据理想实验推论出，如果没有摩擦，在水平面上的物体，一旦具有某一个速度，将保持这个速度继续运动下去．牛顿认为力是改变物体运动状态的原因，并不是使物体运动的原因．3．16世纪末，伽利略用实验和推理，推翻了已在欧洲流行了近两千年的亚里士多德关于力和运动的理论，开启了物理学发展的新纪元．在以下说法中，与亚里士多德观点相反的是()A．四匹马拉的车比两匹马拉的车跑得快，这说明物体受的力越大，速度就越大B．一个运动的物体，如果不再受力了，它总会逐渐停下来，这说明静止状态才是物体在不受力时的“自然状态”C．两物体从同一高度自由下落，较重的物体下落较快D．一个物体维持匀速直线运动，不需要力解析：选D.力是改变物体运动状态的原因，不是维持物体运动的原因，故选项A、B、C错误；两物体从同一高度自由下落，物体下落的速度与物体的质量无关，由力的平衡知识可知，物体处于静止或匀速直线运动时，所受合力为零，故一个物体维持匀速直线运动，不需要外力，选项D正确．4．下列关于惯性的各种说法中，你认为正确的是()A．抛出去的标枪、手榴弹等是靠惯性向远处运动的B．在完全失重的情况下，物体的惯性将消失C．把手中的球由静止释放后，球能竖直加速下落，说明力是改变物体惯性的原因D．材料不同的两个物体放在地面上，用一个相同的水平力分别推它们，则难以推动的物体惯性大解析：选A.惯性是物体本身的一种属性，只与质量有关，与物体的运动状态及受力情况无关，选项B、C错误；物体难以推动，是因为物体受到的最大静摩擦力较大，选项D错误；物体被抛出以后，靠惯性向前运动，选项A正确．5．(2012·四川德阳中学高一检测)下列有关惯性大小的叙述中，正确的是()A．物体跟接触面间的摩擦力越小，其惯性就越大B．物体所受的合力越大，其惯性就越大C．物体的质量越大，其惯性就越大D．物体的速度越大，其惯性就越大解析：选C.物体的惯性只由物体的质量决定，和物体受力情况、速度大小无关，故A、B、D错误，C正确．一、选择题1．(2012·浙江效实中学高一检测)物体的运动状态改变了，不可能发生的是()A．速率不变B．速度不变C．惯性大小随之变化D．物体未受任何力解析：选BCD.物体的运动状态是用速度来描述的，运动状态改变了，则物体的速度一定改变了，但有可能速度大小不变，而方向改变．所以A可能发生B不可能发生；物体惯性大小与物体的运动状态无关，只由质量决定，质量不变则不会发生变化，而力是改变物体运动状态的原因，物体运动状态改变了，必定有外力存在，所以C、D均不可能发生．2．一天，下着倾盆大雨．某人乘坐列车时发现，车厢的双层玻璃窗内积水了．列车进站过程中，他发现水面的形状是下图中的()图3－1－2解析：选C.列车进站时刹车，速度减小，而水由于惯性仍要保持原来较大的速度，所以水向前涌，液面形状和选项C一致．3．洒水车在洒水前进时，保持匀速行驶，下列说法中正确的是()A．其运动状态和惯性都不断变化B．其运动状态不变，惯性不断变化C．其运动状态改变，惯性不变D．其运动状态和惯性都不改变答案：B图3－1－34．如图3－1－3所示，在一辆表面光滑的足够长的小车上，有质量为m1和m2的两个小球(m1>m2)，两个小球原来随车一起运动，当车突然停止时，如不考虑其他阻力，则两个小球()A．一定相碰B．一定不相碰C．不一定相碰D．无法确定解析：选 B.当小车停止时，两小球在水平方向上不受力的作用，均保持原来的速度做匀速直线运动，故两小球一定不相碰．5．对惯性的理解，下列说法中正确的是()A．将物体抛到空中后，物体就没有惯性了B．物体做自由落体运动时，惯性就变小了C．两个质量相同的物体，不论速度大小及是否受力，惯性大小一定相同D．两个质量相同的物体，在不同的合力作用下，惯性大小不同解析：选C.惯性是物体的固有属性，物体无论在什么状态，无论在什么位置都具有惯性；而惯性大小的唯一量度就是质量，只要质量一定，惯性就是确定的，故选项C正确．6．下列关于惯性的说法中正确的是()A．在地上滚动的小球越滚越慢，是小球受的阻力克服了小球惯性的原因B．只有静止的物体和做匀速直线运动的物体有惯性C．只有不受外力的物体有惯性D．一切物体在任何情况下都有惯性解析：选D.小球的速度越来越慢是因为受到阻力作用，阻力改变了物体的速度但不能改变物体的惯性；静止的物体和运动的物体都具有惯性；受外力作用的物体与不受外力作用的物体都有惯性；一切物体都具有惯性，所以只有选项D是正确的．7．火车正在长直轨道上行驶，半夜时，一个旅客醒来后，想判断车是正在行驶还是停止，他向上跳起，结果他落回原处，以下说法中，正确的是()A．向上跳后落回原处，表明列车静止B．向上跳后落回原处，不能说明列车是静止的C．若火车正向前运动，他跳起后应落到稍后一些的位置D．若他跳起后落到稍后一些的位置，说明火车的速度正在变大解析：选BD.落回原处表明火车可能静止，也可能正做匀速直线运动，若他跳起后落到稍后一些的位置，说明火车在他跳起时的速度小些，他跳起后火车的速度大，故本题应选B、D.8．下列现象中不．能用惯性知识解释的是()A．跳远运动员的助跑速度越大，跳远成绩往往越好B．用力将物体抛出去，物体最终要落回地面上C．子弹离开枪口后，仍能继续高速向前飞行D．古代打仗时，使用绊马索能把敌方飞奔的马绊倒解析：选 B.跳远运动员助跑后跳起，由于惯性仍保持向前的运动状态，故速度越大，向前冲出的距离越远，成绩越好；抛出去的物体最终落回到地面上，是由于重力作用，与惯性无关；子弹离开枪口后，由于惯性，仍沿原来方向高速飞行；敌方飞奔的马，遇到绊马索后，马腿被绊住，但马的上身由于惯性仍保持向前的运动，结果被绊倒在地．图3－1－49．如图3－1－4所示是一种汽车安全带控制装置示意图．当汽车处于静止或匀速直线运动时，刹车摆锤竖直悬挂，锁棒水平，棘轮可以自由转动，安全带能被拉动．当汽车突然刹车时，摆锤由于惯性绕轴摆动，使得锁棒锁定棘轮的转动，安全带不能被拉动．若摆锤从图中实线位置摆到虚线位置，汽车的可能运动方向和运动状态是()A．向右行驶、匀速直线运动B．向左行驶、匀速直线运动C．向右行驶、突然刹车D．向左行驶、突然刹车解析：选C.若汽车做匀速直线运动，则摆锤不会从实线位置摆到虚线位置，故A、B均错误；由题图可知摆锤向右摆动，可知摆锤具有水平向左的加速度，故汽车加速度向左，汽车可能向左加速或向右减速，故C正确、D错误．图3－1－510．(2012·湖南师大附中高一检测)如图3－1－5所示，一个劈形物体abc各面均光滑，放在固定的斜面上，ab面水平并放上一个光滑小球，把物体abc从静止开始释放，则小球在碰到斜面以前的运动轨迹是()A．沿斜面的直线B．竖直的直线C．弧形的直线D．折线解析：选 B.由于小球放在光滑的水平面上，所以水平方向不受外力，水平方向的运动状态不变，故只能竖直向下运动，运动轨迹是竖直的直线，因此正确答案是B项．二、非选择题11．我们知道汽车在刹车的时候，尾灯就会亮，汽车上固定一个仪器，电路如图3－1－6所示，其中M是质量较大的一个金属块，那么当汽车启动和刹车时哪个灯会亮？图3－1－6解析：汽车开始启动时，由于惯性，金属块保持不动，而车向前开动，所以向后压缩弹簧，触头和a接触构成回路，绿灯亮．汽车做匀速运动时，金属块和车具有相同的运动状态，两灯均不亮．当汽车急刹车时，金属块由于惯性，向前压缩弹簧，触头和b接触，构成回路，红灯亮．答案：启动时，绿灯亮刹车时，红灯亮图3－1－712．如图3－1－7所示，一较高木块在小车上和小车一起做匀速直线运动，当小车碰到一障碍物的瞬间(设小车碰后立即停下)，则：(1)若小车上表面粗糙，则木块将如何运动？(2)若小车上表面光滑，则木块将如何运动？解析：当小车遇到障碍物时，小车将停下，(1)如果上表面粗糙，则木块上部由于惯性将继续前进向右运动，木块下部虽然也要继续向右运动，但下部受到一个向左的摩擦力，使得下部的运动状态发生改变，很快停止，故此时木块将向右倾倒．(2)如果小车上表面光滑，则木块下部不受摩擦力，此时整个木块都将由于惯性而保持向右的匀速直线运动状态．答案：(1)木块将向右倾倒(2)木块将向右做匀速直线运动。
北师大版数学选修2-1：第三章3.2知能演练轻松闯关
1.(2011·高考安徽卷)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 解析：选C.∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴2a ＝4. 2.(2011·高考湖南卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1 解析：选C.x 2a 2－y 29＝1的渐近线为y ＝±3a x ，∴a ＝2. 3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c ＝4，且满足c a ＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝2 3.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 答案：(±4，0) y ＝±3x4.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，∵c >b ，∴∠B 1F 1B 2＝60°，∴∠B 1F 1O ＝30°.在△B 1OF 1中，b c＝tan 30°， ∴b c ＝33. ∴c 2－a 2c 2＝13.∴1－a 2c 2＝13，∴a 2c 2＝23. ∴e 2＝c 2a 2＝32，∴e ＝62. 答案：62[A 级 基础达标]1.(2012·西安质检)下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B.双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝62，得b 2a 2＝12，只有B 选项符合，故选B.2.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2.∴－1m ＝b 2＝4.∴m ＝－14，故选A. 3.双曲线x 2－y 2＝－3的( )A ．顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B ．顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C ．顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±xD ．虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x ＝±y 解析：选B.将x 2－y 2＝－3化为y 23－x 23＝1，知a ＝3，b ＝3，c ＝6，焦点在y 轴上，所以顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±x . 4.(2012·咸阳检测)双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程是______． 解析：方程x 24－y 28＝1，即为x 222－y 2（22）2＝1，∴a ＝2，b ＝2 2.∴双曲线x 24－y 28＝1的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x5.(2012·新余调研)与椭圆x 2＋4y 2＝16有共同焦点，且一条渐近线方程是x ＋3y ＝0的双曲线的方程是________．解析：椭圆x 2＋4y 2＝16化为标准方程为x 216＋y 24＝1， ∴焦点在x 轴上，且c ＝2 3.∴双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2 3.又b a ＝33， ∴b 2a 2＝13，即a 2＝3b 2. 又a 2＋b 2＝c 2＝12， ∴a 2＝9，b 2＝3. ∴双曲线方程为x 29－y 23＝1. 答案：x 29－y 23＝1 6.双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，求该双曲线的方程．解：椭圆4x 2＋y 2＝64即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，所以a ＝6，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线方程为y 236－x 212＝1. [B 级 能力提升]7.焦距为10，且b a ＝43的双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 2100＝1 D.x 29－y 216＝1或y 29－x 216＝1 解析：选D.由题意知2c ＝10，c ＝5，又b a ＝43，c 2＝b 2＋a 2，∴a 2＝9，b 2＝16，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1或y 29－x 216＝1.故选D. 8.(2011·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选B.由⎩⎨⎧y ＝b a x x ＝－p 2，解得⎩⎨⎧y ＝－bp 2a x ＝－p 2， 由题得⎩⎨⎧－bp 2a 1－p 2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12p ＝4， 又p 2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴焦距2c ＝2 5.故选B. 9.(2012·驻马店质检)如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：∵P 在双曲线右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 2|＝23a ≥c －a . ∴53a ≥c ，即c a ≤53. ∴双曲线离心率e 最大值为53. 答案：5310.双曲线C 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且C 上存在一点P 与点Q (2－23，5)关于直线y ＝－x ＋2对称，求双曲线C 的方程．解：设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 又设P 点坐标为(x ，y )，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＋23＝1，y ＋52＝－x ＋2－232＋2，解之得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝2 3. 又双曲线C 过点P (－3，23)，所以λ＝（－3）29－（23）216＝14，所以所求双曲线C 的方程为x29－y216＝14，即49x2－14y2＝1.11.(创新题)已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，求1e21＋1e22的值．解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则有|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.由题意可知，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，整理得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|²|PF2|＝4c2，(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|²|PF2|＝4c2，则两式相加得4a21＋4a22＝8c2，整理得1e21＋1e22＝2.。
教科版物理选修3-3：第三章 4 知能演练轻松闯关
1.关于液晶的下列说法中正确的是()A．液晶是液体和固体的混合物B．液晶分子在特定方向排列比较整齐C．电子手表中的液晶在外加电压的影响下，能够发光D．所有物质在一定条件下都能成为液晶解析：选B.液晶是某种特定的有机化合物，在某些方向上分子排列规则，某些方向上排列杂乱．液晶本身不能发光，所以只有B对．2.关于液体的表面张力，下列说法正确的是()A．由于液体的表面张力使表面层内液体分子间的平均距离小于r0B．由于液体的表面张力使表面层内液体分子间的平均距离大于r0C．产生表面张力的原因是表面层内液体分子间只有引力没有斥力D．产生表面张力的原因是表面层内液体分子间作用力表现为引力解析：选D.由分子运动论可知，在液体与空气接触面附近的液体分子，液面上方的空气分子对它们的作用极其微弱，所以它们基本上只受到液体内部分子的作用，因而在液面处形成一个特殊的薄层，称为表面层．在液体表面层内，分子的分布比液体内部稀疏，它们之间的距离r＞r0，分子间作用力表现为引力．3.下列叙述中不．正确的是()A．棒状分子、碟状分子和平板状分子的物质呈液晶态B．利用液晶在温度变化时由透明变浑浊的特性可制作电子表、电子计算器的显示元件C．有一种液晶，随温度的逐渐升高，其颜色按顺序改变，利用这种性质，可用来探测温度D．利用液晶可检查肿瘤，还可以检查电路中的短路点解析：选A.通常棒状分子、碟状分子和平板状分子的物质容易具有液晶态，但不是任何时候都呈液晶态，故A错．4.下列现象中，主要是液体表面张力起作用的是()A．缝衣针漂浮在水面上B．小木船漂浮在水面上C．硬币浮在水面上D．慢慢向小酒杯中注水，即使水面稍高出杯口，水也不会流出来解析：选ACD.小缝衣针、硬币漂浮在水面上，针、硬币并没有浸入液体中，只受到水表面的作用力，故是表面张力现象，A、C正确；小船漂浮在水面上，受到的是水的浮力，B错误；表面张力的作用可以使液面收缩．D正确．5.把玻璃管的裂口放在火焰上烧熔，它的尖端就变圆．这是什么缘故？答案：玻璃管的断口烧熔后，熔化的玻璃的表面层在表面张力作用下收缩到最小表面积，从而使断裂处尖端变圆一、选择题1.以下关于液体的说法正确的是()A．非晶体的结构跟液体非常类似，可以看做是粘滞性极大的液体B．液体的物理性质一般表现为各向同性C．液体的密度总是小于固体的密度D．所有的金属在常温下都是固体解析：选AB.由液体的微观结构知A、B正确；有些液体的密度大于固体的密度，例如汞的密度就大于铁、铜等固体的密度，故C错；金属汞在常温下就是液体，故D错．2.关于液体的表面张力，下列说法正确的是()A．表面张力是液体内部各部分之间的相互作用力B．液体表面层分子的分布比内部稀疏，分子力表现为引力C．不论是什么液体，表面张力都会使表面收缩D．表面张力的方向与液面垂直解析：选BC.表面张力是由于表面层中分子间距大，而在表面层分子间表现出的引力，A错B正确；由于表面张力的作用，使液体表面有收缩的趋势，C正确；表面张力的方向跟液面相切，D错误．3.关于晶体、液晶、液体，下列说法正确的是()A．晶体和液晶的性质是完全相同的B．液晶就是液体，具有液体的所有性质C．液晶是介于晶体与液体之间的一种中间态D．液晶具有液体的流动性，具有晶体的各向异性解析：选CD.晶体属于典型的固体，其分子排列呈一定的点阵结构，有规律，而液晶分子的结构是介于液态的杂乱与晶体的规律排列之间的，其像液体一样具有流动性，而在光学性质等物理性质上又与晶体相似，具有各向异性．4.我们在河边会发现有些小昆虫能静止于水面上，这是因为()A．小昆虫的重力可忽略B．小昆虫的重力与浮力平衡C．小昆虫的重力与表面张力平衡D．表面张力使水面收缩成“弹性薄膜”，对小昆虫产生一个向上的支持力，小昆虫的重力和支持力平衡解析：选D.小昆虫静止在水面上是因为小昆虫所受的合外力为零；表面张力不是作用于小昆虫上的力，而是作用于液体表面层中的力．5.下列说法正确的是()A．水和酒精混合后总体积变小了是由于水分子与酒精分子之间的作用使它们间的距离变小的缘故B．船能浮在水面上是由于水的表面张力的合力与船的重力平衡的缘故C．液体表面层分子间的距离比液体内部分子间的距离大D．在水平玻璃板上，散落的水银呈球形或椭球形是由于水银的表面张力使之收缩的缘故解析：选CD.水和酒精混合总体积减小是因为水和酒精分子彼此进入到对方空隙中的原因；船能浮在水面上是因为浮力和重力平衡的缘故；散落在水平玻璃板上的水银呈球形或椭球形是表面张力的作用．6.下列说法正确的是()A．液晶是晶体B．液晶是液体C．液晶是固体D．液晶既不是固体也不是液体解析：选D.液晶既不是晶体，也不是液体．7.关于液体的表面，下列说法正确的是()A．液体的表面有收缩到最小表面积的趋势B．液体表面层里的分子比液体内部的分子稠密，也就是表面层里的分子排得较紧密，这是表面张力作用的结果C．液体表面层里的分子比液体内部的分子稀疏，也就是表面层里的分子间距离比液体内部分子间距离大些；所以，表面层里分子间的相互作用表现为引力，这是表面张力存在的原因D．液体表面各部分之间的吸引力就是表面张力，表面张力使液面具有收缩的趋势，所以表面张力的方向垂直于液面指向液体的内部解析：选AC.液体内部分子间的平均距离等于分子间的平衡距离(r0)，内部分子间同时存在的引力和斥力相等，合力为零．液体表面层里的分子间平均距离比内部分子间的平衡距离(r0)大，分子间同时存在的引力比斥力大，合力表现为引力；所以，液体的表面均呈现表面张力现象．表面张力是液体表面各部分之间的吸引力，方向与液面相切．图3－3－48.在天平的左盘挂一根铁丝，右盘放一砝码，且铁丝浸于液体中，此时天平平衡，如图3－3－4所示，现将左端液体下移使铁丝刚刚露出液面，则()A．天平仍然平衡B．由于铁丝离开水面沾上液体，重量增加而使天平平衡被破坏，左端下降C．由于铁丝刚离开液面，和液面间生成一液膜，此液膜的表面张力使天平左端下降D．以上说法都不对解析：选C.由于铁丝刚好离开液面，和液面间生成一液膜，此液膜的表面张力使铁丝受到向下的作用力，所以天平左端下降．二、非选择题9.水的密度比沙的密度小，为什么沙漠中的风能刮起大量沙子，而海洋上的风却只带有少量的水沫？解析：由于海水水面有表面张力的作用，水珠之间相互吸引着，风很难把水珠刮起，只能形成海浪，所以海洋上的风只带有少量的水沫．而沙漠中的沙子却不一样，沙粒之间作用力很小，几乎没有，所以风很容易刮起大量沙子．答案：见解析图3－3－510.如图3－3－5所示，把橄榄油滴入水和酒精的混合液里，当混合液的密度与橄榄油密度相同时，滴入的橄榄油呈球状悬浮在液体中，为什么？解析：当橄榄油悬浮在液体中时，橄榄油由于表面张力的作用，使其表面收缩到最小状态，所以橄榄油呈球状.答案：见解析。
人教版化学选修4：第三章第三节第1课时知能演练轻松闯关
一、单项选择题1.在盐类发生水解的过程中，下列说法正确的是()A．盐的水解不属于离子反应B．溶液的pH一定发生改变C．水的电离程度逐渐增大D．没有中和反应发生解析：选C。
本题考查的是盐类水解的实质。
盐的水解属于离子反应，选项A不正确；像CH3COONH4这样的弱酸弱碱盐，CH3COO－和NH＋4的水解程度一样大，水解后溶液仍然呈中性，溶液的pH不发生改变，选项B也不正确；盐类发生水解，实质是促进水的电离，选项C正确；盐类水解反应的逆过程是中和反应，因此有中和反应发生。
故正确答案为C。
2.(2012·大连高二测试)下列反应既不是水解反应，又不是氧化还原反应的是()＋H2O NH3·H2O＋H＋A．NH＋O H2S＋OH－B．HS－＋H＋H2O HBr＋HBrOC．BrS＋H2O H3O＋＋HS－D．H解析：选D。
A项为NH＋4的水解反应；B项是HS－的水解反应；C项是Br2与水的反应，属于氧化还原反应；D项为H2S的电离。
3.现有等浓度的下列溶液：①醋酸，②硫酸氢钠，③醋酸钠，④碳酸，⑤碳酸钠，⑥硫酸钠。
按溶液pH由小到大排列正确的是()A．④①②⑤⑥③B．⑥①②④③⑤C．②①④⑥③⑤D．①④②③⑥⑤解析：选C。
同等浓度的酸，越易电离的酸性越强，pH越小，同等浓度的强碱弱酸盐，酸越弱，对应的盐的水溶液碱性越强，pH越大。
4.下列操作中，能使水的电离平衡向右移动，而且所得溶液显酸性的是()A．在水中加入少量氯化钠，并加热到100 ℃B．在水中滴入稀硫酸C．在水中加入小苏打D．在水中加入氯化铝固体解析：选D。
A项溶液显中性；B项，加入稀H2SO4抑制水的电离；C项加入NaHCO3，HCO－3水解溶液显碱性；D项AlCl3中的Al3＋水解，促进H2O的电离，且溶液显酸性。
5.有四种物质的量浓度相同且由＋1价阳离子A＋、B＋和－1价阴离子X－、Y－组成的盐溶液。
据测定，常温下AX溶液和BY溶液的pH都为7，A Y溶液的pH＞7，BX溶液的pH＜7。
教科物理必修1：第三章3知能演练轻松闯关
1．在牛顿第二定律的表达式F ＝kma 中，有关比例系数k 的下列说法中，正确的是( ) A ．在任何情况下k 都等于1B ．k 的数值由质量、加速度和力的大小决定C ．k 的数值由质量、加速度和力的单位决定D ．在国际单位制中，k 等于1解析：选CD.在F ＝kma 中，只有各量均取国际单位时，k 才等于1，若各量并不都取国际单位，则k 的大小由F 、m 、a 的单位共同决定．所以C ，D 正确． 2．(2012·湖北黄冈中学高一检测)下列说法正确的是( ) A ．物体所受合外力为零时，物体的加速度可以不为零 B ．物体所受合外力越大，速度越大C ．速度方向、加速度方向、合外力方向总是相同的D ．速度方向可与加速度方向成任何夹角，但加速度方向总是与合外力方向相同解析：选D.由牛顿第二定律：F ＝ma 知，F 合为0，加速度为零，由惯性定律知速度不一定为零；当F 合越大，a 也越大，由a ＝ΔvΔt知，a 大只能说明速度变化率大，速度不一定大，故A ，B 项错误；F 合，a ，Δv 三者方向一定相同，而速度方向与这三者方向不一定相同，C 项错，故正确答案为D.3．下列单位中，是国际单位制中加速度单位的是( ) A ．cm/s 2 B ．m/s 2 C ．N/kg D ．N/m解析：选B.国际单位制中，质量的单位为kg ，长度的单位为m ，时间的单位为s ，根据a ＝vt可知，加速度的单位为m/s 2. 4．(2012·山东聊城第一中学高一月考)一个质量为2 kg 的物体同时受到两个力的作用，这两个力的大小分别为2 N 和6 N ，当两个力的方向发生变化时，物体的加速度大小可能为( )A ．1 m/s 2B ．2 m/s 2C ．3 m/s 2D ．4 m/s 2解析：选BCD.先求两力合力大小的范围为4 N ≤F 合≤8 N ，所以42≤F 合m ≤82，即2 m/s 2≤a ≤4m/s 2，在此范围内的是B 、C 、D 三项． 5.图3－3－6如图3－3－6所示，车厢在运动过程中所受阻力恒为f ，当车厢以某一加速度a 向右加速时，在车厢的后壁上相对车厢静止着一物体m ，物体与车厢壁之间的动摩擦因数为μ，设车厢的质量为M ，则车厢内发动机的牵引力至少为多少时，物体在车厢壁上才不会滑下来？ 解析：以车厢和物块整体为研究对象，则由牛顿第二定律得：F －f ＝(M ＋m )a ①以物块为研究对象，受力情况如图所示，则f ′＝mg ＝μN其中N ＝ma ，所以a ＝gμ，代入①得F ＝f ＋(M ＋m )gμ.答案：f ＋(M ＋m )gμ一、选择题1．关于速度、加速度、合外力的关系，下列说法中不正确的是( ) A ．不为零的合外力作用于原来静止物体的瞬间，物体立刻获得加速度B ．加速度的方向与合外力的方向总是一致的，但与速度的方向可能相同，也可能不同C ．在初速度为零的匀加速直线运动中，速度、加速度与合外力的方向总是一致的D ．合外力变小，物体的速度一定变小解析：选D.由牛顿第二定律可知A 、B 选项正确；初速度为零的匀加速直线运动中，v 、a 、F 三者的方向相同，故C 选项正确；合外力变小，加速度变小，但速度不一定变小，D 选项错误．2．用轻绳系一质量为m 的砝码并向上提起，当绳中张力为T ＝mg 时，砝码匀速上升．若绳中张力变为2T ，则砝码匀加速上升，其加速度a 的大小为( ) A ．a <g B ．a ＝g C ．g <a <2g D ．a ＝2g解析：选B.由牛顿第二定律可知，加速度a ＝2T －mgm＝g ，故选B.图3－3－73．如图3－3－7所示，长木板静止在光滑的水平地面上，一木块以速度v 滑上木板，已知木板质量是M ，木块质量是m ，二者之间的动摩擦因数为μ，那么，木块在木板上滑行时( ) A ．木板的加速度大小为μg /M B ．木块的加速度大小为μg C ．木板做匀加速直线运动 D ．木块做匀减速直线运动解析：选BCD.木板所受合力是m 施加的摩擦力μmg ，所以木板的加速度为μmgM，做匀加速直线运动；木块同样受到摩擦力作用，其加速度为μmgm＝μg ，做匀减速直线运动，故A 错误，B 、C 、D 正确． 4.图3－3－8(2012·北京101中学高一检测)如图3－3－8所示，在光滑的水平面上，质量分别为m 1和m 2的木块A 和B 之间用轻弹簧相连，在拉力F 作用下，以加速度a 做匀加速直线运动，某时刻突然撤去拉力F ，此瞬时A 和B 的加速度为a 1和a 2，则( ) A ．a 1＝a 2＝0 B ．a 1＝a ，a 2＝0C ．a 1＝m 1m 1＋m 2a ，a 2＝m 2m 1＋m 2aD ．a 1＝a ，a 2＝－m1m 2a解析：选D.两物体在光滑的水平面上一起以加速度a 向右匀加速运动时，弹簧的弹力F 弹＝m 1a ，在力F 撤去的瞬间，弹簧的弹力来不及改变，大小仍为m 1a ，因此对A 来讲，加速度此时仍为a ，对B 物体：取向右为正方向，－m 1a ＝m 2a 2，a 2＝－m1m 2a ，所以只有D 项正确．5．假设汽车紧急制动后所受到的阻力的大小与汽车所受重力的大小差不多，当汽车以20 m/s 的速度行驶时突然制动，它还能继续滑行的距离约为( ) A ．40 m B ．20 m C ．10 m D ．5 m解析：选B.由题意F 阻＝mg ，汽车所受合力F ＝F 阻＝mg ，对汽车由牛顿第二定律解得汽车刹车时的加速度大小a ＝F m ＝g ＝10 m/s 2.设滑行距离为x ，由v 2＝2ax 得x ＝v 22a＝20 m ，故B正确．图3－3－96．质量均为m 的A 、B 两个小球之间系一个质量不计的弹簧，放在光滑的台面上．A 紧靠墙壁，如图3－3－9所示，若用恒力F 将B 球向左挤压弹簧，达到平衡时，突然将力撤去，此瞬间( )A ．A 球的加速度为F /(2m )B ．A 球的加速度为零C ．B 球的加速度为F /(2m )D ．B 球的加速度为F /m解析：选BD.恒力F 作用时，A 和B 都平衡，它们的合力都为零，且弹簧弹力为F .突然将力F 撤去，对A 来说水平方向依然受弹簧弹力和墙壁的弹力，二力平衡，所以A 球的合力为零，加速度为零，A 项错，B 项对．而B 球在水平方向只受水平向右的弹簧的弹力作用，加速度a ＝Fm，故C 项错，D 项对．图3－3－107．(2011·高考天津卷)如图3－3－10所示，A 、B 两物块叠放在一起，在粗糙的水平面上保持相对静止地向右做匀减速直线运动，运动过程中B 受到的摩擦力( ) A ．方向向左，大小不变 B ．方向向左，逐渐减小 C ．方向向右，大小不变 D ．方向向右，逐渐减小 解析：选A.对A 、B 整体受力分析如图所示，滑动摩擦力f 使整体产生加速度a ，a 等于μg 不变，对B 受力分析知，B 所受静摩擦力f ＝m B ·a ＝μ m B g ，大小不变，方向向左，故A 对，B 、C 、D 错．8．声音在空气中的传播速度为v 与空气的密度ρ、压强p 有关．下列速度的表达式(k 为比例系数，无单位)中可能正确的是( )A ．v ＝k p ρB ．v ＝ kpρC ．v ＝kρpD ．v ＝kpρ解析：选B.压强的单位为kg·m/s 2m 2＝kg m·s 2，密度的单位为kg/m 3，故p ρ的单位为m 2s2，所以v ＝kp ρ.图3－3－119．如图3－3－11所示，轻弹簧下端固定在水平面上，一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落．在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是( ) A ．小球刚接触弹簧瞬间速度最大B ．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上C ．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小D ．从小球接触弹簧到到达最低点，小球的加速度先减小后增大解析：选CD.小球的加速度大小取决于小球受到的合外力．从接触弹簧到到达最低点，弹力从零开始逐渐增大，所以合力先减小后增大，因此加速度先减小后增大．当小球所受弹力和重力大小相等时速度最大．图3－3－1210．(2012·川师附中高一检测)如图3－3－12所示，吊篮P 悬挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体Q 被固定在吊篮中的两轻弹簧系住，当悬挂吊篮的细绳烧断的瞬间，吊篮P 和物体Q 的加速度大小分别是( ) A ．a P ＝g ，a Q ＝2g B ．a P ＝2g ，a Q ＝g C ．a P ＝g ，a Q ＝0 D ．a P ＝2g ，a Q ＝0解析：选D.悬挂吊篮的细绳烧断瞬间，两弹簧的长度不突然改变，两弹簧的弹力也不改变，细绳中原有的大小为2mg 的拉力消失，则吊篮P 的合力与细绳的原拉力等大反向，即合外力大小为2mg ，方向竖直向下，所以吊篮P 的加速度a P ＝2mgm＝2g .细绳被烧断瞬间，两弹簧对物体Q 的作用力不变，所以合外力依然为零，其加速度a Q ＝0，故D 项对． 二、非选择题11．一个质量为20 kg 的物体，从斜面的顶端由静止匀加速滑下，物体与斜面间的动摩擦因数为0.2，斜面与水平面间的夹角θ为37°.求物体从斜面下滑过程中的加速度．(g 取10 m/s 2) 解析：物体受力如图所示．x 轴方向：G x －f ＝ma .y 轴方向：N －G y ＝0.其中f ＝μN ，所以a ＝g sin θ－μg cos θ＝4.4 m/s 2. 答案：4.4 m/s 2 方向沿斜面向下12．在光滑的水平面上有一个质量为m ＝1 kg 的小球，小球一端与水平轻弹簧相连，另一端与和竖直方向成θ＝60°角、不可伸长的轻绳相连，如图3－3－13所示．此时小球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零，当剪断轻绳的瞬间，求：图3－3－13(1)小球的加速度大小和方向；(2)此时轻弹簧的弹力与水平面对小球的弹力的比值为多少．(g 取10 m/s 2)解析：因为静止时水平面对小球的弹力为零，小球在绳没有断时受到绳的拉力F 1和弹簧的弹力F 2作用而处于平衡状态，由平衡条件得 F 1cos θ＝mg ，F 1sin θ＝F 2 解得F 2＝mg tan θ＝10 3 N剪断绳后小球在竖直方向仍平衡，水平面的支持力平衡重力N ＝mg 弹簧的弹力产生瞬时加速度F 2＝ma ，a ＝F 2m ＝mg tan θm＝10 3 m/s 2，方向水平向左F 2N ＝mg tan θmg＝ 3. 答案：(1)10 3 m/s 2 水平向左 (2) 3。
人教版A数学选修2-1：第三章3.1.3知能演练轻松闯关
1.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·a )c －(c ·a )b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④解析：选D.根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D. 2.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是( )A.AB →与A ′C ′→B.AB →与C ′A ′→C.AB →与A ′D ′→D.AB →与B ′A ′→解析：选B.〈AB →，A ′C ′→〉＝〈AB →，AC →〉＝45°； 〈AB →，C ′A ′→〉＝180°－〈AB →，AC →〉＝135°； 〈AB →，A ′D ′→〉＝〈AB →，AD →〉＝90°； 〈AB →，B ′A ′→〉＝180°.3.已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于________． 解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 答案：－24.在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AD ′→·BC ′→＝__________．解析：由正方体知BC ′∥AD ′，∴〈AD ′→，BC ′→〉＝0，又|AD ′→|＝|BC ′→|＝2，所以AD ′→·BC ′→＝2·2·1＝2. 答案：2[A 级 基础达标]1.若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥n C ．m ，n 既不平行也不垂直 D ．以上三种情况都可能解析：选B.因为m ·n ＝m ·(λa ＋μ b )＝λm ·a ＋μ m ·b ＝0，所以m ⊥n . 2.已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当a 与b 不共线时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，可推出l ⊥α；当a 与b 为共线向量时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，不能够推出l ⊥α；l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B. 3.已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12D ．144解析：选C.∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →， ∴PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2 AB →·BC → ＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. ∴PC ＝12.4.已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，且m ⊥n ，则实数λ等于__________．解析：∵m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos135°＋32×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ， ∴m ·n ＝0＝6＋4λ，∴λ＝－32.答案：－325.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝__________．解析：连接向量A 1D →.A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉＝2a ×2a ×cos 60°＝a 2.答案：a 26.如图所示，已知四面体ABCD 的每条棱的长都等于1，点E ，F 分别是棱AB ，AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.解：(1)EF →·BA →＝12|BD →||BA →|·cos 〈BD →，BA →〉＝12cos π3＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|·cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 2π3＝－14. [B 级 能力提升]7.已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选C.AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1，又|AB →|＝2，|CD →|＝1. ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∴a 与b 所成的角是60°.8.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不确定解析：选B.BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0， ∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0.∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角， ∴△BCD 为锐角三角形．9.空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为__________． 解析：cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·（OC →－OB →）|OA →||BC →|＝|OA →||OC →|cos π3－|OA →||OB →|cosπ3|OA →||BC →|＝0.答案：010.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |， 又|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 11.(创新题)如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点． (1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长．解：(1)证明：连接AN (图略)．设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD . (2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )．∴|MN →|2＝14q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14⎣⎡⎦⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝⎛⎭⎫a 22－a 22－a 22 ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长为22a .。
高中物理必修一第三章第二节知能演练轻松闯关
1．关于弹性形变的概念，下列说法中正确的是()A．物体形状或体积的改变叫弹性形变B．一根钢筋用力弯折后的形变就是弹性形变C．物体在外力停止作用后，能够恢复原来形状的形变，叫弹性形变D．物体在外力停止作用后的形变，叫弹性形变解析：选C.物体在外力停止作用后能够恢复原来形状的形变，叫做弹性形变，C正确，A、D错误；钢筋用力弯折后，撤去外力，形变不能恢复，不是弹性形变，所以B错误．故选C.2.(2013·焦作高一检测)一个球形物体O静止放在光滑的水平地面上，并与竖直墙壁相接触，A、B两点是球与墙和地面的接触点，则下列说法正确的是()A．物体受三个力，重力、地面对物体的支持力、墙壁对物体的弹力B．物体受两个力，重力、地面对物体的支持力C．物体受两个力，重力、物体对地面的压力D．物体受三个力，重力、物体对地球的引力、物体对地面的压力解析：选B.球形物体虽与墙接触，但它们之间无弹力作用，故物体只受重力和地面对物体的支持力两个力，故选B.3．(2013·浙江学军中学高一期中)下列说法中正确的是()A．木块放在桌面上要受到一个向上的弹力，这是由于木块发生微小的形变而产生的B．拿一根细竹竿拨动水中的木头，木头受到竹竿的弹力，这是由于木头发生形变而产生的C．绳对物体的拉力方向总是沿着绳而指向绳收缩的方向D．挂在电线下面的电灯受到向上的拉力，是因为电线发生微小的形变而产生的解析：选CD.木块受到的弹力是由桌面发生形变而产生的，A错误．木头受到的弹力是由细竹竿发生形变而产生的，B错误．由细绳弹力的方向可知C正确．电灯受到的弹力是电线发生微小形变而产的，D正确．故选CD.4．关于弹簧的劲度系数，下列说法中正确的是()A．与弹簧所受的拉力有关，拉力越大，k值也越大B．与弹簧发生的形变有关，形变越大，k值越小C．由弹簧本身决定，与弹簧所受的拉力大小及形变程度无关D．与弹簧本身特征、所受拉力大小、形变的大小都有关解析：选C.弹簧的劲度系数由弹簧的粗细、长度及材料决定，与它所受拉力大小、是否受拉力无关，也与它的形变大小无关，故选C.5．一根弹簧原长为20 cm，当用15 N的力拉它时，弹簧长为25 cm.(1)求此弹簧的劲度系数．(2)若此弹簧受21 N的压力，则弹簧长度变为多少？解析：(1)由F＝k(x－x0)得k ＝F x －x 0＝15(25－20)×102N/m ＝300 N/m. (2)由F ′＝k (x 0－x ′)得：x ′＝x 0－F ′k＝⎝⎛⎭⎫20×10－2－21300 m ＝0.13 m. 答案：(1)300 N/m (2)0.13 m一、选择题1．(单选)(原创题)杂技演员有高超的技术，如图所示，能轻松地顶住从高处落下的坛子，关于他顶坛时头顶受到的压力产生的直接原因是( )A ．坛的形变B ．头的形变C ．物体受到的重力D ．人受到的重力解析：选A.头顶受到的压力的施力物体是坛子，受力物体是头顶，它产生的直接原因是坛的形变，间接原因是物体受到的重力，故选A.2．(多选)(2013·台州高一检测)下列各图中，所有接触面都是光滑的，所有P 、Q 两球都处于静止状态．P 、Q 两球之间存在弹力的是( )解析：选ABC.在图A 、B 、C 中，若将球Q 拿走，球P 均不能保持原来的静止状态，表明P 、Q 间存在弹力．而对于D 图的情况，若将球Q 拿走，球P 仍能保持静止，说明P 、Q 间不存在弹力．故选ABC.3．(多选)(2013·揭阳高一检测)如图所示，一倾角为45°的斜面固定于竖直光滑墙上，为使一光滑的铁球静止，需加一水平力F ，且F 通过球心，则下列说法正确的是( )A ．球一定受墙的弹力且水平向左B ．球可能受墙的弹力且水平向左C ．球可能受斜面的弹力且垂直斜面向上D ．球一定受斜面的弹力且垂直斜面向上解析：选BD.若没有竖直墙，球在水平力F 和斜面共同作用下也可能处于静止状态，即球有可能不受墙的弹力，若有弹力则该弹力方向垂直竖直墙水平向左，A 错误，B 正确；若无斜面，球一定不会保持静止，即球一定受到斜面的弹力，该弹力方向垂直斜面向上，C 错误，D 正确．故选BD.4．(单选)体育课上一学生将足球踢向墙壁，如图所示，下列关于足球与墙壁作用时墙壁给足球的弹力方向的说法正确的是( )A ．沿v 1的方向B ．沿v 2的方向C ．先沿v 1的方向后沿v 2的方向D ．沿垂直于墙壁斜向左上方的方向解析：选D.足球与墙壁的作用是球面与平面的相互作用，足球所受弹力方向垂直于墙壁指向足球球心，即斜向左上方的方向，故选D.5．(单选)如图所示，弹簧测力计和细线的重力及一切摩擦力不计，物重G ＝1 N ，则弹簧测力计A 和B 的示数分别为( )A ．1 N,0B ．0,1 NC ．2 N,1 ND ．1 N,1 N解析：选D.弹簧测力计的示数等于钩上的拉力，与弹簧测力计外壳受力无关，物体平衡时绳对物体的拉力F 与物重G 是一对平衡力，所以F ＝G ＝1 N ．两图中秤钩上的拉力均为F ＝1 N ，故选D.6．(单选)一根轻质弹簧，当它上端固定、下端悬挂重为G 的物体时，长度为L 1；当它下端固定在水平地面上，上端压一重为G 的物体时，其长度为L 2，则它的劲度系数是( )A.G L 1B.G L 2C.G (L 1－L 2)D.2G (L 1－L 2)解析：选D.设弹簧的原长为L 0，劲度系数为k ，由题意得G ＝k (L 1－L 0)①G ＝k (L 0－L 2)②联立①②式解得k ＝2G L 1－L 2.故选D. 7．(单选)如图所示，一根弹性杆上的一端固定在倾角为30°的斜面上，杆的另一端固定一个重力为4 N 的小球，小球处于静止状态时，弹性杆对小球的弹力( )A ．大小为4 N ，方向平行于斜面向上B ．大小为2 N ，方向平行于斜面向上C ．大小为4 N ，方向垂直于斜面向上D ．大小为4 N ，方向竖直向上解析：选D.由受力分析可知，小球受重力和杆对它的弹力而处于平衡，由二力平衡知D 正确．8．(单选)如图所示，两根相同的弹簧S 1、S 2，劲度系数皆为k ＝4×102 N/m ，悬挂的重物的质量分别为m 1＝2 kg 和m 2＝4 kg.若不计弹簧质量，g 取10 m/s 2，则平衡时弹簧S 1、S 2的伸长量分别为( )A ．5 cm 、10 cmB ．10 cm 、5 cmC ．15 cm 、10 cmD ．10 cm 、15 cm解析：选C.S 1的弹力F 1＝(m 1＋m 2)g ＝60 N ，伸长量Δx 1＝F 1k ＝604×102 m ＝15×10－2 m ＝15 cm ，S 2的弹力F 2＝mg ＝40 N ，伸长量Δx 2＝F 2k ＝404×102 m ＝10×10－2 m ＝10 cm ，故选C.☆9.(单选)如图所示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面的木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这个过程中下面的木块移动的距离为( )A.m 1g k 1B.m 2g k 1C.m 1g k 2D.m 2g k 2解析：选C.未提木块之前，弹簧k 2上弹力为(m 1＋m 2)g ，弹簧k 2压缩量为x 2＝(m 1＋m 2)g /k 2；当上面的木块被提离弹簧时，弹簧k 2上弹力为m 2g ，弹簧k 2压缩量为x ′2＝m 2g k 2，所以下面木块向上移动的距离为Δx ＝x 2－x ′2＝m 1g k 2.故选C. 二、非选择题10．画出图甲、乙、丙中小球A 和丁中杆所受的弹力方向．解析：所受的弹力如图所示．答案：见解析图11．如图所示为一轻质弹簧的长度l 与弹力F 大小的关系图象，试由图线确定：(1)弹簧的原长；(2)弹簧的劲度系数；(3)弹簧长为0.20 m时弹力的大小．解析：(1)当弹簧的弹力为零时，弹簧处于原长状态，由题图可知原长l0＝10 cm.(2)当弹簧长度为15 cm时，弹力大小为10 N，对应弹簧的伸长量为Δl＝(15－10) cm＝5×10－2 m，由胡克定律F＝kx得：k＝FΔl＝105×10－2N/m＝200 N/m.(3)当弹簧长为0.20 m时，弹簧伸长量为：Δl′＝(0.20－0.10) m＝0.10 m由胡克定律F＝kx得F′＝kΔl′＝200×0.10 N＝20 N.答案：(1)10 cm(2)200 N/m(3)20 N☆12.一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2 m，它们的下端平齐固定在水平面上，上端自由，如图甲所示，图乙是弹簧压缩量随压力变化的示意图．弹簧本身质量不计，求大、小弹簧的劲度系数k1和k2.解析：压力F≤2 N时，只有大弹簧被压缩，由题图乙知，当压力F＝2 N时，大弹簧被压缩了0.2 m的长度，所以大弹簧的劲度系数k1＝Fx＝20.2N/m＝10 N/m.压力增加到5 N时，大弹簧压缩量x1＝0.3 m，小弹簧压缩量x2＝0.1 m，则两弹簧的弹力F1＝k1x1，F2＝k2x2，且F1＋F2＝5 N．联立以上各式代入数据求得k2＝20 N/m.答案：10 N/m20 N/m。
人教版A数学选修2-1：第三章3.1.1知能演练轻松闯关
1.下列命题，正确的是( )A ．若a ≠b ，则|a |≠|b |B ．若|a |>|b |，则a >bC ．若a ＝b ，则|a |＝|b |D ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b解析：选C.A 显然错；向量不能比较大小，故B 错；C 正确；|a |＝|b |说明a 与b 长度相等，因为方向不定，所以D 错．2.在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( )A.OA →B.AB →C.OC →D.AC →解析：选C.OA →＋AB →－CB →＝OB →－CB →＝BC →－BO →＝OC →.3.如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC →与A ′C ′→是________向量；AB →与B ′A ′→是________向量．答案：相等 相反4.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________．解析：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a .答案：b －c －a[A 级 基础达标]1.给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选A.根据向量相等的定义——不仅模相等，而且方向相同，故①错；根据正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模也相等，应有AC →＝A 1C 1→，故②正确；命题③显然正确．2.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向解析：选D.由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确．3.已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( )A.AB →＝BC →＋CD →B.AB →－DC →＋BC →＝AD →C.AD →＝AB →＋BC →＋DC →D.BC →＝BD →－DC →解析：选B.根据向量加减法运算可得B 正确．4.式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________．解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→.答案：AC 1→5.给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是__________．解析：①若|a |＝0，则a ＝0，即①错误；②正确；③正确．答案：②③6.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个．(4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.[B 级 能力提升]7.在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状一定是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形解析：选A.∵AC →＝AB →＋AD →，∴四边形ABCD 是以AB 与AD 为邻边，AC 为对角线的平行四边形．8.已知空间向量a 和b ，若p ：a ＝b ，则q ：|a |＝|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.由p 知道两个向量相等，则它们的大小相等，所以能够推出q ；由q 知道两个向量的长度相等，它们的方向不知道，所以不能够推出p .9.在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中，设AB →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，则用a 、b 、c 表示AE 1→＝__________．解析：AE 1→＝AD →＋DE →＋EE 1→＝2BC →－AB →＋BB 1→，所以AE 1→＝－a ＋2b ＋c .答案：－a ＋2b ＋c10.如图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列表达式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →；(2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.解：(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →＝AB ′→＋A ′D ′→＋(D ′D →－BC →)＝AB ′→＋B ′C ′→＋(D ′D →－AD →)＝AC ′→＋D ′A →＝AC ′→＋C ′B →＝AB →.(2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→＝(AC ′→－AC →)＋(AD →－AA ′→)＝CC ′→＋A ′D →＝CC ′→－DA ′→＝CC ′→－CB ′→＝B ′C ′→.11.(创新题)如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)连接GF ，AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。
北师大版数学必修1：第三章 §1 知能演练轻松闯关
1．函数y ＝5x，x ∈N ＋的值域是( ) A ．R B ．N ＋ C ．N D ．{5,52,53,54，…}解析：选D.因为函数y ＝5x ，x ∈N ＋的定义域为正整数集N ＋，所以当自变量x 取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y 依次是5,52,53,54，….因此，函数y ＝5x ，x ∈N ＋的值域是{5,52,53,54，…}． 2．春天到了，曲曲折折的荷塘上面，弥望的是田田的叶子，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶已生长了( ) A ．10天 B ．15天 C ．19天 D ．20天解析：选C.设荷叶覆盖水面的初始面积为a ，则x 天后荷叶覆盖水面的面积y ＝a ·2x(x ∈N ＋)．根据题意，令2(a ·2x )＝a ·220，解得x ＝19，故选C. 3．某细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次(由1个细胞分裂成2个)，则经过两个小时后，1个这样的细胞可以分裂成________个．解析：每15分钟分裂一次，则两个小时共分裂8次．一个这样的细胞经过一次分裂后，由1个分裂成2个；经过2次分裂后，由1个分裂成22个……经过8次分裂后，由1个分裂成28个．∴1个这样的细胞经过两个小时后，共分裂成28个，即256个． 答案：2564．当x ∈N ＋时，用“＞”“＜”或“＝”填空：⎝⎛⎭⎫12x ________1,2x ________1，⎝⎛⎭⎫12x ________2x ，⎝⎛⎭⎫12x ________⎝⎛⎭⎫13x,2x ________3x . 解析：∵x ∈N ＋，∴⎝⎛⎭⎫12x ＜1,2x＞1.∴2x ＞⎝⎛⎭⎫12x .又根据对其图像的研究，知2x ＜3x ，⎝⎛⎭⎫12x ＞⎝⎛⎭⎫13x .也可以代入特殊值比较大小． 答案：＜ ＞ ＜ ＞ ＜[A 级 基础达标]1．若x ∈N ＋，下面几个函数中，是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝－2x C ．y ＝(－2)x D ．y ＝πx 答案：D2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x，x ∈N ＋是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数 D ．偶函数解析：选A.由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C 、D ；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x ，x ∈N ＋的底数43大于1，所以此函数是增函数． 3．已知正整数指数函数f (x )＝(a －2)a x ，则f (2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．16解析：选C.由于a －2＝1，则a ＝3，所以f (x )＝3x ，x ∈N ＋，所以f (2)＝32＝9.4．某厂2011年的产值为a 万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．解析：根据增长率，写出每一年的产值.2011年产值为a ，增长率为7%,2012年产值为a ＋a ×7%＝a (1＋7%)，2013年产值为a (1＋7%)＋a (1＋7%)×7% ＝a (1＋7%)2，…，2022年的产值为a (1＋7%)11.答案：a (1＋7%)115．已知不等式(a 2＋a ＋2)2x ＞(a 2＋a ＋2)x ＋8，其中x ∈N ＋，使此不等式成立的x 的最小整数值是________．解析：∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74＞1，且x ∈N ＋，∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时单调递增的性质，得2x ＞x ＋8，即x ＞8，∴使此不等式成立的x 的最小整数值为9. 答案：96．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)， (1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．解：(1)设正整数指数函数为f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)．(2)f (5)＝35＝243.(3)∵f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调递增， ∴f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3；f (x )无最大值．[B 级 能力提升]7．若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是( )A ．1 B.14C.22D.23答案：D8．若正整数指数函数f (x )＝(a －1)x 在定义域N ＋上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a ＜2 C ．a ＞2 D ．1＜a ＜2解析：选D.因为正整数指数函数f (x )＝(a －1)x 在定义域N ＋上是减函数，所以其底数满足0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.9．(2010·高考陕西卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜4，x 2＋ax ，x ≥4，(x ∈N ＋)，若f (f (2))＝4a ，则实数a 等于________．解析：∵2＜4，∴f (2)＝22＋1＝5.∵5＞4，∴f (f (2))＝f (5)＝52＋5a ＝4a ， ∴a ＝－25. 答案：－2510．已知集合A ＝{m |正整数指数函数y ＝(m 2＋m ＋1)·(15)x ，x ∈N ＋}，求集合A .解：由题意得m 2＋m ＋1＝1， 解得m ＝0或m ＝－1， ∴A ＝{0，－1}． 11．(创新题)对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)解：设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果：①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； ②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5， 则M N ＝2(1＋10%)5， 因为(1＋10%)5≈1.61＜2，所以MN＞1，即M ＞N .因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．。
北师大版数学选修2-1：第三章3.1知能演练轻松闯关
1.(2010·高考安徽卷)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点的坐标为(62，0)．2.在双曲线中，c a ＝52，且双曲线与椭圆4x 2＋9y 2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是( )A.y 24－x 2＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 24＝1 D ．y 2－x 24＝1解析：选B.椭圆x 29＋y24＝1，焦点为(±5，0)，∴c ＝5，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1，双曲线为x 24－y 2＝1.3.(2012·宿州质检)已知双曲线的焦距为26，a 2c ＝2513，则双曲线的标准方程是________．解析：由2c ＝26，∴c ＝13. 又a 2c ＝2513，∴a 2＝25.∴b 2＝c 2－a 2＝132－25＝144. ∴所求方程为x 225－y 2144＝1或y 225－x 2144＝1.答案：x 225－y 2144＝1或y 225－x 2144＝14.若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，则k ＝______．解析：依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1. 答案：－1[A 级 基础达标]1.(2012·驻马店检测)双曲线x 210－y22＝1的焦距为( )A ．32B ．4 2C ．3 3D ．4 3 解析：选D.由双曲线的标准方程知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝4 3.故选D.2.双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5，0)的距离为15，则点P 到点(－5，0)的距离为( )A ．7B ．23C ．7或23D ．5或25解析：选C.依据题意知(5，0)，(－5，0)恰为双曲线的两个焦点，由双曲线的定义得点P 到点(－5，0)的距离为15＋8＝23或15－8＝7.3.(2012·商洛质检)设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→²PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( ) A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5解析：选B.依题意，△PF 1F 2构成直角三角形，O 为F 1F 2的中点，故|PO |＝12|F 1F 2|，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →，故|PF 1＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝2c ＝210，故选B.4.F 1，F 2是双曲线x 29－y 2161的两个焦点，P 在双曲线上，且满足|PF 1|²|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______．解析：由定义，知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6.两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.∵|F 1F 2|＝2c ＝29＋16＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴∠F 1PF 2＝90°. 答案：90°5.(2012·安康检测)已知抛物线C 1的方程为y ＝120x 2，它的焦点F 关于原点的对称点为E .若曲线C 2上的点到E ，F 的距离之差的绝对值等于6，则曲线C 2的标准方程为________．解析：方程y ＝120x 2可化为x 2＝20y ，其焦点为F (0，5)，所以点E 的坐标为(0，－5)，根据题意知曲线C 2是焦点在y 轴上的双曲线，且其两焦点分别为F ，E ，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝6，即a ＝3.又c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，所以曲线C 2的标准方程为y 29－x 216＝1.答案：y 29－x 216＝16.求与双曲线x 216－y 24＝1有共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解：由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点，从而可设所求的双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1.由于点(32，2)在所求的双曲线上，从而有1816－k －44＋k＝1.整理，得k 2＋10k －56＝0，∴k ＝4或k ＝－14. 又16－k >0，4＋k >0，∴－4<k <16.从而得k ＝4.故所求双曲线的方程为x 212－y28＝1.[B 级 能力提升] 7.(2012·蚌埠调研)F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．42 B ．8 3 C ．24 D ．48解析：选C.由P 是双曲线x 2－y 224＝1上一点和3|PF 1|＝4|PF 2| ①，可得|PF 1|－|PF 2|＝2 ②，解①②得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，则有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12³6³8＝24.8.如图，从双曲线x 23－y251的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3B. 5C.5－ 3D.5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12³2³3＝5－ 3. 9.(2012·亳州质检)如图所示，F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7－i (i＝1，2，3)关于y 轴对称，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |－|P 4F |－|P 5F |－|P 6F |的值是________．解析：设双曲线的右焦点为F 2，则点F 与F 2关于y 轴对称，分别连接P 1F 2，P 2F 2，P 3F 2，由双曲线C 上的点P i 与P 7－i (i ＝1，2，3)关于y 轴对称，可得|P 6F |＝|P 1F 2|，|P 5F |＝|P 2F 2|，|P 4F |＝|P 3F 2|，于是|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |－|P 4F |－|P 5F |－|P 6F |＝(|P 1F |－|P 1F 2|)＋(|P 2F |－|P 2F 2|)＋(|P 3F |－|P 3F 2|)＝2a ＋2a ＋2a ＝6³3＝18. 答案：1810.在△ABC 中，B (－6，0)，C (6，0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，根据题意得 y x ＋6²y x －6＝94，化简得x 236－y 281＝1(x ≠±6)． 所以，顶点A 的轨迹是双曲线(除去与x 轴的交点)．11.(创新题)设点P 到点M (－1，0)，N (1，0)的距离之差为2m ，到x 轴，y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)．所以点P (x ，y )，M (－1，0)，N (1，0)三点不共线， 所以||PM |－|PN ||<|MN |＝2.又因为||PM |－|PN |＝2|m |>0， 所以0<|m |<1.所以点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上，且a 2＝m 2，c 2＝1，所以b 2＝1－m 2，所以x 2m 2－y 21－m 2＝1.①把y ＝±2x (x ≠0)代入①，得x 2＝m 2（1－m 2）1－5m2. 因为1－m 2>0，所以1－5m 2>0，解得0<|m |<55，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎫0，55.。
第3章第2节知能演练轻松闯关 (2)
1．(2012·永安一中高二期中)一根均匀的电阻丝的电阻为R，下列用同种材料做成的电阻中，其电阻值也为R的是( )A．长度不变，横截面积增大一倍B．横截面积不变，长度增大一倍C．长度和横截面积都缩小一倍D．长度和横截面的半径都增大一倍解析：选C.由电阻定律R＝ρlS可知，C正确，A、B、D错误．2．导体的电阻是导体本身的一种性质，对于同种材料的导体，下列说法正确的是( )A．横截面积一定，电阻与导体的长度成正比B．长度一定，电阻与导体的横截面积成正比C．电压一定，电阻与通过导体的电流成正比D．电流一定，电阻与导体两端的电压成反比解析：选A.由R＝ρlS可知，在横截面积S一定时，电阻R与长度l成正比，长度l一定时，电阻R与横截面积S成反比，故A正确，B错误；R＝UI是电阻的定义式，提供了一种测电阻的方法，但电阻R与电压U、电流I无关，故C、D 均错误．3．一只标有“220 V,100 W”的灯泡工作时的电阻为484 Ω，当它不工作时，测量其电阻应( )A．等于484 ΩB．大于484 ΩC．小于484 Ω D．无法确定解析：选C.此题考查导体的电阻率与温度的关系．工作时，灯泡中有电流通过，灯泡发热，温度升高，由于金属的电阻率随温度升高而变大，所以灯泡工作时的电阻比不工作时大一些．4．在电阻两端加50 V的电压，该电阻10秒内有20 C的电量通过横截面，则该电阻的阻值为( )A．2 Ω B．5 ΩC．20 Ω D．25 Ω解析：选D.由I＝qt得，I＝2010A＝2 A，由欧姆定律得，R＝UI＝502Ω＝25 Ω，D正确．5．为了测定液体的电阻率，工业上用一种称为“电导仪”的仪器．其中一个关键部件如图所示，A、B是两片面积为1 cm2的正方形铂片，间距1 cm，把它们浸没在待测液体中，若通过两根引线加一定的电压6 V时，测出电流1 μA，这种液体的电阻率为多少？解析：由R＝UI 得R＝61×10－6Ω＝6×106Ω.由R＝ρlS 得，ρ＝RSl＝6×106×1×10－41×10－2Ω·m＝6×104Ω·m.答案：6×104Ω·m一、选择题1．关于公式R＝UI和公式R＝ρlS，下列说法正确的是( )A．两式对一切情况都适用B．R＝UI 仅适用于金属导体，R＝ρlS适用于任何导体C．导体的电阻R与U成正比，与I成反比D．导体的电阻在温度一定时与导体长度成正比，与导体的横截面积成反比解析：选D.R＝UI适用于金属导体和电解液，且为纯电阻电路，故A、B错误；导体的电阻由导体本身决定，与U、I无关，故C错误、D正确．2．(2012·莆田一中高二期中)关于电阻率的说法中不．正确的是( )A．电阻率ρ与导体的长度L和横截面积S有关B．电阻率表征了材料的导电能力的强弱，由材料决定，与温度有关C．电阻率ρ越大的导体，电阻也越大D．导体材料的电阻率都是随温度升高而增大解析：选ACD.电阻率表征材料导电性能的强弱，由材料决定，与温度有关，A错，B对．电阻由导体的长度，横截面积、材料共同决定，C错．有的导体材料电阻率随温度几乎不变，D错．3．下列说法中正确的是( )A．由R＝U/I可知，导体的电阻跟导体两端的电压成正比，跟导体中的电流成反比B．由I＝U/R可知，通过导体的电流跟导体两端的电压成正比，跟它的电阻成反比C．导体的电阻率由导体本身的物理条件决定，任何物理变化都不能改变导体的电阻率D．欧姆定律I＝U/R，不仅适用于金属导体的导电情况，对于别的电路也都适用解析：选B.由电阻定律知，导体的电阻是由本身的物理条件决定的，与加在它两端的电压和通过它的电流无关．所以A错．导体的电阻率是由导体的材料决定的，与温度有关．温度发生变化，电阻率也会改变，所以C错．部分电路欧姆定律只适用于电阻电路，不一定适合于一切电路，所以D 错．答案为B.4．有长度相同，质量相同，材料不同的金属导线A 、B 各一根．已知A 的密度比B 的大，A 的电阻率比B 的小．则A 、B 两根导线的电阻为( )A ．R A ＞RB B ．R A <R BC ．R A ＝R BD ．无法判断解析：选D.由R ＝ρL S，虽有A 、B 长度相同，密度ρA ＞ρB 得S A ＜S B ，但电阻率ρA <ρB ，故不能确定R A 与R B 的大小．D 正确．5．(2012·大连高二期末)某金属导线的电阻率为ρ，电阻为R ，现将它均匀拉长到直径为原来的一半，那么该导线的电阻率和电阻分别变为( )A ．4ρ和4RB ．ρ和4RC ．16ρ和16RD ．ρ和16R解析：选D.电阻率不变，A 、C 错误．直径为原来的一半，横截面积为原来的14，长度是原来的4倍，由R ＝ρlS知，电阻是原来的16倍，B 错误，D 正确． 6．有Ⅰ、Ⅱ两根不同材料的电阻丝，长度之比为l 1∶l 2＝1∶5，横截面积之比为S 1∶S 2＝2∶3，电阻之比为R 1∶R 2＝2∶5，外加电压之比为U 1∶U 2＝1∶2，则它们的电阻率之比为( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶4D ．8∶3解析：选B.由公式R ＝ρl S 知ρ＝RSl，所以两种材料的电阻率之比ρ1：ρ2＝4∶3.选项B 正确．7．(2012·福州高二检测)一根粗细均匀的导线，当其两端电压为U 时，通过的电流是I ，若将此导线均匀拉长到原来的2倍时，电流仍为I ，导线两端所加的电压变为( )A ．U /2B ．UC ．2UD ．4U解析：选D.由R ＝ρlS 可知，当导线被均匀拉长为原来的2倍时，其横截面积变为原来的12，所以电阻变为原来的4倍，再根据欧姆定律可知电压变为原来的4倍，故D 正确，A 、B 、C 错误．8．用电器离电源L 米，线路上的电流为I ，为使在线路上的电压降不超过U ，已知输电线的电阻率为ρ.那么，输电线的横截面积的最小值是( )A ．ρL /RB ．2ρLI /UC ．U /(ρLI )D ．2UL /(I ρ)解析：选B.自用电器到电源需两根导线，故导线总长为2L ，由R ＝U I及R ＝ρ2L S 解得：S 最小＝2ρIL U，B 正确．9．如图所示，均匀的长方形薄片合金电阻板abcd ，ab 边长为L 1，ad 边长为L 2，当端点Ⅰ、Ⅱ或Ⅲ、Ⅳ接入电路时，R ⅠⅡ∶R ⅢⅣ是( )A ．L 2∶L 1B ．L 1∶L 2C ．L 22∶L 21D ．L 21∶L 22解析：选C.设电阻板厚δ，当端点Ⅰ、Ⅱ接入电路时，导体长为L 2，横截面积为L 1δ，根据电阻定律；R ⅠⅡ＝ρlS ＝ρL 2L 1δ；同理，R ⅢⅣ＝ρl S ＝ρL 1L 2δ；所以R ⅠⅡ∶R ⅢⅣ＝L 22∶L 21，故选C.10．有两根材料相同的导线，质量之比为2∶1，长度之比为1∶2，加上相同电压后，通过的电流之比为( )A ．8∶1B ．4∶1C ．1∶1D ．1∶4解析：选A.同种材料的导体体积之比等于质量之比，所以V 1V 2＝21，横截面积之比S 1S 2＝V 1l 1V 2l 2＝21×21＝41，故由R ＝ρl S 可得R 1R 2＝l 1l 2·S 2S 1＝12×14＝18，加上相同的电压，由I＝UR ，可得I1I2＝R2R1＝81.选项A正确．二、非选择题11．两根材料相同的均匀导线x和y，x的长度为L，y的长度为2L，串联在电路中，沿电流方向电势随长度的变化如图所示，求x、y横截面积之比？解析：由图象可得两导线上的电压相等均为4 V，由公式R＝UI得两导线电阻相等；由公式R＝ρlS，可得S＝ρlR，R、ρ相同，故横截面积S与长度l成正比，故面积比为1∶2.答案：1∶212．相距40 km的A、B两地架两条输电线，电阻共为800 Ω.如果A、B间的某处发生短路，为查明短路地点，在A处接上电源、电压表和电流表，测得电压表的示数为10 V，电流表的示数为40 mA，求发生短路处距A处有多远？解析：如图所示，A、B两地相距l1＝40 km，原输电线长为2l1，总电阻R1＝800 Ω，设A与短路处距离为l2，其间输电线电阻：R2＝UI＝1040×10－3Ω＝250Ω由R＝ρlS知，R1R2＝2l12l2得：l2＝l1R2R1＝40×250800km＝12.5 km，即短路处距A端12.5 km.答案：12.5 km。
北师大版数学必修5：第三章§3.1知能演练轻松闯关
1．下列不等式中，对任意实数x 都成立的是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg xB ．x 2＋1>2xC.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x2 解析：选C.A 、D 中，x <0时都不成立，在B 中，x ＝1时不成立，故选C. 2．下列不等式正确的是( )A ．a ＋1a ≥2B ．(－a )＋(－1a )≤－2C ．a 2＋1a 2≥2D ．(－a )2＋(－1a)2≤－2解析：选C.∵a 2＋1a 2中a 2>0，∴a 2＋1a 22≥ a 2×1a2，即12(a 2＋1a 2)≥1，∴a 2＋1a2≥2，故选C. 3．式子a b ＋ba的取值范围是________．解析：当ab >0时，a b >0，b a >0，则a b ＋ba≥2，当ab <0时，a b <0，ba <0，此时－a b >0，－ba >0，∴(－a b )＋(－ba )≥2.∴a b ＋b a ＝－[(－a b )＋(－ba ≤－2， ∴ab ＋ba∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)4．设a >0，b >0，给出下列不等式：(1)a 2＋1>a ；(2)(a ＋1a )(b ＋1b )≥4；(3)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4，其中恒成立的是________．解析：∵(a 2＋1)－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，故(1)恒成立；∵a >0，∴a ＋1a≥2，∵b >0，∴b ＋1b ≥2，∴当a >0，b >0时，(a ＋1a )(b ＋1b )≥4，故(2)恒成立；∵(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a b，又∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2，∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4，故(3)恒成立．答案：(1)(2)(3)[A 级 基础达标]1．(2012·宿州调研)若x >0，则x ＋4x的最小值为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析：选D.∵x >0，∴x ＋4x ≥2x ·4x (当且仅当x ＝2时等号成立)；∴x ＋4x≥4，故选D.2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则ab ，a ＋b 2， a 2＋b 22，2aba ＋b 的大小顺序是( )A.a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ≥a 2＋b 22B.2ab a ＋b≥ a 2＋b 22≥ab ≥a ＋b2C. a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋bD.a ＋b 2≥2ab a ＋b ≥ a 2＋b 22≥ab解析：选C.∵a ＋b2≥ab ，即a ＋b ≥2ab ＝2abab，∴ab ≥2aba ＋b ，又由 a 2＋b 22≥a ＋b 2，故C 正确．3．(2012·蚌埠质检)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b≤1 C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8解析：选D.∵a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，∴a 2＋b 22≥(42)2，即a 2＋b 22≥4，∴a 2＋b 2≥8，故选D.4．若xy ＝1，则下列结论中正确的是________．①x ＋y ≥2；②x ＋y ≤－2；③2x ＋8y ≥8或2x ＋8y ≤－8；④|x ＋y |≥2；⑤x 2＋y 2≥2.解析：∵xy ＝1>0，∴x 、y 同号，∴当x 、y ∈(0，＋∞)时，x ＋y ≥2xy ，即x ＋y ≥2；当x 、y 为负数时，x ＋y ＝－[(－x )＋(－y )]，此时(－x )＋(－y )≥2xy ，即－(x ＋y )≥2，∴x ＋y ≤－2，因此，x ＋y ≥2或x ＋y ≤－2.题中①、②都错误；同样方法可得：2x ＋8y ≥8或2x ＋8y ≤－8，故③正确；∵|x ＋y |＝|x |＋|y |≥2|xy |，∴|x ＋y |≥2，故④正确；又∵x 2＋y 2≥2xy ，∴x 2＋y 2≥2，故⑤正确． 答案：③④⑤5．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________．解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c2，当且仅当a －b ＝b －c ，即b ＝a ＋c 2答案：(a －b )(b －c )≤a －c26．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c9.证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝1＋b a ＋c a ＋1＋a b ＋c b ＋1＋a c ＋bc＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋bc )≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·bc＝9， 即1a ＋1b ＋1c≥9. [B 级 能力提升]7．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析：选B.∵a >b >1，∴lg a ·lg b <12(lg a ＋lg b )＝lg ab <lg a ＋b 2.∴P <Q <R .8．(2012·亳州检测)已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( )A ．log 2a >0B ．2a －b <12C ．2b a ＋a b 12D ．log 2a ＋log 2b <－2解析：选D.∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴0<a <12<b <1，∴log 2a <log 212，∴log 2a <－1，故A 错误；∵0<a <b <1，且a ＋b ＝1，∴a ＋b 2>ab ，∴ab <14.又∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ，∴log 2a ＋log 2b <log 214，即log 2a ＋log 2b <－2，故选D.9．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2 (－x y )(－yx)＝－2.其中正确的推导过程为________．解析：从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，当y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的；④由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中整体x y ＋y x 提出负号后，(－x y )，(－yx)均变为正数，符合基本不等式的条件．故④正确． 答案：①④10．已知a ，b ，c 均为正数，且a ，b ，c 不相等，且abc ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a ，b ，c 为不等正数，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝abc a ＋abc b ＋abcc ＝bc ＋ac ＋ab ＝bc ＋ac 2＋ac ＋ab 2＋ab ＋bc 2> abc 2＋a 2bc ＋ab 2c .又∵abc ＝1，∴abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝c ＋a ＋b ，∴1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c . 11．(创新题)证明不等式33＋14(x 2＋y 2＋z 2)≥xy ＋2yz ＋2zx . 证明：设λ>0，则λy 2＋1λz 2≥2yz ，λx 2＋1λz 2≥2zx .又∵12x 2＋12y 2≥xy ，∴(λy 2＋1λz 2)＋(λx 2＋1λz 2)＋12(x 2＋y 2)≥xy ＋2yz ＋2zx ，∴(λ＋12)x 2＋(λ＋12)y 2＋2λz 2≥xy ＋2yz ＋2zx ，令λ＋12＝2λ2λ2＋λ－4＝0，解得λ＝－1＋334或λ＝－1－334(舍)，∴12＋λ＝2λ＝33＋14， ∴33＋14(x 2＋y 2＋z 2)≥xy ＋2yz ＋2zx .。
高中物理必修一第三章第三节知能演练轻松闯关
1．下列关于摩擦力的说法正确的是()A．摩擦力的方向总与物体的运动方向相反B．摩擦力的大小与相应的正压力成正比C．运动着的物体不可能受静摩擦力作用，只能受滑动摩擦力作用D．静摩擦力的方向与接触物体相对运动趋势的方向相反解析：选D.摩擦力的方向与物体的运动方向可以相同也可以相反，A错误．静摩擦力的方向总是与物体间相对运动趋势的方向相反，D正确．静摩擦力存在于相对静止的物体间，物体可以是静止的，也可以是运动的，C错误．滑动摩擦力大小与正压力成正比，静摩擦力与正压力无关，最大静摩擦力与正压力成正比，B错误．故选D.2．关于动摩擦因数(即滑动摩擦力和弹力的比值)，下列说法中正确的是()A．动摩擦因数与正压力成正比B．相同的条件下，接触面积越大，动摩擦因数越大C．动摩擦因数只与接触面的粗糙程度、相互接触的物体的材料有关D．动摩擦因数与正压力、接触面积有关，但具体关系不能确定解析：选C.动摩擦因数与接触面的情况有关，如接触面的粗糙程度、两接触面的材料等，与接触面的面积大小、压力大小均无关，故选C.3.(2013·杭州高一检测)如图所示为表面粗糙的倾斜皮带传输装置，皮带的传动速度保持不变．物体被无初速地放在皮带的底端A上，开始时物体在皮带上滑动，当它到达位置B后就不再相对皮带滑动，而是随皮带一起匀速运动，直至传送到顶端C，在传送过程中，物体受到的摩擦力()A．在AB段为沿皮带向上的滑动摩擦力B．在AB段为沿皮带向下的滑动摩擦力C．在BC段不受静摩擦力D．在BC段受沿皮带向上的静摩擦力解析：选AD.在AB段，物体相对皮带向下滑动，受到沿皮带向上的滑动摩擦力，A正确，B错误；在BC段，物体相对皮带有向下滑的趋势，受到沿皮带向上的静摩擦力，C错误，D正确．故选AD.4.如图所示，在μ＝0.1的水平面上向右运动的物体，质量为20 kg，在运动过程中，还受到一个方向向左的大小为10 N的拉力的作用，则物体受到的滑动摩擦力为(g＝10 m/s2)()A．10 N，向右B．10 N，向左C．20 N，向右D．20 N，向左解析：选D.F＝μF N＝μmg＝0.1×20×10 N＝20 N，方向水平向左，故选D.5.如图所示，一个质量为M＝2 kg的物体放在μ＝0.2的粗糙水平面上，用一条质量不计的细绳绕过定滑轮和一只质量为m0＝0.1 kg的小桶相连，已知：M受到的最大静摩擦力F m ＝4.5 N，滑轮上的摩擦不计，g＝10 N/kg，求在以下情况中，M受到的摩擦力的大小．(1)只挂m0处于静止状态时．(2)只挂m0但在M上再放一个M′＝3 kg的物体时．(3)只在桶内加入m1＝0.33 kg的砂子时．(4)只在桶内加入m2＝0.5 kg的砂子时．解析：(1)因为m0g＝1 N<F m，M处于静止状态，受静摩擦力作用，由二力平衡得F1＝m0g＝1 N.(2)在M上再放一个M′＝3 kg的物体，M仍静止，仍受静摩擦力F2＝F1＝m0g＝1 N.(3)因为(m0＋m1)g＝4.3 N<F m，故M处于静止状态，所受静摩擦力F3＝(m0＋m1)g＝4.3 N.(4)因为(m0＋m2)g＝6 N>F m，故M运动，受到滑动摩擦力作用，由公式得F4＝μF N＝μMg ＝4 N.答案：(1)1 N(2)1 N(3)4.3 N(4)4 N一、选择题1．(单选)关于摩擦力，下列说法中正确的是()A．受静摩擦力作用的物体一定是静止的B．两个运动物体之间的摩擦力一定是滑动摩擦力C．摩擦力的方向一定与运动方向相反D．摩擦力可以是阻力，也可以是动力解析：选D.两个物体一起运动，保持相对静止，它们之间就是静摩擦力，A、B错误；摩擦力的方向与相对运动或相对运动趋势方向相反，但与物体运动方向可能反向，可能同向，也可能成任一夹角，C错误、D正确．故选D.2．(多选)(2013·南京实验国际学校高一期末)下列有关滑动摩擦力的说法中，正确的是()A．有压力一定有滑动摩擦力B．有滑动摩擦力一定有压力C．滑动摩擦力总是与接触面上的压力垂直D．只有运动物体才受滑动摩擦力解析：选BC.产生滑动摩擦力的条件有四个：相互接触、挤压、接触面粗糙、发生相对滑动，四者缺一不可．由产生滑动摩擦力的条件可知，A选项错误，B选项正确．滑动摩擦力方向与接触面相切，而压力垂直于接触面，所以滑动摩擦力方向跟接触面所受压力垂直，C选项正确．如擦黑板时，黑板是静止的，但相对黑板擦是运动的，也受滑动摩擦力，所以关键是“相对运动”，D选项错误．故选BC.3.(单选)用手握住一个油瓶，使瓶在竖直方向上保持静止，如图所示，下列说法正确的是()A．油瓶受到的静摩擦力大于其重力B．手握得越紧，油瓶受到的摩擦力越大C ．油瓶质量不变，则受到的摩擦力一定D ．油瓶受到的摩擦力与手对它的压力成正比解析：选C.油瓶受到的摩擦力为静摩擦力，可用二力平衡知识求解，油瓶在竖直方向上受到重力和静摩擦力的作用，是一对平衡力，故摩擦力应与重力等大反向，故选C. 4.(单选)一根质量为m 、长为L 的均匀长方木条放在水平桌面上，木条与桌面间的动摩擦因数为μ.现用水平力F 推木条，当木条经过如图所示位置时，桌面对它的摩擦力为( )A ．μmg B.23μmg C.13μmg D ．上述选项均不对 解析：选A.木条对桌面的压力仍为F N ＝mg ，所以F f ＝μmg ，故选A.5．(单选)(创新题)自行车在平直公路上匀速前进时，前后轮所受摩擦力的方向( )A ．都向后B ．都向前C ．前轮向后，后轮向前D ．前轮向前，后轮向后解析：选C.自行车匀速前进时，由于人通过链条给后轮一个力，使后轮顺时针转动，设轮与地面接触处光滑，则轮应加速顺时针转动，说明轮有相对地面向后转动的趋势，由于静摩擦力的方向与物体的运动趋势方向相反，故后轮所受静摩擦力F 静的方向向前；前轮转动是由于前轮受到力的作用，若前轮与地面接触处光滑，则前轮就不会转动，故前轮相对地面有向前运动的趋势，其所受摩擦力向后．故选C.6．(单选)(2013·厦门一中高一期中)如图所示是一主动轮A 通过皮带带动从动轮B 的示意图，主动轮的转动方向为顺时针方向，则关于主动轮上M 点受到的静摩擦力方向和从动轮上N 点受到的静摩擦力方向的判断正确的是( )A ．向下，向上B ．向下，向下C ．向上，向下D ．向上，向上解析：选B.主动轮、从动轮、皮带之间的传动关系为：主动轮先转，带动皮带运转，皮带又带动从动轮运转．在主动轮上的M 点，假设接触面光滑，轮子相对于皮带有向上运动的趋势，故皮带给轮子向下的静摩擦力，同时轮子给皮带一个向上的静摩擦力，此力拉动皮带运动．在从动轮上的N 点，假设接触面光滑，轮子相对传送带有向上运动的趋势，则皮带给从动轮一个向下的静摩擦力，从动轮在该静摩擦力的作用下转动．故选B.7．(单选)运动员用双手握住竖直的竹竿匀速攀上和匀速下滑时，运动员所受的摩擦力分别为F 1和F 2，那么( )A ．F 1向下，F 2向上，且F 1＝F 2B ．F 1向下，F 2向上，且F 1＞F 2C ．F 1向上，F 2向上，且F 1＝F 2D ．F 1向上，F 2向下，且F 1＝F 2解析：选C.运动员向上、向下都是匀速运动，且只受重力和摩擦力的作用，由二力平衡知，运动员所受的摩擦力总是向上，大小等于其重力．故选C.8．(单选)(2013·太原高一检测)一物体置于粗糙水平地面上，按如图所示不同的放法，在水平力F 的作用下运动，设地面与物体各接触面的动摩擦因数相等，则物体受到的摩擦力的大小关系是( )A．F f甲＞F f乙＞F f丙B．F f乙＞F f甲＞F f丙C．F f丙＞F f乙＞F f甲D．F f甲＝F f乙＝F f丙解析：选D.物体在三种情况下所受摩擦力均为滑动摩擦力，由F f＝μF N＝μmg知，物体在三种情况下所受摩擦力大小相等，选项D正确．故选D.☆9.(多选)(2013·铁岭高一检测)如图所示，木块A、B分别重50 N和60 N，它们与水平地面间的动摩擦因数均为0.25，夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了2 cm，弹簧的劲度系数为400 N/m，系统置于水平地面上静止不动．现用F＝1 N的水平拉力作用在木块B上，力F作用瞬间()A．木块B所受摩擦力大小是9 NB．木块B所受摩擦力大小是7 NC．木块A所受摩擦力大小是12.5 ND．木块A所受摩擦力大小是8 N解析：选AD.弹簧弹力大小F弹＝kx＝400×0.02 N＝8 N，所以木块A所受摩擦力大小F f A＝F弹＝8 N，C错误，D正确；木块B所受摩擦力大小F f B＝F弹＋F＝8 N＋1 N＝9 N，A 正确，B错误．故选AD.☆10.(单选)把一个重为G的物体，用一个水平力F＝kt(k为恒量，t为时间)压在竖直的足够高的平整的墙上，如图所示，从t＝0开始物体所受的摩擦力F f随t的变化关系是()解析：选B.由于物体受的水平推力为F＝kt，由二力平衡得，墙与物体间的压力F N＝kt.当F比较小时，物体所受的摩擦力F f小于物体的重力G，物体将沿墙壁下滑，此时物体与墙壁间的摩擦力为滑动摩擦力，由公式可得，滑动摩擦力大小F f＝μkt.当摩擦力F f大小等于重力G时，由于惯性作用，物体不能立即停止运动，物体受到的摩擦力仍然是滑动摩擦力．随着正压力的增大，摩擦力将大于重力．物体做减速运动直至静止，摩擦力将变为静摩擦力，静摩擦力与正压力无关，跟重力始终平衡．故选B.二、非选择题11.(2013·湛江高一检测)如图所示，一重为20 N的物体放在水平地面上，在一大小为F＝8 N的水平向右拉力作用下，向右匀速运动．求：(1)物体所受的摩擦力的大小和方向；(2)物体与地面间的动摩擦因数μ；(3)若突然将外力F的方向改为水平向左，大小变为16 N，求此时物体所受摩擦力大小和方向．解析：(1)根据二力平衡，物体所受摩擦力F f＝F＝8 N，方向与拉力方向相反，即水平向左．(2)动摩擦因数μ＝F fF N＝820＝0.4.(3)外力突然改为水平向左时，物体仍在向右运动，对水平面的压力没有变，故此时是它受到的摩擦力大小、方向都与外力改变前相同．答案：(1)8 N水平向左(2)0.4(3)8 N水平向左12.如图所示，物体A重40 N，物体B重20 N，A与B、A与地的动摩擦因数相同，物体B 用细绳系住，当水平力F＝32 N时，才能将A匀速拉出，求接触面间的动摩擦因数．解析：以物体A为研究对象，物体B对物体A的正压力F N＝G B地面对A的支持力F N1＝G A＋F NA受B的滑动摩擦力F f＝μF NA受地面的滑动摩擦力F f1＝μF N1水平方向：F＝F f＋F f1，代入数据即可得到μ＝0.4.答案：0.4。
第三节知能演练轻松闯关
1．(单选)理想变压器在正常工作时，原、副线圈中不．相同的物理量是()A．每匝线圈中磁通量的变化率B．交变电流的频率C．原线圈的输入功率，副线圈的输出功率D．原、副线圈中的感应电动势答案：D2．(单选)如图所示的四种情况，可以将电压升高供给电灯的变压器是()解析：选D.变压器原、副线圈中通过的是交变电流，所以选项A、C错误．要想使电压升高，则副线圈匝数要比原线圈匝数多，所以选项B错误，选项D正确．3．(单选)如图所示，理想变压器原、副线圈匝数比n1∶n2＝4∶1，原线圈两端连接光滑导轨，副线圈与电阻R相连组成闭合回路，当直导线AB在匀强磁场中沿导轨匀速地向右做切割磁感线运动时，电流表A1的读数是12 mA，那么电流表A2的读数为()A．0B．3 mAC．48 mA D．与R值大小有关解析：选A.直导线AB匀速向右做切割磁感线运动时，产生稳定的电流，所以穿过副线圈的磁通量不发生变化，所以A2中无示数．4．(双选)如图所示，有一理想变压器，副线圈回路中的输电线ab和cd的电阻不可忽略，其余输电线电阻可不计，原线圈电压U不变，则当开关S闭合时()A．交流电压表V1和V2示数都减小B．电压表示数只有V2减小C．交流电流表A1、A2、A3的示数都变大D．电流表示数只有A3变小解析：选BD.因为U不变，原、副线圈的匝数比不变，故副线圈电压不变，V1示数不变．S闭合后，副线圈电路中总电阻减小，A2示数增大．由于A2示数增大，A1示数一定增大．由A2示数增大，ab、cd电阻一定，故V2示数减小，A3示数减小．5．ABS系统是如何防止车轮被制动系统装置抱死的？答案：ABS系统由轮速传感器，电子控制模块和电磁阀三部分组成．轮速传感器中铁质齿轮P与车轮同步转动．不断地接近和离开磁铁，使电流检测器D中产生一定频率的交变电流，传入电子控制模块中转换为与车轮转速有关的信息，并向电磁阀发出指令，电磁阀根据指令调节制动器产生合理的制动力．一、单项选择题1．变压器原线圈为1400匝，副线圈为700匝，并接有电阻R，当变压器工作时原、副线圈中()A．电流频率之比为2∶1B．功率之比为2∶1C．电流之比为2∶1D．电压之比为2∶1解析：选D.变压器在工作的时候，原、副线圈中的频率和功率都相等，A、B错．电压与匝数成正比，电流成反比，C错，D对．2．一个正常工作的理想变压器的原、副线圈中，下列物理量不．一定相等的是()A．交变电流的频率B．电流的大小C．电功率D．磁通量的变化率解析：选B.根据变压器的工作原理，交流电的频率、磁通量的变化率、电功率都相等，只有B符合题意．3．如图所示是“探究变压器两个线圈的电压关系”的实验装置，下列说法中正确的是() A．与灯泡连接的线圈叫原线圈B．测量变压器输出电压要用直流电压表C．若只增加副线圈的匝数，变压器的输出电压变大D．若只增加副线圈的匝数，变压器的输出电压变小解析：选C.电路中与灯泡相连的线圈是副线圈，故选项A 错误．因为变压器原、副线圈中通过的是交变电流，所以测量变压器输出电压时要用交流电压表，故选项B 错误．由变压器变压比公式U 1U 2＝n 1n 2可知，在原线圈匝数不变的情况下，增加副线圈的匝数，变压器的输出电压变大，减少副线圈的匝数，变压器的输出电压变小，故选项C 正确，选项D 错误．4．如图所示为一与交流电相连接的理想变压器，原线圈中电流为I 1，副线圈中电流为I 2，当副线圈中负载电阻R 变小时( )A ．I 2变小，I 1变小B ．I 2变小，I 1增大C ．I 2增大，I 1增大D ．I 2增大，I 1变小解析：选C.由于其他条件不变，在副线圈中的电阻变小时，副线圈中的电流I 2变大，由于P 1＝P 2，则电流I 也变大，所以C 对．5．一台理想变压器，它的初级线圈输入电压的最大值为200 V ，次级线圈接一个阻值为R 的电阻，消耗电功率为P ，而该电阻直接接在电动势为20 V 的内阻为零的直流电源上消耗电功率为2P ，则变压器原副线圈匝数之比应为( )A ．20∶1B ．14∶1C ．10∶1D ．1∶10解析：选C.根据题意当电阻消耗电功率为P 时直流电压为U ，则变压器次级线圈电压的最大值应为20 V ，而初级的最大值是200 V ，变压器原副线圈匝数比为10∶1，选项C 正确．6．如图所示，与理想变压器相连的4只灯泡相同，变压器原、副线圈的匝数比为3∶1，接在副线圈上的3只灯泡正常发光．则对于串联在原线圈上的灯泡A ( )A ．比正常发光时的亮度更大B ．也能正常发光C ．比正常发光时的亮度更暗D ．无法判断其亮度情况解析：选B.灯泡A 的亮度如何，主要看灯泡A 的功率多大，在本题中就是看通过灯泡A 的电流如何．设每只灯的额定电流为I 0，因并联在副线圈两端的三只灯泡正常发光，所以副线圈中的电流I 2＝3I 0.由I 1I 2＝n 2n 1得原线圈的电流I 1＝n 2n 1I 2＝I 0，恰为灯泡A 的额定电流，因此灯泡A 也正常发光．7．一台理想降压变压器从10 kV 的线路中降压并提供200 A 的负载电流．已知两个线圈的匝数比为40∶1，则变压器的原线圈电流、输出电压及输出功率是( )A ．5 A,250 V,50 kWB ．5 A,10 kV,50 kWC ．200 A,250 V,50 kWD ．200 A,10 kV,2×103 kW解析：选A.由I 1I 2＝n 2n 1得I 1＝n 2n 1I 2＝140×200 A ＝5 A ；由U 1U 2＝n 1n 2得U 2＝U 1n 2n 1＝10×103×140V ＝250 V ；由理想变压器功率关系得P 入＝P 出＝U 1I 1＝U 2I 2＝200×250 W ＝50 kW.故选项A 正确．二、双项选择题8．下列关于理想变压器的说法，正确的是( )A ．输入功率等于输出功率B ．输送的电能经变压器先转化为磁场能，再转化为电能C ．输送的电能经变压器先转化为电场能，再转化为电能D ．输送的电能经变压器的铁芯直接传输出去解析：选AB.从能量的转化来看，由于过程中有电磁感应现象出现，所以会存在“磁生电”的过程，这里的“磁”是指原线圈中产生的变化磁场，这样在副线圈中就产生了电磁感应现象，从而副线圈可以产生电能．所以A 、B 正确．9．如图所示，利用一理想变压器给一个电灯供电，在其他条件不变时，若增加副线圈的匝数，则( )A ．灯亮度减小B ．电流表示数增大C ．电压表示数增大D ．变压器的输入功率不变解析：选BC.若增加副线圈的匝数，次级电压升高，电压表的读数增大，电灯的亮度增加，输出电流增加，输入电流也随输出电流的增大而增大，所以A 错，B 、C 对．变压器的输出功率增加，D 错．三、非选择题10．如图所示的理想变压器，它的初级线圈接在交流电源上，次级线圈接一个标有“12 V ,100 W”的灯泡，已知变压器初、次级线圈的匝数比为18∶1，那么小灯泡正常工作时，图中电压表的读数为________ V ，电流表的读数为________ A.解析：由公式U 1U 2＝n 1n 2得U 1＝n 1n 2U 2＝18×12 V ＝216 V ， 由公式I 1I 2＝n 2n 1得I 1＝n 2n 1I 2＝118×10012A ＝0.46 A. 答案：216 0.4611．为了安全，机床上照明电灯用的电压是36 V ，这个电压是把220 V 的电压降压后得到的．如果变压器的原线圈是1140匝，则副线圈是多少匝？用这台变压器给40 W 的电灯供电，原、副线圈中的电流各是多大？解析：由U 1U 2＝n 1n 2得， n 2＝U 2U 1n 1＝36×1140220＝187匝． 副线圈电流I 2＝P 2U 2＝1.1 A 又因为U 1I 1＝U 2I 2，所以I 1＝U 2I 2U 1＝P 1U 1＝0.18 A. 答案：187匝 0.18 A 1.1 A12．一理想变压器的原、副线圈匝数之比为2∶1，把它接在220 V 的交流电源上．现有一个阻值为55 Ω的电阻器，允许通过的最大电流为3 A ，能不能把它接在这个变压器的副线圈的两端？解析：由U 1U 2＝n 1n 2得 U 2＝U 1n 2n 1＝2202 V ＝110 V ，I ＝U 2R ＝11055A ＝2 A ＜3 A ， 所以能把它接在副线圈的两端．答案：能。
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1．在△ABC 中，∠B ＝π3
，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( ) A.2 B. 3
C. 5
D. 6 解析：选D.由已知可知2b ＝a ＋c ，a 2＋c 2－ac ＝b 2，
故(a ＋c )2－3ac ＝4b 2－18＝b 2，∴b ＝ 6.
2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .若c b
<cos A ，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
解析：选D.∵c b <cos A ，由正弦定理可得sin C sin B
<cos A ， ∴sin C <sin B cos A ，sin(A ＋B )<sin B cos A ⇒cos B sin A <0.
∵sin A >0，∴cos B <0，故B 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．
3．(2012·黄山调研)在△ABC 中，已知sin A sin B cos C ＝sin A sin C cos B ＋sin B sin C cos A ，若a ，b ，
c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则ab c 2的最大值为________． 解析：∵sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R
， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
， ∴已知条件变为a 2R ·b 2R ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2R ·c 2R ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2R ·c 2R ·b 2＋c 2－a 22bc
，化简得3c 2＝a 2＋b 2，
∴ab c 2＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32
. 答案：32
4．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的三角形ABC 的个数记为m ，则a m 的值为________． 解析：在△ABC 中，余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3＋1或b ＝3－1，
有两解，故△ABC 的个数m ＝2，∴22＝4.
答案：4
一、选择题
1．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝20，A ＝150°，这个三角形解的情况是( )
A ．一解
B ．两解
C ．无解
D ．不确定
解析：选C.∵b >a ，∴B >A .而A ＝150°，B 为钝角不可能，所以三角形无解．故选C.
2．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( )
A ．25
B ．51
C ．49 3
D ．49
解析：选D.∵S △ABC ＝12
AB ·AC sin60°＝43AB ＝2203，得AB ＝55，再由余弦定理，有BC 2＝162＋552－2×16×55×cos60°＝2401，得BC ＝49.
3．(2011·高考浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )
A ．－12 B.12
C ．－1
D ．1
解析：选D.因为在△ABC 中，a cos A ＝b sin B ，由正弦定理可得sin A cos A ＝sin 2B ，即sin A cos A ＝1－cos 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1，故选D.
4．已知A 是三角形ABC 的内角，则“cos A ＝12”是“sin A ＝32
”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.∵A 为△ABC 的内角，cos A ＝12
，∴A 是锐角， ∴sin A ＝32；但sin A ＝32
，可得A ＝60°或120°， 因此cos A ＝12或cos A ＝－12，故“cos A ＝12”是“sin A ＝32
”的充分不必要条件． 5．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于( )
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
解析：选D.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得1sin A ＝2sin45°，解得sin A ＝12
，∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°.故选D.
二、填空题
6．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.
解析：由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°. 由正弦定理得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12
. 答案：12
7．(2011·高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13
，则a ＝________. 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin B ·sin A ＝5sin π4×13＝522
×13＝523. 答案：523
8．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．
解析：∵S △ABC ＝12BC ·AC ·sin60°＝32
AC ＝3， ∴AC ＝2，所以△ABC 为等边三角形，
故AB 的长度等于2.
答案：2
三、解答题
9．(2011·高考辽宁卷)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .
(1)求b a
； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .
解：(1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，
∴b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a .
所以b a ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c
. 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12
. 又cos B >0，故cos B ＝22
，所以B ＝45°. 10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，已知b ＝5，sin A ＝
74，S △ABC ＝1574
. (1)求c 的值；
(2)求sin C 的值．
解：(1)由S △ABC ＝12bc sin A ＝1574
， b ＝5，sin A ＝74
，可得c ＝6. (2)由锐角△ABC 中，sin A ＝74，可得cos A ＝34
， 由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋36－60×34
＝16，所以a ＝4， 由正弦定理c sin C ＝a sin A
， 得sin C ＝c sin A a ＝6×744＝378
. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C 2
. (1)求sin C 的值；
(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 解：(1)由已知得sin C ＋sin C 2
＝1－cos C ， 即sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2
. 由sin C 2≠0得，2cos C 2＋1＝2sin C 2
， 即sin C 2－cos C 2＝12
. 两边平方得sin C ＝34
. (2)由sin C 2－cos C 2＝12
＞0得， π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π， 由sin C ＝34得，cos C ＝－74
. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得，(a －2)2＋(b －2)2＝0，
则a ＝2，b ＝2.
由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，
所以c ＝7＋1.。