江西省上高二中高三上学期第五次月考 数学理

2015届高三第五次月考数学试卷（理科）
一、选择题
1．若复数满足，则复数的虚部为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设全集U=R ,若集合M =，N =，则= （ ） A ．（－3，2） B ．（－3，1） Ｃ．（－∞，1）∪（4，+∞） ）D ．（－3，0） 3．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )
A.103 B ．4 C.16
3 D ．6 4. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．48+8
B ．48
C ．32+8
D ．80
最
5. 已知函数()sin cos f x a x b x =-（a 、b 为常数，）在处取得小值，则函数是（ ）
A. 奇函数且它的图象关于点对称
B. 奇函数且它的图象关于点对称
C. 偶函数且它的图象关于点对称
D. 偶函数且它的图象关于点对称 6．下列命题中是假命题．．．
的是（ ） A ． 2
43,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数，且在上递减 B ．使得函数是偶函数；
C ．使得cos()cos cos α+β=α+β；
D ．,lg()lg lg a b R a b a b +
∀∈+≠+，; 7．定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（ ） A ．减函数且 B ．减函数且 C ．增函数且 D ．增函数且 8. 已知函数9
()4,(0,4),1
f x x x x =-+
∈+当时，取得最小值，则在直角坐标系中函数的图像为（ ）
9.如右图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D.
10.已知函数的定义域为的单调函数，且对任意的 实数x 、y ，等式恒成立，若数列
满足，且11
()(2)
n n f a f a +=
--，则的值为( )
A.4017
B.4018
C.4019
D.4021 11．中，，AB=2，AC=1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则•的取值范围是（ ） A ． [1，2] B ．[0，1] C ． [﹣5，2] D ． [0，2]
12．已知函数()()2
212,3ln 2
f x x ax
g x a x b =
+=+设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（ ） A ． B ． C ．
D ．
二．填空题
13、在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示的面积，若=B a c b S C c ∠-+=则),(4
1,sin 222
=
14.表示不超过的最大整数.
13S =++=，
210S =++++=，
321S =++++++=，那么
S 9= --------------
15.下列四个命题：
①函数与的图像关于直线对称；
②函数2
()lg(2)f x ax x a =-+的值域为，则实数的取值范围为； ③在中，“”是“”的充分不必要条件；
④数列的通项公式为2
2()n a n λn n N +=++ ∈，若是单调递增数列，则实数的取值范围为。

其中真命题的序号是_________
16．已知函数2
)1ln()(x x a x f -+=在区间内任取两个实数，且，不等式
1)
1()1(>-+-+q
p q f p f 恒成立，则实数的取
值
范
围
为
_____________．
三．解答题（共70分）
17（本小题满分12分）已知集合
{}2320A x x x =-+≤，集合{}22B y y
x x a
==-+，集合
{}2
40C x x ax =--≤.命题，命题，
（I ）若命题为假命题，求实数的取值范围； （II ）若命题为假命题，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）在所对的边分别为a,b,c,且 （1）求()2
B+C
2sin +cos2B+C 2
； （2）若,求面积的最大值.
19．(本小题满分12分)如图：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1． （1）求证：A 1C//平面AB 1D ；
（2）求点C 到平面AB 1D 的距离． （3）求二面角B —AB 1—D 的大小；
20. （本题满分12分） 已知函数，．
（1）当时，判断方程在区间上有无实根；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21. (本小题满分12分)
已知等差数列的前项和为，并且，，数列满足：，11
()2n n n b b n N n
+++= ∈，记数列的前项和为. （1）求数列的通项公式及前项和公式； （2）求数列的通项公式及前项和公式； （3）记集合2(2T )
{|
,}2
n n S M n λn N n +-=≥∈+，若的子集个数为16，求实数的取值范围。

22、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.
(1)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

2015届高三第五次月考数学试卷（理科）答案1.2
DBCAB DABCD CA 13. 45° 14. 171 15. ②④ 16.
17.解：（1）
()222B+C cos ,2sin +cos2B+C =2cos cos 2322
A
A A =+且
()24214
1cos +2cos 12939
A A =+-=⨯+=
（2）2222
a 2cos
b
c bc A =+-由得
222423=22c 333
921199sin 222434ABC
bc
b c bc b bc bc S bc A ∆+-⨯≥-⨯=
∴≤
∴=≤⨯=⨯
面积的最大值为
18.
19.（1）连接A 1B ，设A 1B∩AB 1=E ，连结DE ， ∵ABC —A 1B 1C 是正三棱柱且AA 1=AB ，
∴四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点，∴DE//A 1C ……………………3分
DE 平面AB 1D ，A 1C 平面AB 1D ，∴A 1C//平面AB 1D ……………………4分 （2）∵平面B 1BC 1⊥平面ABC 且AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1， 又AD 平面AB 1D ，∴平面B 1BCC 1⊥平面AB 1D ，
在平面B 1BCC 1内作CH ⊥B 1D 交B 1D 的延长线于点H ，则 CH 的长度就是点C 到平面ABCD 的距离 由△CDH ∽△B 1DB 得：5
5
11=
⋅=
D B CD BB CH ， 即点C 到平面AB 1D 的距离是 ……………………………………8分 （或者等体积法）
（3）在平面ABC 内作DF ⊥AB 于点F ，在平面A 1ABB 1内作FG ⊥AB 1于点G ，连结DG 。

∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，
∴DF ⊥平面A 1ABB 1，FG 是DG 在平面A 1ABB 1上的射影，
∵FG ⊥AB 1， ∴DG ⊥AB 1， ∴∠FGD 是二面角B —AB 1—D 的平面角 ……6分 ∵A 1A=AB=1，在正△ABC 中，，在△ABE 中，FG= 在Rt △DFG 中，3
6
tan ==
∠FG DF FGD ， ∴二面角B —AB 1—D 的大小为 ……………………12分 21. 解： （1）时，令()()()1
2ln h x f x g x x x x
=-=--，
()2
22
112'()10x h x x x x -=+-=≥，在上为增函数
又，所以在内无实数根 。

5分
（2）恒成立， 即恒成立，
又，则当时，恒成立， 令，只需小于的最小值，
()()222
2(ln ln 2)
'1x x x G x x -++=- ， ， 当时，
在上单调递减，在的最小值为， 则的取值范围是 。

12分
20.解析：（1）设数列的公差为， 由题意得，解得，∴，∴。

（2）由题意得，
叠乘得121121112()()21212n n n n n n n b b b n n n b b b b b n n ----=
⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=--. 由题意得231232222
n n n
T =++++ ①
234111*********
n n n n n
T +-=+++++ ② ②—① 得：111
11(1)
11111222112248222212
n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=--- ∴
（3）由上面可得，令， 则，，，，。

下面研究数列的单调性，
∵2211
(1)1(1)(2)
(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=，
∴时，，，即单调递减。

∵集合的子集个数为16，∴中的元素个数为4， ∴不等式，解的个数为4， ∴
22、解：当a =－3时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-=35
232125
2)(x x x x x x f ， 不等式f(x)≥3的解集为。

5分
(Ⅱ) |x + a| + |x－2|≤|x－4|，有|x + a| ≤|x－4|-|x－2|，当有|x + a| ≤(4-x)-(2-x)=2, 即。

10分。