湖北省黄冈市蕲春县2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题

蕲春县2016年春高中期中教学质量检测
高二数学（文）试题
蕲春县教研室命制 201６年4月27日 下午2:00—4:00
温馨提示：本试卷共4页。

考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．复数
2
5
-i 的共轭复数是（ ） A ．2+i B ．2-i
C ．i --2
D ．i -2
2．在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（ )． A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明（ ） A ．2ab －1－a 2b 2
≤0
B ．a 2
＋b 2
－1－a 4＋b 4
2
≤0
C ．(a ＋b )22
－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程2
0ax bx c ++=(0)a ≠有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A ．假设,,a b c 都是偶数
B ．假设,,a b c 都不是偶数
C ．假设,,a b c 至多有一个偶数
D ．假设,,a b c 至多有两个偶数 5．已知x 、y 的取值如右表所示：如果y 与x 呈线性相关，
且线性回归方程为2
13
ˆˆ+=x b y
，则=b （ ） A ．3
1
B ．21
-
C
．
2
1
D ．1
6．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2＜r 1＜0 B ．0＜r 2＜r 1 C ．r 2＜0＜r 1 D ．r 2＝r 1 7．已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，求⋅的最小值（ ）
A ．322-
B ．122-
C ．322+
D ．122+
8．已知322322=+
，833833=+，15441544=+，…，若t
a t a 66=+（a ，t 均为正实数）．类比以上等式，可推测a ，t 的值，则t ＋a ＝（ ）． A ．41
B ．42
C ．39
D ．38
9．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只
10题图
()
y f x '=
有1人猜对比赛结果，此人是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
10．已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数()y f x '=的图象如右图所示，则该函数
的图象可能是( )
A B C D
11．已知点P 是抛物线y x 22
=上的一动点，焦点为F ，若定点)21
(，M ，则当P 点在抛物线上移动时，PF PM +的最小值等于（ ）
A ．25
B ．2
C ．2
3 D ．3
12．若函数x a x x f ln 2
1)(2
+-=在区间），（∞+1上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[)∞+，1
B .），（∞+1
C ．(]1-，∞
D ．），（1-∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若复数i a a a )1()232
-++-（是纯虚数，则实数a 的值为 ． 14．已知函数,5)2()(2x f x x f +'⋅=则=')2(f ． 15．同样规格的黑、白
两色正方形瓷砖铺 设的若干图案，则
按此规律第4个图案中需用黑色瓷砖___________块．则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n 的代数式表示）
16．设F 为椭圆
14
162
2=+y x 的左焦点，A,B,C 为椭圆上的三点，若0=++FC FB FA ,则
= ．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题10分）已知m R ∈，复数mi m z +-=)1(,设命题p ：复数z 在复平面内对应的点位于第二象
限；命题q ：5≤z ．
⑴若p ⌝为真命题，求m 的取值范围； ⑵若“p ∨q”为真，求m 的取值范围．
18．(本小题12分）为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到如下
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢打篮球的学生的概率为
5
.
⑴请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
⑵能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢打篮球与性别有关?请说明你的理由；
参考公式及数据：
)(2
2
bc ad n K -=，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d
19．（本小题12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生
产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据
⑴请画出上表数据的散点图；
⑵请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； ⑶已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (×4＋6×4.5＝66.5)
20．（本小题12分）已知某单位由50名职工，将全体职工随机按1-50编号，并且按编号顺序平均分成10
组，先要从中抽取10名职工，各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样。

⑴若第五组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码； ⑵分别统计这10
名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图
所示，求该样本的平均数；
⑶在⑵的条件下，从体重不轻于73公斤（73≥ 公斤）的职工中随机抽取两
名职工，求被抽到的两名职工的体重之和等于154公斤的概率．
21.（本小题12分）某汽车生产企业上年度生产某一品牌汽车的投入成本为10万元╱辆，出厂价为13万
元/每辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加。

已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量。

⑴若年销售量增加的比例为0.4x ，写出本年度的年利润关于x 的函数关系式；
⑵若年销售量关于x 的函数为)3
52(32402
++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？
22．（本小题12分）已知椭圆
12
:2
22=+
y a x C ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，当直线l 的斜率为1时，坐标原点O 到直线l 的距离为2
2
.
5 9
6 2 5 7
7 0 3 6 8 9
8 1
⑴求椭圆的离心率；
⑵若直线可以绕点F 转动，动点P 在椭圆上，当OB OA OP +=时，求四边形OAPB 的面积．
蕲春县2016年春高二数学（文）教学质量检测参考答案
一、选择题：
1-5 BCDBB 6-10 CAADC 11-12 AC 二、填空题： 13. 2 14. 3
5
-
15. 24；4(n ＋2) 16. 3 三、解答题
17. 解：10:p <<m
………………2分
21:q ≤≤-m
………………4分
（1） 10m ≥≤m 或
…8分 （2）2m 1≤≤-
……10分
18.
分
（219．解： (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．……4分
(2)由对照数据，计算得：∑=4
1
2i i
x
＝86，
x ＝
3＋4＋5＋6
4
＝4.5(吨)， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5(吨)．
已知
∑=4
1i i i
y x
＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：
b
ˆ＝2
4
1
2
4144x x
y
x y x i i
i i
i -⋅-∑∑==＝
66.5－4×4.5×3.5
86－4×4.5
2
＝0.7， a ˆ＝y －b ˆx ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为y
ˆ＝0.7x ＋0.35
.……9分
(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：
90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤) ．
……12分
20．⑴2,7,12,17,22,27,32,37,42,47
⑵71
⑶7
10
解析：⑴由题意，第5组抽出的号码为22. 因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名
职工的号码依次分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. …………………… 4分 ⑵这10名职工的平均体重为： x －＝110
×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71 …………………… 7分
⑶从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)
，
(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，其中体重之和大于等于154公斤的有7种．故所求概率P ＝7
10
.
…………………… 12分.
21. 解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）；
出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， ……2分
因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+
(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+
即：
21800150015000(01),y x x x =-++<< ………………………4分
由2
180015001500015000x x -++>， 得506
x << …………6分
（2）本年度的利润为
)55.48.49.0(3240)3
5
2(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f
则
),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……8分
由,39
5,0)('
===x x x f 或解得
当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('
x f x f x <∈时，是减函数.
∴当95=x 时，20000)9
5()(=f x f 取极大值万元， ……9分 因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……11分
所以当95
=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……12分
22.解：（1）3
3
=e ……4分
（2）曲线()0,1,12
3:2
2F y x C ∴=+ 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )
设直线),0(1:≠+=k ky x
l 代入椭圆方程，
044)32(1
6
322222=-++⇒⎩⎨
⎧+==+ky y k ky x y x 3242
21+-=+∴k k y y ， 324
221+-=∴k y y
……6分
则 )
324,32622+-+k k
k P （
…………7分
因为P 在椭圆上，所以06)
32(163)323622
22
22=-+⨯++⨯
k k k （ ,22
,034424±
=∴=-+∴k k k
………………9分
由于对称性知，当2
2=
k
时，直线)22,23(,0122:-=--
P y x l
坐标原点到直线l 的距离为3
61=d ，点P 到直线l 的距离为362=d ，23
3=
AB ……11分 所以2
2
3=
S
……12分。