1微分方程与差分方程稳定性理论
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如果 tlim x(t ) x0 , 则称平衡点P0是稳定的.
t
lim y(t ) y0 ,
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设 f ( P0 ) f ( P0 ) f ( P0 ) g ( P0 ) x y p , q g ( P0 ) g ( P0 ) y x x y
微分方程定性分析
一般提法:不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态. 基本任务:考虑在有限区域内积分曲线的形状, 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象:驻定系统 若微分方程组
dxi fi ( x1 , x2 , , xn ), i 1, 2,, n dt
2 2
微分方程的定性分析
随着科学技术的发展,常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具, 也是数学建模的必备基础理论. 一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下,能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解. 解 求微分方程的数值解 决 方 对微分方程进行定性分析 法
二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.
当r = 0时, 它有一特解 x* = 0; 当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方
程
2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.
来代替.
dx f ( x0 )( x x0 ) dt
(4 2)
易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的通解为
x(t ) Ce
f ( x0 ) t
这个结论对 于(4-1)也是 ① 若 f ( x0 ) 0, 则x0是稳定的; 成立的. 关于x0是否稳定有以下结论:
x0 ,
② 若 f ( x0 ) 0, 则x0是不稳定的.
关于常微分方程组的平衡点及其稳定 性, 设 dx f ( x, y ), dt (4 3) dy g ( x, y ). dt 代数方程组 f ( x, y ) 0, g ( x, y ) 0. 的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
其右端的函数不显含自变量 t,称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统).
例5.2.1 单一质点非受迫直线运动满足下方程
令
dx v, 得一个二维驻定系统 dt dx v, dt dv a ( x)v a ( x). 1 2 dt
d x dx a1 ( x) a2 ( x) 0 2 dt dt
若x0, x1, … , xk-1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.
若有常数a是差分方程(4-6)的解, 即 F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(4-6)的平衡点. 又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的 解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠ 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当 |a|<1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
则 ① 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线 性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; ② 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线 性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n; ③ 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根 时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |<1 时, 平衡点x*是稳定的.
把时间t当作参数只要pxy和qxy不同时为零驻定方程dtdy方程4的积分曲线就可以看成是方程2在在相平面上的轨就可以变为对于k阶差分方程xnxn146若有xnn是差分方程46的解包含k个任意常数的解称为46的通解x0x1xk1为已知时称为46的初始条件通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为46的特解
一般二维驻定系统形式为 dx dt P ( x, y ), dy Q( x, y ). dt
(2)
t (x,y,t) t0
解曲线
o
x
y
投影曲线
定义:称平面 (x, y)为相平面,称解曲线 在相平面上的投影为相轨线,相轨线族称为 相位图.
如何得到相轨线?方法:把时间t当作参数,只要 P(x,y)和Q(x,y)不同时为零,驻定方程
对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0
(4-6)
若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k
则称xn = x (n)是差分方程(4-6)的解, 包含k个任意 常数的解称为(4-6)的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时 称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始 条件确定后的解称为(4-6)的特解.
微分方程稳定性 与定性分析
在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之 间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式, 这就是微分方程. 在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口 数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操 作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁. 不管是微分方程还是差分方程模型,有时无法得到 其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得 到其解析解,尚有未知参数需要估计(这里可利用参数估 计方法). 而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要, 因此,以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
微分方程平衡点与稳定点
设
f (x)=0 的实根x = x0为方程(4-1) 的平衡点(或奇点). 它也是方程(4-1)的解.
如果方程的解 x(t ) lim x(t ) x0
t
则称平衡点x0是稳定的.
稳定性判别方法 由于 f ( x) f ( x0 )( x x0 ), 在讨论方程(4-1)的 稳定性时,可用
dt
2( x 2 y 2 )2
进而 x 2 y 2 1 , (c
2t c
1 ) 2 2 x ( 0) y ( 0)
故也有
对该微分方程组的任一解 ( x( t ), y( t ))
1 lim ( x y ) lim 0 t t 2t c
对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ) 其平衡点x*由代数方程 x = f (x) 解给出. 为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近 似为一阶常系数线性差分方程
xn1 f ( x*)( xn x*) f ( x*),
当 | f ( x*) | 1 时,上述近似线性差分方程与原 非线性差分方程的稳定性相同. 因此 当 | f ( x*) | 1 时, x*是稳定的; 当 | f ( x*) | 1 时, x*是不稳定的.
则当p>0且q>0时, 平衡点P0是稳定的; 当p<0或q<0时, 平衡点P0是不稳定的.
例:求解微分方程组
dx x( x 2 y 2 ) dt dy y( x 2 y 2 ) dt
的平衡点, 并讨论其稳定性。 解:很容易求得该微分方程组的唯一平衡点; 由已知微分方程组可以得到 d ( x 2 y 2 )
2
x x(t ) x x(t , t0 , x0 , y0 ) 它的解 或者 (3) y y(t ) y y(t , t0 , x0 , y0 )
在以t,x,y为坐标的空间中一条曲线,这条曲线 称为积分曲线。
基本思想 将积分曲线投影到平面上进行分析.
dx dt P ( x, y ), dy Q( x, y ). dt
(2)
dy Q(x,y) dx P(x,y) 就可以变为 = 或者 = (4) dx P(x,y) dx Q(x,y)
方程(4) 的积分曲线就可以看成是方程(2)在 在相平面上的轨线。
4.2 差分方程模型