2010江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义(2)答案

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2010江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义(1)试卷

且 RtMM1 D ∽ RtMM 2 E
MM 1 MD MD AC ，所以 = ME AB MM 2 ME
设 BC 与圆 I 切于点 F，则 IF BC ，设 IF 与 DE 的交点为 M’。不难得到
M ' D AC M ' D MD = ，所以 = ，所以 M’与 M 重合，故 MI BC M ' E AB M ' E ME
2010 江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义（1）一、填空题：（共 8 小题，满分 64 分，每题 8 分） 1．函数 f(x)=log1(x2－2x－3)的单调递增区间是___________
2 1 98 101 104 2．若 f (x) (xR)是以 2 为周期的偶函数, 当 x[ 0, 1 ]时,f(x)=x1000，则 f( )，f( )，f( ) 19 17 15 由小到大排列是． x x 3.函数 f(x)= －是_________（奇偶性）函数 1－2x 2
B，F 四点共圆；I，E，C，F 四点共圆， MID ABC ， MIE AM(M') E
I
C F
DI sin MID MD sin DMI EI ME sin MIE sin EMI sin ABC AC = = ① sin ACB AB
另一方面，过点 M 作 MM 1 AB ， MM 2 AC ，则 S MAB
1 AB MM 1 ， 2
②
S MAC
MM 1 MD 1 AC MM 2 ，且 RtMM1 D ∽ RtMM 2 E 2 MM 2 ME
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由①②
9.（16 分）在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆

2010年全国高中数学联赛江苏赛区(试卷、参考答案、评分细则)

2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程9135x x +-=的实数解为．提示与答案：x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .提示与答案：与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z ． 3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=- ，则AB ＝ .提示与答案：216AB AC AB BC AB ⋅-⋅== ，得4AB = ．4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是，最小值是．提示与答案：极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0．5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为．提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数 ()y f x =在区间[]0,100上至少有个零点.提示与答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为．提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是．（第7题）提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13． 9．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且cos θ=．已知棱AB的长为．提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是．提示与答案：由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++ 恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以122a i =-±．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点．若 3455OM OA OB =+ ，证明：线段AB 的中点在椭圆22212x y +=上．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1．由3455OM OA OB =+ ，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2)．因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故 x 1x 24＋y 1y 2＝0． …………………14分又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上． ………………20分 12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数.又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5． …………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…当m =1时等式成立，即－3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；当m =3时等式成立，即－1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3． …………………20分13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ．证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆；(2) 四边形BFCG 是矩形．证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ，又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ，∴ ∠BAF =∠BHF ，∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆；…………………8分(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BF A ，∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ，又AD 是圆的直径，∴ CG ⊥AC ， …………………14分由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG ， ∴ B 、G 、C 、F 共圆.∴ ∠BGC =∠AFB=900, ∴ BG ⊥GC ，∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数.∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………5分若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2.∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数. 又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且(2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2，∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………15分若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分 A B C D EF H G。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.
【例5】已知实数、、、互不相等，且，试求的值.思路点拨：运用连等式，通过迭代把、、用的代数式表示，由解方程求得的值.
注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多项式代换；
(2)把方程（）变形为，代换后降次；
11、已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为.
12、已知是方程的一个正根.则代数式的值为.
13、对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()
A、1B、2 C、 D、2．5
14、自然数满足，这样的的个数是()
A、2 B、1 C、3 D、4
15、已知、都是负实数，且，那么的值是()
20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC= S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数．求证：需为无理数.
参考答案
第二讲判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等.我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题.
【例题求解】
【例1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是.(广西中考题)

江苏省扬州中学2010-2011学年高二上学期期末考试数学试题(word版有答案)

江苏省扬州中学2010―2011学年第一学期期末考试高二数学试卷 2011.1一、填空题（14570''⨯=）1．命题“2,0x R x x ∃∈+≤”的否定是___________．2．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为___________． 3．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为____________．4．设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为________．5．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是_________．6．函数5523--+=x x x y 的单调递减区间是_______________． 7．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有________根的棉花纤维的长度小于20mm 。

8．直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣=_________．9．在平面直角坐标系xoy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是_________． 10．设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为_________．11．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若|MN |≥k 的取值范围_____________．12．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则椭圆C 的离心率为____________．13．若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是__________．14．函数3211()22132f x ax ax ax a =+-++的图像经过四个象限，则a 的取值范围是_____．二、解答题（15、16每题14'，17、18每题15'，19、20每题16'）15．已知直线1l ：(2)(3)50m x m y +++-=和2l ：6(21)5x m y +-=。

扬州中学20102011学年度九年级数学上册期末试题及答案

扬州中学教育集团2010–2011学年度第一学期期末考试试卷九年级数学2011.1.20（满分：150分；考试时间：150分钟）说明：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。

2．选择题每小题选出答案后，请用2B 铅笔在答题卡指定区域填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案。

非选择题请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答，在试卷或草稿纸上作答一律无效。

考试结束后，请将答题卡交回。

3.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上）1．下列图形中对称轴最多的是（）A.圆B.矩形C.等腰梯形D.八边形2.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A.22=+x xyB.0222=+-y xC. 21x y =D. 02=-x y 3．不透明的布袋中装有红、白、黄和黑四个除颜色外其他都相同的小球，从中任意摸出一个是白色的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．164.如图, 右图是北京奥运会自行车比赛项目标志，图中两车轮所在圆的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离 5．如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB ，DC•重合，则所围成的几何体图形是（）6．下面四个方程中，两根之积为5的是（）A ．0462=+-x xB ．0462=-+x xC ．0562=+-x xD ．0562=-+x x7．关于x 的一元二次方程0122=--ax x （其中a 为常数）的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．可能有实数根，也可能没有C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，点D 在边AB 上，且AD=5，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是() 第4题图第8题图A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．无法确定二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填写在答题卡相应位置上）9．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CB=3，AC=4，则sinA 的值是．10．一组数据中若最小数与平均数相等，那么这组数据的方差为．11．已知一元二次方程有一个根是1，那么这个方程可以是（填上你认为正确的一个方程即可）．12.某地2010年农民人均年收入为8652元，计划到2012年，农民人均年收入达到10680元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程．13．如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，•那么这个圆锥的侧面积是 cm 2．14．若某二次函数的图像经过点A （2,a ）和点B （-4,a ），则这个二次函数图像的对称轴是直线．15．菱形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点（不与A,C 两点重合），以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2，分别以A ，B ，C 为圆心，以1为半径画弧，三条弧与AB 所围成的阴影部分的周长是．17．把函数12+=x y 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的图像的解析式是．18．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点（不与A 、B 重合），已知BC ＝1， tan ∠ADC ＝1，则AB ＝__________．三、解答题19．（本题满分10分）（1）计算：020045cos 60tan 30sin +⋅（2）用配方法解方程：0522=--x x20.（本题满分10分）一只不透明的袋子里共有4个球，它们除颜色外均相同，其中3个白球，1个红球。

江苏省扬州市中学教育集团2010-2011学年九年级数学上学期期末考试题详细解析

2010-2011学年某某省某某市中学教育集团九年级（上）期末数学试卷详细解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1、（2008•某某）下列图形中对称轴最多的是（）A、圆B、菱形C、正三角形D、正方形考点：轴对称图形。

分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解答：解：A、圆有无数条对称轴，即过圆心的每一条直线，符合题意；B、菱形有2条对称轴，即对角线所在的直线，不符合题意；C、正三角形有3条对称轴，即三边的垂直平分线，不符合题意；D、正方形有4条对称轴，即两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，不符合题意．故选A．点评：能够熟练掌握轴对称图形的对称轴条数．2、下列各式中，y是x的二次函数的是（）A、xy+x2=1B、x2﹣y+2=0C、D、y2﹣4x=3考点：二次函数的定义。

分析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．解答：解：A、整理为y=，不是二次函数，错误；B、x2﹣y+2=0变形，得y=x2+2，是二次函数，正确；C、分母中含自变量，不是二次函数，错误；D、y的指数是2，不是函数，错误．故选B．点评：本题考查二次函数的定义．3、布袋中装有红、白和黑三个不同颜色的小球，从中任意摸出一只是红色的概率是（）A、24m2B、C、8m2D、考点：概率公式。

分析：从中任意摸出一只球总共有3种情况，其中是红色只有1种情况，利用概率公式进行计算．解答：解：从中任意摸出一只是红色的概率是．故选B．点评：本题考查的是概率公式：P（A）=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m 表示事件A包含的试验基本结果数．4、（2008•某某）如图是奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（）A、内含B、相交C、相切D、外离考点：圆与圆的位置关系。

分析：此题可根据图形，两个圆没有交点，因此可知两圆是外离的关系．解答：解：由图可知自行车两轮没有交点，所以其位置关系为“外离”，故选D．点评：本题考查圆与圆的位置关系，以奥运会为题材，具有趣味性、新颖性．5、（2005•某某）如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是（）A、B、C、D、考点：几何体的展开图。

2010年扬州中考数学(附参考答案及评分建议)

2010年扬州市中考数学参考答案及评分建议9．410．2．04×10511．x ≠2的一切实数 12．413．y= － 6x14．(4,2) 15．40 16．3 5 17．20π18．3三、解答题（本大题共有10小题，共96分，解答必须写出必要的文字说明，推理步骤或证明过程）19．解：（1）原式－－1………………………………………………………………3分 4分（2）原式=m(m 2－4) ………………………………………………………………2分=m(m+2)(m —2) …………………………………………………………4分20．解：解不等式（1），得2x ≥-………………………………………………………2分解不等式（2），得x ＜1…………………………………………………………4分所以原不等式组的解集为—2≤x ＜1……………………………………………6分在数轴上表示解集为：…………………………………………………………8分21．解：（1）某校600名初中毕业生体育考试成绩情况的全体…………………………1分50………………………………………………………………………………2分（2）………………………………………5分（3）抽取的学生中，成绩合格的人数共有50—3=47人，所以该校成绩合格以上的人数为4750×600=564人。

………………………………8分176分开始黄蓝黄1白21白2白22．解：（1）1（2）解法一：用树状图分析如下所以，P （两次都摸到白球）=212 = 16……………………………………………………8分 23．解：设每个小组有x 名学生，……………………………………………………1分根据题意，得2402x —2403x=4…………………………………………………………………5分解这个方程，得x=10…………………………………………………………8分经检验：x=10是原方程的根…………………………………………………9分答：每个小组有10名学生。

2010江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义(6)试卷

4．函数在上的最小值是___________
5.正实数x，y，z满足9x2+12y2+5z2=1，则3x+6y+5z的最大值=_______．
6．正实数x，y，z满足3x3+2y3+6z3=6，则2x+3y+z的最大值=_______．
7．已知x，y，z，t ，且满足x+y+z+t=2，则xy+yz+zt+tx的取值范围=_______．
8．已知x，y，z，t ，且，则的最大值和最小值之积=_______
二、解答题：
9．设≤x≤5，证明不等式：2++<2．
10.已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N。
（1）求证：直线MN必过定点；
（2）分别以弦AB，CD为直径作圆，求证两圆相交弦所在直线经过原点。
2010江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义（6）
一、填空题：（共8小题，满分64分，每题8分）
1．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．
2．已知0<b<1，0<a<，则下列三数：x=(sina)，y=(cosa)，z=(sina)的大小关系是___________________
3.在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数．
11.（20分）将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝xixj．问：
⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；
⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.说明理由．

竞赛培优讲义函数的概念和性质(学生版含答案)

1第二讲函数的概念和性质知识、方法、技能I ．函数的定义设A ，B 都是非空的数集，f 是从A 到B 的一个对应法则.那么，从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做从A 到B 的函数.记做y=f(x)，其中x ∈A ，y ∈B ，原象集合，A 叫做函数f(x)的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C ⊆B.II ．函数的性质（1）奇偶性设函数f(x)的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集.若对任意的x ∈D ，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数. （2）函数的增减性设函数f(x)在区间D ′上满足：对任意x 1, x 2∈D ′，并且x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) (f(x 1)>f(x 2)),则称f(x)在区间D ′上的增函数（减函数），区间D ′称为f(x)的一个单调增（减）区间. III ．函数的周期性对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数T ，使得当x 取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T 称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T 0，称T 0为周期函数f(x)的最小值正周期. IV ．高斯函数对任意实数x,我们记不超过x 的最大整数为[x]，通常称函数y=[x]为取整函数，又称高斯函数. 进一步，记{x}=x －[x]，则函数y={x}称为小数部分函数，它表示的是x 的小数部分. 根据高斯函数的定义，可得到其如下性质. 性质1 对任意x ∈R ，均有 x －1<[x]≤x<[x]+1.性质2 对任意x ∈R ，函数y={x}的值域为)1,0[.性质3 高斯函数是一个不减函数，即对任意x 1, x 2∈R ，若x 1≤x 2, 则[x 1] ≤[x 2]. 性质3 若n ∈Z , x ∈R ,则有 [x+n]=n+[x], {n+x}={x} 后一个式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.性质4 若x , y ∈R ，则 [x]+ [y]≤[x+y] ≤[x]+ [y]+1. 性质5 若n ∈N*, x ∈R , 则[nx]≥n[x] 性质6 若n ∈N*, x ∈R , 则]][[][nx n x =. 性质7 若n ∈N*, x ∈R +, 则在区间[1,x]内，恰有][nx 个整数是n 的倍数.性质8 设p 为质数，n ∈N*,在p 在n!的质因数分解式中的幂次为++=][][)!(2pnp n n p赛题精讲函数是高中数学，也是高等数学的基础.因此，也是高考和高中数学竞赛的重要内容.下面分类介绍此类题目.I 函数的定义域和值域例1 当x 为何值时，x lg lg lg lg lg lg 才有意义.例2 (1)（2011一试2）函数11)(2-+=x x x f 的值域为．(2)（2010一试1）函数x x x f 3245)(---=的值域是 .变式：函数x x x f 3245)(-+-=的值域.（3）求函数y =x +的值域。

2010江苏省扬州中考试题解析任梦送-推荐下载

人．204 000 用科学记数法表示为__________． 2.04×105【解析】考查点：科学记数法。解题思路：科学记数法的一般形式为 a×10n,这里 1≤a＜10,n
为整数位数减去 1.204 000==2.04×105。 1
11．（2010 江苏扬州）在函数 y＝x－2中，自变量 x 的取值范围是__________． x≠2 【解析】考查点：函数自变量取值范围，分式有意义的条件。解题思路：函数有意义需要 x-2≠0
处，且 BP3＝BP2；……；跳蚤按上述规则一直跳下去，第 n 次落点为 Pn（n 为正整数），则点 P2007
与 P2010 之间的距离为（）
A．1 B．2 C．3
D．4
【解析】考查点：动点找规律问题。解题思路：经过探究可知当跳蚤跳到第六次时，与开始位置重合，即 P6 与 P0 重合，P7 与 P1 重合。据此规律可知 P2007 与 P3 重合，P2010 与 P0 重合，原题即求 P3 与 P0 之间的距离为 3。
1 D．5
D．(x4) 2＝x8
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线0产中不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资22负料，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看2与全22过，22度并22工且22作尽2下可护1都能关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编5试技写、卷术重电保交要气护底设设装。备备4置管高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并3技试资件且、术卷料拒管中试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2010江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义(1)原稿

所以
f (2008) g (2008) 22008 g (0) 22008 22008 2007 ．
.
(x－1)3+1997(x－1)=－1， 6．设 x，y 为实数，且满足则 x+y 3 (y－1) +1997(y－1)=1． (x－1)3+1997(x－1)+1=0，解：原方程组即 3 (1－y) +1997(1－y)+1=0．
取 f(t)=t3+1997t+1，f (t)=3t2+1987>0．故 f(t)单调增，现 x－1=1－y，x+y=2．
3 x +sinx－2a=0， π π 【变式与拓展】已知 x，y∈[－， ]，a∈R 且 3 则 cos(x+2y) 4 4 4y +sinycosy+a=0
=
．解：2a=x +sinx=(－2y)3－sin(－2y)， π π π π 令 f(t)=t3+sint，t∈[－， ]，f (t)=3t2+cost>0，即 f(t)在[－， ]上单调增．∴ x=－2y． 2 2 2 2
3 2
5.已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1 且对任意 xR 都有 f(x＋5)≤f(x)＋5，f(x＋1)≥f(x)＋1,. 若 g(x)=f(x)＋1－x，则 g(2002)= ；解：由后式， f(x+5) ≥ f(x+4)+1 ≥ f(x+3)+2 ≥ f(x+2)+3 ≥ f(x+1)+4 ≥ f(x)+5 ．比较前式得 f(x+1)=f(x)+1． ∴ f(x)=x 对一切 x∈N*成立，∴ 对于 x∈N*，g(x)=f(x)+1－x=x+1－x=1 ∴ g(2002)=1．【变式与拓展 1】设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数，且满足下列关系 f(10+x)=f(10x)， f(20x)=f(20+x)，则 f(x)的周期是__________ 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数； ∴ f(－x)=f(40－x)=f(20+(20－x)=－f(20－(20－x))=－f(x)．∴ 是奇函数．【变式与拓展 2】设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，若 f (0) 2008 ，且对任意 x R ，满足

2010江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义(7)试卷

10．已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B( –a, 0) ,(ab0,b22pa).M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2．
求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1,M2存在且M1M2.)直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.
11.解不等式：．
【讲评】设M，N分别是△ABC的边AC，BC上的点，且∠ACB=90°，设AN与BM交于点L，证明：△AML，△BNL的垂心与点C三点共线
|Sn－n－6|<的最小整数n是____________
6．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是；
7.设数列的前项和满足：，( ，)，则通项 =___
8.设数列的满足，，则 ________
二、解答题：
9．设数列{an}的前n项和Sn=2an－1（n=1，2，…），数列{bn}满足b1=3，bk+1=ak+bk（k=1，2，…)．求数列{bn}的前n项和．
2010江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义（7）
一、填空题：（共8小题，满分64分，每3且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是________
2．等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是___________
3．各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于______
4.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有____________
5.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式

2010江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义(4)原稿

不多于 8 次，则 k 可以取__________
2 6 ， 2k 1 2k 1 3 3 检验： k 1, T 2, 周期数，不合题意，舍去； 2 6 3 5 k 2, T , 周期数，符合题意，故 k=2； 6 5 2 5 6 3 7 k 3, T , 周期数，符合题意，故 k=3； 6 2 7 7 2 3 9 k 4, T , 周期数 4 ，不合题意。 2 2 3 3
2010 江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义（4）一、填空题：（共 8 小题，满分 64 分，每题 8 分） 1. arcsin(sin2000)=__________. π 解：2000° =180° ×12－160° ．故填－20° 或－． 9 2.在平面直角坐标系 xOy 中，函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的 2 图像与函数 g(x)= a +1的图像所围成的封闭图形的面积是； 2 2 2 2 解：f(x)= a +1sin(ax+)，周期= ，取长为，宽为 2 a +1的矩形，由对称性知，面积 a a 2 2 之半即为所求．故填 a +1． a
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又 0 180 3 90 30 60 ，故 30 45

2 3 ， cos 2 2
AC 2cos ( 2, 3). 2k +1 π 5 πx - )(k N* ) 在区间 [a, a + 3] 上的值出现的次数不小于 4 次， 4. y = 5cos( 又 3 6 4
sin A cot C cos A 的取值范围是 sin B cot C cos B

初中数学竞赛专题选讲(含答案)

初中数学竞赛专题选讲一元二次方程的根一、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ；方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－；或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝；或⎩⎨⎧==24b a . 又解：设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++--　②（　①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1）得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得（a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1；或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时，得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,－1, 2, －2，分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿x=0＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿x=1＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿x=-1＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿5/4＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿1＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿1＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿9q=2p2＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿一正一负＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ A ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？a=1b=-1/29. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ C ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿a 不等于 b ＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.M=-1 b=212. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是（）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤118.方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0 (k是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是( )（A）3<k<4(B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1（D）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。

2010年全国初中数学联赛(含答案)

12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放个球．【答案】 15【解析】也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试（A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤．因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤．因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，，所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试（B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤．因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤．因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+．又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。

2010江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义(3)试卷

cos 1 2 ． sin sin 3 4
11．已知曲线 Cn : y nx2 ,点 Pn ( xn , y n ) ( xn 0, yn 0) 是曲线 Cn 上的点 (n 1,2,...)，
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【讲解】凸四边形 ABCD 的对角线交于点 M，点 P，Q 分别是 AMD 和 CMB 的重心，点 R，S 分别是 CMD 和 AMB 的垂心，求证：PQ RS
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【练习】在锐角△ABC 中，点 A，B 到对边垂线的垂足分别为 H a , Hb .A, B 的平分线分别交对边点 Wa ,Wb ，证明：ABC 的内心 I 在线段 Ha Hb 上当且仅当外心 O 在 WaWb 上
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9. 将编号为 1，2，3，…，9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为 S，求使 S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)
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10. 已知函数 f ( x) | sin x | 的图像与直线y kx (k 0) 有且仅有三个公共点，公共点的横坐标的最大值为，求证：
2010 江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义（3）一、填空题：（共 8 小题，满分 64 分，每题 8 分） α α α 1. 设 sin＞0，cos＜0，且 sin ＞cos ，则的取值范围是_________________ 3 3 3
1 ，则 a _________ 2 3．在区间[0，]中，三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是
2.设 f ( x) cos 2 x 2a(1 cos x) 的最小值为

江苏省扬州市2010年初中毕业、升学统一考试数学试卷全解全析(超详细)

绝密*启用前2010年扬州市中考试题数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题28小题，共6页，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分。

本卷时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号。

3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答、非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效。

4．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答案卡相应的位置上。

）1．（2010江苏扬州，1，3分）－5的倒数是（）A．－5 B．5 C．－15D．15【分析】－5的分母可以看作是1，其倒数是原数的分子、分母颠倒位置，故其倒数是－15．【答案】B【涉及知识点】倒数【点评】本题属于基础题，主要考查学生对倒数的概念的掌握，考查知识点单一，有利于提高本题的信度．【推荐指数】★2．（2010 江苏扬州，2，3分）下列计算正确的是（）A.x4+x2=x6B. x4－x2=x２C. x4·x2=x8D.(x4)2=x8【分析】A,B选项,所以给的各项不是同类项,无法进行合并;C选项,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,故不正确;D选项,根据幂的乘方,底数不变,指数相乘可知正确.【答案】D【涉及知识点】整式的运算【点评】本题属于基础题，主要考查学生是否具有基础的运算能力,考查知识点单一，有利于提高本题的信度．【推荐指数】★3．（2010江苏扬州，3，3分）如图,由几个相同小立方块所搭成的物体的俯视图是（）【分析】从上面看,从左至右可以看到三列,第一列一个正方形,第二列一个正方形,第三列两个正方形．【答案】D【涉及知识点】三视图【点评】本题属于基础题，主要考查的是画三视图,有利用培养学生的抽象思维能力和空间能力．【推荐指数】★★4．（2010江苏扬州，4，3分）下列事件中,必然事件是（）A．打开电视,它正在播广告B．掷两枚质地均匀的正方体骰子,点数之和一定大于6C．早晨的太阳从东方升起D．没有水分,种子发芽【分析】A属于不确定事件;B属于不确定事件;C必然事件;D.不可能事件．【答案】C【涉及知识点】概率【点评】本题考查了必然事件的概念,此类问题通常与生活实际结合在一起,所以要培养学生了解一些必要的生活常识．【推荐指数】★★5．（2010江苏扬州，5，3分）已知⊙O1，⊙O2的半径分别为5cm、8cm，且它们的圆心距为8cm,则⊙O1和⊙O2的位置关系为（）A．外离B．相交C．相切D．内含【分析】两圆的圆心距d=8cm,而8-3<d<8+3,故两圆的位置关系是相交.【答案】B【涉及知识点】圆与圆的位置关系【点评】本题主要考查的是与圆有关的位置关系,解决此类问题的关键是抓住两圆的圆心距与两圆半径和或差的关系进行对比．【推荐指数】★★★6．（2010江苏扬州，6，3分）一组数据3，4，x，6，8的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由于3+4+x+6+8=5×5,解得x=4，所以这组数据的中位数是462=5.【答案】B【涉及知识点】统计、平均数、中位数【点评】本题将平均数、中位数这两个知识点有机结合在一起，利用平均数的概念确定未知数的值，然后根据中位数的计算方法，先将数据从小到大进行排列，然后确定中间一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数.【推荐指数】★★★7．（2010江苏扬州，7，3分）在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称图形的概念，绕某一点旋转180°能与自身重合，则是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形，正方形是中心对称图形，菱形是中心对称图形，等腰梯形不是中心对称图形，故是中心对称图形的只有两个．【答案】B【涉及知识点】图形的变换【点评】图形的变换也是中考常考查的知识点之一，解决此类问题时，主要抓住概念，根据概念结合图形的特点进行判断．【推荐指数】★★8．（2010江苏扬州，8，3分）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8.如果跳蚤开始时在BC边的P0处,BP0=2.跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处,且CP1= CP0;第二步从P1跳到P2(第2次落点)处,且AP2= AP1;第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处,且AP3= AP2;……;跳蚤按上述规则一直跳下去,第n次落点为P n(n为正整数)，则点P2007与P2010之间的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】．【答案】C【涉及知识点】规律探索【点评】本题主要考查规律探索,通过给出的已知点来归纳出解决问题的方法,难度比较大．【推荐指数】★★★★二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2010江苏扬州，9，3分）16的算术平方根是_____.【分析】因为42=16,所以16的算术平方根是4．【答案】4【涉及知识点】算术平方根【点评】本题主要考查的是算术平方根的计算,根据一个正数的算术平方根是指它的正的平方根,可求其解．【推荐指数】★10．（2010江苏扬州，10，3分）今年5月1日,上海世界贸易博览会正式对外开放,当日参观人数大约有204000人,204000用科学计数法表示为_____.【分析】对于绝对值大于10的数,用科学记数法表示时,就是把它写成a×10n形式，其中1≤∣a∣<10,n的值为原数的整数位数减1,所以204000=2.04×105.【答案】2.04×105【涉及知识点】科学记数法【点评】科学记数法是每年中考试卷中的必考问题，把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a ＜10，n为整数，这种计数法称为科学记数法），其方法是（1）确定a，a是只有一位整数的数；（2）确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．【推荐指数】★★11．（2010江苏扬州，11，3分）在函数y＝1x－2中，自变量x的取值范围是______.【分析】由于分式的分母不能为0，x－2是分母，因此x－2≠0，解得x≠2．【答案】x≠2【涉及知识点】分式的意义【点评】初中阶段涉及有意义的地方有三处，一是分式的分母不能为0，二是二次根式的被开方数必须是非负数，三是零指数的底数不能为零．【推荐指数】★★★12．（2010江苏扬州，12，3分）抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为______．【分析】由于－-b2×2=1,解得b=4.【答案】4【涉及知识点】二次函数的性质【点评】二次函数y＝ax2+bx＋c的对称轴是x=－b2a,由此可以看问题转化成方程的问题进行求解．【推荐指数】★★13．（2010江苏扬州，13，3分）反比例函数的图象经过点（－2，3），则此反比例函数的关系式是__________．【分析】设反比例函数的关系式是y= kx,因为图象经过（－2，3）,所以3=k-2 ,解得k=-6.【答案】y= -6 x【涉及知识点】反比例函数【点评】确定反比例函数的关系式时,只需设出反比例函数关系式,然后将一个点的坐标代入,即可确定的k的值．【推荐指数】★★14．（2010江苏扬州，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为__________．【分析】先画出旋转后的图形,观察图形可知B′的坐标是（4，2）．【答案】（4，2）【涉及知识点】旋转,平面直角坐标系【点评】中考对于旋转的考查,往往与平面直角坐标系结合在一起,这样可以拓宽学生的知识面．【推荐指数】★★★15．（2010江苏扬州，15，3分）如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝__________．【分析】因为AD∥OC，所以∠DAO＝∠BOC＝70°;因为OA＝OD,所以∠ADO＝∠DAO＝70°,然后利用三角形的内角和定理可求∠AOD＝40°．【答案】40°【涉及知识点】三角形的内角和,平行线【点评】本题属于几何的综合小题目,题目虽然简单,但是考查的知识点比较多,有利于培养学生综合运用所学知识的能力．【推荐指数】★★★16．（2010江苏扬州，16，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________．【分析】由勾股定理可求AB=10.通过折叠,有BCˊ＝BC＝6,故ACˊ＝AB－BCˊ＝4．设DC ＝DC＝x,在Rt△ADCˊ中,由勾股定理得x2+42=(8-x)2,解得x＝3,在Rt△BCD中,由勾股定理可求BD的值.【答案】35【涉及知识点】勾股定理,轴对称【点评】要想确定直角三角形中边的长度,只需利用勾股定理进行求解，本题难度中等，只要细心，很容易拿分．【推荐指数】★★★★ 17. （2010江苏扬州，17，3分）一个圆锥的底面半径为4cm ，将侧面展开后所得扇形的半径为 5cm ，那么这个圆锥的侧面积等于_________ cm 2（结果保留）．【分析】展开的扇形的弧长就是圆锥的底面周长,圆锥的侧面积就是展开的扇形的面积,所以圆锥的侧面积为21×5×2π×4＝20π. 【答案】20π【涉及知识点】与圆有关的计算,扇形的面积公式【点评】解决此类问题的关键是搞清圆锥的侧面积与侧面展开图之间的关系，本题难度中等，只要细心，很容易拿分．【推荐指数】★★★ 18. （2010江苏扬州，18，3分）如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4， AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．【分析】延长DA 到D ˊ,使DA ˊ=AD ,连结D ˊB ,交AB 于点P ,则此时PC ＋PD 的和最小,由AD ∥BC 易知△APD ˊ∽△BPC ,所以BP AP BC D A =',即BPBP-=564,解得PB ＝3.【答案】3【涉及知识点】相似三角形,轴对称【点评】解决此题的关键是确定点D 的对应点，确定对应点后,利用相似三角形对应边成比例来确定线段的长.本题难度中等，只要细心，很容易拿分．【推荐指数】★★★★三、解答题（本题共10个小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2010江苏扬州，19，8分）（1）计算：(－1)2＋tan 60°－(π＋2010)0（2）因式分解：m 3－4m【分析】问题(1),任何一个非零数的零次幂等于1;问题(2),因式分解时,先考虑提公因式法,然后再考虑公式法.【答案】（1）原式=131-+ =3（2）原式=m (m 2-4) =m (m -2)(m +2) 【涉及知识点】实数,因式分解【点评】本题主要考查的是实数的运算,以及因式分解,在进行实数的相关运算时,要掌握以下两点:一是任何一个非零数的零次幂等于1;二是任何一次非零数的-P 次幂都等于这个数的P 次幂的倒数..本题难度较小，只要细心，很容易拿分．【推荐指数】★★20. （2010江苏扬州，20，8分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧<--≤-1213)34(2125x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集,其公共部分就是不等式组的解集. 【答案】解不等式（1）得x ≥—2 解不等式（2）得x ＜1∴原不等式组的解集为—2≤x ＜1 在数轴上表示为【涉及知识点】不等式组【点评】本题难度较小，主要考查不等式组的解法,需要注意的是在数轴上表示不等式组的解集时,有等号用实心点表示,无等号用空心圆圈来表示．【推荐指数】★★★ 21．（2010江苏扬州，21，9分）某学校为了了解600名初中毕业生体育考试成绩的情况（满分 30分，得分为整数），从中随机抽取了部分学生的体育考试成绩，制成如下图所示的频数分布直方图．已知成绩在15.5～18.5这一组的频率为，请回答下列问题：（1）在这个问题中，总体是_____________________，样本容量是________；（2）请补全成绩在21.5～24.5这一组的频数分布直方图；（3）如果成绩在18分以上的为“合格”，请估计该校初中毕业生中体育成绩为“合格”的人数【分析】总体是所要考查的对象的全体;样本容量是所抽取的样本中个体的数目. 【答案】（1）某校600名初中毕业生体育考试成绩情况的全体，50 （2）（3）抽取的学生中，成绩合格的人数共有50-3=47人所以该校合格以上的人数为5646005047=⨯ 【涉及知识点】统计频数分布直方图【点评】本题难度较小，主要考查从频数直方图获取信息的能力,题目难度不大,比较容易得分．【推荐指数】★★★22. （2010江苏扬州，22，8分）在一个不透明的袋子中装有白色、黄色和蓝色三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，蓝球有1个．现从中任意摸出一个小球是白球的概率是12 ．（1）袋子中黄色小球有____________个；（2）如果第一次任意摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用画树状图或列表格的方法求两次都摸出白球的概率．【分析】问题(1),可根据白球的概率确定袋子中球的总个数,即可求出黄球的个数，2÷21-2-1=1;问题(2),画表格或树状图时,注意第一次摸出小球后不放回．【答案】(1) 1(2)解法一：用树状图分析如下∴P(两次都摸到白球)=612=. 【涉及知识点】概率【点评】本题主要考查的是利用树状图或表格求不确定事件发生的概率，属于基础题,难度不大,细心的话,容易得分．【推荐指数】★★★★23．（2010江苏扬州，23，10分）为了迎接扬州烟花三月经贸旅游节，某学校计划由七年级（1）班的3个小组（每个小组人数都相等）制作240面彩旗．后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务，这样这两个小组的每一名学生就要比原计划多做4面彩旗．如果每名学生制作彩旗的面数相等，那么每个小组有多少学生？【分析】本题中的等量关系:原计划每一名学生做彩旗的面数-改变计划后每一名学生做彩旗的面数=4．【答案】解：设每个小组有x 名学生根据题意，得432402240=-xx 解这个方程，得x =10经检验：x =10是原方程的解答：每个小组有10名学生. 【涉及知识点】分式方程的应用【点评】本题主要考查的是利用分式方程解决实际问题,解决此类问题的关键是确定题目中的等量关系,容易出错的地方是解分式方程后不进行检验．24．（2010江苏扬州，24，10分）如图，四边形ABCD 是菱形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，分别交BD 、CD 于点E 、F ，连接CE ．（1）求证：∠DAE ＝∠DCE ；（2）当AE ＝2EF 时，判断FG 与EF 有何等量关系？并证明你的结论？【分析】问题（1）,可通过证△ADE ≌△CDE 来说明∠DAE =∠DCE ;问题(2),利用相似三角形对应边成比例来确定线段之间的数量关系.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠ADE =∠CDE ，AD=CD ∵DE 是公共边∴△ADE ≌△CDE （SAS ） ∴∠DAE =∠DCE(2)FG=3EF解法一：∵四边形ABCD 是菱形∴AD ∥BC ，∠DAE =∠G ∵∠DAE =∠DCE ∴∠DCE =∠G ∵∠CEF =∠GEC ∴△ECF ∽△EGC∴ECEGEF EC = ∵△ADE ≌△CDE ∴EA=EC ∴ECEGEF EA = ∵AE =2EF∴EG =2EC =4EF ∴FG =3EF解法二：∵四边形ABCD 是菱形∴AB ∥CD∴△ABE ∽△FDE∴2==EF AEDE BE 同理△BEG ∽△DEA ∴2==DEBEEA EG ∴EG =2AE =4EF∴FG =3EF【涉及知识点】相似三角形,全等三角形,菱形【点评】本题属于几何综合题,是中考的必考内容，具有一定的难度,要求学生在掌握基础知识的同时,学会灵活运用．【推荐指数】★★★★★25．（2010江苏扬州，25，10分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）【分析】过点B 作BF ⊥DE 于点F , BG ⊥AE 于点G .在Rt △ADE 中,利用三角函数可求DE 的长;根据山坡AB 的坡度可求AG 与EF 的长,即可确定BF 的长, 由于∠CBF ＝45°，因此△BCF 是等腰直角三角形,可求CF =BG , CD =CF +EF —DE .【答案】解：作BF ⊥DE 于点F ，BG ⊥AE 于点G在Rt △ADE 中∵tan ∠ADE =AEDE , ∴DE =AE ·tan ∠ADE=153∵山坡AB 的坡度i =1：3，AB =10∴BG =5，AG =35，∴EF =BG =5，BF =AG +AE =35+15∵∠CBF =45°∴CF =BF =35+15∴CD =CF +EF —DE =20—103≈20—10×1.732=2.68≈2.7答：这块宣传牌CD 的高度为2.7米．【涉及知识点】解直角三角形【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．【推荐指数】★★★★★26．（2010江苏扬州，26，10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求证：点D 是BC 的中点；（2）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（3）如果⊙O 的直径为9，cosB ＝13，求DE 的长．【分析】（1）连结AD ,利用直径所对的圆周角是直角,来说明AD ⊥BC ,由于△ABC 是等腰三角形,利用等腰三角形三线合一来说明AD 是BC 边上的中线;(2)连结OD ,通过证明DE ⊥OD 来说明DE 与⊙O 相切;(3)利用三角函数进行求解.【答案】（1）证明：连接AD∵AB 为半圆O 的直径,∴AD ⊥BC∵AB=AC∴点D 是BC 的中点(2)解：相切连接OD∵BD=CD ，OA=OB ，∴OD ∥AC∵DE ⊥AC∴DE ⊥OD∴DE 与⊙O 相切（3）∵AB为半圆O的直径∴∠ADB=900在Rt△ADB中BD∵cosB=AD∴BD=3∵CD=3在Rt△ADB中CE∴cosC=CD∴CE=1【涉及知识点】圆的基本概念,直线与圆的位置关系【点评】本题主要考查的是与圆有关的综合题,在说明两直线与圆的位置关系时,一般情况是相切,通过添加辅助线进行求解，这类问题解决起来有一定的难度,考生在掌握基础知识的同时,必须学会灵活运用．【推荐指数】★★★★★27．（2010江苏扬州，27，12分）我国青海省玉树地区发生强烈地震以后，国家立即启动救灾预案，积极展开向灾区运送救灾物资和对伤员的救治工作．已知西宁机场和玉树机场相距800千米，甲、乙两机沿同一航线各自从西宁、玉树出发，相向而行．如图，线段AB、CD分别表示甲、乙乙、两机离玉树机场的距离S（百千米）和所用去的时间t（小时）之间的函数关系的图象（注：丙、为了方便计算，将平面直角坐标系中距离S的单位定为（百千米））．观察图象回答下列问题：（1）乙机在甲机出发后几小时，才从玉树机场出发？甲、乙两机的飞行速度每小时各为多少千米？（2）求甲、乙两机各自的S与t的函数关系式；（3）甲、乙两机相遇时，乙机飞行了几小时？离西宁机场多少千米？【分析】（1）观察图象可知乙机在甲机出发后1小时，才从玉树机场出发.甲机航行5小时行驶800千米,乙航行4小时行驶800千米,据此可求速度;(2)设出一次函数关系式,把图象上两个点的坐标代入即可求函数关系式;(3)联系求出的两个一次函数关系式,通过解方程组求出交点坐标,即可确定乙机飞行的时间及乙飞机离西宁机场的距离．【答案】解：（１）由图像可知乙机在甲机出发后1小时才从玉树机场出发；甲机的速度＝5800＝160千米每小时，乙机的速度＝4800＝200千米每小时；（2）设甲机的函数关系式为S 甲=k 1t +b 1，因图像过点A （0，8）和点B （5，0）将两点坐标代入可得⎩⎨⎧+==.50,8111b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.85811b －k ，得甲机的函数关系为S 甲=58-t +8；设乙机的函数关系式为S 乙=k 2t +b 2，因图像过点C （1，0）和点D （5，8）将两点坐标代入可得⎩⎨⎧+=+=.58,02222b k b k 解得⎩⎨⎧==.2222－b k 得乙机的函数关系式为S 乙=2t －2；（3）由⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=22858t S t S 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==932925t S 所以两机相遇时，乙飞机飞行了925小时；乙飞机离西宁机场为8－932=940千米。