统计学分布及假设检验
统计学中的假设检验方法
统计学中的假设检验方法统计学中的假设检验方法是一种常见的数据分析技术，用于验证关于总体特征的假设。
通过统计抽样和概率分布的理论基础，可以通过假设检验方法来评估样本数据对于某种假设的支持程度。
本文将介绍假设检验的基本原理、步骤以及一些常见的假设检验方法。
一、假设检验的原理假设检验是基于一个或多个关于总体特征的假设提出的。
一般来说，我们称原假设为零假设（H0），表示研究者对于总体特征没有明确的预期；对立假设（H1或Ha）则用来说明研究者认为存在显著的差异或关联关系。
假设检验的基本原理是通过对抽样分布的计算和统计量进行假设检验，从而得出是否拒绝零假设的结论。
根据样本数据的统计量计算出的P值，可以作为评估假设支持程度的标准。
一般来说，当P值小于显著性水平（一般为0.05）时，我们会拒绝零假设。
二、假设检验的步骤假设检验的步骤一般包括以下几个方面：1. 明确研究问题和假设：首先要明确研究者所关注的问题和假设，以及零假设和对立假设的表述。
2. 选择适当的检验方法：根据样本数据的类型和问题的特征，选择适当的假设检验方法。
常见的假设检验方法包括t检验、卡方检验、方差分析等。
3. 设置显著性水平：根据研究者对错误接受零假设和拒绝真实假设的容忍度，设置显著性水平。
一般来说，0.05是常用的显著性水平。
4. 计算统计量和P值：根据样本数据计算统计量，并通过统计分布计算对应的P值。
P值表示了在零假设成立的情况下，获得观察到的统计量或更极端结果的概率。
5. 做出结论：根据P值和显著性水平的比较，得出是否拒绝零假设的结论。
如果P值小于显著性水平，我们会拒绝零假设，认为样本数据支持对立假设；反之，我们无法拒绝零假设。
三、常见的假设检验方法1. 单样本t检验：单样本t检验用于比较一个样本的平均值是否显著不同于一个已知的总体平均值。
适用于连续型数据，例如身高、体重等。
2. 独立样本t检验：独立样本t检验用于比较两个独立样本的平均值是否显著不同。
概率与统计中的抽样分布与假设检验
概率与统计中的抽样分布与假设检验概率与统计是一门研究随机事件及其规律的学科，其中抽样分布与假设检验是概率与统计学中至关重要的概念。
本文将介绍抽样分布的概念及其重要性，并探讨假设检验的原理和应用。
一、抽样分布在统计学中，抽样是指从总体中选取一部分样本进行观察和测量，通过对样本的分析和推断，得出对总体特征的结论。
而抽样分布则是在多次抽取样本的基础上得到的一组统计量的概率分布。
抽样分布的重要性在于它为统计推断提供了理论基础。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
这意味着通过对样本数据的分析，我们可以对总体特征进行合理的推断和估计。
二、假设检验假设检验是概率与统计学中常用的分析方法，用于检验关于总体参数的某种假设。
它基于样本数据，通过比较样本统计量与假设值之间的差异，来判断是否拒绝或接受某个假设。
假设检验的基本步骤包括：1. 建立原假设（H0）和备择假设（H1）：原假设通常是关于总体特征的某种陈述，而备择假设则是与原假设相对立的假设。
2. 选择适当的检验统计量：根据具体问题选择合适的统计量进行计算和分析。
3. 确定显著性水平（α）：显著性水平是进行假设检验时预先设定的一个界限，用来判断是否拒绝原假设。
通常将显著性水平设定为0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：通过对样本数据进行计算，得到实际的检验统计量的值。
5. 判断检验统计量的观察值是否落在拒绝域内：拒绝域是指在显著性水平下，根据分布函数得到的一组临界值。
如果观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设；否则，接受原假设。
6. 得出结论：根据判断结果，对于原假设的合理性进行结论。
假设检验在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用假设检验来判断新药物是否对疾病有显著疗效；在工商管理中，可以使用假设检验来判断某种市场策略是否能够提高销售业绩。
总结：概率与统计中的抽样分布与假设检验是概率与统计学的重要概念。
统计学中的假设检验
统计学中的假设检验统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，假设检验是一种常用的方法，用于验证对于某一总体的某一假设是否成立。
假设检验在科学研究、商业决策以及社会调查等领域都有广泛的应用。
本文将介绍假设检验的基本概念、步骤和常见的统计方法。
一、假设检验的基本概念假设检验是基于样本数据对总体参数进行推断的一种方法。
在进行假设检验时，我们需要提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后根据样本数据来判断是否拒绝原假设。
原假设通常是我们希望证伪的假设，而备择假设则是我们希望支持的假设。
二、假设检验的步骤假设检验一般包括以下步骤：1. 提出假设：根据研究问题和背景，提出原假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：显著性水平（α）是我们在进行假设检验时所允许的犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
3. 收集样本数据：根据研究设计和样本容量要求，收集样本数据。
4. 计算统计量：根据样本数据计算出相应的统计量，如均值、标准差、相关系数等。
5. 判断拒绝域：根据显著性水平和统计量的分布，确定拒绝域。
拒绝域是指当统计量的取值落在该区域内时，我们拒绝原假设。
6. 做出决策：根据样本数据计算出的统计量与拒绝域的关系，判断是否拒绝原假设。
7. 得出结论：根据决策结果，得出对原假设的结论。
三、常见的统计方法在假设检验中，常见的统计方法包括：1. 单样本t检验：用于检验一个样本的均值是否等于某个给定值。
2. 双样本t检验：用于检验两个样本的均值是否相等。
3. 方差分析：用于检验两个或多个样本的均值是否有显著差异。
4. 相关分析：用于检验两个变量之间是否存在线性相关关系。
5. 卡方检验：用于检验观察频数与期望频数之间的差异是否显著。
四、假设检验的局限性假设检验作为一种统计方法，也存在一定的局限性。
首先，假设检验只能提供关于原假设的拒绝与否的结论，并不能确定备择假设的真实性。
统计学第六章假设检验
10
即 z 拒绝域，没有落入接受域，所以没有足够理由接受原假设H0, 同
时，说明该类型电子元件的使用寿命确实有了显著的提高。
第六章 假设检验
1. 正态总体均值的假设检验
(2) 总体方差 2 未知的情形
双侧举例：【例 6-6】某厂用生产线上自动包装的产品重量服从正态
分布，每包标准重量为1000克。现随机抽查9包，测得样本平均重量为
100个该类型的元件，测得平均寿命为102(小时), 给定显著水平α=0.05,
问，该类型的电子元件的使用寿命是否有明显的提高？
解：该检验的假设为右单侧检验 H0: u≤100, H1: u>100
已知 z z0.05 1.645
zˆ x u0 n 100 (102 100 ) 2 1.645
986克，样本标准差是24克。问在α=0.05的显著水平下,能否认为生产线
工作正常？ 解：该检验的假设为双侧检验 H0: u=0.5, H1: u≠0.5
已知 t /2 (n 1) t0.025 (9 1) 2.306， 而 tˆ x u 986 1000 1.75 可见 tˆ 1.75 2.306
设H0, 同时，说明该包装机生产正常。
其中 P( Z 1.8) 1 P( Z 1.8) 1 0.9281 0.0719 0.05。
第六章 假设检验
单侧举例：【例 6-4】某电子产品的平均寿命达到5000小时才算合格，
现从一批产品中随机抽出12件进行试验，产品的寿命分别为
5059, 3897, 3631, 5050, 7474, 5077, 4545, 6279, 3532, 2773, 7419, 5116
的显著性水平=0.05，试测算该日生产的螺丝钉的方差是否正常？
统计学中的假设检验
统计学中的假设检验统计学作为一门重要的学科，广泛应用于各个领域。
在实际问题的分析中，假设检验是统计学的基本方法之一，常用于从样本数据中推断总体参数、验证科学假设等。
本文将为大家介绍统计学中的假设检验方法及其应用。
什么是假设检验？假设检验是统计学中一种重要的推断方法，用于根据样本数据对总体参数作出推断或假设验证。
它将原始假设与备择假设进行比较，通过计算样本数据的统计量，以确定是否拒绝原始假设，从而得出结论。
假设检验的步骤假设检验通常包含以下步骤：1. 设立假设：在进行假设检验前，我们需要明确原始假设和备择假设。
原始假设通常是我们希望验证的假设，而备择假设则是与原始假设相对的假设。
2. 选择显著性水平：显著性水平是指我们对错误结果的容忍程度。
通常情况下，显著性水平取0.05，表示容忍5%的错误结果。
3. 计算统计量：根据样本数据计算出相应的统计量，例如 t 值、F 值、卡方值等。
4. 判断拒绝域：通过设定显著性水平和自由度，结合统计量的分布特性，确定拒绝域。
如果统计量落入拒绝域内，则拒绝原始假设；反之，则接受原始假设。
5. 得出结论：根据计算结果和拒绝域，得出针对原始假设的结论。
常见的假设检验方法1. 单样本 t 检验：用于比较一个样本与一个已知均值之间的差异，例如研究某个群体的平均水平是否与总体平均水平存在显著差异。
2. 独立样本 t 检验：用于比较两个独立样本之间的均值差异，例如比较男性和女性的平均身高是否存在显著差异。
3. 配对样本 t 检验：用于比较来自同一组被试的两个配对样本之间的差异，例如研究某种治疗方法前后的效果是否存在显著差异。
4. 卡方检验：用于比较实际观察频数与理论期望频数之间的差异，例如研究两个变量之间是否存在相关性。
假设检验的意义和应用假设检验在科学研究和实际应用中具有重要的意义：1. 推断总体：通过从样本中得出结论，推断总体的参数，例如总体均值、总体比例等。
2. 验证科学假设：通过对样本数据的分析，验证科学假设是否成立，从而推动科学研究的进展。
统计学中的正态分布与假设检验公式整理
统计学中的正态分布与假设检验公式整理正态分布是统计学中一种重要的概率分布，广泛应用于各个领域的数据分析和模型建立中。
而假设检验则是统计学中常用的一种方法，用于对假设的真实性进行验证。
本文将对正态分布和假设检验的公式进行整理，并讨论其在统计学中的应用。
一、正态分布正态分布，又称为高斯分布，是一种连续概率分布。
它的概率密度函数的数学表达式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x - μ)^2 / (2 * σ^2)))其中，f(x)表示在取值为x的点的概率密度，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。
正态分布的均值决定了分布的中心位置，标准差则决定了分布的形状。
正态分布具有许多重要性质，例如：1. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，得到的正态分布称为标准正态分布。
其概率密度函数为：φ(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)标准正态分布在实际应用中经常用于转换其他正态分布为标准化分布，方便计算和比较。
2. 正态性检验：统计学中经常需要判断一组数据是否符合正态分布。
常用的正态性检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验等。
这些方法都是基于样本数据与理论正态分布的差异来进行判断。
3. 中心极限定理：中心极限定理是统计学中一条非常重要的定理，它指出，对于任意一组具有有限方差的独立随机变量，其样本均值的分布在样本量趋于无穷时，逼近于正态分布。
二、假设检验假设检验是统计学中用于验证某个假设是否成立的一种方法。
在假设检验过程中，我们需要提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后通过数据分析来判断是否支持原假设。
1. 假设检验的步骤：(1) 建立假设：根据实际问题和研究目的，提出原假设和备择假设。
(2) 选择显著性水平：显著性水平α是控制拒绝原假设的错误概率。
一般常用的显著性水平有0.05和0.01。
正态分布假设检验
正态分布假设检验一、概述正态分布假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断一个数据集是否符合正态分布。
正态分布是指在统计学中，当数据集的频率分布呈钟形曲线时，称其为正态分布。
正态分布在实际应用中非常广泛，因为许多自然现象都遵循这种分布规律。
对于一个数据集而言，如果它符合正态分布，则可以使用一系列的统计方法进行进一步的研究和分析。
二、检验方法1. 假设检验假设检验是指通过样本数据来推断总体参数的方法。
在正态分布假设检验中，我们需要对总体均值和标准差进行假设检验。
具体而言，我们需要提出原假设和备择假设两个假设：原假设：样本数据符合正态分布；备择假设：样本数据不符合正态分布。
在进行实际计算时，我们需要根据样本数据来计算出样本均值和标准差，并使用这些数据来推断总体均值和标准差是否符合正态分布。
2. 正态概率图正态概率图是判断一个数据集是否符合正态分布的常用方法之一。
它通过将数据集的分位数与正态分布的分位数进行比较，来判断数据集是否符合正态分布。
具体而言，正态概率图将数据集的每个值按照从小到大的顺序排列，并计算出每个值对应的标准化值（即该值与样本均值之间的差除以样本标准差）。
然后，将这些标准化值按照从小到大的顺序排列，并绘制在图表上。
如果数据集符合正态分布，则这些标准化值应当近似于一个直线。
3. 偏度和峰度检验偏度和峰度是用来描述一个数据集形态特征的指标。
在正态分布中，偏度为0，峰度为3。
因此，在进行正态分布假设检验时，我们可以通过计算样本偏度和峰度来判断样本是否符合正态分布。
具体而言，如果样本偏度和峰度与正态分布相差不大，则可以认为样本符合正态分布。
三、实例演示以下是一个实例演示，在Python中使用scipy库进行正态分布假设检验：```pythonimport numpy as npfrom scipy import stats# 生成100个随机数data = np.random.normal(0, 1, 100)# 进行正态性检验k2, p = stats.normaltest(data)alpha = 0.05# 输出检验结果print("p = {}".format(p))if p < alpha:print("数据不符合正态分布")else:print("数据符合正态分布")```在上述代码中，我们首先生成了一个包含100个随机数的数据集。
《统计学》第5章 假设检验
假设不成立时，即拒绝原假设时备以选择的假设，通常用H1 表示。备择
假设和原假设互斥，如在例5.1中，原假设是“2022 年全国城市平均
PM2.5 浓度与2018 年相比没有显著差异”，那么备择假设就是“2022
年全国城市平均PM2.5 浓度与2018 年相比存在显著差异”。相应的统计
小越好。但是，在一定的样本容量下，减少犯第I类错误的概率，就会
使犯第II类错误的概率增大；减少犯第II类错误的概率，会使犯第I类
错误的概率增大。增加样本容量可以使犯第I类错误的概率和犯第II类
错误的概率同时减小，然而现实中资源总是有限的，样本量不可能没有
限制。因此，在给定的样本容量下，必须考虑两类可能的错误之间的权
易被否定，若检验结果否定了原假设，则说明否定的理由是充分的。
第四章 参数估计
《统计学》
16
5.1 假设检验的基本原理
(四) P值法
假设检验的另一种常用方法是利用P值(P-value) 来确定检验决策。P值
指在原假设0 为真时，得到等于样本观测结果或更极端结果的检验统计
量的概率，也被称为实测显著性水平。P值法的决策规则为：如果P值大
1.96) 中。这里−1.96和1.96 称为临界值，区间(−1.96, 1.96) 两侧的
区域则被称为拒绝域。基于样本信息，可以计算得到相应的z检验统计量
值，已知ҧ = 46，0 = 53， = 14 ， n = 100 = −5
14/10
第四章 参数估计
《统计学》
14
5.1 假设检验的基本原理
犯第I 类(弃真) 错误的概率 也称为显著性水平(Significance level)，
f分布的假设检验
f分布的假设检验分布的假设检验是统计学中常用的方法之一。
它可以帮助我们评估数据中的差异是否真实存在，还是简单地由于随机性所导致。
在实际应用中，我们经常需要使用分布的假设检验来验证我们的假设是否成立，从而作出基于统计学推断的决策。
在开始讨论分布的假设检验之前，我们先来了解一下什么是分布。
分布是指一组数据的概率分布，它描述了数据在不同取值上的出现频率。
而分布的假设检验则是通过比较两个或多个样本的分布，来判断它们之间的差异是否显著。
在进行分布的假设检验时，通常会设定一个原假设和一个备择假设。
原假设（H0）是我们想要证明的假设，备择假设（H1或Ha）则是对原假设的反面命题。
通过检验样本数据，我们的目标是拒绝原假设，从而支持备择假设。
分布的假设检验涉及到许多重要的统计概念，其中一个重要的概念是p值（p-value）。
p值是用来评估原假设的可信度的指标。
一般来说，当p值小于设定的显著性水平（通常为0.05）时，我们拒绝原假设；当p值大于显著性水平时，我们接受原假设。
对于分布的假设检验，我们需要选择适当的统计检验方法。
其中，t检验和F检验是常用的两种方法。
t检验适用于小样本的假设检验，而F检验则适用于大样本的假设检验，特别是用于比较两个或多个组之间的方差是否相等。
在使用F分布进行假设检验时，我们通常需要利用方差分析（ANOVA）方法。
方差分析是一种多组比较的方法，用于比较两个或多个组之间的均值是否有显著差异。
它可以帮助我们确定是否有某个因素对于我们关注的变量产生了影响。
除了方差分析外，F分布也常被用于比较不同样本的方差是否相等。
在这种情况下，我们需要使用F检验来判断数据之间的差异是否由于随机性导致。
当我们进行F分布的假设检验时，首先需要计算样本数据的方差，并分别计算各组的均值。
然后，通过计算F值，我们可以得到p值。
根据p值的结果，我们可以决定是否拒绝原假设。
尽管F分布的假设检验是一种有力的统计方法，但在使用时还是需要注意一些问题。
统计学假设检验概念和方法
临界值
H0值
计算出旳样本统计量
样本统计量
右侧检验旳P 值
抽样分布
置信水平
拒绝域
1 -
P值
H0值
临界值 计算出旳样本统计量
利用 P 值进行检验
(决策准则)
1. 单侧检验
– 若p-值 ,不拒绝 H0 – 若p-值 < , 拒绝 H0
2. 双侧检验
– 若p-值 /2, 不拒绝 H0 – 若p-值 < /2, 拒绝 H0
零假设总是一种与总体参数有关旳问题，所以 总是用希腊字母表达。有关样本统计量如样本 均值或样本均值之差旳零假设是没有意义旳， 因为样本统计量是已知旳，当然能说出它们等 于几或是否相等
提出原假设和备择假设
什么是备择假设？(alternative hypothesis) 1. 与原假设对立旳假设，也称“研究假设” 2. 研究者想搜集证据予以支持旳假设总是有不
（单尾和双尾）
是
z 检验
Z X 0 n
总体均值旳检验
(检验统计量)
总体 是否已知 ？
大
z 检验
Z X 0
Sn
否
样本容量 n
小
用样本标 准差S替代
检验
t X 0 Sn
总体均值旳检验
(2 已知或2未知大样本)
1. 假定条件
– 总体服从正态分布 – 若不服从正态分布, 可用正态分布来近似
– 右侧检验时，P-值为曲线上方不小于等于
检验统计量部分旳面积
3. 被称为观察到旳(或实测旳)明显性水平
– H0 能被拒绝旳 旳最小值
双侧检验旳P 值
/ 2 拒绝
1/2 P 值
/ 2 拒绝
1/2 P 值
f分布的假设检验
f分布的假设检验F分布的假设检验1. 引言在统计学中，假设检验是一种基本的方法，用于根据样本数据对关于总体参数的假设进行推断。
其中，F分布的假设检验是一种常用的方法，用于比较不同总体方差之间的差异。
本文将介绍F分布的假设检验原理、步骤以及应用领域。
2. F分布的原理F分布是由两个独立的卡方分布构成的，它是一种右偏的分布，具有两个参数：自由度分别为n1和n2。
在假设检验中，我们通常将总体方差的比例作为比较对象，即F统计量。
3. F分布的假设检验步骤（1）明确原假设和备择假设：在进行假设检验时，我们首先需要明确原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是我们希望推翻的假设，备择假设则是我们希望验证的假设。
（2）计算F统计量：根据样本数据计算F统计量，即计算两个样本方差的比值。
（3）确定显著性水平：确定显著性水平（α），通常取0.05或0.01，用于判断是否拒绝原假设。
（4）查表或计算P值：通过查找F分布表或计算P值，确定是否拒绝原假设。
（5）做出推断：根据统计结果，做出关于总体参数的推断，即接受或拒绝原假设。
4. F分布的应用领域F分布的假设检验在实际应用中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：（1）医学研究：用于比较不同药物治疗效果的差异。
（2）工程质量控制：用于比较不同生产批次产品的质量稳定性。
（3）教育评估：用于比较不同教学方法的效果差异。
（4）金融风险评估：用于比较不同投资组合的风险水平。
（5）社会科学研究：用于比较不同群体之间的差异。
5. F分布的优缺点F分布的假设检验具有以下优点：（1）适用范围广：F分布的假设检验适用于多个总体方差比较的情况，适用于各种实际应用领域。
（2）统计效果可靠：F统计量的分布性质已经被广泛研究，其统计效果相对可靠。
（3）易于计算：F统计量的计算相对简单，通常只需要计算两个样本方差的比值。
然而，F分布的假设检验也存在一些缺点：（1）对样本数据的分布要求较高：F分布的假设检验对样本数据的分布要求较高，如果样本数据不满足正态分布或方差齐性的假设，结果可能不可靠。
假设检验的八种情况的公式
假设检验的八种情况的公式假设检验是统计学中常用的一种方法，用于判断样本数据与总体参数的关系是否具有显著性差异。
在进行假设检验时，我们需要根据实际问题和已知条件确定相应的假设检验公式。
以下是八种常见的假设检验情况及相应的公式。
1.单样本均值检验：在这种情况下，研究者想要判断一个样本的均值是否与一个已知的总体均值有显著性差异。
假设检验的公式为：其中，x̄为样本均值，μ为总体均值，s为样本标准差，n为样本容量，t为t分布的临界值。
2.双样本均值检验（方差已知）：在这种情况下，研究者想要判断两个样本的均值是否有显著性差异，且已知两个样本的方差相等。
假设检验的公式为：其中，x̄1和x̄2分别为样本1和样本2的均值，μ1和μ2分别为总体1和总体2的均值，s为样本标准差，n1和n2分别为样本1和样本2的容量，z为标准正态分布的临界值。
3.双样本均值检验（方差未知）：在这种情况下，研究者想要判断两个样本的均值是否有显著性差异，且两个样本的方差未知且不相等。
假设检验的公式为：其中，x̄1和x̄2分别为样本1和样本2的均值，μ1和μ2分别为总体1和总体2的均值，s1和s2分别为样本1和样本2的标准差，n1和n2分别为样本1和样本2的容量，t为t分布的临界值。
4.单样本比例检验：在这种情况下，研究者想要判断一个样本的比例是否与一个已知的总体比例有显著性差异。
假设检验的公式为：其中，p̄为样本比例，p为总体比例，n为样本容量，z为标准正态分布的临界值。
5.双样本比例检验：在这种情况下，研究者想要判断两个样本的比例是否有显著性差异。
假设检验的公式为：其中，p̄1和p̄2分别为样本1和样本2的比例，p1和p2分别为总体1和总体2的比例，n1和n2分别为样本1和样本2的容量，z为标准正态分布的临界值。
6.简单线性回归检验：在这种情况下，研究者想要判断自变量与因变量之间的线性关系是否显著。
假设检验的公式为：其中，β1为回归系数，se(β1)为标准误差，t为t分布的临界值。
统计学 第4章 假设检验
【解】研究者想收集证据予以支持的假设是该 城市中家庭拥有汽车的比率超过30%。 因此，建立的原假设和备择假设为 H0 ：μ≤30% H1 ：μ>30%
结论与建议
◆原假设和备择假设是一个完备事件组， 而且相互对立。在一项假设检验中，原假设和 备择假设必有一个成立，而且只有一个成立； ◆先确定备择假设，再确定原假设。因为 备择假设大多是人们关心并想予以支持和证实 的，一般比较清楚和容易确定； ◆等号“=”总是放在原假设上； ◆因研究目的不同，对同一问题可能提出 不同的假设，也可能得出不同的结论。 ◆假设检验主要是搜集证据来推翻和拒绝 原假设。
◆理想地，只有增加样本容量，能同时减小 犯两类错误的概率，但增加样本容量又受到很多 因素的限制； ◆通常，只能在两类错误的发生概率之间进 行平衡，发生哪一类错误的后果更为严重，就首 要控制哪类错误发生的概率； ◆在假设检验中，一般先控制第Ⅰ类错误的 发生概率。因为犯第Ⅰ类错误的概率是可以由研 究者控制的。
假设检验的过程
提出假设 作出决策
拒绝假设 别无选择!
总体
我认为人口的平 均年龄是50岁
抽取随机样本
均值 x = 20
二、原假设与备择假设
什么是假设?
对总体参数的具体数
值所作的陈述
我认为这种新药的疗效 比原有的药物更有效!
总体参数包括总体均值、 总体比率、总体方差等 分析之前必须陈述
备择假设。
500g
【解】研究者抽检的意图是倾向于证实这种洗 涤剂的平均净含量并不符合说明书中的陈述。 因此，建立的原假设和备择假设为 H0：μ≥500 H1：μ< 500
提出假设例3
一家研究机构估计，某城市中家庭拥有 汽车的比率超过 30% 。为验证这一估计是否 正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行 检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设
统计学复习(抽样分布、参数估计、假设检验)
两个样本均值之差的抽样分布 （1）如： ） 抽样
X1 − N(µ1,σ12 ), X2 − N(µ2 ,σ2 ),
2
则 x1 − x2 ) ~ N(µ1 − µ2 , (
σ12 σ22
n1 + n2
)
抽样
σ12 N1 − n1 σ22 N2 − n2 (x1 − x2 ) ~ N[(µ1 − µ2 , ( )+ ( )] n1 N1 −1 n2 N2 −1
对于无限总体， 对于无限总体， 一个估计 如果对任意 量如能完 ε＞ˆ 0 满足条件 全地包含 LimP(|θn −θ |≥ ε ) = 0 未知参数 n→∞ 信息， 信息，即 则称 θˆ 是 θ 为充分量 的一致估计。 的一致估计。
点估计
常用的求点估计量的方法
用样本的数字特征 1.数字特征法: 1.数字特征法:当样本容量增大时 ,用样本的数字特征 数字特征法 去估计总体的数字特征。 去估计总体的数字特征。 例如，我们可以用样本平均数(或成数 和样本方差来估 例如，我们可以用样本平均数 或成数)和样本方差来估 或成数 计总体的均值(或比率 和方差。 或比率)和方差 计总体的均值 或比率 和方差。
样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 抽样
均值µ=∑Xi/N 均值
均值 X = Σxi
n
样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 统计量 统计量是一个随机变量 随机变量， 统计量是一个随机变量， 样本均值的概率分布称为 样本均值的抽样分布。 样本均值的抽样分布。
2
n
总体均值 （µ） ）
X ± tα
2
( n −1 )
假设检验。《统计学》
在规定了检验的显著性水平α后，根据容量为n 的样本，按照统计量的理论概率分布规律，可 以确定据以判断拒绝和接受原假设的检验统计 量的临界值。
临界值将统计量的所有可能取值区间分为两个 互不相交的部分，即原假设的拒绝域和接受域。
对于正态总体，总体均值的假设检验可有如下 图示：
第二，假设检验采用的反证法带有概率性质。所谓假 设的不合理不是绝对的，而是基于实践中广泛采用的 小概率事件几乎不可能发生的原则。至于事件的概率 小到什么程度才算是小概率事件，并没有统一的界定 标准，而是必须根据具体问题而定。如果一旦判断失 误，错误地拒绝原假设会造成巨大损失，那么拒绝原 假设的概率就应定的小一些；如果一旦判断失误，错 误地接受原假设会造成巨大损失，那么拒绝原假设的 概率就应定的大一些。
假 设 检验
假设检验在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
参数估计和假设检验
参数估计和假设检验是统计推断的两个 组成部分，都是利用样本对总体进行某 种推断，但推断的角度不同。参数估计 讨论的是用样本统计量估计总体参数的 方法。假设检验讨论的是用样本信息去 检验对总体参数的某种假设是否成立的 程序和方法。
＞X0），那么对于前者当X＜X0时，对于后者当X＞X0 时，可以否定原假设。这种假设检验称为单侧检验。可以分 为左侧检验和右侧检验。
双侧检验与单侧检验 (假设的形式)
假设
H0 H1
研究的问题（总体均值检验） 双侧检验 左侧检验 右侧检验 X= X0 X X 0 X X 0 X ≠ X 0 X < X 0 X > X 0
a和的关系就像 翘翘板，a小就 大， a大就小
统计学——假设检验概念和方法
统计学——假设检验概念和方法假设检验是统计学中的一种常用方法，用于判断对于给定的样本数据，是否可以拒绝一些关于总体参数的假设。
假设检验可以帮助我们进行统计推断，即通过样本数据对总体参数的假设进行检验和推断。
在进行假设检验时，我们通常会对原假设进行假设设置，并基于样本数据进行计算，得到样本统计量，最后通过与临界值的比较来判断是否拒绝原假设。
假设检验方法主要包括以下几个步骤：1.假设设置：在进行假设检验之前，需要对原假设和备择假设进行设置。
原假设（H0）通常是一种无关或无差异的假设，而备择假设（H1）通常是一种有关或有差异的假设。
例如，在检验一些药物对病情的治疗效果时，原假设可以是“该药物对病情的治疗效果没有显著影响”，备择假设可以是“该药物对病情的治疗效果有显著影响”。
2.选择检验方法：根据实际问题和数据类型的不同，选择合适的统计检验方法。
常用的假设检验方法包括：t检验、Z检验、卡方检验、方差分析等。
对于不同的问题，需要根据数据类型和常用假设检验方法的前提条件进行选择。
3.计算统计量：根据选择的检验方法，通过对样本数据的计算，得到相应的统计量。
统计量的计算方式因检验方法的不同而有所不同。
4.设置显著性水平：显著性水平（α）是指拒绝原假设的最小可接受的错误概率。
常用的显著性水平有0.05和0.01、通常情况下，可以根据实际问题的要求和样本数据的特点进行选择。
5.做出决策：将计算得到的统计量与对应的临界值进行比较，根据比较结果来决定是否拒绝原假设。
如果统计量小于临界值，则接受原假设；如果统计量大于临界值，则拒绝原假设。
6.得出结论：根据以上步骤得出的决策结果，对检验的结论进行解释。
如果拒绝了原假设，则证明样本数据对总体参数的假设是有足够证据支持的；如果接受了原假设，则说明样本数据不足以拒绝原假设，未找到充分的证据来支持备择假设。
在进行假设检验时，需要注意以下几点：1.样本的选择：样本应该是从总体中随机选择的，并且需要具有代表性。
f分布的假设检验
f分布的假设检验F分布的假设检验引言：假设检验是统计学中一种重要的方法，用于对样本数据进行统计推断，以判断某个假设是否成立。
F分布是一种常用的假设检验方法，它基于两个或多个总体方差的比较。
本文将介绍F分布的基本原理、应用场景以及假设检验的步骤，以帮助读者更好地理解和运用F分布假设检验。
一、F分布的基本原理F分布是基于两个或多个独立正态总体方差的比较，其概率密度函数与两个整数参数相关，分别为自由度（分子自由度和分母自由度）。
F分布的形状取决于这两个自由度参数。
在假设检验中，我们通常关注的是两个总体方差是否相等的问题，因此常用的是两个样本的F分布。
二、F分布的应用场景F分布的应用场景非常广泛，特别适用于以下情况：1. 方差比较：用于比较两个或多个总体方差是否相等。
2. 回归分析：用于检验回归模型中各个自变量的系数是否显著。
3. 方差分析：用于比较多个样本均值的差异是否显著。
三、F分布的假设检验步骤进行F分布的假设检验需要经过以下几个步骤：1. 提出假设：根据问题的具体情况，提出原假设（H0）和备择假设（H1）。
2. 计算统计量：根据样本数据，计算F值。
3. 设置显著性水平：选择适当的显著性水平（通常为0.05或0.01）。
4. 查表或计算P值：根据自由度和显著性水平，查找F分布表或计算P值。
5. 做出决策：比较计算得到的F值与临界值或P值，根据假设检验的原则，判断是否拒绝原假设。
四、举例说明为了更好地理解F分布的假设检验，我们举一个实际问题的例子：假设有两个不同厂家生产的手机，我们想要比较它们的电池寿命是否有差异。
我们从每个厂家随机抽取了30台手机，并记录了它们的电池寿命。
现在我们想要进行假设检验，以判断两个厂家的电池寿命是否相同。
1. 提出假设：原假设（H0）：两个厂家的手机电池寿命相同。
备择假设（H1）：两个厂家的手机电池寿命不同。
2. 计算统计量：我们计算两个样本的方差比值，得到F值。
3. 设置显著性水平：假设我们选择显著性水平为0.05。
统计学中的假设检验
统计学中的假设检验在统计学中，假设检验是一种重要的数据分析方法，用于确定一个统计推断是否支持或拒绝一个关于总体或总体参数的假设。
通过对样本数据进行分析，我们可以评估样本数据中的统计显著性，并作出关于总体的推断。
1. 假设检验的基本概念假设检验的基本思想是基于样本数据对总体特征做出推断。
通常，我们设置一个零假设（null hypothesis）H0，表示无效或无差异的假设，以及一个备择假设（alternative hypothesis）H1，表示有差异或有效的假设。
通过对样本数据进行分析，我们可以判断是否拒绝H0，并支持H1。
2. 假设检验的步骤（1）确定假设：明确零假设H0和备择假设H1。
（2）选择显著性水平：通常设定为0.05或0.01。
显著性水平表示我们拒绝H0的概率阈值，通常称为α。
（3）确定检验统计量：选择适当的统计量来检验H0和H1之间的差异。
（4）计算检验统计量：基于样本数据计算检验统计量的值。
（5）确定拒绝域：根据显著性水平，确定检验统计量的分布并确定拒绝域。
（6）做出结论：将计算得到的检验统计量与拒绝域进行比较，得出是否拒绝H0的结论。
3. 常见的假设检验方法（1）单样本假设检验：用于对一个总体的平均值或比例进行推断。
常用的方法有单样本t检验和单样本比例检验。
（2）两独立样本假设检验：用于比较两个独立样本的均值或比例是否有显著差异。
常用的方法有独立样本t检验和独立样本比例检验。
（3）配对样本假设检验：用于比较同一个样本在两个不同条件下的均值或比例是否有显著差异。
常用的方法有配对样本t检验和配对样本比例检验。
（4）方差分析：用于比较三个或三个以上样本的均值是否有显著差异。
常用的方法有单因素方差分析和多因素方差分析。
4. 结论的解释与结果分析当假设检验的结果显示拒绝了H0时，我们可以解释为拒绝了无效的假设，即我们对总体的推断得到了支持。
反之，如果结果不能拒绝H0，则无法得出对总体的有力推断。
假设检验离散型随机变量的分布假设
假设检验离散型随机变量的分布假设在统计学中，我们经常需要对一个随机变量的分布进行假设检验，以验证我们的观察结果是否与我们的假设相符。
本文将介绍如何进行假设检验来验证离散型随机变量的分布假设。
一、背景介绍离散型随机变量是一类只取有限个或可列无限个可能值的随机变量。
例如，掷硬币的结果（正面或反面）和骰子的结果（1、2、3、4、5或6）都是离散型随机变量。
我们经常有兴趣了解离散型随机变量的分布，即每个可能值出现的概率。
二、假设检验的步骤1. 建立原假设（H0）和备择假设（H1）。
在进行假设检验时，我们需要首先建立原假设和备择假设。
原假设通常是我们要对分布进行假设检验的最初设想，而备择假设则是我们要验证的条件。
2. 选择合适的检验统计量。
根据原假设和备择假设的差异性，我们选择一个适合的统计量来计算观测到的数据与原假设的偏离程度。
例如，对于二项分布的假设检验，我们可以选择计算样本比例与假设的比例之间的差异。
3. 设置显著性水平。
在进行假设检验时，我们需要设置显著性水平，表示我们愿意接受犯错的风险。
通常，显著性水平取0.05或0.01，这意味着我们愿意接受5%或1%的错误结论。
4. 计算检验统计量的值。
使用收集到的数据，计算出所选的检验统计量的值。
5. 确定拒绝域。
拒绝域是一组观测到的数据值，当检验统计量的值落在拒绝域内时，我们将拒绝原假设。
拒绝域的选择依赖于显著性水平和检验统计量的分布。
6. 进行假设检验。
将计算出的检验统计量的值与拒绝域进行比较。
如果检验统计量的值在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设。
7. 得出结论。
根据假设检验的结果，我们可以得出结论，并根据实际情况做出相应的决策。
三、示例假设我们有一个掷硬币的实验，我们想要验证这个硬币是公平的，即正反面出现的概率相等。
我们可以建立如下的原假设与备择假设：H0：硬币是公平的，正反面出现的概率相等。
H1：硬币是不公平的，正反面出现的概率不相等。
我们可以选择一个二项分布的假设检验来验证这一假设。
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X1 X 2 X n
2 2 2
2
~ (n)
2 2
的密度函数为 一般 自由度为 n x n 1 1 2 2 e x , x0 n2 n n=2 f ( x ) 2 ( 2 ) n=3 n=5 n = 10 0, x 0 其中， x 1 t ( x) 0 t e dt
H0: 1500
H1: 1500
双侧检验
(显著性水平与拒绝域)
抽样分布
拒绝域 /2 置信水平
拒绝域 1- /2
临界值
H0值
临界值
样本统计量
左侧检验
(显著性水平与拒绝域)
抽样分布
拒绝域 置信水平
1-
临界值
H0值
样本统计量
观察到的样本统计量
右侧检验
(显著性水平与拒绝域)
抽样分布
-3
0.2 0.1
n= 1
n=20
-2
-1
1
2
3
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
F 分布
定义 若X~2(n1)，Y~2(n2) ，X,Y相互独立， 则称随机变量
X n1 F Y n2
~ F (n1 , n2 )
为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布 （或自由度为(n1 , n2 )），其概率密度为
置信水平 拒绝域 1-
H0值
观察到的样本统计量
临界值
样本统计量
§1.2 一个正态总体参数的检验
1. 总体均值的检验 2. 总体比例的检验 3. 总体方差的检验
一个总体参数的检验
一个总体
均值
比例
方差
Z 检验
（单尾和双尾）
t 检验
（单尾和双尾）
Z 检验
（单尾和双尾）
2检验
（单尾和双尾）
总体均值的检验
2 未知小样本均值的检验
(例题分析)
•H0: = 4.5 •H1: 4.5 = 0.05 •df = 10 - 1 = 9 •临界值(s):
拒绝 H0
.025
检验统计量:
x 0 4.421 4.5 t -0.940 s n 0.267 10
决策：
在 = 0.05的水平上接受H0
.025
结论:
认为喷施调节剂能够显著增加 玉米果穗的重量
-1.96
0
1.96
Z
2 未知大样本均值的检验
(例题分析)
【例】某电子元件批量生产的 质量标准为平均使用寿命1200 小时。某厂宣称他们采用一种 新工艺生产的元件质量大大超 过规定标准。为了进行验证， 随机抽取了 100 件作为样本， 测得平均使用寿命1245小时， 标准差 300 小时。能否说该厂 生产的电子元件质量显著地高 于规定标准？ (＝0.05)
.025
拒绝 H0
结论：
认为该次抽样测定的含氧量 与多年平均含氧量没有显著 差别。
-2.262
0
2.262
t
在R软件中，函数t.test()提供了t检验的功能，使用 格式如下： t.test(x,y=NULL,alternative=c("two.sided","less","gr eater"),mu=0,paired=FALSE,var.equal=FALSE,c onf.level=1-α) 其中x,y是由数据构成的向量(如果只提供x,则作单个 正态总体的均值检验，否则作两个总体的均值检 验)；alternative表示备择假设，less表示单边检 验(H1:u<u0);mu表示原假设u0；var.equal=FALSE 表示认为两总体方差不同,conf.level是置信水平， 通常是0.95，即 α=0.05
n1 1 n1 n 2 n1 / 2 2 )( n1 / n2 ) y ( 2 , h( y ) n1 n2 n1 ( n1 n2 ) / 2 ( ) ( )( 1 y ) 2 2 n2 0, y0
y0
第 1章 假设检验
§1.1 假设检验的基本问题 §1.2 一个正态总体参数的检验
2 已知均值的检验
(例题分析)
•H0: = 300g •H1: 300g = 0.05 •n = 9 检验统计量: x 0 308 300 z 2.526 n 9.5 9 决策:
在 = 0.05的水平上拒绝H0
•临界值(s):
拒绝 H0
.025
拒绝 H0
(检验统计量)
是
总体 是否已知 ？
否
小 样本容量 n
用样本标 准差S代替
大
z 检验
z 检验
t 检验
Z
X 0
n
Z
X 0 S n
t
X 0 S n
总体均值的检验
(2 已知或2未知大样本)
1. 假定条件
– 总体服从正态分布 – 若不服从正态分布, 可用正态分布来近似 (n30)
结论:
-1.96
0
1.96
Z
种衣剂对种子发芽率有显著提高 的效果(0.89>0.85)
方差的卡方 (2) 检验
1. 检验一个总体的方差或标准差 2. 假设总体近似服从正态分布 3. 检验统计量
正态分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
1 2σ 2 p( x ) e , x , 2 πσ 其 中 μ , σ ( σ 0) 为 常 数 ,则 称X 服 从 参 数 为 μ, σ ( x μ )2
的 正 态 分 布 或 高 斯 分, 布 记 为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
提出原假设和备择假设
什么是原假设？(null hypothesis) 0 1. 待检验的假设，又称“0假设” 为什么叫 假设? 2. 研究者想收集证据予以反对的假设 3. 表示为 H0
– – –
H0： 某一数值 指定为 = 号，即 或 例如, H0： 3190（克）
提出原假设和备择假设
结论:
不能认为该厂生产的元件寿命 显著地高于1200小时
0
1.645
Z
总体均值的检验
(2未知小样本)
1. 假定条件
– 总体为正态分布 2未知，且小样本
2. 使用t 统计量
t
X 0 S n
~ t (n 1)
2 未知小样本均值的检验
(例题分析)
【例】某鱼塘水中的含氧量多年 平均为4.5mg/L。现在该鱼塘设 10个点采集水样，测定水中含氧 量分别为： 4.33,4.62,3.89,4.14,4.78,4.64,4.5 2,4.55,4.48,4.26(mg/L)。试检验 该次抽样测定的水中含氧量与多 年平均值有无显著差别？ 双侧检验
2. 使用Z-统计量
2
2
已知： Z
未知： Z
X 0
X 0 S n
n
~ N (0,1) ~ N (0,1)
2 已知均值的检验
(例题分析)
【例】已知某种玉米平均穗重u0=300g,标准差 =9.5g。喷施某种植物生长调节剂后，随机抽取9个果 穗，重量分别308,305,311,298,315,300,321,294,320 (g)。问这种调节剂对果穗重量是否有影响？（＝ 0.05）
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如
测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量
高度等都近似服从正态分布.
2
分布
定义: 设 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立,都服从正 态分布N(0,1), 则称随机变量：
所服从的分布为自由度为 n 的 2 分布. 记为
2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率
– 被称为抽样分布的拒绝域
3. 表示为 (alpha)
– 常用的 值有0.01, 0.05, 0.10
4. 由研究者事先确定
作出统计决策
1. 计算检验的统计量 2. 根据给定的显著性水平，查表得出相应 的临界值z或z/2， t或t/2 3. 将检验统计量的值与 水平的临界值进 行比较 4. 得出拒绝或不拒绝原假设的结论
0.4 0.3 0.2 0.1 5 10
2 的 (n)
n = 15
20 25
15
在x > 0时收敛，称为函数
t 分布 (Student 分布) 2 定义 设 X ~ N (0,1) , Y ~ (n), X ,Y相互独立,
T X Y n
t ~ t ( n) 则称 T 服从自由度为 n 的t 分布.记为 其密度函数为
双侧检验与单侧检验
(假设的形式)
研究问题
假设 双侧检验
H0 H1
左侧检验
右侧检验
= 0 ≠0
0 < 0
0 > 0
单侧检验
(原假设与备择假设的确定)
1. 将研究者想收集证据予以支持的假设作为备择 假设H1
例如,一个研究者总是想证明自己的研究结论是正 确的 一个销售商总是想证明供货商的说法是不正确的 备择假设的方向与想要证明其正确性的方向一致
n 1 n 1 Γ 2 2 2 t f (t ) 1 n n n Γ 2 t
t 分布的性质
0.4 0.3
t2 2
1°f n(t)是偶函数,
1 n , f n (t ) (t ) e 2
学习目标
1. 了解假设检验的基本思想 2. 掌握假设检验的步骤 3. 对实际问题作假设检验