含30度的角的直角三角形的性质

30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的
长度是(D )
A．3cm
B．6cm
C．9cm D．12cm
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在 Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, ∴BC = 1 BD．
2
∴
BC
=
1 2
AB．
B
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C
D
6
证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形，
证明方法：
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
截半法
∵ ∠A= 30°，
A
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
B D
A
E
C
想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？
它们所对的锐角分别是多少度？
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16
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= 1 AB,
1
DE= AD.
B
2
2
∴BC= 1 AB= 1 ×7.4=3.7(m). D
22
又AD=
1
AB,
2
A
E
C
∴DE=
1
1
AD=
∴CD= 1 AC= 1×20=10. 22
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18
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造 含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高， 而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利 用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
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当堂练习
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒 下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高 度为( B ) A．6米 B．9米
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
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23
拓展提升 8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为 BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P， BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
性质：
B
C
D
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半.
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5
证法1
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = 1 AB．
2
证明：在△ABC 中，∵ ∠C =90°，
A
∠A =30°, ∴ ∠B =60°．
证明方法： 倍长法
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要 分清线段所在的直角三角形．
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10
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于
C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于C ( )
A．3
B．2
E
C.1.5
D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝
∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝ ∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP， PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
E
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴ BC = 1 AB．
2
B
C
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7
知识要点
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半.
A
应用格式：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴ BC = 1 AB．
A
B
C
分离 拼接
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3
问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折， 如图所示，你有什么发现？
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4
讲授新课
一 含30°角的直角三角形的性质
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， A 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD=你 证还 明12 能 吗AB用？. 其他方法
2
理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，
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13
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ 1 ∠BAC， 2
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
2
B
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C 8
判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边 的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√
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典例精析
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝
C．12米 D．15米 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空
地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草
皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要B( ) A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
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3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，
解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC= 1 AE= 1 BE=2.5．
2
2
整理课件22ຫໍສະໝຸດ 7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是 BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
∠A =30°，AB =4．则BD = 1 .
C
B
第3题图
B
D
C
A
第5题图
4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC
= 5.
5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则
8
AB=______.
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21
6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的 垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
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11
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂 直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构 造含30°角的直角三角形．
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12
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC
的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平
分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 解：CD 1 DB.
×3.7=1.85
(m).
22
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
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例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上
的高.
D A
B
)15 °
15 ° C
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
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25
课堂小结
30°
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
含
内 容 那么它所对的直角边等于斜边的一半
角
的 直 角
使用 要点
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
三
角
形
的
性
注意
前提条件：直角三角形中
质
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∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴CD＝
1 2
AD＝
1 2
BD，即CD＝
1 2
DB.
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14
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段 倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线 段倍分关系的结论时，要联想此性质．
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例4 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的 中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm， ∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
证明：∵△ABC为等边三角形， ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°， ∵CD=AE， ∴△ADC≌△BEA.
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∴∠CAD=∠ABE. ∵∠BAP+∠CAD=60°， ∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ.
八年级数学上（RJ）
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
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1
学习目标
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点）
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2
导入新课
问题引入
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在 一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC 与斜边AB之间的数量关系吗？