组合数学试题集

组合数学试题集

一.简单题目

可以根据需要改成选择题或者填空题

1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（参见课本21页）

解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数； （1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；

（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；

（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；

（4）选4个，即构成4位数，共有4

5P 个；

由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。 2．一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？（参见课本21页）

（1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定；

（2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。

解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。

5人坐前排，其坐法数为(8,5)P ，4人坐后排，其坐法数为(8,4)P ， 剩下的5个人在其余座位的就坐方式有(7,5)P 种，

根据乘法原理，就座方式总共有：

(8,5)(8,4)(7,5)28449792000P P P =（种）

（2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。

可分成三种情况分别讨论：

① 前排恰好坐6人，入座方式有(14,6)(8,6)(8,8)C P P ；

② 前排恰好坐7人，入座方式有(14,7)(8,7)(8,7)C P P ；

③ 前排恰好坐8人，入座方式有(14,8)(8,8)(8,6)C P P ；

各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为：

(14,6)(8,6)(8,8)(14,7)(8,7)(8,7)(14,8)(8,8)(8,6)10461394944000

C P P C P P C P P ++= 3．一位学者要在一周内安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排方案？（参见课本21页）

解：用i x 表示第i 天的工作时间，1,2,,7i =，则问题转化为求不定方程

123456750x x x x x x x ++++++=的整数解的组数，且5i x ≥，于是又可以转化为求不定方程123456715y y y y y y y ++++++=的整数解的组数。

该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数不限，即相异元素允许重复的组合问题。

故安排方案共有：(,15)(1571,15)54264RC C ∞=+-= （种）

♦ 另解：

因为允许0i y =，所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再加上前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“＋”号，每个空放置的“＋”号数不限，未放“＋”号的线段合成一条线段，求放法的总数。从而不定方程的整数解共有：

212019181716(,6)(1661,6)54264654321

RC C ⨯⨯⨯⨯⨯∞=+-=

=⨯⨯⨯⨯⨯（组） 即共有54 264种安排方案。 4.求下列函数的母函数: {(1)}n n -；（参见课本51页）

母函数为：

2

323000222()(1)(1)2(1)(1)(1)n n n

n n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞====-=+-=-=---∑∑∑； ♦ 方法二：

()()()()()220

22220

02222023

()(1)00121121n

n n n n n n n n n G x n n x x n n x x n n x x x x x x x x x x ∞∞-==∞∞

+==∞+==-=++-"=++=""⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

=-∑∑∑∑∑

5.求下列函数的母函数:{(2)}n n +；（参见课本51页）

母函数为：

2

32300023()(2)(1)(1)(1)(1)n n n

n n n x x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞===-=+=++=+=---∑∑∑。 ♦ 方法二：

()()()()()()()()0

000212100

0023223

()(2)1211111121111111131n n n

n n n n n n n n n n n n n G x n n x n n x n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞∞∞∞

====∞∞∞∞++++=====+=++-+-"'"'⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭"'⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪----⎝⎭--⎝⎭

-=-∑∑∑∑∑∑∑∑

6．利用递推关系求下列和：0(2)n

n k S k k ==+∑ （参见课本第92页）

显然，1(2)n n S S n n --=+，

同理对应的齐次方程的特征根为1，特解为(1)n n S A A ==，

非齐次方程的特解为：*232()n

S n Bn Cn D Bn Cn Dn =++=++， 所以，非齐次方程的通解为：32n S Bn Cn Dn A =+++，

初始条件为：01230,3,11,26S S S S ====，代入上式，可得 00S A ==，13S B C D A =+++=，284211S B C D A =+++=，

3279326S B C D A =+++=，解得：0A =，13B =，32

C =，76

D =， 所以 32137(1)(27)3266

n n n n S n n n ++=++=

♦ 方法二： 显然，1(2)n n S S n n --=+，类似可得，12(1)(1)n n S S n n ---=-+， 两式相减得12221n n n S S S n ---+=+，