学案3函数的基本性质-函数与导数

(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1) 的形式 或不能将不等式右边3转化为 f(2) , 从而不能应用函数的 单调性求解.导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性 的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不 能正 确地将抽象不等式进行转化.
返回目录
＊对应演练＊
已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，当x>1时，f(x)>0， 且
f(x) ,则f(x) 既是
奇函数又是偶函数;
若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶
函数,即非奇非偶函数.
返回目录
5.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 , 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 ( 填 “相同” “相反”）. (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积 是 偶函数 ; ②两个偶函数的和、积是 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 .
返回目录
பைடு நூலகம்
【评析】对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在 某区间上的单调性问题,可以结合定义 ( 基本步骤为取 点、 作差或作商、变形、判断）求解 . 可导函数则可以利用导 数解之.
返回目录
＊对应演练＊
讨论函数f(x)=x+ a (a>0)的单调性. x
返回目录
解法一:显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+∞)
上的单f(x调1)性-f(,x设2)x=1(>xx12>0xa,1则) - (x2 ∴当0<x2<x1≤ a 时，
则f(x1)-f(x2)<0， 即 f(x1)

a xa2
)

(x1
>1,
x1x2
< f(x2),
-
x2
)·(1-
a x1x2
).
故f(x)在(0,
a
］上是减函数.
a
当x1>x2≥ a 时，0<
返回目录
【评析】 (1)复合函数是指由若干个函数复合而成的 函 数,它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u) 的单调性密切 相关,其单调性的规律为“同增异减”，即f(u)与g(x)有相同的 单调性，则 f［g (x) ］必为增函数，若具有不同的单调性， 则 f［g(x)］必为减函数.
(2)讨论复合函数单调性的步骤是: ①求出复合函数的定义域; ②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单 调性; ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围; ④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.
即f(x1)>f(x2),故f(x)在［
x1x a
<1，则f(x1)-f(x2)>0, 2,+∞)上是增函数.
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)分别在(-∞,- a］,［ a ,+∞)上为增函数； f(x)分别在［- a ,0),(0, a ］上为减函数.
返回目录
解法二:由f′(x)=1-
a=0可得x=± x2
1
=log2 x x2 1 =-log2(x+ x2 1 )=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
返回目录
（3）当x<0时，-x>0，则 f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；
当x>0时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).
为
.
(4)图象法.
相同
(5)奇函数在关于原点对称的区间上具有相反 的单
调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有
的单调
性.
返回目录
(6)导数法 ①若f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为 增函 数;当f′(x)<0时,f(x)为 减函数; ②若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上递增时, 则f′(x) ≥ 0;当f(x)在该区间上递减时,则f′(x) ≤0. 3.奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x , 都 有 f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地 , 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x , 都 有 f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数.
学案3 函数的基本性质
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时, ①若 f(x1)<f(x2) ,则f(x)在区间D上是 增函数 ; ②若 f(x1)>f(x2) ,则f(x)在区间D上是 减函数 .
∴f(x2)>f(x1). 即f(x)是R上的增函数.
返回目录
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3, ∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是R上的增函数, ∴3m2-m-2<2, 解得-1<m< 4 .
3 故解集为 1, 4 .
【分析】此题f(x)是由f(x)= u(x) ,u(x)=x2-1
两个函数复合而成,只需判断这两个函数的单调性.
返回目录
【解析】函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},
则f(x)= x2 - 1 ,
可分解成两个简单函数:
f(x)= u(x) ,u(x)=x2-1的形式. 当x≥1时，u(x)为增函数， u(x)为增函数. ∴f(x)= x2 1 在［1,+∞)上为增函数. 当x≤-1时，u(x)为减函数， u(x)为减函数. ∴f(x)= x2 1在(-∞,-1］上为减函数.
返回目录
【解析】（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0, ∴x=±1，即f(x)的定义域是{-1,1}. ∴f(1)=0,f(-1)=0, ∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1)， 故f(x)既是奇函数又是偶函数. （2）已知f(x)的定义域为R，
∵f(-x)=log2［-x+ (-x)2 1 ］
返回目录
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ,那
么就说函数 f (x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性,
区间D 叫做f(x)的单调区间.
2.判断函数单调性的方法
(1)定义法:利用定义严格判断.
(2)利用函数的运算性质:如若f(x),g(x)为增函数,则
①f(x)+g(x)为增函数; ② 1 为减函数(f(x)>0);
f(x·y)=f(x)+f(y).
（1）求f(1);
（2）证明f(x)在定义域上是增函数；
（3）如果f（1 ）=-1，求满足不等式f(x)-
3
f( 1 )≥2 的 x-2
x的取值范围.
返回目录
（1）令x=y=1，得f(1)=2f(1)，故f(1)=0.
（2）证明:令y=
1 x
,得f(1）=f(x)+f（1x
a.
当x> a 时或x<- a 时,f′(x)>0,
∴f(x)分别在［ a ,+∞),(-∞,- a］上是增函数.
同理0<x< a 或- a <x<0时,f′(x)<0,
即f(x)分别在(0, a ］,［- a ,0)上是减函数.
返回目录
考点二 复合函数的单调性 判断函数f(x)= x2 - 1 在定义域上的单调性.
f(x)
③ f(x) 为增函数(f(x)≥0); ④f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0);
⑤-f(x)为减函数.
返回目录
(3)利用复合函数关系判断单调性.
法则是“ 同增异减 ”，即两个简单函数的单调性
相同，则这两个函数的复合函数为增函数 ;若两个简单
函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数 减函数
3
3
在f(x·y)=f(x)+f(y)中，令x=y=3,得
f(9)=f(3)+f(3)=2.
又-f（x
1
2
）
=f(x-2)，故所给不等式可化为
f(x)+f(x-2)≥f(9)，即f［x(x-2)］≥f(9).
x>0,
∴ x-2>0,
解得x≥1+ 10 .
x(x-2)≥9.
∴x的取值范围是［1+ 10 ,+∞).
区间是［2,4). 2
返回目录
考点三 函数单调性的应用
函数f(x)对任意的a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并 且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
【分析】 (1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单 调性的定义.
返回目录
考点一 函数单调性的判定及证明 已知函数f(x)=ax+ x - 2 (a>1).求证：函数f(x)在
x1
(-1,+∞)上为增函数.
【分析】 (1) 用函数单调性的定义. (2)用导数法.
返回目录
【证明】证法一:任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x1<x2,则x2-x1>0, ax2-x1 1 且 ax1 >0,
返回目录
4.判断函数的奇偶性
判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步
骤是:
(1)考查定义域是否关于 原点对称 ;
(2)根据定义域考查表达式 f(-x) 是否等于 f(x) 或 -f(x):
若f(-x)= -f(x) ,则f(x)为奇函数;
若f(-x)= f(x) ,则f(x)为偶函数;
若f(-x)= -f(x) 且f(-x)=
返回目录
＊对应演练＊
求函数 y log 1 (4x - x2 ) 的单调区间.
2
由4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4).
令t=4x-x2,则y= log 1t .
∵t=4x-x2=-(x-2)2+42 , ∴t=4x-x2的单调减区间是［2,4),增区间是(0,2］.
又y= log 1t 在(0,+∞)上是减函数, ∴函数y=2 log 1 (4x - x2 ) 的单调减区间是(0,2］,单调增
(2)将函数不等式中抽象的函数符号 “ f ” 运用单调 性“去掉”，为此,需将右边常数 3 看成某个变量的函数 值.
返回目录
【解析】 (1)证明:设x1,x2∈R,且x1<x2, 则x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0.
于是f(x2)-f(x1)= ax2 - ax1 x2 - 2 - x1 - 2 >0, 故函数f(x)在(-1,+∞)上为增x函2 数1. x1 1
返回目录
证法二:f(x)=ax+1- 3 (a>1),
x1
求导数得f′(x)=axlna +
3,
(x
∵a>1,∴当x>-1时,axlna>0,
）=0，故f（
1 x
）
=-f(x).任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f（x11
）=f（
x 2 ）.
x1
由于
x2 >1,故f ( x2 )
x1
x1
>0，从而f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
返回目录
（3）由于f( 1 )=-1，而f ( 1 ) =-f(3)，故f(3)=1.
3
返回目录
【评析】 (1)f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有
单调性,则f(x1)<f(x2) f(x1)-f(x2)<0,若函数是增函 数 , 则f(x1)<f(x2) x1<x2,函数不等式(或方程)的求解 ,总是
想方设法去掉抽象函数的符号,化为一般不等式 (或方程) 求解,但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.
∴ ax2 - ax1 ax1 (ax2 -x1 - 1) 0 ,
∵x1+1>0,x2+1>0,
∴x2 - 2 - x1 - 2 (x2 - 2)(x1 1) - (x1 - 2)(x2 1)
x21 x1 1
(x1 1)(x2 1)
3(x2 - x1 ) 0, (x1 1)(x2 1)

1)2 3 (x 1)2
>0,
f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,则f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证法三:∵a>1,∴y=ax为增函数,
又y= x 2 1 - 3 在(-1,+∞)上也是增函数. x1 x1
∴y=ax+ x 2 在(-1,+∞)上为增函数. x1
返回目录
考点四 判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)= x2 -1· 1 - x2 ；
（2）f(x)=log2(x+ x2 1 )(x∈R)；
x2+x(x<0)
（3）f(x)= x2-x(x>0)； （4）f(x)= lg|x-2|.
【分析】判断函数奇偶性应分两步: （1）定义域是否关于原点对称; （2）判断f(-x)与f(x)的关系.