云南玉溪一中高2018年高二下学期期末考试数学试题

云南玉溪一中高2018年高二下学期期末考试数学试题（理科）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
)()()(B P A P B A P ∙=∙ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是
p ， 那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k
k n n ⋅⋅⋅=-=-
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |－1＜x ＜2}，则M ∩N ＝（ ） A. {－1，0，1} B. {0，1} C. {－1，0} D. {1}
2.若等差数列{a n }的公差为d ，且a 1＋a 4＝3，a 2＋a 5＝5，则d 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知
2a i
i
+＝b ＋i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 4.直线x ＋y －6＝0经过第一象限内的点A (a ，b )，则a b 的最大值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 5.二项式(x 2－1x
)6的展开式中的常数项为（ ）
A. 15
B. －15
C. 30
D. －30 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝（ ）
A.
B.
C.
－ D.
－7.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是6”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（ ）
A. 3
4
B. 712
C. 512
D. 12
3
4
3
V R
π=
8.若对任意x ＞0，x ≤a (x 2＋3x ＋1)恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A. a ＞12
B. a ≥1
2 C. a ＞15 D. a ≥15
9.在△ABC 中，设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，若a ·(a ＋b )＜0，则△ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断其形状
10.已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－12
x 2＋x －m （m 为常数）的图象上P 点处的切线与直线x －y ＋2＝0的夹角为45°，则点P 的横坐标为（ ）
A. 0
B.
C. D. 11.正三棱柱的底面边长为3，高为2，则其外接球的表面积为（ ） A. 4π B.
163π C. 323
π D. 16π 12.函数y ＝f (x ＋1)－32
是奇函数，y ＝f －1
(x )是y ＝f (x )的反函数，若f (3)
＝0，则f
－1
(3)＝（ ）
A. －1
B. 1
C. －2
D. 2
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数f (x )＝sin (2x －4
π)－2x 的最小正周期是 .
14.已知实数x ，y 满足：－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则2x －3y 的取值范围是 .（答案用区间表示）
15.设抛物线y 2＝2P x （P ＞0）的焦点为F ，点A (0，2).若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为 .
16.函数f (x )＝x 3
＋21
x x 2-1
+＋3sin x ＋4在区间[－t ，t ](t ＞0)上的最大值与最小值
之和为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 1＋a 3＝5，S 4＝15，设b n ＝2
5
＋2log n a ，求数列{b n }的前n 项和T n .
18.（本小题满分12分）
已知m ＝(cos ωx ＋sin ωx
ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx ，2sin ωx )，其中ω
＞0，若函数f (x )＝m ·n ，且f (x )的对称中心到f (x )的对称轴的最近距离不小于4
π
.
（I ）求ω的取值范围；
（II ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，当ω取最大值时，f (A )＝1，求△ABC 的面积.
19.（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，
AB
⊥AC ，PA ＝AC ＝
2
1
AB ，N 为AB 上一点， AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点. （I ）证明：CM ⊥SN ；
（II ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.
20.（本小题满分12分）
某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为5
4，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q （p ＞q ），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
（I ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； （II ）求p ，q 的值； （III ）求数学期望E ξ.
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝x2(x－3a)＋1 (a＞0，x∈R).
（I）求函数y＝f(x)的极值；
（II）函数y＝f(x)在(0，2)上单调递减，求实数a的取值范围；
（III）若在区间(0，＋∞)上存在实数x0，使得不等式f(x0)－4a3≤0能成立，求实数a的取值范围.
22.（本小题满分12分）
设椭圆C：2 2
x a ＋
2
2
y
b
＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，
B两点，直线l的倾斜角为60°，AF＝2FB. （I）求椭圆C的离心率；
（II）如果|AB|＝15
4
，求椭圆C的方程.
高二下学期期末考试数学试题（理科）
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1. B ；
2. A ；
3. B ；
4. C ；
5. A ；
6. A ；
7. B ；
8. D ；
9. C ； 10. C ； 11. D ； 12. A . 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. π； 14.（3，8）； 15. ； 16. 8 . 三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 17.（本小题满分10分）
简解：由题设知q ≠1，211415
(1)151a a q a q q ⎧+=⎪
⎨-=⎪-⎩
⇒11,
2.a q =⎧⎨=⎩
∴ a n ＝2n －1 ， ∴ b n ＝n ＋3
2， ∴ T n ＝(4)
2n n +
. 18.（本小题满分12分）
简解：（I ）f (x )＝2sin (2ωx ＋6π
)，
x 2－x 1≥4
π，而 4(x 2－x 1)＝
22π
ω， ∴
82πω≥4π ⇒ 0＜ω≤1 .
（II ）∵ f (A )＝1⇒sin (2A ＋6π)＝1
2，
∵ 6π＜2A ＋6π＜136π， ∴ 2A ＋6π＝65π⇒12
＝b 2
＋c 2
－2bc cos 3π
＝(b ＋c )2－3bc ，
又b ＋c ＝2，∴ bc ＝1， ∴ S △ABC ＝12bc ·sin A ＝1
2×1·sin 3π
＝.
19.（本小题满分12分）
设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系，如图.
)，
（II
）解：NC＝(－
1
2
，1，0)，
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则
1
0,
2
1
0.
2
x y z
x y
⎧
-+=
⎪⎪
⎨
⎪-+=
⎪⎩
令x＝2，得a＝(2，1，－2)，因为|cos(a，SN)|＝
1
1--
，
所以SN与平面CMN所成角为45°.
20.（本小题满分12分）
解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知
，，.
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
.
（II）由题意知
，
，
整理得，，
由，可得，.
（III）由题意知
=，
=，
i
A i i
1
4
()
5
P A=
2
()
P A p
=
3
()
P A q
=
ξ=
6119
1(0)1
125125
Pξ
-==-=
123
16
(0)()(1)(1)
5125
P P A A A p q
ξ===--=
123
424
(3)()
5125
P P A A A pq
ξ====
6
125
pq=1
p q
+=
p q
>
3
5
p=
2
5
q=
123123123
(1)()()()
a P P A A A P A A A P A A A
ξ
===++
411
(1)(1)(1)(1)
555
p q p q p q
--+-+-
37
125
=
(2)1(0)(1)(3)
b P P P P
ξξξξ
===-=-=-=
58
125
=
. 21.（本小题满分12分）
解：f ＇(x )＝3x (x －2a )，令f ＇(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a .
f (0)＝1，f (2a )＝－4a 3＋1 .
（I ）当a ＞0时，2a ＞0，当x 变化时，f ＇(x )，f (x )的变化情况如下表：
∴ 当a ＞0时，在x ＝0处，函数f
(x )有极大值f (0)＝1；在x ＝2a 处，函数
f (x )有极小值f (2a )＝－4a 3
＋1 .
（II ）在(0，2)上单调递减，∴ 2a ≥2，即a ≥1 .
（III ）依题意得 4a 3≥f (x )m i n ⇒4a 3≥－4a 3
＋1⇒8a 3≥1⇒a ≥1
2. 22.（本小题满分12分）
解：设A (x
1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＞0，y 2＜0 . （
I ）直线l 的方程为 y x ＋c )，其中c
联立2222),
1
y x c x y a
b ⎧=-⎪
⎨+=
⎪⎩得，(3a 2＋b 2)y 2－2c y －3b 4＝0，
解得 y 1
＝
y 2＝
因为
AF ＝2FB ，所以－y 1＝2y 2，即 2
得离心率e ＝c a ＝2
3.
（II ）因为|AB |y 2－y 1|，所以 154.
由c a ＝23得b ，所以 54a ＝15
4，得a ＝3，b .
所以椭圆C 的方程为 2
9x ＋25y ＝1 .
0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+=9
5。