2019-2020学年陕西省渭南市数学高二下期末考试试题含解析

2019-2020学年陕西省渭南市数学高二下期末考试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下面是22⨯列联表：
则表中a b ，的值分别为（ ） A ．84，60 B ．42，64
C ．42, 74
D ．74, 42
【答案】B 【解析】
因2163a +=，故42a =,又22a b +=，则64b = ，应选答案B 。

2．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（
2
π
,π）单调递增 ③f(x)在[,]-ππ有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④
C ．①④
D ．①③
【答案】C 【解析】 【分析】
化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】
()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当
2
x π
π<<时，
()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零
点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[]
,-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[](
)2,2x k k k *
∈ππ+π∈N
时，()2sin f x x =；当
[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为
2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．
【点睛】
画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．
3．设0.3log 0.6m =，21
log 0.62
n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>-> D ．mn m n m n >->+
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对数函数的单调性可得0m >,0n <,根据不等式的性质可知m n m n ->+ ;通过比较11
m n
+ 与1 的大小关系,即可判断m n mn +>,从而可选出正确答案. 【详解】
解:0.30.3log 0.6log 10m =>=,2211
log 0.6log 1022
n =
<=,则0mn < ()()20m n m n n --+=->,m n m n ∴->+
0.60.60.60.611
log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n
+=+=<= m n mn ∴+> 故选:A. 【点睛】
本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性.在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于()log a f x x =,若01a << ,则(1)当01x << 时,()0f x >; (2)当1x = 时,()0f x =; (3)当1x > 时,()0f x <; 若1a > ,则(1)当01x << 时,()0f x <; (2)当1x = 时,()0f x =; (3)当1x > 时,()0f x >.
4．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若1
32cos 3
b c A ===，，
，则a =（ ） A ．5 B 7
C ．4
D ．3
【答案】D
【解析】 【分析】
已知两边及夹角，可利用余弦定理求出． 【详解】
由余弦定理可得：2
2
2
1
2cos 9423293
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， 解得3a =.故选D. 【点睛】
本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．
5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°
C ．假设三内角至多有一个大于60°
D ．假设三内角至多有两个大于60°
【答案】B 【解析】 【分析】
“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】
“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B . 【点睛】
本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题. 6．若命题p ：x R ∀∈，ln 10x x -+<，则p ⌝是（ ） A ．x R ∀∈，ln 10x x -+≥ B ．0x R ∃∈，00ln 10x x -+≥ C ．x R ∀∈，ln 10x x -+= D ．0x R ∃∈，00ln 10x x -+< 【答案】B 【解析】 【分析】
利用全称命题的否定是特称命题来判断. 【详解】
解：命题p ：x R ∀∈，ln 10x x -+<，则p ⌝：0x R ∃∈，00ln 10x x -+≥. 故选：B . 【点睛】
本题考查特称命题的否定，注意特称命题的否定要变全称命题，并且要否定结论，是基础题. 7．设()10
2100121012...x a a x a x a x -=+++，则3
102129 (222)
a a a a ++++的值为( ) A ．2 B ．2 046
C ．2 043
D ．－2
【答案】D 【解析】
分析：先令0x =得0a ，再令12
x =得10
1202
10222
a a a a ++++
，解得结果. 详解：令0x =得01a =
令12
x =得1012
0210222a a a a ++++=0 因此3102129
...2,222
a a a a ++++=-， 选D.
点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2
(),()(,)n
n
ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)n
ax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可. 8．已知函数()f x cosx sinx =⋅，给出下列四个说法：
2014πf 34⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
①；②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π
,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
中心对称 其中正确说法的序号是( ) A ．②③ B ．①③
C ．①④
D ．①③④
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的周期性可排除②，同时可以确定①对．由x ∈ ππ,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦，可去绝对值函数化为()1
sin22
f x x =，可判断③对．由取特值，可确定④错．
【详解】
()()()cos sin cos sin f x x x x x πππ+=++=-，所以函数()f x 的周期不为π，②错，()()()2cos 2sin 2cos sin f x x x x x πππ+=++=，周期为2T π=．
2014πf 3⎛⎫ ⎪⎝⎭
=
4cos sin 3334f π
ππ⎛⎫
=-=- ⎪
⎝⎭
，①对． 当x ∈ ππ,44⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦时，()1cos sin sin22f x x x x ==，2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以f(x)在ππ,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递
增．③对．131,424
2f f ππ
⎛⎫
⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，所以④错．即①③对，填①③． 【点睛】
本题以绝对值函数形式综合考查三角函数求函数值、周期性、单调性、对称性等性质，需要从定义角度入手分析，也是解题之根本． 9．复数
21i
i
-+ = A ．1i -- B ．1i -+
C ．1i +
D ．1i -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算得到结果. 【详解】
复数
21i
i -+=()()()
()-211111i i i i i i i -=--=--+- 故答案为：A. 【点睛】
本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 10．若(
)3
5
2()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（）
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，用赋值法，在(
)3
5
2()
x x a -+中，令1x =可得()5
21(1)32a -+=，解可得a 的值，即可得
答案． 【详解】 根据题意，(
)3
5
2()x
x a -+的展开式的各项系数和为32，
令1x =可得：()5
21(1)32a -+=，
解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用． 11．抛物线24y x =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．1y =-
C ．116
x =-
D ．116
y =-
【答案】D 【解析】
根据题意，抛物线y=4x 2的标准方程为x 2=4
y ， 其焦点在y 轴正半轴上，且p=18
， 则其准线方程为y=﹣116
； 故选：D ．
12．函数cos y x =的最小正周期是（ ）
A ．
4
π B ．
2
π C ．π
D ．2π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解． 【详解】
由角函数的周期公式，可得函数cos y x =的周期2T π=，又由绝对值cos y x =的周期减半，即为最小正周期为π，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．函数()1ln x f x x
+=
的图像在1
e x =处的切线方程为_______.
【答案】2
e e y x =- 【解析】 【分析】
对函数求导，把1
e
x =分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线方程。

【详解】
()2
2
ln 11,e ,0e e x f x f f x -⎛⎫⎛⎫''=
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的图像在1e x =处的切线方程为21e e y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，即
2e e y x =-.
【点睛】
本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题。

14．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.若存在实数t ，对任意的[]1,x m ∈，都有()()1ln f x t f x +≤+，则正整数m 的最大值为__________． 【答案】4 【解析】
分析：先根据单调性得1ln 1ln x x t x --≤+≤+对任意的[]
1,x m ∈都成立，再根据实数t 存在性得
max min (1ln )(1ln )x x x x ---≤+-，即得1ln111ln m m ---≤+-，解得正整数m 的最大值.
详解：因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数，对任意的[]
1,x m ∈，都有()()1ln f x t f x +≤+，所以1ln 1ln x x t x --≤+≤+对任意的[]
1,x m ∈都成立， 因为存在实数t ，所以max min (1ln )(1ln )x x x x ---≤+- 即得1ln111ln 3ln ,m m m m ---≤+--≤，，
因为1,2,3,4m m >=成立，55-3ln5m =>，，所以正整数m 的最大值为4.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
15．已知两不共线的非零向量,a b 满足2a =,1a b -=,则向量a 与b 夹角的最大值是__________. 【答案】6
π
【解析】 【分析】
设向量,a b 夹角为θ，由余弦定理求得23
cos 4x x
θ+=，再利用基本不等式求得cos θ取得最小值，即可求
得θ的最大值，得到结果.
【详解】
因为两非零向量,a b 满足2a =,1a b -=,设向量,a b 夹角为θ， 由于非零向量,a b 以及a b -构成一个三角形，设b x =， 则由余弦定理可得2144cos x x θ=+-，
解得
2
3
3
cos 44x x x x
θ+
+=
=
≥x cos θ
所以θ的最大值是6π，故答案是6
π. 【点睛】
该题考查的是有关向量夹角的大小问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，注意当什么情况下取得最值，再者就是需要明确角取最大值的时候其余弦值最小. 16．在极坐标系中，点2,6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
到圆2sin ρθ=的圆心的距离为__________．
【解析】
分析：先根据圆的极坐标方程转化成直角坐标系方程，求得圆心坐标，把点2,6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
转化成直角坐标，最后利用两点间的距离公式求得答案. 详解：
2sin ρθ=，
22sin ρρθ∴=，
222x y y ∴+=，即()2
211x y +-=，
圆心为()
0,1，点的直角坐标为
)
，
d ∴=
=.
.
点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法
(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； (2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．
使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知虚数z 满足||1z =.
（1）求|2|z +的取值范围； （2）求证：1
z z
-
是纯虚数. 【答案】（1）1|2|3z <+<；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
先设z a bi =+，（,a b ∈R 且0b ≠），由||1z =得221a b +=；可将(,)a b 看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；
（1
）由|2|+z 表示点(,)a b 与定点(2,0)-之间的距离，根据定点到圆上的动点的距离，即可得出结果；
（2）根据复数运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】
设z a bi =+，（,a b ∈R 且0b ≠），因为||1z =，所以221a b +=， 因此(,)a b 可看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；
（1
）|2|+=z (,)a b 与定点(2,0)-之间的距离； 又点(2,0)-到坐标原点的距离为2，
所以2121-<<+（1为单位圆半径）， 因此1|2|3z <+<；
（2）2211()2--=+-=+-=+--=++a bi
z a bi a bi a bi a bi bi z a bi a b ， 因此1
z z
-是纯虚数.
【点睛】
本题主要考查求复数的模，以及复数的四则运算，熟记复数运算法则，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.
18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知344,n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令221
1
log log n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）212n n a -=（2）
21
n
n + 【解析】
分析：（1）由1n =求得1a ，由2n ≥时，1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；
（2）根据（1）的结论，数列{}n b 的前n 项和可用裂项相消法求得． 详解：（1）∵342n n S a =- ① 当1n =时，11342a a =-，∴12a = 当2n ≥时，11342n n S a --=- ② 由①-②得：1344n n n a a a -=- ∴14n n a a -=
∴{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列
∴1212?
42n n n a --== （2）∵()()22111
111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪⋅-+-+⎝⎭
∴12111111121335
212121
n n n
T b b b n n n ⎛⎫=++
+=
⨯-+-++
-= ⎪
-++⎝⎭ 点睛：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，1
1
{}n n a a +的前n 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．
19．某种子培育基地新研发了,A B 两种型号的种子，从中选出90粒进行发芽试验，并根据结果对种子进行改良.将试验结果汇总整理绘制成如下22⨯列联表：
（1）将22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为发芽和种子型号有关；
（2）若按照分层抽样的方式，从不发芽的种子中任意抽取20粒作为研究小样本，并从这20粒研究小样本中任意取出3粒种子，设取出的A 型号的种子数为X ，求X 的分布列与期望.
2()P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2
()()()()()n ad bc K
a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 【答案】 (1) 有99%的把握认为发芽和种子型号有关(2)见解析
【解析】
【分析】
()1根据表格完成表格的填空并计算出2K 做出判断
()2X 的可能值为0，1，2，3，
分别计算出概率，然后计算期望 【详解】
（1）
()
22903032820360014.575 6.63550403852247
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为发芽和种子型号有关.
（2）按分层抽样的方式抽到的20粒种子中，A 型号的种子共4粒，B 型号的种子共16粒，所以X 的可能值为0,1,2,3，
()31632028057C P X C ===，()124163208119C C P X C ===，()214163208295C C P X C ===，()3432013285
C P X C === 所以X 的分布列为
()8815731231995285955
E X =⨯
+⨯+⨯==. 【点睛】 本题考查了2K 的计算和分布列与期望，只要将联表补充完整，按照计算方法即可求出2K ，继而可以求出分布列与期望，较为基础。

20．已知正项数列{a n } 为等比数列，等差数列{b n } 的前n 项和为S n （n ∈N * ），且满足：S 11=208，S 9﹣S 7=41，a 1=b 2，a 1=b 1．
（1）求数列{a n }，{b n } 的通项公式；
（2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n （n ∈N * ），求T n ；
（1）设,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数，为偶数
，是否存在正整数m ，使得c m ·c m +1·c m +2+8=1（c m +c m +1+c m +2）． 【答案】（1）12,35n n n a b n -==-；（2）(38)28n n T n =-⋅+；（1）存在，m=2．
【解析】
分析：（1）先根据已知条件列方程求出b 1=﹣2，d=1,得到等差数列{b n }的通项，再求出1,a q ，即得等比数列{a n }的通项.(2)利用错位相减法求T n .(1)对m 分类讨论，探究是否存在正整数m ，使得
c m ·c m +1·c m +2+8=1（c m +c m +1+c m +2）．
详解：（1）等差数列{b n } 的前n 项和为S n （n ∈N * ），且满足：S 11=208，S 9﹣S 7=41，
即137979813208,41
S b S S b b ==⎧⎨-=+=⎩解得b 7=16，公差为1， ∴b 1=﹣2，b n =1n ﹣5，
∵a 1=b 2=1，a 1=b 1=4，数列{a n } 为等比数列，
∴a n =2n ﹣1，n ∈N*
（2）T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =﹣2×1+1×2+…+（1n ﹣5）2n ﹣1，①
∴2T n =﹣2×2+1×22+…+（1n ﹣5）2n ，②
①﹣①得﹣T n =﹣2+1（2+22+…+2n ﹣1）﹣（1n ﹣5）2n =（8﹣1n ）2n ﹣8，
∴T n =（1n ﹣8）2n +8，n ∈N *
（1）∵设12,35,n n n c n n -⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数
，
当m=1时，c 1•c 2•c 1+8=1×1×4+8=12，1（c 1+c 2+c 1）=18，不相等，
当m=2时，c 2•c 1•c 4+8=1×4×7+8=16，1（c 2+c 1+c 4）=16，成立，
当m ≥1且为奇数时，c m ，c m +2为偶数，c m +1为奇数，
∴c m •c m +1•c m +2+8为偶数，1（c m +c m +1+c m +2）为奇数，不成立，
当m ≥4且为偶数时，若c m •c m +1•c m +2+8=1（c m +c m +1+c m +2），
则（1m ﹣5）•2m •（1m +1）+8=1（1m ﹣5+2m +1m +1），
即（9m 2﹣12m ﹣8）2m =18m ﹣20，（*）
∵（9m 2﹣12m ﹣8）2m ≥（9m 2﹣12m ﹣8）24＞18m ﹣20，
∴（*）不成立，综上所述m=2．
点睛：（1）本题主要考查等差等比数列的通项的求法，考查错位相减法求和，考查数列的综合应用，意在考查对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力基本运算能力.(2)本题的难点是第1问，关键是对m 分m=1,m=2,m ≥1且为奇数, m ≥4且为偶数四种情况讨论.
21．命题P ：函数2()7(13)2f x x m x m =-+--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上；命题Q ：函
数321()(4)3
g x x m x x =-++有极值.若命题P ，Q 为真命题的实数m 的取值集合分别记为A ，B . （1）求集合A ，B ；
（2）若命题“P 且Q ”为假命题，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）{|40}A m m =-<<，{|5B m m =<-或3}m >-；（2）{|3m m -或0}m
【解析】
【分析】
（1）通过函数的零点，求解m 的范围；利用函数的极值求出m 的范围，即可．
（2）利用复合函数的真假推出两个命题的真假关系，然后求解即可．
【详解】
（1）命题P ：函数2
()7(13)2f x x m x m =-+--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上； 可得：(0)20(1)71320(2)2822620f m f m m f m m =-->⎧⎪=----<⎨⎪=---->⎩
，解得(4,0)m ∈-
命题Q ：函数321()(4)3g x x m x x =
-++有极值，2()2(4)1g x x m x '=-++由2个不相等的实数根， 所以24(4)40m +->，可得5m <-或3m >-．
命题P ，Q 为真命题的实数m 的取值集合分别记为A ，B ．
所以集合{|40}A m m =-<<，{|5B m m =<-或3}m >-；
（2）命题“P 且Q ”为假命题，可知两个命题至少1个是假命题，
当“P 且Q ”为真命题时，实数m 的取值范围为集合{|30}M m m =-<<，
∴“P 且Q ”为假命题时，实数m 的取值范围为R C M ={|3m m -或0}m ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，函数的零点以及函数的导数的应用，考查计算能力．
22．设函数2()ln f x mx x x =++.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当0m =时，2()21()xf x x kx k k Z -≥-+∈对任意(2,)x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值.
【答案】（Ⅰ）当0m ≥时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当0m <时，()f x
在10,4m ⎛
- ⎝⎭
上单调
递增；在⎫+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递减.（Ⅱ）2
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据解析式求得导函数()f x '，讨论0m ≥与0m <两种情况，结合一元二次方程的根即可由导函数符号判断函数的单调性；
（Ⅱ）将0m =代入解析式，并代入不等式分离参数k ，构造函数ln 1()2
x x g x x -=-，求得()g x '，在令()2ln 1h x x x =--，由()0h x '>即可证明()h x 在(2,)+∞单调递增，再根据零点存在定理可知存在唯一的0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，进而由单调性求得00min 0ln 1()=()2
x x g x g x x -=-极小值，整理化简后可得05()(2,)2
g x ∈，即可得整数k 的最大值. 【详解】
（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
2121()21mx x f x mx x x
++'=++=， 当0m ≥时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.
当0m <时，由'()0f x =得2210mx x ++=，180m ∆=->
1x =
，2x =，且210x x << 在区间()10,x 内()0f x '>，在区间1(,)x +∞内()0f x '<.
综上可得，当0m ≥时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；
当0m <时，()f x
在⎛
⎝⎭
上单调递增；在⎫+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递减. （Ⅱ）将0m =代入函数解析式，可求得()ln f x x x =+，
代入不等式可得ln 21()x x kx k k Z ≥-+∈，即ln 12x x k x -≤
-对任意(2,)x ∈+∞恒成立， 令ln 1()2
x x g x x -=-，只需min ()k g x ≤. 2
2ln 1()(2)x x g x x --'=-， 令()2ln 1h x x x =--，22()10(2)x h x x x x -'=-
=>>，所以()h x 在(2,)+∞单调递增， 显然有(3)22ln 30h =-<，(4)32ln 40h =->，所以存在唯一的0(3,4)x ∈，使得
000()2ln 10h x x x =--=.
在0(2,)x ，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减；
在()0,x +∞，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以00min 00ln 1()=()()2
x x g x g x g x x -==-极小值， 此时000()2ln 10h x x x =--=，可得001ln 2
x x -=， 所以000
001112()22
x x x g x x --+==-， 因为0(3,4)x ∈，所以05
()(2,)2g x ∈，
所以整数k 的最大值为2.
【点睛】
本题考查了由导数判断含参数的函数单调性，分类讨论思想的综合应用，分离参数并构造函数分析函数的单调性与最值，零点存在定理的应用，综合性强，化简过程较为繁琐，属于难题.。