第8章 假设检验(重修班)
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解 提出右边假设: H 0 : μ 21,
H1 : μ 21
因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15已知 X 21 ~ N(0,1) 选检验统计量 Z n 拒绝域为 W :Z z
而 =1.2, n=30， x 21.55 代入，计算出统计量Z 的实测值
拒绝域为
W : | Z | z 2
2 0.025
又 n 15, x 10.48, 0.05,
则Z x 0
/ n
10.48 10.5 0.15 / 15
0.516,
查表得 z 2 z0.025 1.96,
于是 | Z |
x 0
/ n
右边检验H0 : 0 , H1 : 0 x 0 拒绝域为z z , / n 左边检验H0 : 0 , H1 : 0
y
o
y
z
x
拒绝域为z
x 0
/ n
z。
z o
x
假设检验的一般步骤
1. 根据实际问题的要求, 提出原假设H0及备择 假设 H1 ; 2. 确定检验统计量以及服从的分布
8.1.2 两类错误及及发生的概率
假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验 中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假 设检验所作出的结论有可能是错误的。这种错 误有两类: (1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而 作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃 真错误, 这类错误是“以真为假”。 犯第一类 错误的概率是显著性水平。
Z
x 21
n
x 21
51
查表得
z z0.01 2.33
Z
n 故拒绝原假设H0 。
2.51 z 2.33
即新生产织物比过去的织物强力有提高。
此右边检验的拒绝域为 W : Z z0.01 2.33 而 =1.2, n=30， x 21.55 代入，计算出统计量Z 的实测值
2
设总体 X ~ N ( , 2 ), 其中 , 2未知, 显著性水平为。
, X n 为来自总体 X 的样本,
X 0 来确定拒绝域。
/ n 因为 S 2 是 2 的无偏估计, 故用 S 来取代 ,
即采用 t X 0 S/ n 来作为检验统计量。
因为 未知,不能利用
假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变 化, 试问该机工作是否正常? ( 0.05) 解 要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15已知 X 10.5 ~ N(0,1) 选检验统计量 Z n
2. 检验统计量
统计量 Z X 0
/ n
称为检验统计量。
3. 原假设与备择假设
假设检验问题通常叙述为: 在显著性水平下,
检验假设 H 0 : 0 , H1 : 0。
或称为“在显著性水平下, 针对 H1检验 H0”。
H 0称为原假设或零假设, H1 称为备择假设。
8.1.3 单边检验
形如 H 0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为右边检验。 形如 H 0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为左边检验。
右边检验与左边检验统称为单边检验。
单边检验的拒绝域
设总体 X ~ N ( , 2 ), 为已知, 给定显著性水平 ,
第 8章
假设检验
8.1 假设检验的基本思想与概念
8.2 正态总体均值的假设检验
8.3 正态总体方差的假设检验
8.1 假设检验 一.问题的提出 实际中存在着许多不同于参数估计的问题，请看例子 例8.1 根据长期经验和资料分析，某砖瓦厂所 生产的砖的抗断强度是一个随机变量, 它服从 正态分布N(, 2)，其中 2=1.21。今从中任取6 块，测得抗断强度分别是32,56,29.66,31.64,30, 31.87,31.03.问这批砖的抗断强度是否可以认为 是32.50kg/cm2. 分析 我们关心的平均抗断强度是否为32.50， 回答有两种可能：一种是=32.50，我们接受， 另一种就是 ≠ 32.50，我们拒绝。
例8.1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒 的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批 产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:
10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7
相关概念
1. 显著性水平
我们把小概率的值 称为显著性水平。 当样本容量固定时, 选定显著性水平 后 x 0 如果样本值使得 Z z / 2 , 则认为 / n x 与0的差异是显著的,则我们拒绝原假设 H 0 , 否则我们认为 x 与0的差异是不显著的, 则我
们接受原假设 H 0。 显著性水平的选择要根据实际情况而定。
x 0
/ n
0.516 z 2 1.96,
故接受 H0 , 认为该机工作正常。
例8.2 某织物强力指标X的均值0 =21公斤. 改进 工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得 x =21.55公斤. 假设强力指标服从正态分布 N(, 2) 且已知 2 =1.2公斤， 问在显著性水平 =0.01下，新生产织物比过去的织物强力是否有 提高?
s/ n (3)左边 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 . 左边检验的拒绝域为W : t x 0 s/ n 右边检验的拒绝域为W : t x 0 t ( n 1)
t ( n - 1)。
例8.3 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是 32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服从正 态分布N(, 2), 2 未知，现从该厂生产的一批产 品中抽取6件, 得尺寸数据如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
| X 0 | S/ n
t 2 ( n 1)
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法。
结论 对于正态总体 N ( , ), 当 未知时
2 2
(1) 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ; x 0 双边检验的拒绝域W: | t || | t 2 ( n 1) s/ n (2) 右边假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ;
0.516 z 2 1.96,
故接受 H0 , 认为该机工作正常。
n 15,
x 10.48, 0.05,
2
0.025
则Z
x 0
/ n
10.48 10.5 0.15 / 15
0.516,
查表得 z 2 z0.025 1.96,
于是 | Z |
结论
对于正态总体 N ( , 2 ), 当 2已知时
(1) 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ; x 0 | z 2 双边检验的拒绝域W: | z || / n
(2) 右边假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ; x 0 右边检验的拒绝域为W : z z / n (3)左边 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 . x 0 左边检验的拒绝域为W : z z。 / n
2 显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考虑 犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验。
3. 双边备择假设与双边假设检验
在 H 0 : 0 和 H1 : 0 中, 备择假设 H1 表示 可能大于0 , 也可能小于 0 , 称为双 边备择假设。
形如 H 0 : 0 , H1 : 0 的假设检验称 为双边假设检验。
(2) 当原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 又叫 取伪错误, 这类错误是“以假为真”。 假设检验的两类错误 犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}= 只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯 第二类错误概率的检验，称为“显著性检验”
Z
x 21
n
21.55 21 1.2 30
2.51
n 故拒绝原假设H0 。
Z
x 21
2.51 z 2.33
此时可能犯第一类错误，犯错误的概率不 超过0.01。
2、 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
求检验问题 H0 : 0 , H1: 0 的拒绝域。 设 X1 , X 2 ,
常取 0.1, 0.01, 0.05。
如果显著性水平取得很小，则拒绝域也会 比较小。 y
其产生的后果是： H0难于被拒绝。
如果在很小的情况 下H0仍被拒绝了，则说明 实际情况很可能与之有显 著差异。
z 2o
2
z 2
2
x
基于这个理由，人们常把 =0.05时拒绝H0 称为是显著的，而把在 =0.01 时拒绝H0称为是 高度显著的。
3. 写出拒绝域
4. 给定显著性水平 以及样本容量 n, 计算 统计量Z的实测值 5. 根据统计量Z的实测值确定接受还是拒绝H0。
6. 说明实际意义
8.2 正态总体均值的假设检验
8.2.1 单个正态总体均值的假设检验
8.2.2 两个正态总体均值差的假设检验
8.2.1 单个总体N(,2) 均值的检验
问这批产品是否合格? (显著性水平 =0.01) 解 提出原假设和备择假设
H 0 : 32.5, H1 : 32.5 2 2 已知X ~ N ( , ), 未知 X 32.5 ~ t (n1) 选检验统计量 t S n 拒绝域为 W :| t | t / 2 ( n 1)
1、 为已知, 关于 的检验 ( Z 检验)
2
在上节中讨论过正态总体 N ( , 2 )
当 2为已知时, 关于 0的检验问题: (1) 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ;
(2) 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ; (3) 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 . X 0 选择统计量 Z ~ N (0,1), 用来确定 / n 拒绝域的, 这种检验法称为 Z 检验法。
根据定理6.3知,
y
~ t (n 1),
当H 0为真时,
X 0 S/ n
P{| t | t 2 ( n 1)}
2
t 2o
t 2
2
x
即 | t | t 2 ( n 1)是一个小概率事件。
小概率事件在一次试验中基本上不会发生 。 得拒绝域 W: | t |
4. 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域C中的值时, 我 们拒绝原假设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域 x 0 的边界点称为临界点。当 | z | k / n x 0 我们就拒绝，当 | z | k / n 我们就接受z=±k，称为临界点。 x 0 拒绝域为W : | z | z / 2 , / n 临界点为 z z / 2 , z z / 2。 接受域为（X z , X z ) /2 /2 n n
将样本值代入算出统计量 t 的实测值,
n 6, x 31.13 , S 1.123
代入，计算出统计量t 的实测值
| t | x 32.5 S 6
2.997
查表可得 : t 2 (5) t0.005 (5) 4.0322
H1 : μ 21
因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15已知 X 21 ~ N(0,1) 选检验统计量 Z n 拒绝域为 W :Z z
而 =1.2, n=30， x 21.55 代入，计算出统计量Z 的实测值
拒绝域为
W : | Z | z 2
2 0.025
又 n 15, x 10.48, 0.05,
则Z x 0
/ n
10.48 10.5 0.15 / 15
0.516,
查表得 z 2 z0.025 1.96,
于是 | Z |
x 0
/ n
右边检验H0 : 0 , H1 : 0 x 0 拒绝域为z z , / n 左边检验H0 : 0 , H1 : 0
y
o
y
z
x
拒绝域为z
x 0
/ n
z。
z o
x
假设检验的一般步骤
1. 根据实际问题的要求, 提出原假设H0及备择 假设 H1 ; 2. 确定检验统计量以及服从的分布
8.1.2 两类错误及及发生的概率
假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验 中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假 设检验所作出的结论有可能是错误的。这种错 误有两类: (1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而 作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃 真错误, 这类错误是“以真为假”。 犯第一类 错误的概率是显著性水平。
Z
x 21
n
x 21
51
查表得
z z0.01 2.33
Z
n 故拒绝原假设H0 。
2.51 z 2.33
即新生产织物比过去的织物强力有提高。
此右边检验的拒绝域为 W : Z z0.01 2.33 而 =1.2, n=30， x 21.55 代入，计算出统计量Z 的实测值
2
设总体 X ~ N ( , 2 ), 其中 , 2未知, 显著性水平为。
, X n 为来自总体 X 的样本,
X 0 来确定拒绝域。
/ n 因为 S 2 是 2 的无偏估计, 故用 S 来取代 ,
即采用 t X 0 S/ n 来作为检验统计量。
因为 未知,不能利用
假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变 化, 试问该机工作是否正常? ( 0.05) 解 要检验假设 H 0 : 10.5, H1 : 10.5,
因为 X ~ N ( , 2 ), 0.15已知 X 10.5 ~ N(0,1) 选检验统计量 Z n
2. 检验统计量
统计量 Z X 0
/ n
称为检验统计量。
3. 原假设与备择假设
假设检验问题通常叙述为: 在显著性水平下,
检验假设 H 0 : 0 , H1 : 0。
或称为“在显著性水平下, 针对 H1检验 H0”。
H 0称为原假设或零假设, H1 称为备择假设。
8.1.3 单边检验
形如 H 0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为右边检验。 形如 H 0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为左边检验。
右边检验与左边检验统称为单边检验。
单边检验的拒绝域
设总体 X ~ N ( , 2 ), 为已知, 给定显著性水平 ,
第 8章
假设检验
8.1 假设检验的基本思想与概念
8.2 正态总体均值的假设检验
8.3 正态总体方差的假设检验
8.1 假设检验 一.问题的提出 实际中存在着许多不同于参数估计的问题，请看例子 例8.1 根据长期经验和资料分析，某砖瓦厂所 生产的砖的抗断强度是一个随机变量, 它服从 正态分布N(, 2)，其中 2=1.21。今从中任取6 块，测得抗断强度分别是32,56,29.66,31.64,30, 31.87,31.03.问这批砖的抗断强度是否可以认为 是32.50kg/cm2. 分析 我们关心的平均抗断强度是否为32.50， 回答有两种可能：一种是=32.50，我们接受， 另一种就是 ≠ 32.50，我们拒绝。
例8.1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒 的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批 产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:
10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7
相关概念
1. 显著性水平
我们把小概率的值 称为显著性水平。 当样本容量固定时, 选定显著性水平 后 x 0 如果样本值使得 Z z / 2 , 则认为 / n x 与0的差异是显著的,则我们拒绝原假设 H 0 , 否则我们认为 x 与0的差异是不显著的, 则我
们接受原假设 H 0。 显著性水平的选择要根据实际情况而定。
x 0
/ n
0.516 z 2 1.96,
故接受 H0 , 认为该机工作正常。
例8.2 某织物强力指标X的均值0 =21公斤. 改进 工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得 x =21.55公斤. 假设强力指标服从正态分布 N(, 2) 且已知 2 =1.2公斤， 问在显著性水平 =0.01下，新生产织物比过去的织物强力是否有 提高?
s/ n (3)左边 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 . 左边检验的拒绝域为W : t x 0 s/ n 右边检验的拒绝域为W : t x 0 t ( n 1)
t ( n - 1)。
例8.3 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是 32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服从正 态分布N(, 2), 2 未知，现从该厂生产的一批产 品中抽取6件, 得尺寸数据如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
| X 0 | S/ n
t 2 ( n 1)
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法。
结论 对于正态总体 N ( , ), 当 未知时
2 2
(1) 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ; x 0 双边检验的拒绝域W: | t || | t 2 ( n 1) s/ n (2) 右边假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ;
0.516 z 2 1.96,
故接受 H0 , 认为该机工作正常。
n 15,
x 10.48, 0.05,
2
0.025
则Z
x 0
/ n
10.48 10.5 0.15 / 15
0.516,
查表得 z 2 z0.025 1.96,
于是 | Z |
结论
对于正态总体 N ( , 2 ), 当 2已知时
(1) 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ; x 0 | z 2 双边检验的拒绝域W: | z || / n
(2) 右边假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ; x 0 右边检验的拒绝域为W : z z / n (3)左边 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 . x 0 左边检验的拒绝域为W : z z。 / n
2 显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考虑 犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验。
3. 双边备择假设与双边假设检验
在 H 0 : 0 和 H1 : 0 中, 备择假设 H1 表示 可能大于0 , 也可能小于 0 , 称为双 边备择假设。
形如 H 0 : 0 , H1 : 0 的假设检验称 为双边假设检验。
(2) 当原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 又叫 取伪错误, 这类错误是“以假为真”。 假设检验的两类错误 犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}= 只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯 第二类错误概率的检验，称为“显著性检验”
Z
x 21
n
21.55 21 1.2 30
2.51
n 故拒绝原假设H0 。
Z
x 21
2.51 z 2.33
此时可能犯第一类错误，犯错误的概率不 超过0.01。
2、 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
求检验问题 H0 : 0 , H1: 0 的拒绝域。 设 X1 , X 2 ,
常取 0.1, 0.01, 0.05。
如果显著性水平取得很小，则拒绝域也会 比较小。 y
其产生的后果是： H0难于被拒绝。
如果在很小的情况 下H0仍被拒绝了，则说明 实际情况很可能与之有显 著差异。
z 2o
2
z 2
2
x
基于这个理由，人们常把 =0.05时拒绝H0 称为是显著的，而把在 =0.01 时拒绝H0称为是 高度显著的。
3. 写出拒绝域
4. 给定显著性水平 以及样本容量 n, 计算 统计量Z的实测值 5. 根据统计量Z的实测值确定接受还是拒绝H0。
6. 说明实际意义
8.2 正态总体均值的假设检验
8.2.1 单个正态总体均值的假设检验
8.2.2 两个正态总体均值差的假设检验
8.2.1 单个总体N(,2) 均值的检验
问这批产品是否合格? (显著性水平 =0.01) 解 提出原假设和备择假设
H 0 : 32.5, H1 : 32.5 2 2 已知X ~ N ( , ), 未知 X 32.5 ~ t (n1) 选检验统计量 t S n 拒绝域为 W :| t | t / 2 ( n 1)
1、 为已知, 关于 的检验 ( Z 检验)
2
在上节中讨论过正态总体 N ( , 2 )
当 2为已知时, 关于 0的检验问题: (1) 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ;
(2) 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 ; (3) 假设检验 H 0 : 0 , H1 : 0 . X 0 选择统计量 Z ~ N (0,1), 用来确定 / n 拒绝域的, 这种检验法称为 Z 检验法。
根据定理6.3知,
y
~ t (n 1),
当H 0为真时,
X 0 S/ n
P{| t | t 2 ( n 1)}
2
t 2o
t 2
2
x
即 | t | t 2 ( n 1)是一个小概率事件。
小概率事件在一次试验中基本上不会发生 。 得拒绝域 W: | t |
4. 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域C中的值时, 我 们拒绝原假设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域 x 0 的边界点称为临界点。当 | z | k / n x 0 我们就拒绝，当 | z | k / n 我们就接受z=±k，称为临界点。 x 0 拒绝域为W : | z | z / 2 , / n 临界点为 z z / 2 , z z / 2。 接受域为（X z , X z ) /2 /2 n n
将样本值代入算出统计量 t 的实测值,
n 6, x 31.13 , S 1.123
代入，计算出统计量t 的实测值
| t | x 32.5 S 6
2.997
查表可得 : t 2 (5) t0.005 (5) 4.0322