组合数学函授试题答案

1. 一人每天至少看1h 电视，总共看7周，但每周最多看11h ．试证明存在连续若干天，在此期间他恰好看电视20h （假设看电视时间是整数个小时）.
2. 今有12只鸽子飞进5个笼子，则必有有一个笼子，该笼子里至少有几只鸽子
3. 1）由两个英文字母后接四个数字来组成汽车牌照，问不同的牌照有多少种 2）如果两个英文字母必须不同，组成的牌照又有多少种 （1）262×104
（2）P(26,2) ×104
4. 10 男生 5 女生围圆桌聚餐，任何两个女生不相邻的坐法有多少种
解
男生先坐好，有 9！种坐法。

固定一种男生坐法，然后让女生插入10 个空档，女生之间还存在排序问题，故有 P (10, 5) 种排法
所以，共有 9! P (10, 5) 种坐法。

5. n 对夫妻围圆桌就坐，要求每对夫妻不相邻，问有多少种入座方式 解 将n 个丈夫记为，他们的妻子分别记为，设性质pi 表示xi 与yi 相邻，其中i =1,2,…,n .令S 为2n 个人的全体环排列构成的集合，S 的满足性质pi 的子集Ai ，i =1,2,…,n .那么有
11211135m n --⎡⎤⎡⎤
+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
212||(21)!
||2(22)!,1,2,...,||2(23)!1......||2(1)!
i i j n n S n A n i n A A n i j n A A A n =-=-==-≤<≤=-
由包含排斥原理得到
6. 证明
7. 求1到1000之间不能被5 ，6 ，或8整除的自然数的个数
解：用{a 1,a 2,…,a n }表示n 个整数a 1,a 2,…,a n 的最小公倍数。

设S ={1,2,…,1000}，令A ,B ,C 分别为1~1000中能被5,6,8除尽的整数集合。

显然，其补集代表不具备被整除性质的集合。

根据题意有
根据容斥原理，不能被5,6,8中任何一个数整除的数目为
8. 试确定多重集的
组合数 解：把S 的r -组合分成两类：
包含a 1的r -组合：这种组合数等于{∞*a 2,…,∞*a k }的(r −1)-组合数，即 N 1=C ((k -1)+(r -1)-1, r -1)=C (k+r-3, r -1).
不包含a 1的r -组合：这种组合数等于{∞*a 2,…,∞*a k }的r -组合数，即 N 2=C ((k -1)+ r -1, r )=C (k +r -2, r ). 由加法法则，所求的r −组合数
N=N 1+N 2=C (k+r -3, r -1)+C(k+r -2, r ).
9.一糕点店生产8种糕点，若一盒内装有12块各种糕点，并且可认为每种糕点无限多，则你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）
证明：
将等式两边对x 从0到1积分得
()
()()()
==++=+=+=+=+=++-=++∑∑⎰⎰∑∑0
1100
01
1
110
00
1
(1)(1)(1)1121111n
n k
k n n
k k n k n
k n n k n x x k n x dx x dx
k x x n k n k n
k n k 23(21)!2(22)!2(23)!2(24)!......(1)2(1)!
123n n n n n n N n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=---+---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111211......122311n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥
====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+1000100010001000,200,166,1255681000100033,41,lcm{5,6}lcm{6,8}1000100025,8lcm{8,5}lcm{5,6,8}1000(200|S||A||B||C||A B||B C||C A||A B C||A B C|++++-=166125)(334125)8600
123={1,,,,}k S a a a a ⋅∞⋅∞⋅∞⋅
这是一个组合问题，即 的12-可重组合,所以
10. 确定 T = {3a , 4b , 5c }的 10 组合数。

Mathematics Modeling
Lianyungang。

1525
6264134组合数4的组合数
10的个6的至少有||组合，10的个6组合得到至少有4的加到个6将；2126
7275135组合数5的组合数
10的个5的至少有||组合，10的个5组合得到至少有5的加到个5将；2827
8286136组合数6的组合数
10的个4的至少有||组合，10的个4组合得到至少有6的加到个4将**3*
**2***1*=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+====⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+====⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+===T c T A c T c T b T A b T b T a T A a T a
11. 用四种颜色（红、蓝、绿、黄）涂染四台仪器A,B,C 和D ．规定每台仪器只能用一种颜
色并任意两台仪器都不能相同．如果B 不允许用蓝色和红色，C 不允许用蓝色和绿色，D 不允许用绿色和黄色，问有多上种染色方案
解：由题意，可得棋盘如右图，其中有阴影的格子表示禁区。

求得禁区多项式R )=1+6x +10x 2+4x 3，
G L W Y
{}
1238
,,,,s a a a a
=∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅128119503881212N +-⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1031121211||661022S +-⎛⎫⎛⎫⨯===
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解法1（用容斥原理）令 T *
= {
a ,
b ,
c }，
S 为 T * 的 10 组合的集合，
A 1 为至少有 4 个 a 的 T * 中 10 组合的集合， A 2 为至少有 5 个 b 的 T * 中 10 组合的集合， A 3 为至少有 6 个 c 的 T * 中 10 组合的集合。

即r 1=6，r 2=10，r 3=4，故所求方案数为 4!-6×3!+10×2!-4×1!=4 12.解递推关系 （ ）
解：对应的特征方程为 ：特征根分别： ,原递推关系的通
解为： , 把 ， 代入
解得： 原递推关系的通解为：
13.解递推关系
解：因为特征方程为 ,得特征根为2,3 ,所以原递推式对应的齐次递推式： ，有通解为： , 设原递推式有特解 ,代入原递推式得C=1,D=2,因此原递推式有通解为 ,再将 ,代入通解得 A=2,B=1,所以 14. 求 的生成成函数．
（ ） 解：设
1201564,9.
n n n a a a a a --=-⎧⎨==⎩，
1223n n n a c c =+12124239
c c c c +=⎧⎨+=⎩122,3x x ==014,9a a ==323n n
n
a =⋅+1231
c c =⎧⎨
=⎩2n ≥2560x x -+=()
120
15623,
5,10.2n n n a a a n a a n --=-+-⎧⎨==≥⎩256
x x =-1256n n n a a a --=-23
n n
n a A B =+n a Cn D =
+232
n n n a A B n =+++015,10a a ==12
32n n
n a n +=+++5n a n =+0n ≥0
()n
n n A t a t ∞
==∑
000
()(5)(1)4n n
n
n n n A t n t n t t ∞∞∞
====+=++∑∑∑
212
144(1)4(1)(1)t
t t t --+-=-+-=
-2
54(1)t t -=
-。