统计教学中对数据分析核心素养的培养

数学思辨的魅力在什么地方呢？数学的思考辨析离不 开推理以及与之相关的一系列数学概念的准确理解和运用， 而推理的威力，则表现在处理和解决问题的分析方法上面。 培养数学思辨能力，最重要的是在准确理解数学概念和基本 知识的基础上，充分关注分析和处理问题的方法。学习数学 知识不能以找到正确答案或者会求解为满足，必须养成对分 析和处理问题的方法进行反思的习惯，对每一个具体问题的 解析都要争取找到最优的解析方法。
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器 更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年 内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时 购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(1)每台机器更换的易损零件数为8, 9,10,11 记事件Ai为第一台机器三年内换掉i 7个零件(i 1, 2, 3, 4) 记事件Bi为第二台机器三年内换掉i 7个零件(i 1, 2, 3, 4) P( A1 ) P( A3 ) P( A4 ) P(B1 ) P(B3 ) P(B4 ) 0.2, P( A2 ) P(B2 ) 0.4, 设2台机器共需更换的易损零件数的 随机变量为X , 则X的可能的取值为16,17,18,19, 20, 21, 22
教育部考试中心对全国高考数学考试大纲的说明中指 出：“数学的研究对象和特点体现在数学考试中就形成数 学考试学科特点。”数学考试的学科特点的第二个方面就 是“充满思辨性：这个特点源于数学的抽象性，系统性和 逻辑性，数学不是知识性的学科，而是思维型的学科。因 此，数学试题靠机械记忆，只凭直觉和印象就可以作答的 很少，为了正确解答，就要求考生具备一定的观察，分析 和推断能力。
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
“核心素养：表征分析” .
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【评析】2016年全国卷Ⅲ理4考查雷达图、2017年全国卷Ⅲ理3考查折线图，给予启示，应注意生活
而由一图月可的知平平均 均温 最差 高小气于温高7.5于℃，所 以20七℃月的的月平份均有温3个差或比2一个月，的所平以均 温不差正大确，．故B正选确D
“核心素养：表征分析” .
例2（2017年全国卷Ⅲ理3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
正确的是（ D ）
A.各月的平均最低气温都在0℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20℃的月份有5个 由由图图可可知知三0℃月均和在十虚一线月框的内平，均所 以最各高月气的温平都均 大最 约低 在气5℃温，都基在本0相℃ 以同上，，C正A正确确；；
概率、样本平均值
第 18 题分段函数模型在实际中的应用、样
本平均值、频率与概率
第 18 题样本平均数及其意义、茎叶图的画
法及意义
第 13 题古典概型概 第 18 题频率分布直方图、用样本数据的数
率
字特征估计总体的数字特征、频率与概率
第 19 题散点图、回归方程的求解与应用、
二次函数
第 19 题分段函数模型在实际中的应用、样
0.4 0.2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2
P( X 21) P A3 P B4 P A4 P B3
0.2 0.2 0.2 0.2 0.08
P( X 22) P A4 P B4 0.2 0.2 0.04
X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
P( x 16) P A1 P B1 0.2 0.2 0.04 P( x 17) P A1 P B2 P A2 P B1
0.2 0.4 0.4 0.2 0.16
P( x 18) P A1 P B3 P A2 P B2 P A3 P B1
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买 零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用
当n 19时,费用的期望为
19 200 500 0.2 1000 0.08 1500 0.04 4040, 当n 20时,费用的期望为
X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)若要求P( X n) 0.5, 确定n的最小值;
(2)要令P( x n)≥ 0.5, 0.04 0.16 0.24 0.5, 0.04 0.16 0.24 0.24≥ 0.5, 则n的最 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年
全国课标卷Ⅰ考查内容分析（核心考什么）
2011 年——2017 年全国课标卷Ⅰ统计与概率考点分布统计表（理科）
选择题 第 4 题 古典概型概率
第 3 题随机抽样 第 5 题古典概型概率 第 4 题独立重复试验的 概率公式（二项分布） 第 4 题几何概型概率 第 2 题几何概型概率
20 200 500 0.08 1000 0.04 4080 所以应选用n 19
“核心素养：数量关系的提 炼” .
二： 统计教学中对数据分析的考查：
三、对数学建模的考查
例 4【2015 年课标Ⅰ理 18】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x (单位：千元)对年销售量 y (单位：
0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24
P( X 19) P A1 P B4 P A2 P B3 P A3 P B2 P A4 P B1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.4 0.24 P( X 20) P A2 P B4 P A3 P B3 P A4 P B2
一
全国卷统计命题的特点
1．以图表作为情景材料呈现
• 【评析】全国卷对频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表特点的理解 的考查力度是较大的．
• 此类试题的呈现方式及解决方案： • 呈现方式：以频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表呈现数据． • 解决方案：首先，从图表中读取数据信息，如众数、中位数、平均数、方差
填空题
解答题
第 19 题频率分布表的理解与应用，频率与 概率、随机变量的分布列及期望
第 15 题对立事件与相 互独立事件概率公式、
第 18 题频率分布表、分段函数模型在实际
中的应用、随机变量的分布列、期望及方差
正态分布的实际应用
第 19 题互斥事件、二项分布、随机变量的 分布列及期望
第 18 题频率分布直方图、用样本数据的数 字特征估计总体的数字特征、正态分布、随
1.6
8
(xi x)(yi y)
i 1
1469
8
(wi w)( yi y)
i 1
108.8
(Ⅰ)根据散点图判断， y a bx y 与 y c b x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
中有关图表的认识，提升读图识图用图能力．
二： 统计教学中对数据分析的考查：
二、对提炼数量关系的考查
例3:【2016年课标Ⅰ理19】某公司计划购买2台机器，该 种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进 机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为 此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易 损零件数，得下面柱状图：
统计教学中对数据分析核 心素养的培养
心中存司南 笔下有方圆
引言
基于数学核心素养的高考命题 一体四层四翼
四层：考查“必备知识”、“关键能力”、“学科素养”、“核 心价值”等四个层次的知识、能力、素养； 四翼：考查内容与命题立意充分体现“基础性”、“综合性”、 “应用性”、“创新性”。
理性思维是数学素养的灵魂，发展学生的理 性思维（特别是逻辑思维），使学生学会有 逻辑地、创造性地思考，学会使用数学语言 表达与交流，成为善于认识和解决问题的人 才，是数学课程的主要任务。
机变量的分布列及期望
第 19 题散点图、回归方程的求解与应用、 二次函数
第 19 题柱状图、随机事件概率、随机变量 的分布列及期望
第 19 题正态分布、对立事件概率、用样本 数据的数字特征估计总体的数字特征、随机
变量的期望
一
全国课标卷Ⅰ考查内容分析（核心考什么）
2011 年——2017 年全国课标卷Ⅰ统计与概率考点分布统计表（文科）
3．与其他分支相关知识融合的综合应用
统计与概率应用综合有两大类，一类是概率与统计、程序设计融合，重在数 据处理能力的检测； 另一类是把概率与函数等知识融合，重在综合分析能力检测．
二： 统计教学中对数据分析的考查：
一、对表征分析的考查
【例1：2016年课标Ⅲ理4】 某旅游城市为向游客介绍本 地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最 低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为 15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不
本平均值
第 19 题相关系数的意义、样本的数字特征
一 全国课标卷Ⅰ考查命题分析（核心怎么考）
2011-2017年命题特点分析： 理科：选择、填空题常考古典概型、几何概型，时而考查对立事 件、相互独立事件概率及独立重复试验的概率；解答题以频率分布表、 频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图五个样本频率分布图表为 载体，考查随机变量的分布列及期望，考查数据处理能力、应用意识 及与创新能力． 文科：选择、填空题常考古典概型、几何概型，时而考查数字特征； 解答题以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图五 个样本频率分布图表为载体，考查样本数字特征的应用，考查数据处 理能力、应用意识及与创新能力． 与统计与概率试题联系较多的知识与思想方法： （1）知识点：函数 （2）思想方法：必然与或然思想、样本估计总体思想．
年份 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年
选择题
填空题
解答题
第 6 题古典概型概率 第 3 题 相关系数
第 3 题古典概型概率
第 3 题古典概型概率 第 3 题古典概型概率 第 2 题样本的数字特征 第 3 题几何概型概率
第 19 题频率分布表的理解与应用、频率与
t )和年利润 z (单位：千元)的影响，对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi ( i 1, 2,,8 ) 数据作了初步处理，得到下面的散点图
及一些统计量的值.
8
2
x
y
w
(xi x)
i 1
46.6 56.3 6.8
289.8
表中 wi
xi
，w
1 8
8 i 1
wi
8
2
(wi w)
i 1
等； • 其次，利用概率模型（古典概型、二项分布等）做概率分析（离散随机变量
的分布列、均值、方差），进而作出决策．
2．以分布列及期望、样本数据的数字特征为核心考点
• 全国卷理科对分布列及期望、文科对样本数据的数字特征（如平均数、 标准差）均有重点考查。
• 【评析】理解分布列及期望、样本数据的数字特征的意义和作用，并以 此为依据，利用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题、决策问 题．
(Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x 、 y 的关系为 z 0.2 y x ．
根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
（i）年宣传费 x 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii)年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附 ： 对 于 一 组 数 据 (u1, v1) ， (u2 , v2 ),, (un , vn ) ， 其 回 归 直 线 v u 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为