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当x→0,y→0时的极限不存在，所以点(0,0)是 该函数的一个间断点.
函数
1 z sin x2 y2 1
在圆周 x2 y2 1上没有定义，所以该圆周上各 点都是间断点，是一条曲线.
性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区 域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和 最小值.
在D上至少有一点 P1 及一点 P2 ，使得 f (P1)为最 大值而f (P2 ) 为最小值，即对于一切P∈D，有
P
于E的点，也有不属于E的点，
E 图 8-1
则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的
任何两点，都可用折线连结起
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P E 图 8-2
来,而且该折线上的点都属于D, 则称开集D是连通的.
连通的开集称为区域或开区域. 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域.
3.n维空间
也就是
U (P0, ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 }
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2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个
点.如果存在点P的某一邻域U (P) 使U (P) E， 则称P为E的内点(图8-1).
如果点集E的点都是内点，则 称E为开集.
如果点P的任一邻域内既有属
可表示为
z Ax By o()
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其中A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x,y有关，
(x)2 (y)2 ，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)
可微分，而 Ax By 称为函数z=f(x,y)在点
(x,y)全微分，记作dz,即
dz Ax By
(2)
如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称 这函数在D内可微分.
设M0 (x0, y0, f (x0, y0 ))为曲面z=f(x,y)上的一点,
过 M0作平面 y y0 ，截此曲面得一曲线，此曲 线在平面 y y0 上的方程为z f (x, y0 ),则导数
d dx
f
(x, y0 )
x
，即偏导数
x0
fx (x0 , y0 ) ,就是
这曲线在点M0 处的切线 M 0Tx 对x轴的斜率(见 图8-6).同样偏导数 f y (x0 , y0 ) 的几何意义是曲 面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M0处的切线
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三、多元函数的极限
二元函数 z f (x, y)当 x x0 , y y0,即 P(x, y) P0 (x0, y0 ) 时的极限. 这里P P0表示点 P以任何方式趋于 P0，也就 是点 P 与点 P0间的距离趋于零，即
P P0 (x x0 )2 ( y y0 )2 0
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任意二点 P1, P2 ，只要当 P1 P2 时，都有
成立.
f ( P1) f (P2)
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 P0 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内， 则极限值就是函数在该点函数值，即
lim
PP0
f
(P)
点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z
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也称为因变量,数集
{z z f (x, y),(x, y)D}
称为该函数的值域.
把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 u f (x1, x2,L , xn ) .当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.
,
x
x x0 y y0
,
zx
xx0 或fx (x0, y0 )
y y0
如果函数 z f (x, y) 在区域D内每一点(x,y)
处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x、y函数,它就称为函数 z f (x, y) 对自变量x
的偏导函数，记作
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z x
,
f x
,
zx或f
x
(
2z 2z
导数 及 在D内连续，那么在该区域内
yx xy
这两个二阶混合偏导数必相等.
例题
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x
z x
2z x2
f
xx
(
x,
y),
y
z x
2z xy
fxy (x, y)
第三节 全微分及其应用
习题
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第三节 全微分及其应用
二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一 个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变 化率.
不同下列四个二阶偏导数：
x
z x
2z x2
fxx (x,
y), y
z
x
2z xy
fxy (x,
y)
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x
z x
2z x2
f
xx
(
x,
y),
y
z x
2z xy
fxy (x, y)
二元函数z=f(x,y)在点(x0, y0 ) 的偏导数有下 述几何意义.
下面讨论函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分的条 件.
定理1(必要条件) 如果函数z=f(x,y)在点
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(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数 z
z
x
y必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微
分为
dz z x z y
(3)
x y
证 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是 对于点P的某个邻域内的任意点 P(x x, y y)
定义2 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域） 内有定义，P0 (x0, y0 ) 是D的内点或边界点如果 对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得 对于适合不等式
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0 P P0 (x x0 )2 ( y y0 )2
的一切点P(x,y)∈D，都有
f (x, y) A
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点，则称这两点的函数值之差 f (x x, y y) f (x, y)
为函数在点P对应于自变量增量Δx、Δy的全增 量，记作Δz，即
z f (x x, y y) f (x, y)
定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增 量
z f (x x, y y) f (x, y) (1)
如果
lim
xx0
f
(x,
y)
f
( x0 ,
y0 )
y y0
则称函数f(x,y)在点 P0 (x0, y0 )连续.
若函数f(x,y)在点 P0 (x0, y0 )不连续，则称 P0 为 函数f(x,y)的间短点.
函数
f
(x,
y)
x2
xy y2
,
x2
y2
0
0, x2 y2 =0
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x,
y)
类似的，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的
偏导函数，记作
z y
,
f y
,
z
y或f
y
(
x,
y)
求 fx 时只要把y暂时看作常量对x求导数；求fy 时只要把暂x时看作常量对y求导数.
例题
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z
z f (x0 , y)Tx M 0
z f (x, y0 )
Ty
y0
x0
O
高数课件
第八章
多元函数微分法及其应用
开始 退出
第一节 多元函数的基本概念
第二节 偏导数
第三节 全微分
第六节 微分法在几何上的应用
第四节 多元复合函数的求导法则
第七节 方向导数与梯度
第五节 隐函数的求导公式
第八节 多元函数的极值及其求法
总习题
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第一节 多元函数的基本概念
一.区域
二.多元函数概念
x
z =B.所以三式成立.证毕.
y
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定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
z 、z 在(x,y)连续，则函数在该点可微分. x y
证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定 义的函数(对于偏导数也如此)，所以假定偏导 数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某 一邻域内必然存在的意思.设点(x x, y y)为 这邻域内任意一点，考察函数的全增量
fx (x0 ,
y0 )
lim
x0
f
( x0
x,
y0 ) x
f
(x0 , y0 )
(2)
类似地,函数 z f (x, y)在点 (x0, y0 )对y的偏导
数定义为
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lim f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 )
x0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
(3)
z f
记作
x
x x0 y y0
PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 L ( yn xn )2
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二、多元函数概念
例题 定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于 每个点P=(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确 定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数 (或点P的函数),记为
z f (x, y)或z f (P)
y
x
图 8-6
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二、高阶偏导数
设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数
z x
fx (x,
y), z y
f y (x,
y)
那么在D内 fx (x, y)、f y (x, y)都是x,y的函数.如
果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数
z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的
成立，则称常A为函数f(x,y)当x x0 ，y y0 时的极限，记作
lim f (x, y) A
xx0
或
f (x, y) A
( 0)
这里 P P0 .
例题
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四、多元函数的连续性
定义3 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D
内有定义，P0 (x0, y0 )是D的内点或边界点且 P0 D.
设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
(x1, x2,L , xn ) 的全体为n维空间,而每个有序n元数
组 (x1, x2,L , xn )称为n维空间中的一个点,数 xi 称
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为该点的第i个坐标,n维空间记为 ¡ n .
n维空间中两点 P(x1, x2 ,L , xn ) 及 Q( y1, y2,L , yn ) 间 的距离规定为
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f (P2 ) f (P) f (P1) 性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元 函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它 在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间 的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=μ. *性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上 的多元连续函数必定在D上一致连续. 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意 给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的
f (x x, y) f (x, y) fx (x, y)x f (x, y y) f (x, y) f y (x, y)y
上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的 偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的 偏微分.
设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定 义，并设P(x x, y y) 为这邻域内的任意一
M 0Tx 对y轴的斜率.
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x
z y
2z yx
fyx (x,
y), y
z y
2z y2
fyy (x,
y)
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例题
定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
如果
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) （1）
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点
(x0 , y0 ) 处对x的偏导数 ，记作
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z f
x
x x0 y y0
,
x
x x0 y y0
, zx
xx0 或fx (x0, y0 )
y y0
例如，极限(1)可以表示为
f (P0 )
例题
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第二节 偏导数
一.偏导数的定义及其计算方法
二.高阶偏导数
习题
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一、偏导数的定义及其计算方法
定义 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 )的某
一邻域内有定义，当y固定在 y0而x固定在 x0处
有增量Δx 时，相应地函数有增量
f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
，(2)式总成立.特别当 y 0 时(2)式也应成立，
这时 x ，所以(2)式成为
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f (x x, y) f (x, y) Agx ( x )
上式两边各除以x ，再令x 0 而极限，就
得
lim f (x x, y) f (x, y) A
x0
x
z
从而，偏导数 存在，而且等于A.同样可证
三.多元函数的极限
四.多元函数的连续性
习题
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第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点，δ是某一
正数.与点 P0(x0, y0) 距离小于δ的点 P(x, y) 的全体 称为P0 的邻域，记为U (P0, )，即
U (P0, ) {P PP0 }