新人教版高中数学选择性必修第一册1

√B．(－5，6，24)或(7，－10，－24)
C．(－5，16，－24) D．(－5，16，－24)或(7，－16，24)
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解析：设
B(x
，
y
，
z)
，
→ AB
＝ (x － 1 ， y ＋ 2 ， z) ， 依 题 意 有
x－－31＝y＋4 2＝1z2， （x－1）2＋（y＋2）2＋z2＝[（－3）2＋42＋122]×4，
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解析：因为 C 为线段 AB 上的一点，且 AC＝13 AB，
所以A→C
＝13
→ AB
.由此可求得点 C 的坐标．
设点 C(x，y，z)，则A→C ＝(x－4，y－1，z－3).
又A→B ＝(－2，－6，－2)，
所以(x－4，y－1，z－3)＝13 (－2，－6，－2)， 解得 x＝130 ，y＝－1，z＝73 .所以 C130，－1，37 .
因为 SA⊥平面 ABCD， 所以A→S ＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量．
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(2)求平面SAB的一个法向量； 解：因为 AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面 ABS， 所以 AD⊥平面 SAB， 所以A→D ＝12，0，0 是平面 SAB 的一个法向量．
A．P(1，－1，1)
√B．P1，3，32
C．P1，－3，32
D．P－1，3，－32
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解析：对于选项 A，P→A ＝(1，0，1)，P→A ·n＝5，所以P→A 与 n 不垂直， 排除 A； 同理可排除C，D. 对于选项 B，P→A ＝1，－4，12 ，P→A ·n＝0，因此 B 正确．
x＝－5， x＝7，
解得y＝6， 或y＝－10， 即点 B 的坐标为(－5，6，24)或(7，－10，
z＝24
z＝－24.
－24).返回Biblioteka 航03课堂巩固 自测
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1．若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
()
A．(－3，0，－6) C．(－2，0，2)
√B．(9，0，－6)
3.能用向量方法证明有关线、面位 3.逻辑推理：直线、平面位置关系
置关系的一些定理(包括三垂线定 的判定与证明．
理).
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第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
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目录 CONTENTS
必备知识 落实 关键能力 提升 课堂巩固 自测 课后达标 检测
01
必备知识 落实
知识点一 空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点的位置向量 在空间中，取一定点 O 作为___基__点____，那么空间中任 意一点 P 就可以用向量O→P 来表示，向量O→P 称为点 P 的__位__置__向__量______．
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待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为 n＝(x，y，z).
(2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量A→B ，A→C .
(3)列方程组：由 n⊥A→B
，n⊥A→C
n·A→B＝0， ，列出方程组n·A→C＝0.
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n·A→B＝0， (4)解方程组：n·A→C＝0. (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量．
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设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z).因为 D(0， 3 ，0)，所以P→D ＝(0，
3 ，－1).
n·P→C＝0， 则n·P→D＝0，
即x＋3y－3zy＝－0z.＝0，
所以zx＝＝0，3y. 令 y＝1，则 z＝ 3 .
所以平面 PCD 的一个法向量为 n＝(0，1， 3 ).
第一章 空间向量与立体几何
1．4 空间向量的应用 1．4.1 用空间向量研究直线、 平面的位置关系
学习指导
核心素养
1.理解直线的方向向量与平面的法 1.数学抽象：对直线的方向向量、
向量． 平面的法向量的概念理解．
2.能用向量语言表述线线、线面、 2.数学运算：计算直线的方向向量
面面的垂直、平行关系． 和平面的法向量．
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(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一 个方向向量是n＝( )
√A．(2，2，6) √B．(1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1) 解析：由题知M→N ＝(1，1，3)， 因为 M，N 在直线 l 上， 可知 AB 符合条件．
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知识点二 平面的法向量 如图，直线 l⊥α，取直线 l 的__方__向__向__量____ a，则 a 叫做平 面 α 的法向量．过空间点 A，且以向量 a 为法向量的平面 α， 可以用集合表示为__{_P_|_a_·_A→_P__＝__0_}___．
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04
课后达标 检测
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[A 基础达标]
1．已知点 A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C 为线段 AB 上一点，且 AC＝13 AB，
则点 C 的坐标为( )
A．72，－12，52
√C．130，－1，37
B．38，－3，2 D．52，－72，32
＝(x，y，z)，则有－－xx＋＋yz＝＝00，， 取 x＝－1，则 y＝－1，z＝－1.故平面 ABC 的法向量是(－1，－1，－1).
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3．从点 A(2，－1，7)沿向量 a＝(8，9，－12)的方向取线段 AB，且 AB
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(2)空间直线的向量表示 如图，a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取A→B ＝a，取定空 间中的任意一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存 在实数 t，使O→P ＝O→A ＋ta①，将A→B ＝a 代入①式得O→P ＝ ___O→_A__＋__t_A→_B____．
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在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，E 在 PC 上，且 CE
＝3EP，设A→B ＝a，A→D ＝b，A→P ＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，
求直线 AE 的一个方向向量．
【解】 如图所示，A→E ＝A→C ＋C→E ＝A→B ＋A→D ＋34
→ ( AP
－ A→C
令 x＝1，得 y＝z＝1，所以平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1，1，1).
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02 关键能力 提升
考点 确定空间中点的位置
已知点 A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以A→B 的
方向为正向，在直线 AB 上建立一条数轴，P，Q 为轴上
的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2； 【解】 由已知，得P→B ＝2A→P ，
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4.如图所示，已知四边形 ABCD 是直角梯形，AD∥BC， ∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12 ， 试建立适当的空间直角坐标系． (1)求平面 ABCD 的一个法向量；
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解：以点 A 为原点，AD，AB，AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0， 0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D12，0，0 ，S(0，0， 1).
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(2)AQ∶QB＝2∶1.求点P和点Q的坐标． 【解】 因为 AQ∶QB＝2∶1， 所以A→Q ＝－2Q→B ，即O→Q －O→A ＝－2(O→B －O→Q )，则O→Q ＝－O→A ＋
→ 2OB .
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设点Q的坐标为(x′，y′，z′)， 则上式换用坐标表示， 得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，即x′＝0，y′＝2，z′ ＝6. 因此，Q点的坐标是(0，2，6).
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(3)空间中平面的向量表示
如图，取定空间任意一点 O，可以得到，空间一点 P
位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使O→P ＝___O_→_A__＋__x_A→_B___＋__yA_→_C___．
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(1) 直 线 的 方 向 向 量 通 常 有 无 数 个 ， 同 一 条 直 线 的 方 向 向 量 都 是 共 线 向 量．它们的模不一定相等． (2)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行 于向量a的直线．
m＝(2，－1，3)，所以A→B ＝km，所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，
解得 k＝－12 ，y＝z＝32 ，所以 y－z＝0.故选 A.
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3．已知平面 α 内有一个点 A(2，－1，2)，α 的一个法向量为 n＝(3，1，
2)，则下列点 P 中，在平面 α 内的是( )
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2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量
是( )
A．(1，1，－1)
B．(1，－1，1)
C．(－1，1，1)
√D．(－1，－1，－1)
解析：A→B ＝(－1，1，0)，A→C ＝(－1，0，1).设平面 ABC 的法向量为 n
则n·A→E＝0，
即
23y＋21z＝0.
所以xz＝＝－－
3y， 3y.
令 y＝－1，则 x＝z＝ 3 .
所以平面 ACE 的一个法向量为 n＝( 3 ，－1， 3 ).
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(变设问)本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面 PCD的一个法向量． 解：以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ， －1)即为直线 PC 的一个方向向量．
以 AB，AD，AP 两两垂直．
如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 A(0，0，
0)，D(0，
3
，0)，E0，
23，12
，B(1，0，0)，C(1，
3
，0)，
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于是A→E
＝0，
23，12
，A→C
＝(1，
3 ，0).
设 n＝(x，y，z)为平面 ACE 的一个法向量，
n·A→C＝0， x＋ 3y＝0，
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求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标， 根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组即可得点 的坐标．
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已知点 A(1，－2，0)和向量 a＝(－3，4，12)，若向量A→B ∥a，且|A→B |＝2|a|，则点 B 的坐标为( ) A．(－5，6，24)
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已知三点A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，求平面ABC 的一个法向量． 解：设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由题意得A→B ＝(－1，1，0)，B→C ＝(1，0，－1).
因为 n⊥A→B
，n⊥B→C
n·A→B＝－x＋y＝0， ，所以n·B→C＝x－z＝0.
)
＝
→ AB
＋
→ AD
＋
3 4
→ ( AP
－
→ AB
－ A→D
)
＝
1 4
→ AB
＋14
→ AD
＋34
→ AP
＝14
a＋14
b＋34
c.
故直线 AE 的一个方向向量是14 a＋14 b＋34 c.
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求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两 点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算．
D．(－2，1，3)
解析：A→B ＝(3，0，－2)＝13 (9，0，－6).故选 B.
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2．已知直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，y，
3)和 B(－1，2，z)两点，则 y－z＝( )
√A．0
B．2
C．12
D．3
解析：由题知，
→ AB
＝(－1，2－y，z－3)，因为直线 l 的一个方向向量为
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(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α平行的所有向量． (2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行．
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如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AB＝AP＝1，AD＝ 3 ， 试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量． 【解】 因为 PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，所
即O→B －O→P ＝2(O→P －O→A )，
则O→P
＝23
→ OA
＋13
→ OB
.
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设点 P 坐标为(x，y，z)， 则上式换用坐标表示， 得(x，y，z)＝23 (2，4，0)＋13 (1，3，3)， 即 x＝43 ＋13 ＝53 ，y＝83 ＋33 ＝131 ，z＝0＋1＝1. 因此，点 P 的坐标是53，131，1 .