流体力学教材 4

第4章 流体动力学基本定理及其应用
第2章我们研究了静止流体中的压力分布及流体对物体的作用力，但没有涉及运动问题；第3章我们从几何的观点研究了流体的运动，但没有讨论运动发生的原因。

本章将应用力学基本定律建立流体运动的动力学方程，从而揭示流体的运动和力之间的关系。

4.1 输运公式
在介绍运输公式之前先说明系统和控制体的概念。

4.1.1系统和控制体 1.系统
由确定的流体质点组成的流体团或有限的流体体积称为系统。

系统和外界的分界面称为系统的边界面。

系统具有如下特征：
（1）系统是运动流体质点的集合，系统的体积和边界面的形状可以随时间变化； （2）系统边界上没有质量的输入和输出，系统内的质量不变，但有动量和能量的变化； （3）系统边界面上有力的相互作用。

系统内物理量的总和对时间的变化率称为系统导数，用
Dt
D 表示。

例如，系统总质量为
⎰⎰⎰=)
(d t V V M ρ，则它的系统导数为
⎰⎰⎰=)
(d t V V Dt
D
Dt DM ρ （4.1.1）
由于系统的体积V ( t )随时间而变，故微分号不能直接移到积分号的内部。

2.控制体
被流体流过的，相对于选定的坐标系固定不变的空间体积称为控制体。

控制体的边界面称为控制面。

控制体具有如下特征：
（1）控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系是固定不变的； （2）控制面上可以有流体的流入、流出，有质量、动量和能量的交换； （3）控制面上有力的相互作用。

控制体内某物理量的总和对时间的变化率称为控制体的局部导数，用t
∂∂表示。

例如，
控制体内的总质量为⎰⎰⎰=
V
V M d ρ，则它的局部导数为
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂
=∂∂V V V t
V t d d ρρ （4.1.2） 由于控制体的体积V 与时间无关，故微分号可直接移到积分号的内部。

4.1.2输运公式
我们知道，经典力学定律是建立在固定对象上的，因此流体力学中这些定律应建立在系统上。

但是，由于流体的流动性，系统的体积和边界面形状不断变化，不利于实际应用。

为此，需要将建立在系统上的定律方程转换到具有固定体积的控制体上，这就是下面要介绍的输运公式。

定理 任一瞬时系统内物理量Q 随时间的变化率等于该瞬时同形状、同体积控制体内物理量的变化率与通过控制面S 的输运量之和
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+∂∂=S
V t V S Q V t Q
V Q Dt D d )(d d )(n v （4.1.3） 这就是系统导数的Euler 表达式，通常称它为输运公式。

等号右端第二项积分为物理量通过控制面的输运量。

Q 可以是标量也可以是矢量。

当ρ=Q 时表示单位时间内通过S 的质量；当v ρ=Q 时表示单位时间内通过S 的动量。

证明 如图4.1.1所示，t 时刻体积为V ( t ) 的系统经历∆ t 时间后运动到新的位置，系统边界面S (t )变为S )(t t ∆+，体积变为V ( t + ∆ t ) = V ( t ) + ∆V ( t )，其中∆V ( t )为体积变化量。

根据系统导数定义有
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡
-∆+∆=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆+→∆)()(0(d ),(d ),(1lim d t V t t V t t V V t Q V t t Q t V Q Dt
D
r r （4.1.4） 将上式右端第一项的积分域分解为V ( t )和∆V ( t )两部分，然后与第二项积分相加得
dV
t t Q t V t Q V
t t Q t V t Q t t Q t V Q Dt
D
t V t t V t V t t V t t V ),(1
lim d d ),(1lim d )],(),([1lim
d )
(0)()
(0)(0)
(⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆→∆∆→∆→∆∆+∆+∂∂=∆+∆+-∆+∆=r r r r （4.1.5）
上式等号右端第二项∆V ( t )是∆ t 时间内系统体积的变化，也就是t 和t t ∆+时刻系统边界面变化引起的体积变化。

若设t 时刻边界面)(t S （即流体质点）的运动速度为v ，则经过
图4.1.1 通过控制体的流动
∆ t 时间面积)(t S 上的微元面积d s 运动引起的体积变化为
()dV tdS =⋅⋅∆v n (4.1.6)
其中n 为微元面积的法向量。

当0>⋅n v 时，0d >V ；当0<⋅n v 时，0d <V 。

将上式代入（4.1.5）式就把体积分转化成了面积分，然后求极限，即证得输运公式（4.1.3）。

需要指出，系统和控制体分别是Lagrange 和Euler 表示法的概念，输运公式正是将Lagrange 型的系统导数表示成Euler 型，在表达形式上与质点导数相类似。

下面首先在系统上建立动力学平衡方程，给出流体力学的Euler 运动微分方程，揭示流体运动速度和压力之间的变化规律，然后利用输运公式，给出控制体上的动力学平衡方程,即流体力学的动量方程。

4.2 欧拉运动微分方程
欧拉（Euler ）运动微分方程是牛顿第二定律应用于理想流体运动的方程，它是理想流
体运动的基本微分方程。

1.Euler 运动微分方程
如图4.2.1所示，在理想流体中任取一系统，其体积为V ，边界面积为S ，n 为S 的单位外法向量。

该系统受到的质量力和压力合力分别为
根据牛顿第年二定律，作用于系统上的外力等于系
统的质量与加速度之积
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=S
V V
s p V V Dt D d d d n f v
ρρ
（4.2.1） 利用Gauss 公式，将上式中关于压力的面积分转化为体积分 ⎰⎰
S
s p d n =⎰⎰⎰∇V
V p d ，则
（4.2.1）式为
由于体积V 具有任意性，上式成立的充要条件是被积函数恒等于零，即
p Dt D ∇-=ρ
1
f v （4.2. 2a ） 或
p t ∇-=∇⋅+∂∂ρ
1
)(f v v v （4.2.2b ） 这就是理想流体的运动微分方程，称为Euler 运动微分方程。

Euler 运动微分方程（4.2.2b ）中的每一项都表示单位质量的某种力，从左向右依次为单位质量的局部惯性力（非定常流动引起的）、迁移惯性力（非均匀场引起的）、质量力和压力合力。

Euler 运动微分方程表示这些力的平衡。

特别地，若流体静止，即v = 0，则（4.2.2a ）式简化为静力学基本微分方程式（2.1.6） p ∇=ρ
1
f
（4.2.3
）
可见，静力学基本微分方程是Euler 运动微分方程在静止流体中的特例。

2. Euler 运动微分方程的另一种表示形式
Euler 方程（4.2.2）中的迁移惯性力项是非线性的，为了研究问题方便，可改写如下。

将向量公式
ωv v v ⨯-∇=∇⋅2)2
()(2
V （4.2.4）
代入式（4.2.2b ）得
p V t ∇-=⨯-∇+∂∂ρ
1
2)2(2f ωv v （4.2.5） 其中()v ω⨯∇=
2
1。

该式就是Euler 运动微分方程的另一种形式，称为兰姆（Lamb ）运动微分方程。

对于理想流体的无旋运动，由于02=⨯∇=v ω，Lamb 方程在形式上较为简单。

为应用方便，下面给出Euler 方程在直角坐标系（x,y,z ）、柱坐标系 ( r ,θ , z )和球坐标系( R ,θ , ϕ )中的表示形式。

直角坐标系中
⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎬⎫
∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z p f z w w y w v x w u t w y p f z v w y v v x v u t v x p f z u w y u v x u u t u z y x ρρρ111 (4.2.6） 柱坐标系中
⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪⎪⎬⎫∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z p f z v v v r v r v v t v r p f r v v z v v v r v r v v t v r p f r v z v v v r v r v v t v z z z z z r z r z r r r z r r r r ρθθρθρθθθθθθθθθθθ1112 （4.2.7）
球坐标系中
⎪⎪
⎪⎭
⎪⎪
⎪⎬⎫∂∂-=++∂∂-=-+∂∂-=--ϕθρθθρθρϕϕθϕθϕθθθθϕθp R f R v v R v v Dt Dv p
R f R v R v v Dt Dv R p
f R v R v Dt Dv R R R sin 1ct
g 1ctg 12
2
（4.2.8） 上式中
ϕ
θθϕθ∂∂
+
∂∂+∂∂+∂∂=sin R v R v R v t Dt D R （4.2.9） 3. 理想流体运动微分方程组的封闭性
理想流体运动的微分方程组由Euler 方程（4.2.2）和连续方程
0)
()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z
w y v x u t ρρρρ （4.2.10）构成，独立方程数有4个，而待求的未知数有u , v , w , f x , f y , f z , p, ρ 8个，方程组不封闭。

通常质量力f x , f y , f z 已知，因此要使方程组封闭还需补充一个方程，这个方程就是状态方程。

下面给出两种具体情况下的状态方程。

（1）不可压缩流体
ρ = const （4.2.11）
（2）正压流体
p / ρ = c 0 （等温过程） （4.2.12）
p / ρk = c 0 （等熵过程） （4.2.13）
其中k 和c 0为常数。

由此可见，对于不可压缩或正压的理想流体，运动微分方程组是封闭的，再加上边界条件和初始条件，原则上方程组是可以求解的。

但是，由于运动方程中迁移惯性力项是非线性的，通常情况下要给出解析解是非常困难的，只能得到数值解。

只有在某些特殊情况下，如定常流动或非定常的无旋流动，我们可以直接积分运动方程，得到一些简单的积分关系式，这就是下面要讨论的著名的伯努利积分。

4.3 伯努利积分
伯努利（Bernoulli ）积分是在理想流体作定常或非定常无旋运动等简化条件下关于Euler 运动方程的积分，在工程中有广泛的应用。

为了对Euler 运动微分方程进行积分，需要将方程中的每一项转化为全微分。

为此在在（4.2.5）式的等号两端同时点乘l d 得
2[()]2[]2V p
d d t ρ
∂∇+∇+-⋅=⨯⋅∂v f l v ωl (4.3.1)
可见，只要将上式左端的
f v ,,ρ
p
t ∇∂∂ 都写成梯度的形式，再与l d 作点积运算，即可写成全微分并积分。

下面分两种情况进行讨论。

4.3.1定常流动的Bernoulli 积分
对于定常流动，
0=∂∂t
v。

如果质量力有势，引入质量力f 的势函数U ，有 f =－∇U (4.3.2)
对于压力项
ρ
p
∇，要将其写成)(ρ
p
∇的形式，则要求密度仅是压力的函数)(p ρρ=，即假
设流体是正压的。

引入一个新的标量函数
⎰
⎰
==)
(d d Πp p
p
ρρ
(4.3.3) 显然，Π是压力p 的函数，而p 又是空间变量的函数。

因此对上式关于空间变量求梯度（偏
导数）时需应用复合函数求导法则，即
p p p ∇=∇∂∂=∇ρ
1
ΠΠ （4.3.4） 将上式和(4.3.2)式代入(4.3.1)式得
()l ωv d U V d ⋅⨯=++2)Π2
(2
(4.3.5)
若取积分曲线是流线（或涡线），上式右端项0)()()(=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯v l ωωv l l ωv d d d ，因
此，沿流线或涡线积分（4.3.5）式得
c U V =++Π2
2
（4.3.6a ） 或
c U p dp
V =++⎰)
(22ρ （4.3.6b ） 上式首先由Bernoulli 于1783年导出，称为Bernoulli 积分，c 是积分常数，在不同的流线上常数c 的值可能不同。

下面写出Bernoulli 积分的几种常见形式。

1. 重力场中不可压缩流动的Bernoulli 方程
对于重力场中的不可压缩流动，取z 轴垂直向上，将k f g -=，gz U =代入，得
c gz p
V =++ρ
22 （4.3.7）
这就是重力场中不可压缩理想流体定常流动时的Bernoulli 方程，它是水动力学中最重要
的关系式之一。

方程左边各项分别表示单位质量流体的动能、压力能和位势能，方程右边常数表示总能量为一常值。

因此，Bernoulli 方程的物理意义是沿流线机械能守恒。

以重力加速度g 除（4.3.7）式各项，得单位重量流体的Bernoulli 方程
c z p
g V =++γ
22 （4.3.8a ） 式中的每一项都表示某种高度。

它的几何意义是：g V 22表示流体质点在真空中以初速V 铅直向上运动能达到的高度，称为速度高度；γp
相当于液柱底面上压力为p 时的高度，
称为压力高度；z 表示质点在流线上的位置，称为位置高度。

于是，若在流场中取一流线如图4.3.1，它距参考水平面的高度为z ，按照Bernoulli 方程，有
22
22112
122z p g V z p g V ++=++γ
γ （4.3.8b ）
它表示速度高度、压力高度和位置高度之和沿流线不变，即总高度线为一水平线。

在水力学中，通常将单位重量流体的能量称为水头，这样g V 22、γp 和z 分别称为
速度头、压力头和位势头，这三项之和称为总水头。

式（4.3.8）表明理想流体沿流线运动的
总水头线是一水平线。

以密度ρ乘以（4.3.7）式各项，还可以写出单位体积流体的Bernoulli 方程
c z p V =++γρ22
1
（4.3.9） 如果重力可以忽略，（4.3.9）式简化为
c p V =+22
1
ρ （4.3.10） 此式给出了速度和压力之间的关系。

流速大的地方压力小，流速小的地方压力大。

利用（4.3.10）式就可以解释一些现象。

例如两船在航行时，如果靠得太近就会相互碰撞。

这是因为靠近时两船之间流道变窄，内侧流速增大，压力比外侧的小，在压差力的作用下两船可能发生碰撞。

2．重力场中可压缩气体等熵流动的Bernoulli 方程 将状态方程（4.2.13）代入（4.3.6b ）式，得
图4.3.1 Bernoulli 方程的意义
c z p
k k g V =+-+γ
122 （4.3.11）
这就是重力场中气体等熵运动时的Bernoulli 方程，它是气体动力学中最常用的方程之一。

3．粘性流体的Bernoulli 方程
根据能量守恒定律，可以将理想流体的Bernoulli 方程推广到粘性流体。

如图4.3.2所示，当粘性流体沿流线从1点流到2点的过程中，由于粘性摩擦或旋涡等原因，将有一部分机械能耗损并转化为热能，这种能量转化是不可逆的。

设单位重量粘性流体从1点流到2点损失的机械能为h f ，对1、2两点应用能量守恒定律，有
f h z p
g V z p g V +++=++22
22112
122γ
γ （4.3.12）
这就是粘性流体沿流线成立的Bernoulli 方程。

4.3.2 无旋场的Bernoulli 积分
如果理想流体的运动无旋、非定常、质量力有势，且流体正压或不可压缩，我们仍可对Euler 运动微分方程（4.3.1）进行积分。

因为无旋运动时0=⨯∇=v ω，存在速度势ϕ，
v =∇ϕ，这时方程中ωv ⨯2项消失，而左端非定常项可以写成
)(t
t ∂∂∇=∂∂ϕ
v （4.3.13） 将上式及（4.3.2）和（4.3.4）式代入（4.3.1）式得
2
(Π)02
V d U t ϕ∂+++=∂ （4.3.14）
积分得
图4.3.2 沿流线机械能损失
2
Π()2
V U f t t ϕ∂+++=∂ （4.3.15）
该式称为Lagrange 积分，亦称Bernoulli 积分。

积分常数)(t f 为时间t 的函数，与空间坐标
无关，即f(t)在全流场中为同一常数。

对于重力场中的不可压缩理想流体，ρp
=Π，gz U =，Lagrange 方程成为
)(22t f z p V t =+++∂∂ρ
ϕ （4.3.16） 显然，对于定常的无旋流动，上式与（4.3.7）式在形式上完全相同，但它在全流场任意两点都成立，并不限于沿流线。

4.3.3 动坐标系中的Bernoulli 积分
如图4.3.3所示，o x y z 为绝对静止的大地坐标系，o ' x ' y ' z ' 为相对于 o x y z 作任意运动的动坐标系，设空间任意一点M 处流体的绝对速度表示为v 。

现在我们希望在动坐标系下来讨论流体的绝对运动。

因为同一个参数可以用不同的坐标系来表示，故绝对速度v 不因坐标系的不同而改变，既可以用静坐标系(,,,)x y z 来描述，也可以用动坐标系),,(z y x '''来表示，所以
()()t z y x t z y x ,',',',,,v v = （4.3.17）
如果在静坐标系中流体的绝对运动是无旋的，则在动坐标系中绝对运动也是无旋的。

无旋运动的速度势ϕ既可以表示为(,,,)x y z t 的函数，也可以表示为(,,,)x y z t '''的函数
ϕ ( x , y , z , t ) = ϕ ( x ' , y ' , z ' , t ) （4.3.18）
由于质点导数与坐标系的选取无关，因此静坐标系和动坐标系下速度势ϕ之间变化的关系可通过质点导数来建立，即
Dt
t z y x D Dt t z y x D )
,,,(),,,(''''ϕϕ=
（4.3.19） 而
ϕϕ
ϕ∇⋅+∂∂=v t
Dt D ， ϕϕϕ'''∇⋅+∂∂='v t Dt D （4.3.20） 其中v '是M 点流体质点相对于动坐标系o ' x ' y ' z ' 的相对速度。

我们知道，梯度与坐标系的选取无关，即∇ϕ ( x , y , z , t ) = ∇' ϕ ( x ' , y ' , z ' , t )，将上述关系式代入（4.3.19）式得
v v v v ⋅-∂∂=∇--∂∂=∂∂e t
t t ϕϕϕϕ''
')( （4.3.21）
式中='-=v v v e 0v '+ωr '⨯称为动系的牵连速度。

这里0
v '是动系的原点o '相对于静系的平移速度，ω是动系的旋转角速度，r '是所考察点M 相对于动系的向径。

将上式代入（4.3.15）式，即得动坐标系中无旋运动的Bernoulli 方程
)(2
),,,(2
''''t f U V t t z y x e =+∏++⋅-∂∂v v ϕ （4.3.22）
y
o z M r ω(t) x ′
x z ′ y ′ o ′ v o ′ r ′ r o ′ 图4.3.3坐标系 y o z
M r
ω(t)
x ′ x
z ′ y ′
o ′
v o ′
r ′ r o ′
图4.3.3坐标系
如果动坐标系以常速度e U 沿x '轴方向运动，而x 轴与x '轴平行，这时e v =i 'e U ，Bernoulli 方程为
e U t
t z y x -∂'''∂'),,,(ϕx '∂∂ϕ+212
ϕ∇+)(t f U =+∏ （4.3.23）
对重力场中的不可压缩流体，ρp =Π，gz U =，Bernoulli 积分为
)(21),,,(2
22''''t f gz p
z y x x U t t z y x e =++⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂+'∂∂-∂∂ρϕϕϕϕϕ （4.3.24） 研究船舶在波浪中以等速直线航行时的受力及运动时，通常取平移坐标系，得到ϕ后由上式求解船体周围的压力分布。

4.3.4 Bernoulli 积分的应用
Brnoulli 积分有着广泛的应用，根据它的原理可以设计出多种测量流速或流量的仪器。

下面介绍两种常用的测速计：文丘里管和皮托管，并给出几个有工程背景的例题。

1. 文丘里（Venturi ）管
文丘里管用于测量管路中的流速或流量。

在管路中加接一段截面收缩的管子，并与压力计相连如图4.3.4所示。

选取沿管轴的一条流线及流线上的两点A 和B ，对应的管子截面分别为S 1、S 2，流速为v 1、v 2，设1γ、2γ分别为管路和U 形管中流体的重度。

若测量出压力计的高度差h 值，即可得到管路中的流速或流量值。

由流管的连续方程（3.4.5）得
S 1 v 1 = S 2 v 2 （4.3.25）
根据重力场中不可压缩定常流动的Bernoulli 方程得
因h p p 221γ=-，则 将（4.3.25）式代入上式得 由此得流速和流量
1
2
2
2
111)(2γγξ
⋅
-=S S gh v （4.3.26） 1
2
2
12211112γγξ
⋅
-==S S gh S v Q （4.3.27） 上式是在理想流体假设基础上的理论公式，，实际流体都是有粘性的，因此引入修正系数ξ，以修正理论计算与实际流量之间的误差，其数值由实验确定。

2.皮托（Pitot ）管
皮托管用于测量流体的速度。

最常使用的皮托管也称总压－静压管，其工作原理如图4.3.5所示。

它由球形头部与内外两层套管联结组成，头部开一小孔“1”与内管相通，侧壁开有一个或多个小孔“2”与套管的环形空间相通，两通道的另一端分别与U 形压力计相连。

图4.3.4文丘里管
B S 1
S 2
U 形压力计中液体（通常为水银、水或酒精）的重度为1γ。

测量速度时，将皮托管头部正对来流，管体轴线与来流方向平行，读出U 形压力计的压差h
有在同一条流线上A 、B 没有影响。

设A 点流体速度为v ，压力为A p ，则与I 管相连的Ⅱ管的管口截面垂直于流线，故B 点的速度等于零。

则沿流线得
1
)
(2γA B p p g v -=
因h p p A B 2γ+=，得A 点的流速
1
2
2γγξgh
v = （4.3.28） 修正系数ξ由实验来标定。

实际使用的皮托管都是做成一根管子，结构紧凑，使用方便。

例4-1 孔口出流
一盛水大容器旁边有一小孔，水从此孔流出，如图4.3.6所示。

求水从孔口出流的速度
v 。

解 选取一条从水面流向孔口中心的流线AB ，虽然这一流线的具体位置不一定能确定，但它是存在的。

液面及孔口处的压力为大气压p 0，液面距孔口高度z 0 = h 。

由于大容器截
面积比孔口截面积大的多，所以液面下降速度极小，忽略不计，而孔
口出流速度为v ，这样在一定的时间范围内，可假设流动是(准)定常的。

沿A 、B 列Bernoulli 方程
解得
可见，孔口出流速度与自由落体的速度一样，同样都是位能转变为动能。

例4-2 喷雾器
如图4.3.7所示，已知喷管中心线距液面高度为H 管直径d 1 = 2 mm ，与液体相连的小管内径d 2 = 3 mm 。

若活塞直径D = 20 mm ，移动1 m/s ，流体不可压缩，液体重度为γ 1 =8434 N/m 3，空气重度为γ 2 =12.06 N/m 3。

试出量。

解：首先求直径为d 1的截面速度v 1，由质量守衡定律有 得
10012
2022
02121=⨯==v d D v m/s
取喷雾器轴线为流线，在喷管处与B 相邻点气体的压力为p 1，无穷远点的压力为大气压p 0，速度为零，列Bernoulli 方程 则
图4.3.6孔口出流
42521011051.91008
.906
.122110013.12⨯=⨯⨯-⨯=-
=v p p ρ
P a 再考虑分叉管内的流动速度。

取流线l ，假设容器很大，液面下降的速度为零，压力为大气压p 0，B 点的速度为v 2，压力为p 2 = p 1，以自由面为参考面，沿流线l 列Bernoulli 方
程 得液体流速
31.14=（m/s ）2
液体的流出量为
4622221007.131.1410314.34
141--⨯=⨯⨯⨯⨯==v d Q πm 3
/ s
从上式求解过成可以看出，喷雾器的原理是高速气流使喷管处形成低压区，将流体“吸”进来，与气体混合后喷出。

显然，通过调节活塞速度0v 和液柱高度H ，可以调节液体的流量。

例4-3 理想不可压缩流体平面无旋流动的分速度u = y t - x ，若x = y = 0处， v = 0 , p = p 0。

试求：（1）t = 0时过（1，1）点的流线；（2）流场的压力分布。

解 由不可压缩流体的连续方程 得01=∂∂+
-y
v
，积分可得 ⎰+=+=),(),(d t x f y t x f y v （a ）
因流动无旋0=∂∂-∂∂=⨯∇y
u x v v ，将x yt u -=和（a ）式代入，可得 积分之得
⎰+=+=)()(d ),(t g xt t g x t t x f （b ）
将（b ）式代入（a ）式得分速度
)(t g y xt v ++= （c ）
代入已知条件x = y = 0，v = 0 ，得g ( t ) = 0，有
y xt v += （d ）
我们由流函数求流线方程，流函数为 则流线方程为
c xy ty tx =-+-222
1
21 （e ） 代入已知条件t = 0，x = 1 , y = 1，得所求流线方程为
x y = 1
由于流动为非定常无旋流动，可由重力场中不可压缩流体无旋运动的Bernoulli 方程求流场的压力分布。

为此，先求出势函数 将其代入（4.3.16）式有
得
)(])()[(2
1
22t f y xt x yt p
xy =++-++
ρ （f ） 由已知条件x = y = 0处，p = p 0确定积分常数ρ
)(p t f =。

于是流场的压力分布为
例4-4 两平板组成收缩渠道如图4.3.8所示，已知流体理想、不可压缩，流动定常且无旋，流动对称于两平板延长线的交点O 。

设OA = 1 m ，OB = 2m .,A 点的流速为v A =2 m/s 。

试求沿壁面的压力分布及流体对AB 壁面的作用力。

解 取平面极坐标系如图所示。

在壁面上任取一点C ，其半径为r ，设速度为v ，压力为p ，假设无穷远点的压力p 0为一个大气压，速度为零，列Bernoulli 方程得
020
2+=+γ
γp p g v （a ） 由于过C 点和过A 的过流断面上流体的体积流量相等
v A ⋅ 6π ⋅ OA = v ⋅ 6
π ⋅ r
得
v =2r
将其代入（a ）式得壁面上的压力分布为
p =0p －
2
2r ρ （b ） 沿壁面AB 对压力积分得流体对壁面的作用力
⎰
-=-
=
21
020d )2(ρρ
p r r
p F （c ） 若平板外侧也受到大气压0p 的作用，流体对壁面作用力的合力为
ρ-='F （d ）
负号表示合力指向流体。

如果我们向竖直放置的两张纸中吹气，两张纸相吸就是这个道理。

4.4 动量方程、动量矩方程及其应用
Bernoulli 积分联系了压力和速度之间的关系，知道了流场的速度分布，就可以给出流场的压力分布，进而求出流场中物体受到的合力。

但有些流动十分复杂，很难给出其中的压力分布，也就无法求出流体对物体的合作用力。

解决这类问题可以借助于动量方程。

4.4.1动量方程
某一时刻t ，在流体中任取一体积为V ，边界面为S 的系统，n 为S 的单位外法向量，设系统受到的合外力为P ，如图4.4.1所示。

则系统内流体的动量以及动量对时间的变化率
图4.3.8收缩渠道
分别为
⎰⎰⎰
)
(t V dV v ρ，
⎰⎰⎰)(t V dV Dt
D
v ρ （4.4.1） 根据牛顿第二定律F a =m ，系统动量的变化率等于作用在系统上的合外力
P v =⎰⎰⎰)(t V dV Dt
D
ρ （ 利用输运公式（v ρ=Q ，则上式等改写成
()()V s
dV ds t ρρ∂+
⋅∂⎰⎰⎰⎰⎰v v v n （
这就是建立在控制体上的Euler 型动量方程。

它表示控制体内流体动量对时间的变化率与单位时间内净流出控制面的动量之和等于外界
作用在控制体和控制面上的合力。

方程中n v =⋅n v 为控制面上流体速度的法向分量，流体流入控制体时v n < 0，流出控制体时v n > 0。

合外力P 包括质量力和表面力：
⎰⎰⎰⎰⎰+=S
n V
dS dV p f P ρ，这里n p 是应力。

若流动定常，
0)
(=∂∂t
v ρ，则（
P v =⎰⎰
S
n ds v ρ （
这是定常流动的动量方程。

记P = P x i + P y j + P z k ，上式可写成直角坐标系中的分量形式
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫
===⎰⎰
⎰⎰⎰⎰z s n y s
n x s
n P ds w v P vds v P uds v ρρρ （ 需要指出，动量方程用于求解物体与流体间的相互作用，是一个积分形式的方程，它既适合于理想流体，也适合于粘性流体，对于理想流体，应力n p p n -=。

应用中为了得到简化的结果，往往引入一些假设。

例如：壁面无摩擦（或理想流体），忽略质量力f 、进出口流动均匀等。

另外，动量方程是一个矢量方程，所以应合理的选取坐标系和控制体。

控制面的选取一般遵循如下规则：（1）速度和压力为已知的面；（2）物面或流面。

因物面或流面上没有流体的进出， v n = 0，
0n
s
v dS ρ=⎰⎰，而物面往往就是要求的受力面。

对于控制体而言 ，动量矩方程可以叙述为：控制体内关于某一点的动量矩的变化率与单位时间内流出控制面的动量矩之和等于外界作用在控制体上的力关于同一点的矩。

()()()S
V
dV ds t ρρ∂⨯+⨯⋅=∂⎰⎰⎰⎰⎰
r v r v v n M （
其中r 为参考点到作用点的矢径，⎰⎰
⎰⎰⎰⨯+⨯=
S
n v
ds dV )()(p r f r M ρ为控制体上外力
关
n
图4.4.1
于参考点的矩。

在直角坐标系中，定常流动动量矩方程的分量形式为
()()()⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬⎫
=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰z S n y S n x S
n M ds v yu xv M ds v xw zu M ds v zv yw ρρρ ( 4.4.3 动量及动量矩方程的应用
例4-5 在大气中流体对平板的斜冲击如图
AB ，平板和流速的夹角为α，不计粘性，求流体对
平板的作用力。

解 取坐标系oxy 及控制体如图所示，控制面S 的三个端面应取在足够远，这样三个端面上的流速可认为是常数。

设P 为流体对平板的冲击力（方向如图），1b 和2b 分别为流束冲击平板后分为上下两流束的宽度。

设除平板AB 表面外，S 上其余部分上的压力为大气压p 0。

沿x 方向和y 方向列动量方程有
⎭
⎬⎫
-=--+=-+-+P b v v b v v b v v b v v 00000022211)sin )((00)cos )(()(θρθρρρ （a ）
沿流束上下表面分别列Bernoulli 方程得
v 1 = v 2 = v 0 （b ）
由流管的连续方程知
221100b v b v b v += （c ）
合并以上二式，得
210b b b += （d ）
将（b ）、（c ）式代入（a ）式,可得
⎪
⎪⎪⎭
⎪⎪⎪
⎬⎫
-=+==02010
202cos 12cos 1sin b b b b b v P θθθρ （e ）
Ｐ就是流体对平板的冲击力，它的方向与图示方向相同，指向平板。

下面应用动量矩方程求冲击力作用点f 的位置。

以坐标原点o 为力矩中心 其中e 为冲击力Ｐ偏离坐标原点的距离of 。

将（d ）、（e ）两式代入上式，整理得 负号表式f 点在x 轴的负向。

例4－6 明渠水流经闸门的流动如图，流动是平面定常的，上游1-1和下游2-2截面上
流速均匀，压力分布与静水情况相同。

如果已知1h ，2h 和水的密度ρ 。

试求流体作用于单位宽度闸门上力F 。

解 取控制体（虚线）及坐标系oxz 如图所示。

明渠和闸门处于大气中，在自由面和
闸门右侧面上受到大气压力a p 的作用。

而在闸门左侧，大气压力通过运动水流传递并作用在闸门上，因此，大气作用在闸门上的合力为零。

设1-1和2-2截面上的流速分别为1V 和2V ，由连续性方程知
1122V h V h = （a ）
沿自由面流线列伯努利方程
22121222a a
p p V V h h g g γγ
++=++ （b ） 为了建立闸门受力与运动水流的关系，沿x 方向列动量方程
1
2
221222110
h h F p dz p dz V h V h ρρ-+-=-⎰⎰ （c ）
又根据已知条件，1-1和2-2截面上的压力分布分别为11()p h z γ=-和22()p h z γ=-，代入上式得
()
()()
1
2
221222110
2
2221
21122()()2
h h F h z dz h z dz V h V h h h V h V h γγρργ
ρρ=-----=
-+-⎰⎰ （d ）
联立（a ）（b ）（d ）式解得流体作用于单位宽度闸门上合力的大小为
方向指向右。

上式表明，在理想流体的假定下，得到上下游的水深，便可算出闸门所受水流动力。

4.5旋涡运动基本定理
4.5.1 开尔文（Kelvin ）定理
1
2
图4.4.3 明渠水流作用于闸门上的力
定理1 如果质量力有势，流体理想且正压，则沿由某些确定流体质点所组成的封闭流体线的速度环量Γ 不随时间而变，即
0=Γ
Dt
D （ Kelvin 定理又称为汤姆逊（Thomson ）定理。

证明 为证明这一定理，先证明如下公式
⎰⎰⋅=⋅l l Dt
D Dt D l v
l v d d （
即沿任意封闭流体线上的速度环量关于时间的质点导数等于此封闭流体线上加速度的环
量。

如图，l ( t )为t 时刻的封闭流体线， Γl 为速度环量。

设经过时间d t ，该流体线随流体质点移动到l ' ( t +
d t )，速度环量为l 'Γ。

设则两个时刻速度环量差为
⎰⎰
⋅-⋅++=
Γ-Γl
l
l l
t t t l r v l r r v 'δδδ),()d ,('
' （
其中r δ为流体质点经d t 时间的位移。

由图可见，封闭流体线l '和l 上的微分弧长δl ' 和l δ之间有关系式)(d d d )(2t O t t +-++=v v v l l 'δδδ,将它代入（，得
⎰⎰⋅+++⋅-++=
l
l
t t t t t t d )d ,(]),()d ,([v r r v l r v r r v δδδδ （
于是， l ( t )上速度环量的质点导数为
01l i m [((,d )(,))(,d )d ]d l l d t D t t t t t t Dt t
δδδδ→Γ=++-⋅+++⋅⎰⎰v r r v r l v r r v （ 因为v ( r +δr , t + d t ) – v ( r , t )是流体质点的速度增量v δ，故（
Dt
D v
而第二项积分0)d(2
1
2==
⋅⎰
⎰l
l
V v v δ。

当0→dt 时既证得公式（ 下面证明Kelvin 定理。

由于质量力有势，U f -∇=，流体正压，ρ
P
∇=∇Π ，将它们
代入理想流体的Euler 运动微分方程（
∏∇--∇=U Dt
D v
（ 将上式代入（
即
Kelvin 定理反映了流体在运动过程中旋涡强度的保持性，该定理的三个条件通常称为
Kelvin 条件。

下面介绍Kelvin 定理的几个推论。

定理2：如果质量力有势，流体理想且正压，若某一时刻流场无旋，则在以后的流动中流场始终无旋。

证明： 设t 时刻流场无旋，则流场中处处有Ω = ∇ ⨯ v = 0，因此通过流场中任意曲面的涡通量
0d =⋅⎰⎰
S
s n Ω。

由Stokes 速度环量定理(，沿该曲面的封闭边界流体线的速度环量0=Γ。

又由Kelvin 定理（，沿该封闭流体线的环量将始终为零，也就是说，t 以后的任意时刻通过任意曲面的涡通量等于零，即流场始终无旋。

拉格朗日定理说明，如果质量力有势，流体理想且正压，本来是无旋运动就不可能变为有旋运动，或相反，本来具有旋涡就不会消失，旋涡不会凭空产生，也不会凭空消失。

同时，由拉格朗日定理的前提条件也说明了旋涡产生的起因：（1）流体的粘性（非理想流体），如无旋的均匀来流经过物体时边界层内流体运动是有旋的；（2）非正压流场，如大气和海洋中的密度分层可以形成旋涡；（3）非有势力场，如地球上的气流由于哥氏力的作用可以生成旋涡，在极端情况下，可以形成很强烈的旋风。

另外，流场的间断（非连续）也可以形成旋涡，如高速均匀气流经曲面激波后就会形成有旋流动。

Helmholtz ）定理-涡线和涡管保持定理
定理3 如果质量力有势，流体理想且是正压，则组成涡线的流体质点永远组成此涡线。

涡线可看成两个涡面的交线，因此，只需证明了涡面的保持性涡线的保持性就得以证明。

t 时刻在流体中任取一涡面S ，则涡面上处处()0∇⨯⋅=v n 。

由速度环量定理可知，此涡面上任意封闭流体线C 的速度环量等于零。

在以后的任意时刻，曲面S 运动到新的曲面S '，封闭流体线C 也随曲面S 运动到新的流体线C '，根据Kelvin 定理，流体线C ‘
的速度环量仍等于零，即新曲面S ' 上处处()0∇⨯⋅=v n ，仍为涡面。

设涡线C 是两个涡面S 1和S 2的交线。

由涡面保持定理可知，这两个涡面在t 后任意时刻始终由原来的流体质点所构成，因此它们的交线也始终是相同流体质点组成的涡线。

定理4 如果质量力有势，流体理想且正压，则组成涡管的流体质点始终组成此涡管，并且涡管的强度不随时间而变。

即涡管及涡管强度保持定理。

因涡管表面就是涡面，涡面具有保持性，因此涡管也具有保持性。

在涡管表面上任取一围绕涡管的封闭流体线，则此流体线的速度环量等于同一瞬时涡管的涡通量。

由Kelvin 定理可知，该封闭流体线的速度环量不随时间而变，因此该涡管的涡通量也不随时间而变。

综上所述，Kelvin 定理、拉格朗日定理及亥姆霍兹定理全面地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的基本规律。

这些定理表明，若质量力有势，流体理想且正压，则无旋运动永远是无旋运动，有旋运动永远是有旋运动；若不满足Kelvin 条件的任一条，则。