正弦余弦定理习题课(推荐完整)

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正弦余弦定理习题课

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[课堂小结] 1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时要及时考虑另外一个定理．
2. 已知条件中既有边，又有角，解决问题的一般思路是两种： ①利用余弦定理将所有的角转换成边后求解
②利用正弦定理将所有的边转换成角后求解．
(a2 b2 )(c2 a2 b2 ) 0
a 2 b2或c2 a 2 b2 0 a b或c 2 a 2 b2 ABC为等腰三角形或直角三角形。
法二：由a cos A bcosB得
2RsinAcos A 2RsinBcosB
sin2A sin2B
2A 2B或2A 2B 即A B或A B
又0°＜B＜180°， ∴B＝150°.
探究问题二：三角形中的化简求值
例3：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。
解:（化角为边）由余弦定理得：
bcosC＋ccosB＝
a2
b·
b2
c2
a2 c2 b2
＋c·
2ab
2ac
a2 b2 c2 a2 c2 b2
2a
2a
a2
例3：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。
法二：由a cosB bcos A得
2RsinAcosB 2RsinBcos A
sinAcosB sinBcos A 0 即sin（A B） 0
A B
（2）a cos A bcosB
解：（2）a cos A bcosB
a
b2 (
c2
a2
)
b
a2 (
c2
b2
)
2bc
2ac
a2c2 a4 b2c2 b4 0

第04讲正弦定理和余弦定理 (精练)(含答案解析)

第04讲正弦定理和余弦定理(精练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第04讲正弦定理和余弦定理(精练）一、单选题（2022·全国·高三专题练习）1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c +<，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形（2022·江苏·高一课时练习）2．已知正三角形的边长为2，则该三角形的面积（）A ．4BC D ．1（2022·江苏·高一课时练习）3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45,30,6A C c === ，则a 等于()A ．B ．C ．D ．（2022·河南·高二阶段练习（文））4．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，5CD =，6BC =，则CAD ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒（2022·江苏·南京市第九中学高一期中）5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD ＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC 的面积为（）A ．94B C ．134D ．4（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos c A C =，c =，18ab =，则a b +的值是（）A ．B ．C ．9D ．11（2022·重庆八中高一期中）7．如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，则ACD 的面积为（）A ．6B ．2C ．6D ．6（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）8．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯ ．可知a b ⨯是一个向量，它的模为||||||sin a b a b θ⨯=⋅．已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,3a b c A π=，)22||896BA BC b a ⨯=- ，则cos B =（）A B ．C ．7-D 二、多选题（2022·山东淄博·高一期中）9．在ABC 中，如下判断正确的是（）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC 为等腰三角形B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >D ．若sin sin A B >，则A B>10．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A ．sin sin sin +=+a b cA B CB ．若A B >，则sin 2sin 2A B >C ．cos cos c a B b A =+D ．若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形（2022·山东菏泽·高一期中）11．在ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD，cos CDB ∠=则（）A．sin CDB ∠B ．△DBC 的面积为3C ．ABC的周长为8+D ．ABC 为钝角三角形三、填空题（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））12．已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，且AD 为BAC ∠的角平分线，若3BAC π∠=，AD =，则4b c +最小值为___________.（2022·全国·高三专题练习）13．一艘渔船航行到A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°，距离为C 在A 的北偏西45°，距离为海里，该船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东45°方向，则CD =______海里.四、解答题（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）14．如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 2b A c a =-.(1)求角B ；(2)若2sin sinC sin A B ⋅=，2AD CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.（2022·宁夏·平罗中学三模（文））15．已知函数()f x m n =⋅ ，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =- ，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a cb +的最大值.（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））16．在锐角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,,4,sin 4a b c a b A ===.(1)求sin C 的值；(2)点,D E 分别在边,AB AC 上，ABC 的面积是ADE V 面积的2倍.求DE 的最小值.参考答案：1．D【分析】根据余弦定理，得到cos 0C <，求得(,)2C ππ∈，即可求解.【详解】因为222a b c +<，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，又由(0,)C π∈，所以(,)2C ππ∈，所以ABC 是钝角三角形.故选：D.2．B【分析】由三角形面积公式可求出.【详解】根据三角形面积公式可得该三角形的面积为122sin 602⨯⨯⨯︒=故选：B.3．B【分析】根据正弦定理即可求解﹒【详解】由正弦定理得sin sin a c A C ＝，∴66sin4521sin302a＝＝＝故选：B ﹒4．B【分析】先求出22,AC AD ,再利用余弦定理求解.【详解】因为2226240AC =+=，2226(52)45AD =+-=，在ACD 中，由余弦定理得222cos 22AD AC CD CAD AD AC +-∠==⋅，又因为0180CAD ︒<∠<︒，所以45CAD ∠=︒.故选：B.5．D【分析】设小正三角形边长为x ，由面积比求得x ，再计算出小正三角形面积可得大正三角形面积．【详解】设DE x =，则211sin 1(1)sin12013224ABD DEFBD AD ADB x S x S x ⋅∠⨯⨯+︒+==!!，解得2x =（23-舍去），所以224DEF S ==!，94ABCS ==!故选：D ．6．C【分析】由条件sin cos c A C =结合正弦定理可求C ，再结合余弦定理求a b +.【详解】∵sin cos c A C =，∴sin sin cos C A A C =，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，∴tan C =(0,)C π∈，∴3C π=，又2222cos c a b ab C =+-，c =18ab =，∴222718a b =+-，∴222()281a b a b ab +=++=，∴9a b +=，故选：C.7．C【分析】先在ABC 利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD 、CD ，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】在ABC 中，因为4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，所以由余弦定理，得AC =由正弦定理，得=sin sin 603AC BD ABC ==∠；在Rt △ABD 和Rt BCD中，3AD ===3CD ===，又180120ADC ABC ∠=-∠= ，所以ACD 的面积为123326S =⨯⨯⨯=.故选：C.8．B【分析】根据新定义及三角的面积公式可化为()22182129sin b a bc A -=，再由余弦定理转化为关于,b c 的方程，得出3b c =，再由余弦定理求出cos B 即可.【详解】因为()22||896BA BC b a ⨯=-，所以)221sin 289ac b a B -=,即)2289△ABC S b a -=,)221829sin b a A -=,由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-，代入上式得，22289()b b c bc ⎤-+-=⎦，化简得22690-+=b bc c ，即2(3)0-=b c ，3b c ∴=，此时.a ==22214cos 2a c b B ac +-∴-==.故选：B 9．BCD【分析】选项A.由题意可得22A B =或22A B π+=，从而可判断；选项B.若A B >,则a b >，由正弦定理可判断；选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>，即所以022A B ππ>>->，由正弦函数的单调性可判断；选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，从而可判断.【详解】选项A.在ABC 中,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=所以A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰或直角三角形.故A 不正确.选项B.在ABC 中,若A B >,则a b >，由正弦定理可得2sin 2sin R A R B >,即sin sin A B >，故B 正确.选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>所以022A B ππ>>->，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,故C 正确.选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，即a b >，所以A B >，故D 正确.故选：BCD 10．ACD【解析】利用正弦定理以及边角互化可判断A 、B 、C ，利用向量数量积可判断D.【详解】对于A ，由sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+===+，故A 正确；对于B ，若A B >，当120A =o ，30B = 时，则sin 2sin 2A B <，故B 不正确；对于C ，()cos cos sin sin cos sin cos sin sin c a B b A C A B B A A B C =+⇒=+=+=，故C 正确；对于D ，由0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，可得BAC ∠的角平分线与BC 垂直，所以ABC 为等腰三角形又12AB AC AB AC ⋅=，可得3BAC π∠=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确；故选：ACD 11．ABD【分析】由同角的三角函数关系即可判断A ，设CD a =，利用余弦定理及面积公式即可判断B ，利用余弦定理求得AC ，进而判断C ，利用余弦定理可判断D.【详解】因为cos CDB ∠=sin CDB ∠，故A 正确；设CD a =，则2BC a =，在BCD △中，2222cos BC CD BD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得a =，所以112sin 33225DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯= ，故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠，所以()cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC △中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠，解得AC =所以ABC 的周长为()3584AB AC BC ++=+++，故C 错误；因为8AB =为最大边，所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅，即C 为钝角，所以ABC 为钝角三角形，故D 正确.故选：ABD.12．9【分析】第一步利用等面积法求出,b c 的关系式，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题意画图如下：因为AD 为BAC ∠的角平分线，3BAC π∠=，ABC ABD ADC S S S =+ 所以111sin 60sin 30sin 30222AB AC AB AD AD AC ⋅︒=⋅︒+⋅︒化简得11111,,1222c c b bc b c b c⋅==++=利用基本不等式“1的代换”得()()1145+449154b c b c b c c b b c b c ⎛⎫++=+⨯=+=+≥+ ⎪⎝⎭故答案为：9.13．【分析】利用方位角求出B 的大小，利用正弦定理直接求解AD 的距离，直接利用余弦定理求出CD 的距离即可．【详解】如图，在△ABD 中，因为在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东45°方向上，所以B ＝180°−75°−45°＝60°由正弦定理sin sin AD ABB ADB=∠，所以sin 6s in AB BAD ADB==∠海里；在△ACD 中，AD ＝6，AC＝CAD ＝45°，由余弦定理可得：(222222cos 4563263182CD AD AC AD AC ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以CD＝故答案为：14．(1)π3B =(2)【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.（2）由余弦定理得到ABC 为等边三角形，在ADC △中，利用余弦定理表达出2=88cos x θ-，然后根据三角形面积公式即可求解.（1）由正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A=C A ⋅-,所以()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A+A=A B A B A B⋅+=+即sin 2sin cos A=A B⋅()10,π,sin 0cos 2A AB ∈∴≠⇒= ,()π0,π3B B ∈∴=（2）由2sin sin sin A C =B ⋅2b =ac∴由余弦定理得222222222cos b a c ac B a c ac a c b =+-=+-=+-，222+2a c =b ∴()222222+2+20a c =a c ac =a cb =∴---a c∴=ABC ∴ 为等边三角形，设=AC =x ADC θ∠，，在ADC △中，24+4cos 222x =θ-⨯⨯，解得2=88cos x θ-2++2sin 88cos +2sin ABC ACD ABCD S =S S ==θθθ- 四边形）π4sin3=θ-（）当ππ=32θ-，即5π6=θ时，S 有最大值15．(1)3A π=(2)【分析】（1）利用平面向量数量积运算法则和恒等变换公式化简函数()f x 的解析式，然后求解即可，要注意角A 的取值范围；（2）利用余弦定理和基本不等式求解即可.（1）由题()22cos sin cos 2sin 26f x m n x x x x x π⎛⎫=⋅=-+=+ ⎪⎝⎭所以()2sin 216f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得：223b c bc =+-，整理得到()()()2222133324b c b c bc b c b c 骣+琪=+-³+-´=+琪桫解得b c +≤b c ==等号成立.故c b +的最大值为16．(1)4(2)【分析】（1）根据题意1cos 4A =，进而结合正弦定理得sin B =cos B =()sin sin C A B =+求解即可；（2）结合（1）得4c b ==，进而根据面积关系得8AD AE ⋅=，最后结合基本不等式与余弦定理得212DE ≥，进而得答案.(1)解：ABC是锐角三角形，1sin cos 44A A =∴=.在ABC中，4a b ==，由正弦定理得4sin sin b A B a ==，cos 4B ∴=.()C A B =π-+ ，()1sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+=⨯(2)解：由（1）知，sin sin ,4B C c b =∴==.由题意得1sin 1622,81sin 2ABC ADE bc A S AD AE S AD AE AD AE A ==∴⋅=⋅⋅⋅ .由余弦定理得，222132cos 21222DE AD AE AD AE A AD AE AD AE AD AE =+-⋅≥⋅-⋅=⋅=，当且仅当AD AE ==“=”成立.所以DE的最小值为。

(完整版)正弦定理与余弦定理练习题

正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4，ο30,34==A b ，则B 等于（）A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（） A ．75° B．60° C．45° D．30°3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 4．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（）A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（） A.14 B.23 C.23- D.14- 10．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos2=，则△ABC 为（）三角形．A ．正B ．直角C ．等腰直角D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（）A ．B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对13．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（）A.6πB.3πC.23πD.56π14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15．已知在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角 16．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===，则ABC ∆的面积为（） A.156 B. 154 C. 152D. 15 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ． 3－1 B ．3 C. 2 D. 1 评卷人得分一、解答题（题型注释）18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4A π=，22212b ac -=. （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B2=b ABC21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc +=+ （1）求sinA ；（2）若32a =，△ABC 的面积S ＝22，且b>c ，求b ，c ．22．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值；（Ⅱ）若17a c ==，，求ABC △的面积.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =，（1）求b 的值；（2）求sin C 的值．二、填空题 24．已知在中，，，，则___．25．△ABC 中，若222a b c bc =+-，则A ＝ .26．在中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若，则b=___________．27．在C ∆AB 中，已知，C 4A =，30∠B =o ，则C ∆AB 的面积是． 28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，，则C 的大小为___________. 29．在∆ABC ，则这个三角形的形状是参考答案1．D 【解析】试题分析：B b A a sin sin =，2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B ；b a <Θ，030=>∴A B ， 060=∴B 或0120=B ，选D.考点：正弦定理、解三角形2．B 【解析】试题分析：33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC ,则23sin =C ，所以060=C ，选B.考点：三角形面积公式3．C 【解析】试题分析：由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=，由于A 为三角形内角，所以0,sin 0A A ≠≠,所以1cos 2B =-，23B π=，选C. 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，sin 22sin C c c a A a==⇒=，又222237b a ac b a -=⇒=，由余弦定理可得，2222221cos 242a cb a B ac a +--===-，又()0,B π∈，所以120B ︒∠=. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.5．D 【解析】解：=， ∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C ＜π，∴∠C=45°或135°， ∴B=105°或15°，故选D ．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解． 6．D 【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B 角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A 【解析】试题分析：由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，()2222cos 3cos sin C C C =-，213tan ,tan 33C C ==，2,B C C =∴Q 为锐角,所以,,632C B A πππ===，故选A.考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C 【解析】试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝2222a b c ab+-<0，则角C 为钝角考点：运用正弦和余弦定理解三角形. 9．D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==- 考点：正余弦定理解三角形10．C 【解析】试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得22222a b c a b ab+-=g ，那么化简可知所以 2222=a a b c +-，即 22=b c ，=b c ，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ．考点：余弦定理判断三角形的形状． 11．B 【解析】试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状．解：∵cos2=，∴（1+cosB ）=，在△ABC 中，由余弦定理得，=，化简得，2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a （a+c ），则c 2=a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形，故选：B ． 12．C 【解析】试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数．解：∵A=60°，a=4，b=4， ∴由正弦定理=得：sinB===，∵b ＜a ，∴B ＜A ，则B=45°．故选C 13．A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点： 14．B 【解析】试题分析：()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+=sin 12A A π∴=∴=，三角形为直角三角形考点：三角函数基本公式 15．A【解析】试题分析：22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==，选A考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦16．B【解析】试题分析：2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴==∴=Q Q 1,2a c ∴==111515sin 122244S ac B ∴==⨯⨯⨯= 考点：正余弦定理解三角形17．C 【解析】试题分析：由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴= 考点：余弦定理解三角形 18．(1)2；(2)3.【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得b c 322=，进而求得b a 35=，再运用正弦定理求C sin 的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析：（1）由余弦定理可得222222⨯-+=bc c b a ，即bc c a b 2222=+-，将22212b a c -=代入可得b c 322=，再代入22212b ac -=可得b a 35=，所以522sin sin ==a c A C ，即52sin =C ，则51cos =C ，所以2tan =C ；（2）因3sin 21=A bc ，故322322212=⨯⨯b ，即3=b . 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19．（1）B=（2）【解析】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B ＜π， ∴B=；（2）由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即a 2+c 2﹣ac=4，又b=2，△ABC 的周长为2+2， ∴a+c+b=2+2，即a+c=2， ∴ac=，∴S △ABC =acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）B=.4π（2）21+ 【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件B c C b a sin cos +=，可运用正弦定理化边为角，再联系两角和差公式，可求出角B 。

正弦定理和余弦定理习题课

例2
积为
A.9
在△ABC 中，已知 BC ＝ 6 ， A ＝ 30°， B ＝ 120°，则△ABC 的面
B.18 C.9 √ 3 D.18 3
解析
答案
反思与感悟求三角形面积，主要用两组公式 1 (1) ×底×高. 2 (2)两边与其夹角正弦的乘积的一半. 选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求.
解析由sin B＝2sin A，得b＝2a，
1 由△ABC 的面积为 a sin B，得 acsin B＝a2sin B， 2
解答
反思与感悟择公式.
(1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段.
(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选
跟踪训练1 在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc. (1)求A的大小；解由题意知，
b2＋c2－a2 ac＋bc－ac 1 cos A＝＝＝， 2 2bc 2bc
跟踪训练 2
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 A
＝60° ，b＝16，此三角形的面积 S＝220 3，则 a 的值为 A.7 B.25 C.55 D.49 √
1 解析由 S＝220 3，得 bcsin A＝220 3， 2
1 3 即 ×16×c× ＝220 3，∴c＝55. 2 2
题型探究
类型一利用正弦、余弦定理转化边角关系例1
解
2 在△ABC中，若c· cos B＝b· cos C，cos A＝，求sin B的值. 3
由c· cos B＝b· cos C，结合正弦定理，得
sin Ccos B＝sin Bcos C，故sin(B－C)＝0，∵0<B<π，0<C<π， ∴－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c.

正、余弦定理习题课共31页文档

正、余弦定理习题课
1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到抵抗。 ——塞 ·约翰逊 2、权力会使Βιβλιοθήκη 渐渐失去温厚善良的美德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。— —莎士比
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

第一章正弦定理和余弦定理习题课

习题课正弦定理和余弦定理学习目标 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用；2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识；3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.1.在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A.13 B.－23 C.14D.－14解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， ∴a ∶b ∶c ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋4k 2－9k 212k 2＝13，故选A.答案 A2.已知△ABC 的面积S ＝a 2－(b 2＋c 2)，则cos A 等于( ) A.－4 B.1717C.±1717D.－1717解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，面积S ＝12bc sin A ＝a 2－(b 2＋c 2)，∴12bc sin A ＝－2bc cos A ，∴sin A ＝－4cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得cos A ＝－1717.故选D. 答案 D3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.解析由c 2＝(a －b )2＋6，可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，所以：a 2＋b 2－2ab ＋6＝a 2＋b 2－ab ，所以ab ＝6；所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 3324.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°类型一利用正弦、余弦定理证明边角恒等式【例1】在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C .证明在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ，即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ， ∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin Bsin C ，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C ，故等式成立.规律方法 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.【训练1】在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b2，求证：a ＋c ＝2b . 证明由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ， ∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2，整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ，故等式成立.类型二利用正弦、余弦定理解三角形【例2】在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，求sin B 的值. 解由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得， sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴－π＜B －C ＜π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c . ∵cos A ＝23，∴由余弦定理得3a 2＝2b 2，再由余弦定理得cos B ＝66，又0°<B <180°，故sin B ＝306.规律方法 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用.【训练2】在锐角△ABC中，b2－a2－c2ac＝cos（A＋C）sin A cos A.(1)求角A；(2)若a＝2，求bc的取值范围.解(1)由余弦定理可得：a2＋c2－b2＝2ac cos B，⇒－2ac cos Bac＝cos（π－B）sin A cos A，∴sin 2A＝1且0°<A<90°⇒A＝45°，(2)⎩⎪⎨⎪⎧B＋C＝135°，0°＜B＜90°，0°＜C＜90°⇒45°＜C＜90°，又bsin B＝csin C＝asin A＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，bc＝2sin(135°－C)·2sin C＝2sin(2C－45°)＋2，45°＜2C－45°＜135°⇒22＜sin(2C－45°)≤1，∴bc∈(22，2＋2].方向1 与三角恒等变换的综合【例3－1】设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝()A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 可得c ＝73b ，结合余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，因为0<C <π，所以C ＝2π3. 答案 B方向2 在复杂图形中的应用【例3－2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长.解在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， ∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2. 方向3 与向量的综合应用【例3－3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影.解 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.又0＜A ＜π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去).故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.规律方法求解正、余弦定理综合应用问题的注意点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理. (2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角函数公式列式化简的习惯.1.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解，同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15 B.－16 C.－17D.－18解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形解析假设能作出△ABC ，不妨设高113，111，15对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（22S ）2＋（10S ）2－（26S ）22×22S ×10S ＝－23110<0，∴A 为钝角. 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________.解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案等边6.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4.解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，于是AB ＝sin Csin A ·BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝55，由倍角公式得sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝2cos 2A －1＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.7.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积.解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)因为a ＝6，cos A ＝12，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝36. 又因为b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为( )A.922B.924C.928D.229解析不妨设c ＝2，b ＝3，则cos A ＝13，sin A ＝223. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3. ∵a sin A ＝2R ，∴R ＝a sin A ＝32×223＝928. 答案 C9.已知△ABC 中，三边与面积的关系为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 243，则cos C 的值为( )A.12B.22C.32D.0解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 243＝2ab cos C 43，∴tan C ＝33，C ∈(0，π)，∴C ＝π6，∴cos C ＝32. 答案 C10.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 解析由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32. 又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 答案 30°11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B＝3sin C ，则cos A 的值为________.解析由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得：2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得：a ＝c ，b＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.答案 3412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－（34）2＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC →＝32得ca cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.13.(选做题)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求角A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解(1)△ABC中，∵a cos C＋3a sin C－b－c＝0，利用正弦定理可得sin A cos C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin C，化简可得3sin A－cos A＝1，∴sin(A－30°)＝1 2，∴A－30°＝30°，∴A＝60°.(2)若a＝2，△ABC的面积为12bc·sin A＝34bc＝3，∴bc＝4 ①.再利用余弦定理可得a2＝4＝b2＋c2－2bc·cos A＝(b＋c)2－2bc－bc＝(b＋c)2－3·4，∴b＋c＝4 ②.结合①②求得b＝c＝2.。

(完整版)正余弦定理习题加答案详解超级详细

正余弦定理高中数学组卷一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：14．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．13．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．正余弦定理高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC 为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．4．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：=，即c2﹣b2=ac﹣a2，∴a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B为三角形的内角，∴B=．故选：C．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB=sinA，得b=，可得=．故选：C．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由条件及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=﹣2sinAcosB．即sin（B+C）=﹣2sinAcosB．∵A+B+C=π，A＞0∴sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，∴cosB=﹣，而B∈（0，π），∴B=．故选：C．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再结合正弦定理得：．故选：D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于30°．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=30°．故答案为：30°12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于4．【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理，得：b===4．故答案为：413．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．【解答】解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为1．【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，可得AB=1．故答案为：1．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=2．【解答】解：B=π﹣A﹣C=，△ABC中，由正弦定理可得，∴b=2，故答案为：2．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．（2）若a=，则由正弦定理可得==2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．由于，求得＜B＜，∴＜B+＜．∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA﹣sinC，﹣﹣﹣﹣（2分）在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC，又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=，∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵S△ABC==，B=∴，解之得ac=4，﹣﹣﹣﹣（8分）由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．﹣﹣﹣﹣（12分）综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）﹣﹣﹣﹣（13分）。

高中数学必修二课件：余弦定理、正弦定理习题课

A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
2．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝
(A ) A．1
B．2
C．3
D．4
13 ，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝
解析设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝ 13 ， ∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.
C，2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C. 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝12，所以C＝π3 .
(2)由已知，得12absin
C＝3
2
3 .
π 又C＝ 3 ，所以ab＝6.
由已知及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝7.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解析 (1)因为cos A＝35，A∈(0，π)，所以sin A＝45. 又由A→B·A→C＝3，得bccos A＝3，所以bc＝5. 因此S△ABC＝12bcsin A＝2. (2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，所以a＝2 5.
3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为( A )
A．－14
1 B.4
C．－23
＝ac，c＝2a，则cos B＝____4____．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos
A＝
3 5
，
A→B·A→C＝3.
方法二：因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B

完整版)正弦定理与余弦定理练习题

完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。

正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）

正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2a+c（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在∆ABC中，a=23，b=22，B=45︒，则A为（）A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中，若=，则∠B=（）abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1，|BC|=2，(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23，4.在∆ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则∆ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16 D.4二.填空题：9.在∆ABC中，a+b=12，A=60︒，B=45︒，则a=_______，b=________10.在∆ABC中，化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中，已知sinA:sinB:sinC=654::，则cosA=___________12.在∆ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，则∆ABC是_________三.解答题：13.已知在∆ABC中，∠A=45︒，a=2，c=6，解此三角形。

正弦定理和余弦定理(习题课)

cos C＝a2＋2ba2b－c2
2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝1ah(h 表示边 a 上的高)； 2
(2)S＝1bcsin A＝1acsinB＝1absin C；
2
2
2
(3)S＝1r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)． 2
在△ABC 中，常有以下结论
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
根,C=60°,则c=
.
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且a,b是方程x2-5x+2=0的两个
根,C=60°,则c=
.
答案
7.[2019河南安阳林州一中高二(上)期中考试]已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边, 且a2+c2-b2=ac. (1)求角B的大小; (2)若c=3a,求tan A的值.
a
b
2R
2R
题型 1 已知两角一边
题型 1 已知两角一边
abc sin A sin B sin C
题型 1 已知两角一边答案
abc sin A sin B sin C
题型 2 已知两边一对角
题型 2 已知两边一对角
abc sin A sin B sin C
题型 2 已知两边一对角答案
abc sin A sin B sin C
题型 2 已知两边一对角
变式：若求c边，怎么求？
题型 2 已知两边一对角
变式：若求c边，怎么求？
a2 b2 c2 2bc cos A
答案
答案
6.[2019浙江宁波镇海中学高二(上)月考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A：B∶C=1∶1∶4,则

习题课正弦定理与余弦定理

习题课正弦定理与余弦定理双基达标 (限时20分钟)1．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶4∶30，则△ABC 是 ( )．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析根据题意，由正弦定理可得，a ∶b ∶c ＝3∶4∶30，设a ＝3t ，b ＝4t ，c ＝30t ，t >0，由余弦定理可得cos C ＝3t 2＋16t 2－30t 283t 2<0，所以三角形ABC 是钝角三角形．故选C.答案 C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则 ( )．A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定解析由余弦定理得2a 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，即b 2＋ab －a 2＝0，∴b ＝a 2a ＋b .由a ＋b >a 知b <a .故选A.答案 A3．在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，则角B 的大小为 ( )．A ．150°B ．30°C ．120°D ．60°解析由正弦定理可得b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32. 故角B 为150°.答案 A4．在△ABC 中，A ＝120°，c ＝5，a ＝7，则b ＝________.解析根据余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴72＝b 2＋52－2·b ·5cos 120°，∴b 2＋5b － 24＝0，∴b ＝3或b ＝－8(舍去)．答案 3 5．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶19.则该三角形的最大内角为________．解析在△ABC 中，根据正弦定理及已知得a ∶b ∶c ＝2∶3∶19.设a ＝2x (x >0)，则b ＝3x ，c ＝19x .显然c >b >a ，∴C 是最大角．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(2x )2＋(3x )2－(19x )22×2x ×3x＝－12， ∴C ＝2π3答案 2π36．在△ABC 中，sin 2A ＋3sin A sin B ＝sin 2C －sin 2B ，求C .解由正弦定理，设sin A a ＝sin B b ＝sin C c＝k (k ≠0)，则sin A ＝ka ，sin B ＝kb ，sin C ＝kc .由已知得(ka )2＋3ka ·kb ＝(kc )2－(kb )2.所以a 2＋3ab ＝c 2－b 2.得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ba ＝－32.故C ＝150°. 综合提高（限时25分钟）7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )．A ．1B ．2 C.3－1 D. 3解析如图所示，由正弦定理知asin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a＝ 1×323＝12.∵a >b ，∴B ＝30°，C ＝90°，c ＝2. 答案 B8．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，则角C 大小为 ( )．A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°解析由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， ∴C ＝60°.答案 A9．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，p ＝sin B ＋cos B ，则p 的取值范围为________．解析 ∵b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＝12，∴0<B ≤π3，∴p ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ∈(1，2]．答案 (1，2]10．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦值等于32，则三边长为________．解析显然a >b >c ，∴A 最大．∴sin A ＝32，cos A ＝±12， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝±12，即b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝±12， b －8b －2＝±1，(只有取－1)，解之b ＝5.∴三边长为3,5,7. 答案 3,5,711．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A ·sin B ，求证：A ＋B ＝120°.证明 ∵(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A ·sin B ，∴由正弦定理得(a ＋b )2－c 2＝3ab ⇒a 2＋b 2－c 2＝ab ⇒a 2＋b 2－c 2ab ＝1.由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0°<C <180°， ∴C ＝60°，∴A ＋B ＝180°－C ＝180°－60°＝120°.12．(创新拓展)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数分别是多少？解 ∵sin A ∶sin B ＝2∶1，∴由正弦定理得a ∶b ＝2∶1，∴a ＝2b .根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋(b 2＋2bc )－(2b )22bc ＝22. ∴A ＝45°，∴sin A ＝22.∴sin B ＝sin A 2＝12. ∵sin A >sin B ，∴A >B ，∴B ＝30°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.即角A ，B ，C 的度数分别为45°，30°，105°.。

正弦定理和余弦定理(习题课1)

§1.3 正弦定理和余弦定理（习题课1）
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
一、课前准备
复习1：写出正弦定理及其变式
2.写出余弦定理及其变式
复习2：
1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；
2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；
3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；
4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解
和无解三种情况）．
二．合作探究
1.已知∆ABC的顶点为A（1,1），B（m+4，m-4），C（0,0），cosC=-0.6，求常数m的值。

2.已知∆ABC的顶点为A（2,0），B（-1，4），C（5,1），求三个内角的余弦值。

三．收获总结
四．达标检测
1. 已知∆ABC 的顶点为A （3,4），B （8,6），C （2,k ），k 为常数，若A B ∠=∠，求k 的值。

2. 在∆ABC 中，已知sinA=2sinBcosC,试分别用正余弦定理与和角公式两种方法证明∆ABC 是等腰三角形。

3.在∆ABC 中，已知
cos cos cos a b c A B C ==，求证这个三角形为等边三角形。

正弦定理和余弦定理习题课

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§1.1 正弦定理和余弦定理习题课导学案
学习目标
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．
学习重难点：正弦定理和余弦定理的灵活运用
学习方法：自主、探究
已知三边求角，用定理；
已知两边和夹角，求第三边，用定理；
已知两角和一边，用定理．
π，a＝b＝
2：在△ABC中，已知A＝
6
互学
探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
π，a＝25，b＝；
①A＝
π，a，b＝
②A＝
π，a＝50，b＝.
③A＝
6
思考：解三角形中，如何判断三角形解的个数？
例：在∆ABC中，已知80
∠=︒，试判断此三角形的解的情况．
A
b=，45
a=，100
思学：
应用正弦定理和余弦定理可以解决哪些三角形问题？
测学
在△ABC中，已知a=b，45
B=，求,A C和c．
课后反思：。

正弦定理和余弦定理习题课

在ABC中，已知 a b c , cos A cos B cos C
判断这个三角形形状。
考点三平面图形中的计算问题
B组第1题：已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2, BC=6,CD=AD=4,求四边形ABCD的面积。
B组第2题:已知ABC中，AB=4 3, AC 2 3, AD为BC边上的中线，且BAD 300,求BC的边长。
变式：．已知△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶ 3，则此
三角形的最大内角为
(C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶ 3，
∴a∶b∶c＝1∶1∶ 3，易知 C 为最大内角，
设 a＝m，则 b＝m，c＝ 3m.
∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝m2＋2mm2－2 3m2＝－12， ∴C＝120°.
[解题技法]
平面图形中计算问题的解题关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[熟记常用结论]
1．在斜△ABC 中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. 2．在△ABC 中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B.
定理

(完整版)正弦定理、余弦定理超经典练习题

正弦定理、余弦定理练习题一、选择题1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.。

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