新湘教版八年级下册数学 《直角三角形的性质和判定(Ⅱ)(1)》教案

1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1课时
一、教学目标
1 . 知识与技能：使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

2．过程与方法：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

3．情感、态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。

在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。

水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。

几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。

本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。

其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

三、教学过程
（一）、新课引入
已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？
（二）、探究定理
1、画一画：
让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

2、做一做
（1）、如图，以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系。

问题1：这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？
问题2：这三个正方形的面积之间满足一个什么等式？
问题3：正方形的面积等于边长的平方，那么它们的面积
用边长代入得到一个什么等式？
问题4：我们前面说过：在直角三角形中，我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？
（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

这个三角形的三边也满足勾2+股2=弦2吗？
3、议一议
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
4、猜一猜
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有a2＋b2=c2
【过渡语】
猜想的结论是否正确须经过严格论证。

证明该结论很难，许多数学家经过艰辛的努力，已想出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创造的一种证法。

5、探一探（小组活动）
⑴、请同学们拿出准备好的4个全等的直角三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，三边分别标好a,b,c，拼出一个边长为c 的正方形，利用面积相等进行证明（赵爽弦图，如图2）。

【小组合作探究】，思考：
问题1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？
问题2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？
问题3：大正方形由哪几个图形构成？
问题4：它们的面积之间满足什么样的关系？
问题5：分别怎么来表示它们的面积？
⑵、证明：如图2（赵爽弦图）所示，其等量关系为：
4S△+S 小正=S 大正 即 4×2
1ab ＋（b －a ）2=c 2， 化简可证。

下图证明请同学们课后自己思考
.
6、归纳总结
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方。

即在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边为a 、
b 、
c ，有a 2＋b 2=c 2
我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥
拉斯定理”，为什么呢？
（1）《周髀算经》中西周的商高（公元一千多年前）发现了勾三股四弦五 这个规律 c b C
a B A 图2
（2）西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理；
（3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上．
（4）反思：公式变形：
说明：直角三角形的边长为正数，所以取算术平方根。

问题1：勾股定理对所有的三角形都适用吗？为什么？
问题2：勾股定理的条件是什么？结论是什么？
结论：勾股定理揭示了在直角三角形中已知任意二边可以求第三边。

（三）、勾股定理的应用
1、例题分析：
例1、如图4，在△ABC 中，∠C＝90°，AB=17,AC=8，求BC 的长。

分析：在这个直角三角形中，已知斜边和
条直角边，求另一条直角边。

根据勾股定 理可得
=15
方法小结：利用勾股定理建立方程。

2、练习：在一个直角三角形中有二边分别是3和4，那么另一边一定是5吗？（小组合作探究）
（四）、解决问题：
如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB = AC = 13cm ，BC = 10cm ，AD ⊥BC 于点
D. 你能算出BC 边上的高AD 的长吗？
c 2=a 2 + b 2 a 2=c 2－b 2 b 2 =c 2-a 2 a =c =b=c 2-a 2
图4
A
B
解 在△ABC 中，
∵ AB = AC = 13 ，BC = 10 ，AD ⊥BC ，
∴ BD = 12
BC = 5. 在Rt△ADB 中，由勾股定理得
AD 2+BD 2 =AB 2 ，
====12 .AD
故AD 的长为12cm.
（五）、小结：
1、本节课我们经历了怎样的过程？
2、本节课我们学到了什么？
3、学了本节课后我们有什么感想？
（六）、拓展练习：
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G 的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_________cm 2。

（七）、作业：
四、教学反思。