2021-2022学年河南省信阳市高一下学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年河南省信阳市高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．设集合{}15M x x =-≤<，{}
2N x x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．{}12x x -≤≤ B ．{}22x x -≤≤ C ．{}15x x -≤< D ．{}25x x -≤<
【答案】D
【分析】根据并集的定义计算．
【详解】{}15M x x =-≤<，{}
{}222N x x x x =≤=-≤≤， ∴{}25M N x x ⋃=-≤<. 故选：D.
2．已知i 为虚数单位，则复数1i
3i
-+=+（ ） A ．
12i
5
-+ B ．
22i
5
-+ C ．
12i
4
-+ D ．
1i
4
-+ 【答案】A
【分析】根据复数的乘除法运算法则，计算可得答案. 【详解】()()1i 3i 1i 12i
3i 105
-+--+-+==
+， 故选：A.
3．已知平面向量()1,2a x =，()2,3b =-，若a 与b 共线，则x =（ ） A ．34
-
B ．1
3-
C ．13
D ．34
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标运算公式，可解得答案. 【详解】∵a 与b 共线， ∴()13220x ⨯-⨯-=， 解得3
4
x =-.
故选：A.
4．已知,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若//m α，//n α，则//m n
B ．若m α⊥，n α⊥，则//m n
C ．若//m α，//m β，则//αβ
D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n
【答案】B
【分析】对于选项A ，平行于同一平面的两直线不一定平行，故选项A 错误； 对于选项B ，垂直于同一平面的两直线平行，故选项B 正确； 对于选项C ，与同一直线平行的两个平面可能相交，故选项C 错误； 对于选项D ，分别在两个平行平面内的两直线可能异面，故选项D 错误. 【详解】由,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，
对于选项A ，若//m α，//n α,则m 与n 平行，相交或异面，故选项A 错误； 对于选项B ，若m α⊥，n α⊥，则m n ∥，故选项B 正确；
对于选项C ，若//m α，//m β，则α与β平行或相交，故选项C 错误； 对于选项D ，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故选项D 错误. 故选：B.
5．社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为1
2，23
，则此项任务被甲、乙两人完成的概率为（ ） A ．16
B ．25
C ．23
D ．56
【答案】D
【分析】从对立事件出发，求出此项任务不能完成的概率，即可得能被完成的概率.
【详解】解：依题意，此项任务不能完成的概率为121
11236
⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
此项任务被甲乙两人完成的概率为15
166-=.
故选:D.
6．学校举行演讲比赛，11位评委对甲同学《祖国，我爱你》演讲的评分情况是：
去掉一个最高分和一个最低分，则甲同学的最终得分为（ ）A ．8.5 B ．8.9
C ．9.0
D ．9.1
【答案】C
【分析】去掉一个最高分和一个最低分，即去掉一个7.8和一个9.5，求余下的9个数的平均数即可.
【详解】解：去掉一个最高分9.5分和一个最低分7.8分，
则甲同学的最终得分为82939.54
9.09
⨯+⨯+⨯=.
故选:C.
7．为了得到函数22cos 23y x π⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数2cos 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点（ ）
A ．向左平移3π
个单位长度 B ．向左平移6
π个单位长度 C ．向右平移2
π
个单位长度
D ．向右平移6
π个单位长度
【答案】C
【分析】根据平移变换的定义判断． 【详解】22cos(2)2cos[2()]323
y x x πππ
=-
=-+，因此 将函数2cos 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上所有的点向右平移2π个单位长度得到函数
22cos 22cos 2233y x x πππ⎡⎛⎫⎤⎛
⎫
=-+=-
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭
⎣的图象. 故选：C.
8．数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为2x =，方差24s =，则数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的标准差为（ ）
A ．6
B ．7
C ．12
D ．36
【答案】A
【分析】利用方差的性质计算可得答案.
【详解】数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的方差24s =，则数据131x +，231x +，331x +，…，
31n x +的方差为234⨯6=.
故选：A.
9．将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为（ ）
A ．()
2π B ．(48π-
C ．(24π-
D ．(108π-
【答案】B
【分析】圆锥的轴截面是等腰直角三角形，截得其内切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆，由面积法求得内切球半径后可得球表面积．
【详解】依题意，作圆锥的轴截面等腰直角三角形，截得其内切球的大圆是此等腰直角
三角形的内切圆，
圆锥的底面半径为2，则其母线长为22.设圆锥的内切球半径为r ，则
1111
22224422222
r r r ⨯+⨯+⨯⨯=⨯⨯，所以(
)
221r =-，所以球表面积为
()()
241632248322S r πππ==-=-.
故选：B.
10．已知()e x
f x =，若0a >，0b >，且()()22e f a f b ⋅=，则12a b
+的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．92
D ．5
【答案】C
【分析】利用1的代换和基本不等式即可得到12
a b
+的最小值.
【详解】由()()2
2e f a f b ⋅=，得22e e e a b ⋅=，所以22a b +=，
()12112122122925522222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，
当且仅当
22b a
a b
=，即a b =时取等号， 所以12a b +的最小值为9
2
.
故选：C.
11．如图，已知几何体1111ABCD A B C D -是正方体，则下列结论错误的是（ ）
A ．在直线1DD 上存在点E ，使CE ∥平面11A BC
B ．1AB ⊥平面11A BC
C ．异面直线1AB 与11A C 所成的角为60°
D ．从正方体的八个顶点中任取四个组成的三棱锥的外接球的体积相等 【答案】B
【分析】对于A ，由题意可知：当E 与1D 重合时，满足CE ∥平面11A BC ，即可判断正误；
对于B ，由题意可得1AB 只与平面11A BC 内的1A B 垂直，故不能得出1AB ⊥平面11A BC ，即可判断正误；
对于C ，连接1DC ，1DA ，则有11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角，只需说明
1160DC A ∠=︒是否成立，即可判断正误；
对于D ，由补形法可知：任意的三棱锥的外接球就是正方体的外接球，即可判断正误. 【详解】解：对于选项A ，当E 与1D 重合时，CE ∥平面11A BC ，故选项A 正确； 对于选项B ，虽然11AB A B ⊥.但1AB 与11A C 不垂直，选项B 错误；
对于选项C ，连接1DC ，则1AB ∥1DC ，11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，连接1DA ，则11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项C 正确.
对于选项D ，从正方体的八个顶点中任取四个组成的三棱锥的外接球就是正方体的外接球，选项D 正确. 故选：B.
12．已知()sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，若关于x 的方程
2
36f x f
x m ππ⎡⎤⎛
⎫⎛
⎫-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
（m 为常数）
在（0,
2
π
）内有两个不同的解a ，β，则22
sin sin αβ+=（ ）
A ．32m -
B ．43m -
C ．21m -
D ．21m +
【答案】A
【分析】根据诱导公式、同角的三角函数关系式，结合换元法、二次函数的对称性进行
求解即可.
【详解】因为2
36f x f
x m ππ⎡⎤⎛
⎫⎛
⎫-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦，
所以2
22sin sin ()sin cos sin 1sin 63
x x m x x m x x m π
π
++
+=⇒+=⇒+-=，
整理得：2
215sin 1sin (sin )24
m x x x =+-=--+，
因为(0,)2
x π
∈，所以sin (0,1)x ∈，令sin x t =，
即函数215
()24
m t =--+，显然该函数的对称轴为12t =，
因为关于x 的方程2
36f x f
x m ππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
（m 为常数）在（0,2π）内有两个不同的解a ，β，所以有1
sin sin 212
αβ+=⨯
=，22sin 1sin ,sin 1sin m m ααββ+-=+-=， 因此22sin sin sin 1sin 132m m m αβαβ+=+-++-=-， 故选：A
二、填空题
13．已知复数()()22
42i z m m m =-+--()m R ∈为纯虚数，则z =______.
【答案】4
【分析】由复数为纯虚数求得m 的值，然后代入模的计算公式得答案．
【详解】因为复数z 为纯虚数，则2240,
20,m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得2m =-.
所以4i z =， 所以4z =. 故答案为：4.
14．在ABC 中，
AB AC ===用斜二测画法画出ABC 的直观图，则该直观图的面积为______.
【答案】
4
【分析】案.
【详解】如图所示，作出ABC 底边上的高h ，
则()
2
2217h =
-=，
所以1
2772
ABC S =⨯⨯=△， 所以该直观图的面积214
744
A B C S '''=⨯=
△. 故答案为：
144
. 15．中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形ABCDEFGH ，若1AB =，则AB DB -=______.
211+2【分析】根据题意，利用余弦定理，计算出OA 的值，根据向量运算，把AB DB -化成AD ，计算其长度得答案.
【详解】在AOB 中，设OA OB x ==，45AOB ∠=︒， 则2222cos 451x x x +-︒=，所以222
2
x =
， 所以()
22222cos1352221AB DB AB BD AD x x x x -=+==+-︒+. 21
16．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，6
BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为5
为______.
【答案】
563
【分析】分析可知
1
2
EF AB =，设2EF x =，则4,6AB x BF x ==，过点E 、F 在平面ABFE 内分别作EM AB ⊥，FN AB ⊥，垂足分别为点M 、N ，根据正四棱台的侧面积计算出x 的值，再利用台体的体积公式可求得结果．
【详解】解：由题意得
1
2
EF AB =，设2EF x =，则4AB x =，6BF x =. 过点E ，F 在平面ABFE 内分别作EM AB ⊥，FN AB ⊥，垂足分别为点M 、N ，
在等腰梯形ABFE 中，因为//EF AB ，EM AB ⊥，FN AB ⊥，则四边形MNFE 为矩形， 所以MN EF =，EM FN =，则2MN EF x ==， 因为AE BF =，EM FN =，90AME BNF ∠=∠=︒， 所以Rt Rt AME BNF ≌△△，所以2
AB EF
AM BN x -==
=， 在Rt BNF △中，由勾股定理得225FN BF BN x -， 所以等腰梯形ABFE 的面积为224535352
x x
S x x +=
==1x =. 所以22EF x ==，44AB x ==，方亭的高()
2
512h =
-=，
故方亭的体积为((
11562416643
3
3
h S S S S ⨯⨯+=⨯⨯+=上下下上. 故答案为：
563
三、解答题
17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，23
B π=
.
(1)若6
C π
=
，求b ；
(2)若6b =，求ABC 的面积S . 【答案】(1)23 (2)
33
2
- 【分析】第（1）问中，由正弦定理即可得b. 第（2）问中，由余弦定理和面积公式即可求解. 【详解】(1)由23B π=
，6
C π
=，得2366
A πππ
π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以2c a ==， 因为正弦定理得
sin sin a b
A B
=，所以22sin sin 323sin sin
6
a B
b A π
π
⨯=
==.
（或222222
22cos 2222cos
123
b a
c ac B π
=+-=+-⨯=，所以23b =） (2)由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2226222cos 3
c c π=+-⨯， 化简得2220c c +-=，所以31c =-，或31c =--（舍去）.
所以(
)
11233
sin 231sin
22
32
S ac B π-=
=⨯⨯-=
. 18．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组[)20,30，第2组[)30,40，第3组[)40,50，第4组[)50,60，第5组[]60,70，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求样本中数据落在[)50,60的频率；
(2)求样本数据的第50百分位数；
(3)若将频率视为概率，现在要从[)20,30和[]60,70两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在[)20,30组的概率. 【答案】(1)0.4 (2)52.5 (3)35
【分析】(1)利用概率和为1求解；
(2)由题意可得样本数据的第50百分位数落在第四组，再按百分数位定义求解即可; (3)先求出抽取人数中年龄在[)20,30的有2人，在[60,70]的有4人，用列举法求解即可. 【详解】(1)解：依题意，样本中数据落在[)50,60为()10.0120.022100.4-⨯+⨯⨯=； (2)解：样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为
()
0.50.120.2501052.50.4
-⨯++
⨯=.
(3)解：[)20,30与[]60,70两组的频率之比为1:2，
现从[)20,30和[]60,70两组中用分层抽样的方法抽取6人，则[)20,30组抽取2人，记为a ，b ，
[]60,70组抽取4人，记为1，2，3，4.
所有可能的情况为(),a b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，
()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共15种.
其中至少有1人的年龄在[)20,30的情况有(),a b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),1b ，
(),2b ，(),3b ，(),4b ，共9种，
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在[)20,30组”为事件A ，则()93
155
P A ==. 19．已知平面向量13,22a ⎛= ⎝⎭
，2b =，且()27a b b a +⋅=. (1)求向量a 与b 的夹角；
(2)当k 为何值时，向量2a kb -与a b -垂直？
【答案】(1)
23π120︒ (2)45
k =-0.8- 【分析】在（1）问中，根据数量积定义即可求得a 与b 的夹角（余弦值）； 在（2）问中，根据向量垂直，即得()()20a kb a b -⋅-=，即可求得k 值.
【详解】(1)因为13,22a ⎛= ⎝⎭
，所以1a =， 由()27a b b a +⋅=，得2271a b b ⋅+=⨯，所以1a b ⋅=-， 所以1cos ,2a b a b a b ⋅==-，又[],0,a b π∈，所以2,3
a b π=， 即向量a 与b 的夹角为
23π. (2)因为向量2a kb -与a b -垂直，则()()20a kb a b -⋅-=，
所以()22220a k a b kb -+⋅+=，
即()()2212140k k ⨯-+⨯-+=，解得45
k =-. 故当45k =-时，向量2a kb -与a b -垂直.
20．已知())
sin sin f x x x x =-.
(1)若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin α=，求()f α的值； (2)求()f x 的最小正周期和单调递减区间.
【答案】(1)32
- (2)最小正周期为π，单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣
⎦()k ∈Z 【分析】（1）求出cos α代入()f α可得答案；
（2）利用正余弦的二倍角公式和两角和的正弦展开式化简可得()f x ，再用正弦的周期公式和单调递减区间可得答案.
【详解】(1)若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin α=，则1cos 2α=-，
所以())13sin sin 22f αα
αα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎦；
(2)())
2sin sin cos sin =-=-f x
x x x x x x
31cos 2π1sin 2sin 22262-⎛⎫=-=+- ⎪⎝
⎭x x x ， 所以()f x 的最小正周期为
2ππ2=， 由ππ3π2π22π262k x k +
≤+≤+，k ∈Z ， 得π2πππ63
k x k +≤≤+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣
⎦()k ∈Z . 21．如图，四棱锥S －ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，4AB SA ==，点P 在SC 上，M ，N 分别是BC ，CD 的中点.
(1)求证：平面PMN ⊥平面SAC ；
(2)若二面角P MN A --的正切值为32
，求三棱锥P －MNC 的体积. 【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）先证明出BD ⊥平面SAC ，利用三角形中位线定理得到BD MN ∥，即可证明MN ⊥平面SAC ，进而证明出平面PMN ⊥平面SAC ；（2）设MN AC Q ⋂=，连接PQ ，判断出PQA ∠为二面角P MN A --的平面角，作PH AC ⊥，设2QH x =，则3PH x =.由PH HC SA AC
=，解出3PH =.即可求出三棱锥P －MNC 的体积. 【详解】(1)因为SA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以SA BD ⊥.
连接BD ，因为底面ABCD 为菱形，AC BD ⊥.
因为SA AC A ⋂=，SA ⊂平面SAC ，AC ⊂平面SAC ,所以BD ⊥平面SAC .
又M ，N 分别是BC ，CD 的中点，BD MN ∥，所以MN ⊥平面SAC .
因为MN ⊂平面PMN ，所以平面PMN ⊥平面SAC .
(2)设MN AC Q ⋂=，连接PQ ，因为MN ⊥平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，PQ ⊂平面SAC ， 所以MN AC ⊥，MN PQ ⊥，所以PQA ∠为二面角P MN A --的平面角，则3tan 2PQA ∠=. 如图，作PH AC ⊥，H 为垂足，则32PH HQ =，设2QH x =，则3PH x =.
由底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，4AB =，则4AC =，由（1）知，Q 为AC 上靠近点C 的四等分点，1CQ =.
因为SA PH ∥，所以
PH HC SA AC =，即32144x x +=，所以1x =.所以3PH =.所以11122sin12033332
P MNC MNC V S PH -=⋅=⨯⨯⨯︒⨯=△即三棱锥P －MNC 322．已知函数()()()log 2log 2a a f x x x =+--（0a >且1a ≠）.
(1)求函数()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性；
(2)是否存在实数m ，使得不等式()()()
241og log 2f m f m <+成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)定义域为{}22x x -<<，奇函数 (2)存在，当1a >时，124
m <<，当01a <<时，24m << 【分析】（1）由对数函数的性质求定义，由奇偶性定义判断奇偶性；
（2）分类讨论得函数的单调性，则单调性解不等式可得，注意对数函数的定义域．
【详解】(1)由20,20,x x +>⎧⎨->⎩
得22x -<<.所以()f x 的定义域为{}22x x -<<， 因为函数的定义域关于原点对称，且()()()()log 2log 2a a f x x x f x -=--+=-， 所以()f x 为奇函数.
(2)①当1a >时，()f x 在()2,2-上为增函数，假设存在实数m ，使得不等式
()()()
24log log 2f m f m <+成立，则2424log log (2)2log 22log (2)2m m m m <+⎧⎪-<<⎨⎪-<+<⎩，解得124m <<. ②当01a <<时，()f x 在()2,2-上为减函数，假设存在实数m ，使得不等式
()()()
24log log 2f m f m <+成立，则2424log log (2)2log 22log (2)2m m m m <+⎧⎪-<<⎨⎪-<+<⎩，解得24m <<. 综上，①当1a >时，存在124
m <<，使得不等式()()()24log log 2f m f m <+成立；②当01a <<时，存在24m <<，使得不等式()()()24log log 2f m f m <+成立.。