统计学假设检验习题答案

1．假设某产品的重量服从正态分布，现在从一批产品中随机抽取16件，测得平均重量为820克，标准差为60克，试以显著性水平α=0.01与α=0.05，分别检验这批产品的平均重量是否是800克。

解：假设检验为800:,800:0100≠=μμH H (产品重量应该使用双侧 检验)。采用t 分布的检验统计量n

x t /0σμ-=。查出α＝0.05和0.01两个水平下的临界值(df=n-1=15)为2.131和2.947。667.116/60800820=-=

t 。因为t <2.131<2.947，所以在两个水平下都接受原假设。

2．某牌号彩电规定无故障时间为10 000小时，厂家采取改进措施，现在从新批量彩电中抽取100台，测得平均无故障时间为10 150小时，标准差为500小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加(α=0.01)？

解：假设检验为10000:,10000:0100>=μμH H （使用寿命有无显著增加，应该使用右侧检验）。n=100可近似采用正态分布的检验统计量n

x z /0σμ-=。查出α＝0.01水平下的反查正态概率表得到临界值2.32到2.34之间（因为表中给出的是双侧检验的接受域临界值，因此本题的单侧检验显著性水平应先乘以2，再查到对应的临界值）。计算统计量值3100

/5001000010150=-=z 。因为z=3>2.34(>2.32)，所以拒绝原假设，无故障时间有显著增加。

3.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600?

解: 01:1600, :1600,H H μμ=≠标准差σ已知,拒绝域为2

Z z α>,

取0.05,α=26,n =

0.0250.9752 1.96

z z z α===,由检验统计量

1.25 1.96Z ===<,接受0:1600H μ=, 即,以95%的把握认为这批产品的指标的期望值μ为1600.

4.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在O.06Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05)?

解: 01: 2.64, : 2.64,H H μμ=≠已知标准差σ=0.16,拒绝域为2Z z α>,取0.0252

0.05, 1.96z z αα===,

100,n =由检验统计量

3.33 1.96Z ===>,接受1: 2.64H μ≠, 即, 以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响.

5．某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要检查机器工作情况。现抽得10罐，测得其重量为(单位：克):195，510，505，498，503，492，792，612，407，506.假定重量服从正态分布，试问以95％的显著性检验机器工作是否正常?

解: 01:500 :500H vs H μμ=≠,总体标准差σ未知,拒绝域为2

(1)t t n α>-,10,n =经计算得到x =502, s =6.4979,取

0.0250.05,(9) 2.2622t α==,由检验统计量

0.9733t ===<2.2622, 接受0:500 H μ= 即, 以95%的把握认为机器工作是正常的.

6，一车床工人需要加工各种规格的工件，已知加工一工件所需的时间服从正态分布),(2

σμN ，均值为18分，标准差为4.62分。现希望测定，是否由于对工作的厌烦影响了他的工作效率。今测得以下数据：

21.01, 19.32, 18.76, 22.42, 20.49, 25.89, 20.11, 18.97, 20.90

试依据这些数据（取显著性水平05.0=α），检验假设： 18:,18:10>≤μμH H 。

解：这是一个方差已知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题， 检验统计量为

n x Z /18

σ-=。 代入本题具体数据，得到8665.19/62.418

874.20=-=Z 。

检验的临界值为645.105.0=Z 。

因为645.18665.1>=Z ，所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设0H ，即认为该工人加工一工件所需时间显著地大于18分钟。

11 设我国出口凤尾鱼罐头，标准规格是每罐净重250克，根据以往经验，标准差是3克。现在某食品工厂生产一批供出口用的这种罐头，从中抽取100罐检验，其平均净重是251克。假定罐头重量服从正态分布，按规定显著性水平α = 0.05，问这批罐头是否合乎标准，即净重确为250克？ 解：（1）提出假设。现在按规定净重为250克，考虑到买卖双方的合理经济利益，当净重远远超过250克时，工厂生产成本增加，卖方吃亏；当净重远远低于250克时，买方如果接受了这批罐头就会吃亏。所以要求罐头不过于偏重或偏轻。从而提出假设为：

H 0: µ = 250克

H 1: µ ≠ 250克

（2）建立统计量并确定其分布。由于罐头重量服从正态分布，即X ~ N （250，

32），因此： ),(~100

32502N ξ )1,0(~/N n x z σμ

-=

（3）确定显著水平α = 0.05。此题为双侧检验。

（4）根据显著水平找出统计量分布的临界值，961±=±2α

.ζ。只要

ζζZ Z 2

α2α-≤≥或就否定原假设。

（5）计算机观察结果进行决策：

33.3100/3250

251/=-=-=n x z σμ

（6）判断。由于196=333=2α

ζζ远远大于临界值,.，故否定原假设，

H 0，接受即认为罐头的净重偏高。

双侧检验与区间估计有一定联系，我们可以通过求μ的（1-α）的置信区间来检验该假设。如果求出的区间包含μ，就不否定假设H 0。例10-1中μ的95%的置信区间为：

()588251421250σ961±.,..即νξ

由于μ=250未包含在该区间内，所以否定H 0，结果与上述结论一致。

7.一家食品加工公司的质量管理部门规定，某种包装食品净重不得少于20千克。经验表明，重量近似服从标准差为1.5千克的正态分布.假定从一个由50包食品构成的随机样本中得到平均重量为19.5千克,问有无充分证据说明这些包装食品的平均重量减少了?

解:把平均重量保持不变或增加作为原假设的内容,只要能否定原甲设,就能说明样本数据提供了充分证据证明均重量减少了,于是有: