九年级中考第一轮复习材料全套(几何)

九年级中考第一轮复习材料全套
几何篇
1.三角形的有关概念
知识考点：
理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。

关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。

应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。

精典例题：
【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ）
A 、b L a 33>>
B 、a L b a 2)(2>>+
C 、a b L b a +>>+262
D 、b a L b a 23+>>- 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。

答案：B
变式与思考：在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（ ）
A 、1＜A
B ＜29 B 、4＜AB ＜24
C 、5＜AB ＜19
D 、9＜AB ＜19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。

【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝450，∠ACB ＝610，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。

分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D ＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 的度数。

略解：∵AB ＝DB ，AC ＝CE
∴∠D ＝
21∠ABC ，∠E ＝2
1
∠ACB ∴∠D ＋∠E ＝2
1
（∠ABC ＋∠ACB ）＝530
∴∠DAE ＝1800－（∠D ＋∠E ）＝1270
探索与创新：
【问题一】如图，已知点A 在直线l 外，点B 、C 在直线l 上。

（1）点P 是△ABC 内任一点，求证：∠P ＞∠A ；
（2）试判断在△ABC 外，又和点A 在直线l 的同侧，是否存在一点Q ，使∠BQC ＞∠A ，并证明你的结论。

例2图
E
D C B A
n
m
∙
l
l
问题一图
C
B
A
C
A
分析与结论：
（1）连结AP ，易证明∠P ＞∠A ；
（2）存在，怎样的角与∠A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC 的外接⊙O ，易知弦BC 所对且顶点在弧A m B ，和弧A n C 上的圆周角都与∠A 相等，因此点Q 应在弓形A m B 和A n C 内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。

【问题二】如图，已知P 是等边△ABC 的BC 边上任意一点，过P 点分别作AB 、AC 的垂线PE 、PD ，垂足为E 、D 。

问：△AED 的周长与四边形EBCD 的周长之间的关系？
分析与结论：
（1）DE 是△AED 与四边形EBCD 的公共边，只须证明AD ＋AE ＝BE ＋BC ＋CD （2）既有等边三角形的条件，就有600的角可以利用；又有垂线，可造成含300角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。

略解：在等边△ABC 中，∠B ＝∠C ＝600
又∵PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ∴∠BPE ＝∠CPD ＝300
不妨设等边△ABC 的边长为1，BE ＝x ，CD ＝y ，那
么：BP ＝x 2，PC ＝y 2，2
1
=+y x ，而AE ＝x -1，AD ＝y -1
∴AE ＋AD ＝2
3
)(2=+-y x
又∵BE ＋CD ＋BC ＝2
3
1)(=++y x
∴AD ＋AE ＝BE ＋BC ＋CD
从而AD ＋AE ＋DE ＝BE ＋BC ＋CD ＋DE 即△AED 的周长等于四边形EBCD 的周长。

评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。

跟踪训练：
一、填空题：
1、三角形的三边为1，a -1，9，则a 的取值范围是 。

2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。

3、在△ABC 中，若∠C ＝2（∠A ＋∠B ），则∠C ＝ 度。

4、如果△ABC 的一个外角等于1500，且∠B ＝∠C ，则∠A ＝ 。

5、如果△ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，则与∠A 相等的角是 。

6、如图，在△ABC 中，∠A ＝800，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点D ，那么∠BDC ＝ 。

7、如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥DB ，∠DAB ＝∠DBA ，AC ＝18cm ，△CBD 的周长为28 cm ，则DB ＝ 。

8、纸片△ABC 中，∠A ＝650，∠B ＝750，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内（如
问题二图
E
D
P
C
B
A
图），若∠1＝200，则∠2的度数为 。

9、在△ABC 中，∠A ＝500，高BE 、CF 交于点O ，则∠BOC ＝ 。

10、若△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，要使整式0))((>--+-m c b a c b a ，则整数m 应为 。

第6题图
F
E
D
C B
A
第7题图
E
D
C B
A
第8题图
A
二、选择题：
1、若△ABC 的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ）
A 、6个
B 、7个
C 、8个
D 、9个
2、在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 的度数为（ ）
A 、300
B 、360
C 、450
D 、720
3、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（ ）
A 、7
B 、11
C 、7或11
D 、不能确定 4、在△ABC 中，∠B ＝500，AB ＞AC ，则∠A 的取值范围是（ ）
A 、00＜∠A ＜1800
B 、00＜∠A ＜800
C 、500＜∠A ＜1300
D 、800＜∠A ＜1300 5、若α、β、γ是三角形的三个内角，而βα+=x ，γβ+=y ，αγ+=z ，那么x 、
y 、z 中，锐角的个数的错误判断是（ ）
A 、可能没有锐角
B 、可能有一个锐角
C 、可能有两个锐角
D 、最多一个锐角
6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、正三角形 三、解答题：
1、有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？
2、长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？
3、如图，在△ABC 中，∠A ＝960，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A ，∠1A BC 与∠1A CD 的平分线相交于2A ，依此类推，∠4A BC 与∠4A CD 的平分线相交于
5A ，则∠5A 的大小是多少？
4、如图，已知OA ＝a ，P 是射线ON 上一动点（即P 可在射线ON 上运动），∠AON ＝600，填空：
（1）当OP ＝ 时，△AOP 为等边三角形； （2）当OP ＝ 时，△AOP 为直角三角形； （3）当OP 满足 时，△AOP 为锐角三角形； （4）当OP 满足 时，△AOP 为钝角三角形。

2
A 1
A 第3题图
D C B A
a
60第4题图
N
P O A
一、填空题：
1、79-<<-a ；
2、2；
3、1200；
4、300或1200；
5、∠DCB ；
6、500；
7、8cm ；
8、600；
9、1300；10、偶数。

二、选择题：CBCBCB 三、解答题：
1、6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、1
2、4、10、12）
2、可以，设延伸部分为a ，则长为a +2，a +3，a +5的三条线段中，a +5最长，
∵0)5()3()2(>=+-+++a a a a
∴只要0>a ，长为a +2，a +3，a +5的三条线段可以组成三角形 设长为a +5的线段所对的角为α，则α为△ABC 的最大角 又由12)5()3()2(2222-=+-+++a a a a
当0122
=-a ，即32=a 时，△ABC 为直角三角形。

3、30
4、（1）a ；（2）a 2或
2a ；（3）2a ＜OP ＜a 2；（4）0＜OP ＜2
a
或OP ＞a 2
2.全等三角形
知识考点：
掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。

精典例题：
【例1】如图，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 在BC 上，AE ＝AD ，AB ＝BC 。

求证：CE ＝CD 。

分析：作AF ⊥CD 的延长线（证明略）
评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过已知点作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；④作一角等于已知角。

例1图
F E D
C
B A
例2图
2
1E
D
C B
A
问题一图
P
E
4321
C
B A
【例2】如图，已知在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC ＋CD 。

分析：采用截长补短法，延长AC 至 E ，使AE ＝AB ，连结DE ；也可在AB 上截取AE ＝AC ，再证明EB ＝CD （证明略）。

探索与创新：
【问题一】阅读下题：如图，P 是△ABC 中BC 边上一点，E 是AP 上的一点，若EB ＝EC ，∠1＝∠2，求证：AP ⊥BC 。

证明：在△ABE 和△ACE 中，EB ＝EC ，AE ＝AE ，∠1＝∠2 ∴△ABE ≌△ACE （第一步） ∴AB ＝AC ，∠3＝∠4（第二步） ∴AP ⊥BC （等腰三角形三线合一）
上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。

略解：不正确，错在第一步。

正确证法为： ∵BE ＝CE
∴∠EBC ＝∠ECB 又∵∠1＝∠2
∴∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ∴△ABE ≌△ACE （SAS ） ∴∠3＝∠4 又∵AB ＝AC
∴AP ⊥BC
评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。

阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。

【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？
请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。

解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。

方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。

方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。

评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。

如方案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。

（5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。

能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。

本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。

跟踪训练：
一、填空题：
1、若△ABC ≌△EFG ，且∠B ＝600，∠FGE －∠E ＝560，则∠A ＝ 度。

2、如图，AB ∥EF ∥DC ，∠ABC ＝900，AB ＝DC ，那么图中有全等三角形 对。

3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。

第2题图 F E
D
C
B
A
第3题图 D C B
A
第4题图 H E
D
C
B
A
4、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB 。

5、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，写出一组相等的线段 （不包括AB ＝CD 和AD ＝BC ）。

6、如图，∠E ＝∠F ＝900，∠B ＝∠C ，AE ＝AF 。

给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN 。

其中正确的结论是 （填序号）。

二、选择题：
1、如图，AD ⊥AB ，EA ⊥AC ，AE ＝AD ，AB ＝AC ，则下列结论中正确的是（ ） A 、△ADF ≌△AEG B 、△ABE ≌△ACD
C 、△BMF ≌△CNG
D 、△ADC ≌△ABE
填空第5题图
O
E
D
C
B
A
填空第6题图
2
1F
N M
E
D
C B
A
选择第1题图 M
G
F E
D
C
B
A
2、如图，AE ＝AF ，AB ＝AC ，EC 与BF 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠EOB 的度数为（ ）
A 、600
B 、700
C 、750
D 、850
3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）
A 、相等
B 、不相等
C 、互余
D 、互补或相等
选择第2题图 O
F
E
C B
A
选择第4题图 P
D
C B A
4、如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB
＝m ，PC ＝n ，AB ＝c ，AC ＝b ，则)(n m +与)(c b +的大小关系是（ ） A 、n m +＞c b + B 、n m +＜c b +
C 、n m +＝c b +
D 、无法确定 三、解答题：
1、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC ＝AD 。

求证：△ABE 和△BDC 是等腰三角形。

解答题第1题图
D 4
3
2
1
E
C
B
解答题第2题图 D
F
E
C
B
A
2、如图，AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ，点F 是CD 的中点。

（1）求证：AF ⊥CD ；
（2）在你连结BE 后，还能得出什么新结论？请再写出两个。

3、（1）已知，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠BAC ＝∠EDF ＝1000，求证：△ABC ≌△DEF ；
（2）上问中，若将条件改为AB ＝DE ，，BC ＝EF ，∠BAC ＝∠EDF ＝700，结论是否还成立，为什么？
4、如图，已知∠MON 的边OM 上有两点A 、B ，边ON 上有两点C 、D ，且AB ＝CD ，P 为∠MON 的平分线上一点。

问：
（1）△ABP 与△PCD 是否全等？请说明理由。

（2）△ABP 与△PCD 的面积是否相等？请说明理由。

解答题第4题图
C
解答题第5题图
D
E
F
C
B
A
5、如图，已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，点E 、F 分别为垂足，且AC ∥BD 。

（1）根据所给条件，指出△ACE 和△BDF 具有什么关系？请你对结论予以证明。

（2）若△ACE 和△BDF 不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。

参考答案
一、填空题：
1、32；
2、3；
3、15；
4、AH ＝BC 或EA ＝EC 或EH ＝EB 等；
5、DC ＝DE 或BC ＝BE 或OA ＝OE 等；
6、①②③ 二、选择题：BBDA 三、解答题：
1、略；
2、（1）略；（2）AF ⊥BE ，AF 平分BE 等；
3、（1）略；（2）不成立，举一反例即能说明；
4、（1）不一定全等，因△ABP 与△PCD 中，只有AB ＝CD ，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。

（2）面积相等，因为OP 为∠MON 平分线上一点，故P 到边AB 、CD 上的距离相等，即△ABP 中AB 边上的高与△PCD 中CD 边上的高相等，又根据AB ＝CD （即底边也相等）从而△ABP 与△PCD 的面积相等。

5、（1）△ACE 和△BDF 的对应角相等；（2）略
3.等腰三角形
知识考点：
灵活运用等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。

精典例题：
【例1】等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（ ） A 、300 B 、600 C 、1500 D 、300或1500
分析：如图所示，在等腰△ABC 中，CD 为腰AB 上的高，CD ∶AB ＝1∶2，∵AC ＝AB ，∴CD ∶AC ＝1∶2，∴在Rt △ABC 中有答案D 。

例1图
D
C
B
A
D
C
B
A
例2图
F E
D
C
B
A
【例2】如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝900，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 的延长线于E ，又AE ＝
2
1
BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线。

分析：∠ABC 的角平分线与AE 边上的高重合，故可作辅助线补全图形，构造出全等三角形（证明略）。

探索与创新：
【问题一】如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于E 、F 点，连结EF 与AD 相交于G ，试问：你能确定∠AED 和∠AGF 的大小关系吗？
分析与结论：依题意有△ADE ≌△FDC ，△EDF 为等腰直角三角形，又∵∠AED ＝∠AEF ＋∠DEG ，∠AGF ＝∠AEF ＋∠EAG ，事实上∠EAG 与∠DEG 都等于450，故∠AED ＝∠AGF 。

评注：加强对图形的分析、发现、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代数式表示∠AED 、∠AGF ，从而比较其大小是本题的解题关键。

问题一图
B
问题二图
O
D C
B
A
【问题二】在平面上有且只有4个点，这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度。

例如正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC ＝BD 。

请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形，并标注相等的线段。

略解：（1）AB ＝AD ＝DB ＝DC ＝BD ，AC （2）AB ＝AC ＝AD ＝BC ，BD ＝DC （3）AB ＝AC ，AO ＝BO ＝CO ＝DO （4）AB ＝BC ＝AC ，AO ＝BO ＝CO （5）AB ＝AD ＝CD ，AC ＝BC ＝BD
（1） （2） （3） （4） （5）
D
C B
A
O
C
B
A
O
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
评注：本例突破了常规作图题的思维形式，是一道很好的开放型试题，要求学生既要善于动脑，又要善于动手。

跟踪训练：
一、填空题：
1、等腰三角形的两外角之比为5∶2，则该等腰三角形的底角为 。

2、在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 垂直平分AB ，E 为垂足，则∠C ＝ 。

3、等腰三角形的两边长为4和8，则它腰上的高为 。

4、在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 边上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 的度数为 。

5、如图，AB ＝BC ＝CD ，AD ＝AE ，DE ＝BE ，则∠C 的度数为 。

第5题图
E D
C
B
A
第6题图
P
D
C B A
第7题图
4
32
1
H G
F E D
C
B A
6、如图，D 为等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC ，则∠BPD ＝ 。

7、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EG ⊥AD 分别交AB 、AD 、AC 及BC 的延长线于点E 、H 、F 、G ，已知下列四个式子：
①∠1＝
21
（∠2＋∠3） ②∠1＝2（∠3－∠2） ③∠4＝21（∠3－∠2） ④∠4＝2
1
∠1
其中有两个式子是正确的，它们是 和 。

二、选择题：
1、等腰三角形中一内角的度数为500，那么它的底角的度数为（ ）
A 、500
B 、650
C 、1300
D 、500或650 2、如图，D 为等边△ABC 的AC 边上一点，且∠AC
E ＝∠ABD ，CE ＝BD ，则△ADE 是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、不等边三角形 D 、等边三角形
第2题图 E
D
C
B
A
第3题图 S
Q
P F E
D
B
A
3、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，∠ACB ＝450
，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，那么图中的等腰三角形的个数是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
4、如图，已知BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ，且MN ∥BC ，设AB ＝12，BC ＝24，AC ＝18，则△AMN 的周长是（ ）
A 、30
B 、33
C 、36
D 、39
第4题图
O
N M C
B
A
第5题图
E
D
C
A
5、如图，在五边形ABCDE 中，∠A ＝∠B ＝1200，EA ＝AB ＝BC ＝
21DC ＝2
1
DE ，则∠D ＝（ ）
A 、300
B 、450
C 、600
D 、67.50 三、解答题：
1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的点，且BD ＝CE ，∠DEF ＝∠B 。

求证：△DEF 是等腰三角形。

2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地。

请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

3、如图，在锐角△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，∠ABC 的平分线与AD 垂直，垂足为D ，求证：AC ＝2BD 。

第1题图
C
第3题图
E
D
C
B A
4、在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE ＝600，AE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论。

参考答案
一、填空题：
1、300；
2、720；
3、15；
4、360；
5、360；
6、300；
7、①③
二、选择题：DDDAC 三、解答题：
1、证△DBE ≌△ECF
2、提示：分两种情况讨论。

不妨设AB ＝10米，作CD ⊥AB 于D ，则CD ＝6米。

（1）当AB 为底边时，AC ＝BC ＝61米；
（2）当AB 为腰且三角形为锐角三角形时，AB ＝AC ＝10米，BC ＝102米； （3）当AB 为腰且三角形为钝角三角形时，AB ＝BC ＝10米，AC ＝106米； 3、提示：延长AD 交BC 于点M 。

4、△ADE 为等边三角形。

4.直角三角形、勾股定理、面积
知识考点：
了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。

它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。

精典例题：
【例1】如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝？
分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。

答案：
33
8
例1图
32E
D C
B
A
例2图
Q
P
C
B
A
【例2】如图，P 为△ABC 边BC 上一点，PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝450，∠APC ＝600，求∠ACB 的度数。

分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，而应综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝600来构造出含300角的直角三角形。

这是解本题的关键。

答案：∠ACB ＝750（提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连结BQ ，则AQ ＝BQ ＝CQ ）
探索与创新：
【问题一】如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝300，点A 处有一所中学，AP ＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：从学校（A 点）距离公路（MN ）的最近距离（AD ＝80米）入手，在距A 点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。

略解：作AD ⊥MN 于D ，在Rt △ADP 中，易知AD ＝80。

所以这所学校会受到噪声的影响。

以A 为圆心，100米为半径作圆交MN 于E 、F ，连结AE 、AF ，则AE ＝AF ＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED ＝FD ＝60，EF ＝120，从而学校受噪声影响的时间为：
150
1
18000120==
t （小时）＝24（秒）
评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。

问题一图
F
E D A
Q
P
N
M
12 C
B
A
问题二图
【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C 移动，且台风中心风力不变。

若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。

（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?
解：（1）如图1，由点A 作AD ⊥BC ，垂足为D 。

∵AB ＝220，∠B ＝30°∴AD ＝110（千米）。

由题意知，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。

故该城
市会受到这次台风的影响。

（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。

则AE ＝AF ＝160。

当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响。

由勾股定理得：1530502701101602222=⨯=-=-=
AD AE DE 。

∴EF ＝6015（千米）。

∵该台风中心以15千米／时的速度移动。

∴这次台风影响该城市的持续时间为
15415
15
60=（小时）。

（3）当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20
110＝6.5（级）。

评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A 点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A 作AD ⊥BC 于D ，设E ，F 分别表示A 市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE ＝AF ＝160；当台风中心位于D 处时，A 市受台风影响的风力最大。

跟踪训练：
一、填空题：
1、如果直角三角形的边长分别是6、8、x ，则x 的取值范围是 。

2、如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，，BD ＝5，AC ＝BC ，则BC ＝ 。

第2题图
13
12
5
D
C
B A
第3题图
D
C
B
A
第5题图
D
C
B
A
3、如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝900，则∠DAB ＝ 。

4、等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角为300，则ABC S ∆＝ 。

5、如图，△ABC 中，∠BAC ＝900，∠B ＝2∠C ，D 点在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB
＝1，则BD 的长为 。

6、已知Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ∆＝ 。

7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC 、BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E 、F 分别为CO 、AB 的中点，则EF ＝ 。

第7题图 F
E
O
D
C
B
A
第8题图 E
Q P
D
B
A
第9题图 D
C B
A
8、如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。

已知PE ＝1，PQ ＝3，则AD ＝ 。

9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是 。

二、选择题：
1、如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（ ）
A 、全部正确
B 、仅①和②正确
C 、仅①正确
D 、仅①和③正确 2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形
D 、不能确定
3、在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，则∠ACB 的度数是（ ）
A 、大于900
B 、小于900
C 、等于900
D 、不能确定
第1题图
S R Q P
C
B
A
第4题图
O
C
B
A
4、如图，已知△ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝3，OA ＝OC ＝6，则∠OAB 的度数为（ ）
A 、100
B 、150
C 、200
D 、250 三、解答题：
1、阅读下面的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足4
2
2
2
2
a c
b
c a =-
4b -，试判断△ABC 的形状。

解：∵42222a c b c a =-4
b -……①
∴))(()(2222222b a b a b a c -+=-……② ∴2
2
2
c b a =+……③
∴△ABC 是直角三角形。

问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ；
（3）本题的正确结论是 。

2、已知△ABC 中，∠BAC ＝750，∠C ＝600，BC ＝33+，求AB 、AC 的长。

3、如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G 。

（1）求证：G 是CE 的中点； （2）∠B ＝2∠BCE 。

第3题图
G
E
D
C
B
A
第4题图
C
B
A
4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB ＝900，BC ＝60米，∠A ＝360。

（1）若入口E 在边AB 上，且与A 、B 等距离，请你在图中画出入口E 到C 点的最短路线，并求最短路线CE 的长（保留整数）；
（2）若线段CD 是一条水渠，并且D 点在边AB 上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。

参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090
5、已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程023)32(2
2
=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5。

（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；
（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。

参考答案
一、填空题：
1、10或72；
2、16.9；
3、1350；
4、33cm 2；
5、13-；
6、5；
7、4
8、7；
9、49 二、选择题：BDCB 三、解答题：
1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形
2、提示：过A 作AD ⊥BC 于D ，则AB ＝23，AC ＝32
3、提示：连结ED
4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB 垂直，造价2427元。

5、（1）2；（2）k ＝4或3，当k ＝4时，面积为12。

5.角平分线、垂直平分线
知识考点：
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：
【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

例题图1
F E
C B A
例题图2 G F E
C
B A
分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

例题图3
D F E
C
B A
问题图
3
2
1E
D C
B A
探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：
AC
AB
DC BD =。

分析：要证
AC
AB
DC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式
AC
AB
DC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，
这样，证明
AC
AB
DC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
CE ∥AD ⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠∠=∠∠=∠⇒E 13
221⇒∠E ＝∠3⇒AE ＝AC CE ∥AD ⇒
AE
AB
DC BD = ∴AC
AB
DC BD = （1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）
①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，求BD 的长。

答案：
9
35cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。

跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，∠A ＝520，O 是AB 、AC 的垂直平分线的交点，那么∠OCB ＝ 。

2、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝440，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝ 。

第1题图
O
C
B
A
第2题图
M
D
C
B A
第3题图
E
D
C
B
A
第4题图
E
A
B C
D
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠B ＝150，AB 的中垂线DE 交BC 于D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则AC ＝ 。

4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC ＝10，则AB ＝ 。

5、如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680，那么∠P ＝ 。

填空第5题图 G
P
M
E B C F
A 选择第1题图 F
E
D
C B A
选择第2题图 4
32
1D
C
B
A
二、选择题：
1、如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于点F ，且∠A ＝600，则∠BFC 等于（ ） A 、800 B 、1000 C 、1200 D 、1400
2、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D ＝360，则∠C 的度数为（ ） A 、820 B 、720 C 、620 D 、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm ，则此三角形三边长分别是（ ） A 、8 cm 、8 cm 、14cm B 、12 cm 、12 cm 、6cm C 、8 cm 、8 cm 、14cm 或12 cm 、12 cm 、6cm D 、以上答案都不对
CE 4、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，CD 是AB 边上的高，
是中线，CF 是∠ACB 的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ）
A 、0组
B 、2组
C 、3组
D 、4组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定 三、解答题：
1、如图，Rt △ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D ，求证：MA ＝MD 。

第1题图
M
D
C B
A
第2题图
E F
D C
B A
第3题图
E F
D C
B A
2、在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE ＝EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于
点F ，DF ＝AC ，求证：AE 平分∠BAC 。

3、如图，在△ABC 中，∠B ＝22.50，∠C ＝600，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，BD ＝26，AE ⊥BC 于点E ，求EC 的长。

4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证AB 垂直平分DF 。

选择第4题图 E F D
C
第4题图
E
F
D
B
A
参考答案
一、填空题：
1、380；
2、240；
3、4；
4、14；
5、680 二、选择题：CBCDB 三、解答题：
1、过A 作AN ⊥BC 于N ，证∠D ＝∠DAM ；
2、延长FE 到G ，使EG ＝EF ，连结CG ，证△DEF ≌△CEG
3、连结AD ，DF 为AB 的垂直平分线，AD ＝BD ＝26，∠B ＝∠DAB ＝22.50 ∴∠ADE ＝450，AE ＝2
2
AD ＝2622⨯＝6
又∵∠C ＝600 ∴EC ＝
323
63
==
AE
4、证△ACD ≌△CBF
6.平行四边形
知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题：
【例1】已知如图：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，点E 、F 分别在BC 和AD 边上，AF ＝CE ，EF 和对角线BD 相交于点O ，求证：点O 是BD 的中点。

分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO ＝DO 略证：连结BF 、DE
在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ，AD ＝BC 又∵AF ＝CE
∴FD ∥BE ，FD ＝BE ∴四边形BEDF 是平行四边形
∴BO ＝DO ，即点O 是BD 的中点。

【例2】已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别例1图 O F E D C
B A 例2图。