八年级数学《正方形》重点知识及经典例题

八年级数学《正方形》重点知识及经典例题

【学习目标】

1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．

2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．

3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．

【主体知识归纳】

1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：

（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

3．正方形的判定

（1）根据正方形的定义；

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）有一个角是直角的菱形是正方形；

（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

【基础知识精讲】

1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭

⎬⎫)()2()()1( 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

2．正方形的性质可归纳如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．

【例题精讲】

［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．

求证：矩形ABCD 是正方形．

图4—50

剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．

证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．

∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF

∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．

∵DF＝CF，∴GF＝CF．

∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，

∴Rt△GFE≌Rt△CFE．

∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．

又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．

∴矩形ABCD是正方形．

说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．

［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．

图4—51

对上述命题的证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．

∴∠3＋∠2＝90°，

∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．

∴∠1＝∠2，

∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF

问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

图4—52

剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．

解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，

∴∠OFA＋∠FAE＝90°

又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，

∴∠OEB＝∠OFA，

∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．

［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．

图4—53

剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．

答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．