点电荷与介质球系统电势的计算和讨论

点电荷与介质球系统电势的计算和讨论
二
I
第22卷第5期
2003年5月
大学
C0LLEGE
物理
PHYSICS
V01.22No.5
May.2003
点电荷与介质球系统电势的计算和讨论
李子军,李根全,白旭芳
(1.烟台大学光电学院,山东烟台264005;2.内蒙古民族大学物理系,内蒙古通辽028043)
摘要:计算了点电荷与介质球系统的电势.指出点电荷与导体球,点电荷与无限大导体平面或介质分界平面,
均匀外电场中有导体球或介质球系统的电势都可由点电荷与介质球系统的电势给出.
关键词:点电荷;介质球;电势;极限情形
中图分类号:O441.1文献标识码:A文章编号:1000—0712(2003)05—0009—04
1引育
在静电场中引入电势的概念后,可使静电问题的
求解大大简化.由电势可以很方便地求出场强,场的能
量,带电体的电荷密度和所受的力等.所以,静电场中
电势的计算是非常重要的.在一般电动力学教材中都
分别计算了点电荷与导体球,点电荷与无限大导体平
面,均匀外电场中有导体球或介质球情形的电势,还有
一
些文献.也计算了点电荷与无限大介质分界平面
的电势.本文通过对点电荷与介质球系统电势的计算
和讨论(虽有一些文献对此也作了计算和讨论,但
讨论得还不够完善)将阐明:所有上述各种情形的电势
都可由点电荷与介质球系统的电势给出.
2点电荷与介质球系统电势的计算
设介电常量为e,,半径为R的各向同性线性介质
球处于介电常量为e的无限大各向同性线性介质内,
在球外距球心为a处有一点电荷口,如图1所示.在图
1所示的坐标系下.边值问题为:
图1点电荷与介质球
V9l=0
V一8(r—n)
l=2
(r<R)(1)
(r>R)(2)
(r=R)(3)
(r=R)(4)
9,=有限值(r:0)(5)
92=0(r---~O0)(6)
该边值问题可用分离变量法求解.空间电势可视
为点电荷口的电势和介质分界面上电荷的电势9之
叠加,其中9在球内外都满足拉普拉斯方程.则球内外
的电势分别为:
,,(r≤R)(7)
r≥R)(8)
应用分离变量法,由条件(5),(6)知9,和应分别
为:
.=
∑antnP(cos)(r≤R)(9);0
=
∑:P(cos)r≥R)(10)
为确定a和b,需利用特殊函数将1/lr—a1展开
为:
1
一
收稿日期:2001—07—12;修回日期:2002—09—03
作者筒介:李子军(1957一),男.辽宁朝阳人,烟台大学光电学院教授,主要从事物理教学研究和凝聚态光学性质的研究
{刍
PP
口
一rr一口∑∑,●●●●●,,●●●●【
10大学物理第22卷
田瓦(3),(4),(7),(8),(9),(10)卡口(11)日J求得:
:
4(:0‟l,2,…)
a‟e
‰一一
~
…
(12)
c2,…
(13)
从而可给出球内外的电势分别为:
一
[+薹暑?
P(cos0)]:?
P(COS0)(r≤R)(14)
[+薹等?
1(≥R)(15)
3i.-Iit~
以式(14)和(15)为基础,讨论一些极限情形,即可
给出各种特殊情况下的结果.
3.1点电荷与导体球
我们知道,若e./C2一oo,介质e的效果相当于导
体,则由式(14)和(15)可分别给出:
-一Y_2r”p¨(c刚):
+ez
—
q
4~re2co:4‟c￡2以‟￡
l口
…
r≤R)(16)
[+耋鲁?
]=[去II一口¨rJ4‟c￡2Lr—n
薹Pcc0s一+]=
『一妻P(瞄)+4~re2【Ir—nI口r,～‟
]=[南一+]
(r≥R)(17)
式(16)表明:球内为等势区,是当介质e充满整个
空间时,点电荷q在球心处的电势.式(17)表明:球外
电场是当介质e:充满整个空间时,n点处的点电荷q,
R2点处的象电荷一
R和坐标原点(球心)处的象电
荷竺q共同激发的.
若球外为真空(￡:￡.),式(16)和(17)即为一般
电动力学所给的真空中点电荷与中性导体球情形的相应结果[8】.
3.2均匀场中有介质球
若点电荷q(<0)沿2轴正向趋于无穷远,同时口
值也趋于无穷大,但保证q在讨论范围内所激发的电场为非零有限值场,则此时q在讨论范围内所激发的电场是沿z轴正向的均匀电场,其大小为:
E:
.2a?0”C‟‟
即lim:一4￡2E(18)
式中负号的引入是因为q<0,这里要求场强大小E非零有限.由式(18)知,此时式(14)中的求和只有当:
0,1时不为零,其余都为零.还需特别指出:式(14)是取
无穷远为零点的电势表示.若均匀场占据整个空间,不
能再取无穷远为电势零点.当零点改变时,电势的表达
式应加一常量U.】.则均匀场中有介质球情形的球内
电势为
q++r≤R)(19)
由对称性,取z;0的平面电势为零,得U.=..
…|,r￡‟口
再由式(18)得
l:一.-=
3~
—
2Ercos0(
r≤R)(20)l一■lr)【zu)
式(15)也可改写为
92:
[妻P(cos0+妻n=0?
](≥n)(21/K)———广ILr
同理,由式(18)知,当n(q)一oo时,式(21)中的求和也
只有当=0,1时不为零.与上相同,仍把电势零点移
到2=0的平面上,再由式(18)可给出球外电势为
一
ErcosCOS0r≥R)
(22)
式(20)和(22)即为半径为R,介电常量为￡.的各向同
性线性介质球置于均匀外电场E中,球外空间充满介
电常量为e的另一种各向同性线性介质时球内外的
电势.这与一般电动力学所给的相应结果相同”.
3.3均匀场中有导体球
考虑到￡./￡一oo,则由式(20)和(22)知,导体球
fit
第5期李子军等:点电荷与介质球系统电势的计算和讨论内电势.=0.球~1.Eg势为
::一Ecos0+
宰cos0(≥R)(23)
这也与一般电动力学中的相应结果相同….
3.4点电荷与无限大介质分界平面
与文献[4]相同,可将式(14)和(15)改写为:
[一等]
(r≤R)(24)
去I+尚一
]cr≥R
其中:g.=g,g.=ag,g:(z):g触,
g:()=柏～,口I=,口2(z)=
a
:
……“
(y),ze,
南j.e
可以证明:式(14)和(15)与式(24)和(25)等价.需
要指出:式(24)和(25)中的,,t都为参量,z,y并
非位置坐标.把式(24)中涉及到的相关量代人式(24) 的积分表示,则
A=d:柏
因为在式(24)的条件下,1r1<ae,则把1川r一ee1 按式(11)展开,代人上式有
A=柏妻n=0
=
由式(11),(24)和(26)司得
一
1薹[q0一]?
rP(COS0)一
q2n+1
—一一衣‟
r
.
p(cos)(r≤R)
这正是式(14).表明式(14)与式(24)等价.
同理若将式(25)中涉及到的相关量代入式(25)的
积分表式,同时考虑在式(25)条件下,lrI>Re～/a, 则将1/Ir一R2
e～eI按式(11)展开有
B:=柏R
.
=
lr一一ee.1
柏e妻cos刚=
￡2(￡2一e1)qRP(COS0)
—甲
(27)
将式(25)中的l/lr一口{也按式(11)展开,再把式(27) 代人式(25)有
仇=
去{音+妻.～?
]}=[+j—广『=赢【_=-
妻](,≥R)可—j
这正是式(15).表明式(15)与式(25)等价.
当介质球半径R—oo时,球面过渡为平面.也可以
证明:式(24)和(25)中的积分项,即式(26)和(27)都趋
于零.再依坐标变换:
f=z
Y=Y(28)
l,:一R
取a:R+h(29)
式中h为点电荷q到介质分界面的距离.由式(28)和(29)可知:r=z++2=z+Y+(2+R),口
=R+h,其中z,Y,2和h都为有限值.所以当R一
一时,有AI¨—=0.Bl—.=0.
由上,则当R一(一,h有限)时,式(24)和
詈::
(t+)=?
丌l-—(2≤0)(30)川
1『q￡l一￡2R1]I伫lF一:gj
一
[一.[.
÷_干‟]=…Tj一赢‟
I1￡l一￡2
l可了_了=一‟
一
一尚
㈣一
12大学物理第22卷
](≥0)(31)Jw
式(30)和(31)表明:<0区域内的电势,是由(0,0,
h)处的点电荷q和象电荷_.q(等效电荷为￡l十￡‟q)共同激发的;>0区域内的电势是由(0,0,
h)处的点电荷q和(0,0,一h)处的象电荷.q共0l00,
同激发的.式(30)和(31)即为一般电动力学参考书所
给的点电荷与无限大介质分界平面情形的相应结
果‟.
3.5点电荷与无限大导体平面
当￡./￡一oo时,则由式(30)和(31)可得:
l=0
nr1-I
l一
[+Y+(+h)]
球情形的电势都可由点电荷与介质球系统的电势给出.
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](≥.)(32)阚197仲9.元32‟--电3动3.力学教程M北京:人民教育出版社‟
同理,由点电荷与导体球情形的式(16)和(17),若
令尺一oo(n—oo,h有限),并考虑式(28)和(29),也可
得.=0和式(32)(略).
若取￡=￡.,则由式(32)即可得一般电动力学所
给的点电荷与无限大导体平面情形的相应结果.
当点电荷在介质球内时,除不能给出均匀场中有
导体球或介质球情形的电势以外.其余情形的电势都
可以相应地给出,本文不赘述.
综上可见:点电荷与导体球,点电荷与无限大导体
平面或介质分界平面,均匀处电场中有导体球或介质
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Calculationanddiscussionofthepotentialofasystemforapoint
chargeandadielectricsphere
LIZi—jun,LIGen—quan,BAIXu—fang
(1.InstituteofScienceandTechnologyforOpto—ElectronicInformation,Y antaiUniversity,Shandong. 264005,China;2.DepartmentofPhysics,InnerMongoliaUniversityforNationalities,
Tongliao,InnerMongolia,028043,China)
Abstract:Thepotentialofasystemforapointchargeandadielectricsphereiscalculated.Itis pointedoutthatthepotentialofsystemsofapointchargeandaconductingordielectricplane,acon—ductingordielectricsphereinhomogeneouselectricfieldcanbealldeducedfromourcalculation. Keywords:pointcharge;dielectricsphere;potential;thelimitconditions。