2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语学案苏教版选修2-1.doc

2019-2020学年高中数学第一章常用逻辑用语学案苏教版选修2-1 一、学习内容、要求及建议

二、预习指导

1．预习目标

(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．

(2)感悟四种命题真假性的判断方法：直接判断、利用等价性判断．

(3)理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；会判断充分条件、必要条件与充要条件．

(4)感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法：直接利用定义、利用命题的真假性、利用关系结构图、利用集合知识．

2．预习提纲

(1)什么叫命题?两个命题怎样才能成为互逆命题?

(2)四种命题之间的相互关系你会用图来表示吗?

(3)充分条件、必要条件与充要条件的意义：如果p ⇒ q，那么p是q的_________，q是p的___________；如果p ⇔q，那么p是q的__________．

(4)阅读课本第5页至第9页内容，并完成课后练习．

(5)结合课本第6页的例1，学会写出命题的逆命题、否命题与逆否命题；结合课本第6页的例2，体会判断命题、逆命题、否命题与逆否命题真假的方法；结合课本第7页的例1，感悟和体会判断充分条件、必要条件与充要条件的方法．

(6)请小结四种命题真假性的判断方法以及充分条件、必要条件与充要条件的判断方法，并与同学交流．

3．典型例题

(1)如何判断一个命题的真假?

例1 判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．

①x2－5x+6=0；

②当x=4时，2x<0；

③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?

④一个数不是合数就是质数；

⑤求证：若x∈R，方程x2+x+1=0无实根．

分析：可以判断真假的语句叫做命题，命题非真即假，二者必居其一．对于不含逻辑联结词的简单命题，可直接判断其真假．

解:①不是命题，因为语句中含有变量x，在不给定变量的值之前，我们无法确定该语句的真假(这种含有变量的语句叫“开语句”)；

②是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题；

③不是命题，因为没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，疑问句不

是命题；

④是命题，假命题，因为数1既不是质数也不是合数；

⑤不是命题，它是祈使句，没有作出判断．

点评：开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．

(2)如何写出四种命题，它们的真假关系如何?

例2 已知命题:有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形．请判断这个命题和它的否命题的真假．

分析：我们先要把命题写成为“若p则q”的形式，然后写出命题的逆命题、否命题与逆否命题．

解：等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故原命题是假命题．又平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等，即逆命题是真命题，据逆命题和否命题的等价性知，否命题是真命题．

点评：直接举反例可知原命题为假命题．而否命题的真假难判定，则通过判定其等价命题－－逆命题的真假来推得结论．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假．

例3 原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”，请写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．

分析：因为互为逆否命题的两个命题同真或同假，所以要判断四种命题的真假，只需判断其中两个的真假，然后利用等价性得到另两个命题的真假．

解：原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”是真命题，

逆否命题：“若x，y不互为倒数，则xy≠1”，

因为原命题与逆否命题是等价命题，它们同真或同假，所以逆否命题是真命题；

逆命题：“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题，

否命题：“若xy≠1，则x，y不互为倒数”，

因为逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假，所以否命题是真命题．

因此原命题、逆命题、否命题、逆否命题都是真命题．

点评：本题是利用四种命题的关系判断四种命题的真假．

例4 已知p：x+y≠3，q：x≠1 或y≠2，则p是q的________ 条件(填：充要、充分而不必要、必要而不充分、既不充分又不必要)．

解：∵ p：x+y ≠3，q：x≠1 或y≠2

∴ 非p：x+y =3，非q：x =1 且y =2

当非q成立时，x =1 且y =2，则x+y =3，即非p成立，∴非q⇒非p；

但当非p成立时，非q不一定成立，如x=y=1．5时，x+y =3，非p成立，非q不成立，故：非p⇒非q．

∴p⇒ q且q⇒p，p是q的充分而不必要条件．

点评：p、q都是否定性说法，考察命题“若p则q”、“若q则p”的真假性较难，故先

判断其逆否命题“若非q 则非p ”、 “若非p 则非q ” 的真假，再利用等价性判断命题“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假，从而判断条件的充要性．

例5 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么，

(1) s 是q 的什么条件；

(2) r 是q 的什么条件；

(3) p 是q 的什么条件．

解：据题意

(1)s 是q 的充要条件；

(2)r 是q 的充要条件；

(3)p 是q 的必要条件．

点评：这是多条件的充分条件、必要条件、充要条件的关系判定，应根据定义，考察p 、q 、r 、s 的互推关系，画出它们的关系结构图，再予以判定．

例6 已知p ：1123

x --≤，q ：：x 2－2x + 1－m 2≤0(m > 0)，若非p 是非q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：由x 2－2x +1－m 2≤0，(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m ，

故非q ：A ＝{x |x > 1+m 或x < 1－m ，m > 0}， 由23

11≤--x ，得 －2≤x ≤10， 故非p ： B ＝{ x | x >10或x <－2}，

∵ 非p 是非q 的充分而不必要条件，

∴ B ≠⊂

A ． ∴ ⎩

⎨⎧≤+-≥-10121m m 且等号不能同时取， 解得：m ≤3，又m >0，∴ 0 < m ≤3． ∴ 实数m 的取值范围是(]3,0． 点评：本例由“非p 是非q 的充分而不必要条件”得“非p ⇒非q 但非q \⇒

非p ”，然后借助集合间关系求得m 的取值范围．本题也可用四种命题的关系，将已知条件等价转化为

“q ⇒p 且p \⇒

q ”，然后求解．请再用等价转化的思想解答本例． (3)相关的证明问题的处理： ①要证明p 是q 的充分不必要条件，只要证明“若p 则q ”为真，而“若q 则p ”为假； ②要证明p 是q 的必要不充分条件，只要证明“若q 则p ”为真，而“若p 则q ”为假； ③要证明p 是q 的充要条件，只要证明“若p 则q ”与 “若q 则p ”都为真，即：对于充要条件的证明，一般分充分性和必要性两种情况分别加以证明，缺一不可；

④要证明p 是q 的既不充分又不必要条件，只要说明“若p 则q ”与“若q 则p ”都为假．

例7 方程ax 2

+2x +1=0(a ≠0)至少有一负实根的充要条件是_____．

分析：由a ≠0知方程是一元二次方程，方程至少有一负根包括两种情形：有一非负根和一