3.1.3 空间向量的数量积运算

第3章 3.1.3
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b
D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c
解析： 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a ·b ＝0；对于C ，a 2＝b 2只能推得|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b ；对于D ，a ·b ＝a ·c 可以移项整理推得a ⊥(b －c )．故选B.
答案： B
2．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→与BC ′→
的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．90°
解析： BC ′∥AD ′，△AD ′B ′为正三角形， ∴∠D ′AB ′＝60°，∴〈AB ′→，BC ′→〉＝60°. 答案： C
3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足A B →·A C →＝0，A C →·A D →＝0，A B →·A D →
＝0，则△BCD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
解析： 如右图所示，
设A B →＝a ，A C →＝b ，A D →
＝c ， ∵C B →·C D →
＝(a －b )·(c －b ) ＝a ·c －b ·c －a ·b ＋b 2 ＝b 2>0.
同理B C →·B D →>0，D B →·D C →
>0.故选B. 答案： B
4.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1
＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为( )
A.13
B.43
C.33
D.23
解析： ∵AC 1→＝A B →＋A D →＋AA 1→
， ∴|AC 1→|＝(A B →＋A D →＋AA 1→)2
＝
A B →2＋A D →2＋AA 1→2＋2(A B →·A D →＋A B →·AA 1→＋A D →·AA 1→)
∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3， ∠BAD ＝90°，
∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，
∴〈A B →，A D →〉＝90°，〈A B →，AA 1→〉＝〈A D →，AA 1→〉＝60°.
∴|A C →
|＝
1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)
＝23.故选D. 答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →
＝________. 解析： 设A B →＝b ，A C →
＝c ，A D →
＝d ，
则C D →＝d －c ，B D →＝d －b ，BC →
＝c －b .
原式＝0. 答案： 0
6．已知|a |＝32，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.
解析： m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb ) ＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2
＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16 ＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ， ∵m ⊥n ，∴6＋4λ＝0， ∴λ＝－32
.
答案： －3
2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.如图所示，已知正三棱锥A －BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E ，F ，G 是AB ，AD ，DC 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝CG ∶GD ＝1∶2，
求下列向量的数量积：
(1)A D →·D B →；(2)A D →·B C →；(3)G F →·A C →
； (4)E F →·B C →
.
解析： (1)|A D →|＝a ，|BD →|＝a ，〈A D →，D B →〉＝120°，
所以A D →·D B →＝|AD →||D B →|cos 120°＝－12a 2.
(2)因为B C →＝A C →－A B →
，
所以A D →·B C →＝A D →·(A C →－A B →)＝A D →·A C →－A D →·A B →
，
又因为|A D →|＝a ，|BC →|＝a ，〈A D →，A C →〉＝〈A D →，A B →〉＝60°， 所以A D →·B C →＝12a 2－12
a 2＝0.
(3)因为点F ，G 是AD ，DC 上的点， 所以G F →＝23CA →
＝－23A C →，
所以G F →·A C →
＝－23AC 2→，
因为AC 2→
＝a 2， 所以G F →·A C →
＝－23
a 2.
(4)因为点E ，F 分别是AB ，AD 上的点，所以E F →＝13B D →
，
所以E F →·B C →＝13
B D →·B
C →，
结合图形可知〈B D →，B C →
〉＝60°，
所以E F →·B C →＝13B D →·B C →＝1
3×a ×a ×cos 60°＝16
a 2.
8．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝1
2
|ND |，求|MN |.
解析： ∵M N →＝M B →＋B C →＋C N →
＝23A B →＋(A C →－A B →)＋13(A D →－A C →) ＝－13A B →＋13A D →＋23A C →.
∴M N →·M N →
＝(－13A B →＋13A D →＋23AC →)·(－13A B →＋13A D →＋23A C →)
＝19AB 2→－29A D →·A B →－49A B →·A C →＋49A C →·A D →＋19AD →2＋49AC 2
→ ＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|M N →
|＝M N →
·M N →＝53a . 即|MN |＝53
a .
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a . (1)用向量法求A 1B 和B 1C 的夹角； (2)用向量法证明A 1B ⊥AC 1； (3)用向量法求AC 1的长度．
解析： (1)因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ， 所以|A 1B →|＝|B 1C →
|＝2a . 因为A 1B →＝A B →－AA 1→， B 1C →＝A 1D →＝A D →－AA 1→，
所以A 1B →·B 1C →＝(A B →－AA 1→)·(A D →－AA 1→)＝a 2， 所以cos 〈A 1B →，B 1C →
〉＝
a 22a ·2a ＝1
2
，
即A 1B 和B 1C 的夹角为60°；
(2)证明：因为AC 1→＝A B →＋AA 1→＋A D →
， A 1B →＝A B →－AA 1→，
所以AC 1→·A 1B →＝0，A 1B ⊥AC 1； (3)由(2)知，AC 1→＝A B →＋AA 1→＋A D →， 所以AC 1→2＝(A B →＋AA 1→＋A D →
)2＝3a 2， 所以|AC 1→
|＝AC 1＝3a .。