相位恢复问题的数学模型及精确恢复条件的几何刻画

4
1.4
研究意义 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
4
1.5
文章结构 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
5
预备知识
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
In reality, the detector can only record amplitude. Phase retrieval is the process of reconstructing phase from intensity measurements. The application fields of phase retrieval
稀疏相位恢复问题理论
· · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · 13
3.1
引言 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13
发表论文和参加科研情况说明 · · · · · · · · · · · · · · · 35
致
谢
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 37
VI
第1章 绪 论
第 1章
章
绪论
1.1 研 究 背 景
1.1.1 相 位 恢 复 问 题 简 介
3.2
部分零空间性质 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13
3.3
部分强限制等距性质 · · · · · · · · · · · · · · · · · 16
3.4
小结 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 18
e) 的 概率 满 足 GP-SRIP 。
tk
tk
关键词： 相 位 恢复，压 缩感 知，部 分 零空 间 性质，部 分 强 限制 等 距性 质
I
ABSTRACT
Phase is the intrinsic property of object, and records some important information.
III
目
录
摘要 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
I
ABSTRACT · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · III
目
录
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
证 明 了 随 机 高 斯 矩 阵 A ∈ Rm×n 当 满 足 m = O(t(k − r) log( t(k−r)
)) 时，以 高 概 率
满 足 P-SRIP 。
其 次，本 文 研 究 了 带 干 扰 信 号 的 稀 疏 相 位 恢 复 问 题。针 对 该 问 题，本
文 提 出 了 广 义 的 部 分 强 限 制 等 距 性 质(GP-SRIP)，该 条 件 是 部 分 强 限 制 等
new condition GP-SRIP outperforms previously one. Ultimately, we show that if a
|
random Gaussian matrix A ∈ Rm×n satisfies m = O(tk log( n−|T
e)), the matrix satisfies
V
第4章
广义的部分稀疏相位恢复问题 · · · · · · · · · · 19
4.1
引言 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19
4.2
SRIP的几何刻画 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20
4.3
广义的P-SRIP · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23
4.4
小结 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 27
第5章
总结与展望 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 29
1
1.1.2
压 缩 感知 简 介 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
2
1.2
稀疏相位恢复问题的研究现状 · · · · · · · · · · ·
2
1.3
研究方法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
摘
要
相 位 是 物 体 的 一 种 内 在 属 性，并 且 记 录 着 关 于 物 体 结 构 的 一 些 重 要
信 息。在 实 际 中，探 测 器 不 能 直 接 测 量 物 体 入 射 波 的 相 位，并 且 只 能 记 录
它 的 振 幅。通 过 已 知 的 强 度 观 测 值 来 重 构 相 位 的 过 程 称 为 相 位 恢 复。相 位
studies the new problem phaseless compressed sensing.
First, we establish the theoretical framework for the problem of phaseless compressed sensing with partially known signal support, which aims at generalizing the
复问题中的零空间性质和强限制等距性质推广到部分稀疏相位恢复问题
中。并 提 出 了 部 分 零 空 间 性 质(P-NSP)和 部 分 强 限 制 等 距 性 质(P-SRIP)，接
着，证 明 了 这 两 个 性 质 是 部 分 稀 疏 相 位 恢 复 问 题 的 精 确 恢 复 条 件。同 时 也
n−r
V
第1章
绪论 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
1
1.1
研究背景 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
1
1.1.1
相 位 恢复 问 题简 介
· · · · · · · · · · · · · · · · ·
Null Space Property and the Strong Restricted Isometry Property from phase retrieval
to partially sparse phase retrieval. We first introduce two exact recovery conditions, Partial Null Space Property (P-NSP) and the Partial Strong Restricted Isometry Property
tk
| −tk
GP-SRIP with the probability at least 1 − ( n−|T
e) .
tk
KEY WORDS：
： Phase retrieval, Compressed sensing, Partial null space property,
Partial strong restricted isometry property
(P-SRIP). We also prove that a random Gaussian matrix A ∈ Rm×n satisfies the P-SRIP
n−r
with high probability when m = O(t(k − r) log( t(k−r)
)).
Second, we research the the problem of phaseless compressed sensing with interference. Aimed at the problem, we propose the exact recovery condition-Generalized
距 性 质(P-SRIP)的 推 广。有 趣 的 是， GP-SRIP 常 数 要 比 P-SRIP 常 数 更 紧，因
此 GP-SRIP 表 现 要 更 好 一 些。最 后，文 章 证 明 若 随 机 高 斯 矩 阵 A ∈ Rm×n 满
|
| −tk
足 m = O(tk log( n−|T
e)) ，则 该矩 阵 以至 少 1 − ( n−|T
论 方 面，压 缩 感 知 的 兴 起 给 相 位 恢 复 的 理 论 研 究 提 供 了 新 的 研 究 思 路 和
方 法，因 此，本 文 研 究 了 相 位 恢 复 和 压 缩 感 知 相 结 合 下 的 新 问 题：稀 疏 相
位 恢复 问 题。
首 先，本 文 建 立 了 部 分 稀 疏 相 位 恢 复 问 题 的 理 论 框 架，旨 在 将 相 位 恢
5.1
论文总结 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 29
5.2
未来工作展望 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 30
参考文献 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 31
恢 复 在X-射 线 晶 体 学、光 学、量 子 力 学、及 信 号 处 理 等 诸 多 领 域 有 着 广 泛
的 应用。
相 位 恢 复 问 题 的 研 究 包 括 两 个 方 面：理 论 和 算 法。在 算 法 方 面，从 最
经 典 的 迭 代 相 位 恢 复 算 法 到 PhaseLift ，已 经 有 了 较 为 成 熟 的 发 展。而 在 理
Partial Strong Restricted Isometry Property (GP-SRIP), which is the generalization of
P-SRIP. Interestingly, the GP-SRIP constant is shaper than P-SRIP constant. Thus the
7
压缩感知理论 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
7
2.1.1
稀 疏 信号 恢 复 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
7
2.1.2
部 分 稀疏 信 号恢 复
9
第2章
2.1
2.2
· · · · · · · · · · · · · · · · ·
contains X-rays crystallography, optics, quantum mechanics, and signal processing.
The research of phase retrieval mainly consists of two aspects: theory and algorithm. About algorithms, the development of phase retrieval has gone from GerchbergSaxton Algorithm to PhaseLift, which forms a mature system. About theory, the flourish of compressed sensing brings new research methods for phase retrieval. This paper
相 位 是 物 体 的 一 种 内 在 属 性，并 且 记 录 着 关 于 物 体 结 构 的 一 些 重