整数a除以整数b

整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b 能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。在大学之前，"约数"一词所指的一般只限於正约数。约数和倍数都是二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。一个整数的约数是有限的。

如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。

约数，也叫因数。

质数

质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数(不包括0)整除的数。因为合数是由若干个质数相乘而得来的，所以，没有质数就没有合数，由此可见质数在数论中有着很重要的地位。比1大但不是质数的数称为合数。1和0既非质数也非合数。质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。算术基本定理每一个比1大的数（即每个比1大的正整数）要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积，如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。这个定理的重要一点是，将1排斥在质数集合以外。如果1被认为是质数，那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条件。

概念

只有1和它本身两个正因数的自然数，叫质数（或称素数）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。）

100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。

非负整数

自然数即非负整数。

自然数即用以计量事物的件数或表示事物次序的数，是用数字0，1，2，3，4，……所表示的数。我们常用的计数单位有：个、十、百、千、万、十万等等。

自然数由0开始，一个接一个，组成了自然数集。这是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N来表示它。

自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。

自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。

自然数在日常生活中起了很大的作用，在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。

定义

自然数的最新（2005年）定义如下：

1.0是自然数；

2.每一个确定的自然数n都有一个确定的后继者，记作n+1。n+1也是自然

数；

3.如果m、n都是自然数，并且m+1 = n+1，那么m = n；

4.0不是任何自然数的后继者；

5.如果某个集合S具有性质：(1)1∈S；(2) 若n∈S，则n+1∈S；那么，N⊆S。

不符合归纳假设的例子

第五条是归纳公理，它确保了在自然数集中数学归纳法的成立，也是对自然数集形态的一种限定。因为即使是有限集，也存在环形映射满足第二条（自单射）。而只有自然数集才能满足所有这五条的限定。

最小公倍数（Least Common Multiple，缩写L.C.M.），如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数，对于两个整数来说，指该两数共有倍数中最小的一个。计算最小公倍数时，通常会借助最大公约数来辅助计算。

若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a。注意b为0则不叫整除。[1]

整除的性质：（1）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；（2）如果a 同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。

目录

1规律

2性质

3举例

4证明

5除尽

规律

第一条：任何整数都能被1整除。

注：以下是就整数的十进制表示法而言。

第二条：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。[2]

第三条：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

第四条：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

第五条：个位上是0或5的数都能被5整除。

第六条：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

第七条：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

第八条：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

第九条：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

第十条：若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

第十一条：将一个数从右往左数，将奇数位上的数与偶数位上的数分别相加，然后将两个数的和相减，如果差值能被11整除（包括差值为0）则原数可以被11整除。

第十二条：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

第十三条：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述过程，直到能清楚判断为止。

第十四条：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是