高二数学不等式学案

不等式【知识网络】【考点透视】一、考纲指要1．理解不等式的性质及其证明. 二、命题落点1．不等式的性质主要以客观题形式出现往往融于其他问题之中，.如例1，例2 2．利用不等式的性质结合已知条件比较大小、判断不等式有关结论是否成立或利用不等式研究变量的范围，求字母的取值或取值范围等..如练习9.【典例精析】例1 : 若0,a b <<则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b>B ． 22a b> C ． 0a b >>D ． 11()()22a b >解析: 由 0a b <<知 ab >0, 因此1111,a b ab ab a b⋅<⋅>即成立; 由 0,a b <<得0,0;a b a b ->->>>所以成立由于x 12⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数, 所以a b1122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭亦成立,故一定不成立的是B ．答案：B ． 例2：（2003•北京）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A ．a +c >b +d B ．a －c >b －d C ．ac >bdD ．cbd a > 解析：∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +D ． 答案：A ．例3：（2005•福建）不等式01312>+-x x 的解集是（ ） A ．}2131|{>-<x x x 或 B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x xD ．}31|{->x x解析:不等式01312>+-x x 的解是x>12或x<13-. 答案：A ．【常见误区】1．不等式的“运算”只有加法法则和乘法法则，没有减法法则和除法法则，再利用数的性质进行转化时往往出错；2．在运用不等式的性质是对不等式进行了非同解变形.【基础演练】1．（2004•北京）已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 （ ） A ．ab ac >B ． c b a ()-<0C ． cb ab 22<D ． 0)(<-c a ac2．（2004•湖北) 若011<<ba ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．（2004•辽宁）对于10<<a ，给出下列四个不等式（ ）①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaaa111++<④aaaa111++>其中成立的是（ ）A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④4. 对“a 、b 、c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①222()()()0a b b c c a -+-+-≠； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．二次函数2()y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是_________________． 6．若不等式2025axx ?-有且只有一个解，则实数a =．7．比较大小：a b a b 与b aa b （0,0a b >>且a b ≠）.8．已知222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=, 求证12b c +<． 9．定义在R 上的函数()f x 满足: 如果对任意x 1, x 2∈R, 12,x x R ∈都有12()2x x f +≤121[()()],2f x f x +则称函数 ()f x 是R 上的凹函数．已知二次函数 ()2(),0f x ax x a R a =+∈≠求证: 当0a >时, 函数()f x 是凹函数．1．2 算术平均数与几何平均数【考点透视】一、考纲指要1．掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.二、命题落点1．以二元均值不等式的考查最为常见，命题形式往往在选择题或填空题中，如例1，例2，例3.2．在解答题中常与最值问题结合在一起以及函数的值域等知识一起考查，试题解法突出常规方法，淡化特殊技巧，一般以求最值的形式来问如练习题9.【典例精析】例1:（2005•全国1）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．4D ．34解析：xx x x x x x x x x x x f cos sin 4sin cos cos sin 2sin 8cos 22sin sin 82cos 1)(222+=+=++=4c o s s i n 4s i n c o s 2=⋅≥x xx x ，当且仅当x x x x cos sin 4sin cos =，即21t a n =x 时，取“=”，∵2π0<<x ，∴存在x 使21tan =x ，这时4)(max =x f ， 答案：C ．例2：(2005•福建) 下列结论正确的是（ ） A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 解析：A 中lgx 不满足大于零,C 中的最小值为2的x 值取不到,D xx x 1,20-≤<时当x=2时有最大值32,选B ． 答案：B例3：（2005•重庆）若 ,x y 是正数，则221122x y y x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是（ ） A ．3 B ．72 C ．4 D ． 92解析：22111122222x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4≥= 当且仅当 11221212x y y x x y y x ⎧+=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩得2x y ==时.答案：C【常见误区】1．在运用均值不等式时，对等号成立的条件不注意往往出错； 2．不注意各种不等式成立的条件，误用公式，特别是非负性的考虑.【基础演练】1．(2006•陕西) 已知不等式(x+y)(1x + ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．（2004•全国）ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3 3．已知函数()2x f x =的反函数为111(),()()4,f x f a f b ---+=若则11b+a 的最小值为（ ）A ．1B ．12 C ．13D ．144．函数1(13)(0)3y x x x =-<<的最大值是（ ）A ．112B ．4243C ．164D ．1725．（2005全国3）已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是 .6．已知正数,1,a b ab =满足则满足不等式2211a ba b λ+≤++的实数λ的取值范围是 ． 7．是否存在常数c ，使得不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y 恒成立？证明你的结论．8．已知0,0a b >>，且121a b+=，求： （1）a b +的最小值；（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于()(),0,0,A a B b ，求OAB ∆面积的最小值. 9．在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d (米)与车速v(千米/ 小时)需遵循的关系是d ≥225001av (其中a (米)是车身长，a 为常量)，同时规定d ≥2a ． （1）当d =2a时，求机动车车速的变化范围； （2）设机动车每小时流量Q =da v+1000，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q 最大？1．3 不等式的证明【考点透视】 一、考纲指要1．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式； 2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 二、命题落点1．不等式的证明的考查主要是与数列、函数、导数、向量等知识相结合考察不等式的证明方法特别是数学归纳法、综合法、比较法等方法的掌握，如例1.2．考查不等式的基础知识、分类讨论的思想、综合思维能力，如例2，例3.【典例精析】例1：(2004•江苏)已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=．（1）证明：1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； （2）证明：20220))(λ1()(a a a b --≤-； （3）证明：222)]()[λ1()]([a f b f -≤.解析：（1）任取则由,,,2121x x R x x ≠⊂ )]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ②可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ， 从而 1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知.0)]()()[()(00000200矛盾=--≤-<b f a f b a b a λ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得（2）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ． （3）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-=22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-=22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ（用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222[()]2[()][()](1)[()].f a f a f a f a λλλ=-+=-例2：(2003•北京) 设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： ①;0)1()1(==-f f②对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有 （1）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有 （2）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（3）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.解析：（1）由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1|)1()(|)(|x x f x f x f -=-≤-= 即.1)(1x x f x -≤≤-（2）对任意的 1.|v -u ||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,≤≤≤--∈有时当v u v u 当0,u ,1|v -u |<⋅>v 时不妨设,0<u 则1,u -0>>v v 且所以，|1||1||)1()(||)1()(||)()(|-++≤-+--≤-v u f v f f u f v f u f.1)(211<--=-++=u v v u综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f 由（1）可得，当[0,1]x ∈时，()1f x x ≤-当[1,0],|()||()(1)11||.x f x f x f x x ∈-=--≤+=-时所以，当[1,1],|()1||.x f x x ∈-≤-时因此，对任意的],1,1[,-∈v u 当1||≤-v u 时，.1|||)()(|≤-≤-v u v f u f 当1||>-v u 时，有0<⋅v u 且.2||||||1≤+=-<v u v u所以.1)||(|2||1||1|)(||)(||)()(|≤+-=-+-≤+≤-v u v u v f u f v f u f 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f （3）满足所述条件的函数不存在.理由如下，假设存在函数)(x f 满足条件，则由],1,21[,|,||)()(|∈-=-v u v u v f u f得.21|121||)1()21(|=-=-f f 又,0)1(=f 所以.21|)21(|=f ①又因为)(x f 为奇数，所以.0)0(=f 由条件],21,0[,|,||)()(|∈-<-v u v u v f u f得 .21|)0()21(||)21(|<-=f f f ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.例3：正项数列{}n a 满足()221111,10n n n n a na n a a a --=+--=()2n ≥．（1）求234,,a a a 及n a ;（2） 试确定一个正整数N, 使当n N >时, 不等式()1234231n a a a a n a +++++- >121241成立; （3）求证: (1+n1)n<121n a a a ++++ ．解析：（1）()221110n n n n na n a a a --+--=⇒(1nn a n a -⋅－1)(1-n n a a +1)=0, 又∵10,0n n a a ->> ，故1-n n a a =n1, 11a =， 2a =21=!21, 3a =!31, 4a =!41, …, n a =!1n ．（2） 由()1k k a -=!1k k -=)!1(1-k －!1k (2k ≥), ()1234231n a a a a n a +++++-=1+(!11－!21)+(!21－!31)+ … +()!1(1-n －!1n )=2－!1n 从而有2－!1n >121241, ∴!1n <1211, 即n ！>121． ∵5！=120, 6！=720, ∴n>5取N=5, n>N 时, 原不等式成立.（3） (1+n1)n展开式通项: T 1+r =C r n·(n 1)r =n n ·n n 1-·n n 2-· … ·n r n 1+-·!1r <!1r (r=0, 1, 2, 3, …, n) (1+n 1)n <!01+!11+!21+!31+ … +!1n = 121n a a a ++++ .【常见误区】1．不注意挖掘隐含条件从而导致错误； 2．例用均值不等式时不注意非负性导致错误；3．特别是在运用放缩法时可能会出现过大或过小的情形.【基础演练】1．若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则 （ ）A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q2．若x>0，y>0，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．22B ．2C ．2D ．1 3．已知0,0<+->c b a a 则一定有（ ）A ．240b ac -≥B ．042≤-ac bC ．042<-ac bD ．042>-ac b4．已知11331,01,log log 9xy x y u x y =<<<=,则 （ ）A ． 1u ≤B ． 1u <C ．1u >D ． 1u ≥5．给出下列3个命题：①若、a b R ∈，则2a b+≥②若x R ∈，则21x x +>；③若x R ∈且0x ≠，则12x x+≥，其中真命题的序号为______________． 6．已知两个正数,x y 满足4x y +=，则使不等式14x y+≥m 恒成立的实数m 的取值范围 是 ．7．（1）),0(∞+∈x 求证x x x x 11ln 11<+<+； （2）N n ∈ 2≥n 求证 11211ln 13121-+++<<+++n n n8．已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当.81)(,]21,41[≥∈x f x 时（1）求a 的值； （2）设.11.),(,21011+<∈=<<++n a N n a f a a n n n 证明 9．数列{}n x 由下列条件确定：*+∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=N n x a x x a x n n n ,21,011 （1）证明：对于a x n n ≥≥总有,2,（2）证明：对于1,2+≥≥n n x x n 总有．1.4不等式的解法.【考点透视】一、考纲指要1．掌握简单不等式的解法. 二、命题落点1．主要考查一元二次不等式、对数不等式、指数不等式的解法主要考查非整式不等式的转化方法；如例1，例2；2．考查含参分式不等式的解法以及分类讨论的思想方法.如例3.【典例精析】例1：（2005•重庆）不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为（ ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(解析：∵22x -<的解集为()0,4，()22log 11x ->的解集为)(,+∞⋃-∞∴不等式()2222log 11x x ⎧-<⎪⎨->⎪⎩的解集为)4答案：C例2：（2005•辽宁）若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(∞+B ．),1(∞+C ．)1,21( D ．)21,0(解析：法一：代特殊值验证法二：①当⎪⎩⎪⎨⎧<++<<011log 12022a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<1112102aa a 时，无解； ②当⎪⎩⎪⎨⎧<++>011log 1222a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<>1110212a a a 时，121<<a ． 答案:C ．例3：（2005•江西）已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f (x )的解析式；（2）设1k >，解关于x 的不等式；xkx k x f --+<2)1()(．解析：（1）将0124,3221=+-+==x bax x x x 分别代入方程，得 ).2(2)(,2184169392≠-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+x x x x f b a b a ba 所以解得（2）不等式即为02)1(,2)1(222<-++---+<-xkx k x x k x k x x 可化为，即.0))(1)(2(>---k x x x①当).,2(),1(,21+∞⋃∈<<k x k 解集为②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞⋃∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当．【常见误区】1．解分式不等式时忘掉分式成立的条件或对函数的单调形运用错误； 2．解含参数不等式时对字母讨论不全面.【基础演练】1．(2004•天津) 不等式21≥-xx 的解集为 （ ）A ． )0,1[-B ． ),1[∞+-C ． ]1,(--∞D ． ),0(]1,(∞+--∞2的解集为{}|12,x x ≤≤则实数a 的取值集合为 （ ）A ． 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ． {1 }C ． {a| a>1}D ． 1{|}2a a ≥3．（2005•辽宁）在Ｒ上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则 （ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（ ）A ．(][]10,02, -∞-B ．(][]1,02, -∞-C ．(][]10,12, -∞-D ．[]10,1]0,2[ -5．已知⎩⎨⎧≥〈-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式2)(≤+x x xf ≤5的解集是 . 6．( 2004•全国)设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 ．7．实系数方程220x ax b ++=的一根大于0且小于1, 另一个根大于1且小于2, 求21b a --的取值范围. 8．解关于x 的不等式2ax ax --＜0（a ∈R ）． 9．记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.1．5 含有绝对值的不等式【考点透视】一、考纲指要1．掌握绝对值不等式的概念及其性质. 2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│. 二、命题落点1．含绝对值不等式的解法主要出现在选择题、填空题中；如例1，例2； 2．证明主要出现在解答题中对能力要求较高.如例3.【典例精析】例1： (2004•辽宁) 设全集U=R 解关于x 的不等式|1|10()x a a R -+->∈． 解析： 由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得当1>a 时，解集是R ；当1≤a 时，解集是}.2|{a x a x x -><或例2:（2005•山东）01a <<，下列不等式一定成立的是（ ） A ．(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> B ．(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+C ．(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++D ．(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+>(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+解析：∵ 0<a <1，∴ 1+a >1，0<1－a <1, (1)(1)log (1)0,log (1)0a a a a +--<+<, ∴(1)(1)lg(1)lg(1)log (1)log (1)[]2lg(1)lg(1)a a a a a a a a +--+-++=-+>+-．答案: A ．例3：（2005•浙江）已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＝2x ． （1）求函数g (x )的解析式；（2）解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．解析：（1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x q ,y q 关于原点的对称点(x,y),则020,2q qx xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即,.q q x x y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∵点 (),q p Q x x 在函数()f x 的图象上,∴ 22y x x -=-+故()22g x x x =-+． （2）由g(x)≥f (x )－|x －1|，可得2x 2-|x-1|≤0． 当x≥1时,2x 2-x+1≤0,此时不等式无解；当x<1时,2x 2+x-1≤0,∴-1≤x≤12． 因此，原不等式的解集为[-1,12]．【常见误区】1．运用不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│时出现错误； 2．对绝对值的意义理解有误，分类不全面导致错误.【基础演练】1．不等式125x <+<的解集是（ ）A ．()1,3-B ．()3,1(3,4)-C ．()4,3--D ．()4,3(1,3)--- 2．不等式2112x x ++<的解集是（ ）A ． {}10x x -<<B ．302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．504x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ． {}20x x -<<3．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于（ ）A ．8B ．2C ．－4D ．－84．若a ，b ∈R ，则不等式|2|ax +≥|2|b x +的解集为R 的充要条件是 （ ）A ．2±=aB ．2±==b aC ．4=ab 且||a ≤2D ．4=ab 且||a ≥25．不等式|x +2|≥|x |的解集是 . 6．不等式()()110x x +->的解集 .图5-6-17．解不等式2|12|<--x x .8．设,a b R ∈且a b ≠a b <-9．某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=5km ，BC=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站.在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.（1）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差;（2）若要求列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围.1．6 不等式的应用【考点透视】一、考纲指要1．考查运用不等式在几何、函数，以及实际生活中的运用 二、命题落点1．常结合函数、数列考查不等式的运用，特别是均值不等式的运用如例1，例2，例3.【典例精析】例1：（2004•广西卷）某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室。