利用数列单调性求解相关数列问题

利用数列单调性求解相关数列问题
数列的单调性问题是高考中的难点也是热点．本专题通过研究数列的单调性来解决
例题：数列{a n }的通项公式a n ＝n 2
＋λn (n ∈N *
)，若数列{a n }为递增数列，求实数λ的取
值范围．
变式1已知数列{a n }，a n ＝n 2
＋λn ＋3(其中λ为实常数)，且a 3数列{a n }的最小项，求实
数λ的取值范围．
变式2已知数列{b n }满足b n ＝2λ(－12)n －
1－n 2，若数列{b n }是单调递减数列，求实数λ的
取值范围．
串讲1已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1
n ，n ∈N *，设f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，试确定实数m 的取值
范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式f (n )>m
m ＋2
恒成立．
串讲2在数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝3a n＋2n－1.
(1)求证：数列{a n＋n}为等比数列；
(2)记b n＝a n＋(1－λ)n，且数列{b n}的前n项和为T n，若T3为数列{T n}中的最小项，求λ的取值范围．
(2018·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)设数列{a n}满足a n2＝a n＋1a n－1＋λ(a2－a1)2，其中n＝2，且n∈N，λ为常数．
(1)若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；
(2)若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m·a n≥n－r0对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；
(3)若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．
(2018·苏州市高三调研测试)已知各项是正数的数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＋S n －1＝a n 2＋23
(n ∈N *，n ≥2)，且a 1＝2.
①求数列{a n }的通项公式；
②若S n ≤λ·2n ＋
1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；
(2)数列{a n }是公比为q (q >0，q ≠1)的等比数列，且{a n }的前n 项积为10T n .若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得T （k ＋1）n
T kn
为定值，求首项a 1的值．
答案：(1)①a n ＝3n －1，②⎣⎡⎭
⎫15
16，＋∞；*(2)q . 解析：(1)①当n ≥2时，由S n ＋S n －1＝a n 2＋23，(*)，则S n ＋1＋S n ＝a n ＋12＋2
3，(**)1分
(**)－(*)得a n ＋1＋a n ＝1
3
(a n ＋12－a n 2)，即a n ＋1－a n ＝3，n ≥2，3分
当n ＝2时，由(*)知a 1＋a 2＋a 1＝a 22＋2
3，即a 22－3a 2－10＝0，解得a 2＝5或a 2＝－2(舍
去)，
所以a 2－a 1＝3，即数列{a n }为等差数列，且首项a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为
a n ＝3n －1.4分
②由①知，a n ＝3n －1，所以S n ＝n （3n －1＋2）2＝3n 2＋n
2
，
由题意可得λ≥S n 2n ＋1＝3n 2
＋n
2
n ＋2对一切n ∈N *恒成立，5分
记c n ＝3n 2＋n 2n ＋2，则c n －1＝3（n －1）2＋（n －1）2n ＋1，n ≥2，所以c n －c n －1＝－3n 2＋11n －4
2n ＋
2， n ≥2.当n >4时，c n <c n －1，当n ＝4时，c 4＝1316，且c 3＝1516，c 2＝78，c 1＝1
2，所以当
n ＝3时，c n ＝3n 2＋n 2n ＋2取得最大值15
16，7分
所以实数λ的取值范围为⎣⎡⎭⎫1516，＋∞.8分
(2)由题意，设a n ＝a 1q n －
1(q >0，q ≠1)，a 1·a 2……a n ＝10T n ，
两边取常用对数，T n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n .9分
令b n ＝lg a n ＝n lg q ＋lg a 1－lg q ，则数列{b n }是以lg a 1为首项，lg q 为公差的等差数列，11
分
若T （k ＋1）n T kn 为定值，令T （k ＋1）n
T kn ＝μ，则（k ＋1）n lg a 1＋（k ＋1）n [（k ＋1）n －1]
2lg q
kn lg a 1＋kn （kn －1）
2lg q
＝μ，
即{[(k ＋1)2
－μk 2
]lg q }n ＋[(k ＋1)－μk ]⎝⎛⎭
⎫lg a 1
2
q lg q ＝0对n ∈N *恒成立，
因为q >0，q ≠1，问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）2－μk 2
＝0，（k ＋1）－μk ＝0或a 1
2＝q .将k ＋1
k ＝μ代入(k ＋1)－μk ＝0， 解得μ＝0或μ＝1.13分
因为k ∈N *，所以μ>0，μ≠1，所以a 12＝q ，又a n >0，故a 1＝q .14分
专题49
例题
答案：(－3，＋∞)．
解法1数列{a n }为递增数列a n <a n ＋1(n∈N *)恒成立，即n 2＋λn <(n ＋1)2
＋λ(n ＋1)化简得λ>－2n －1恒成立，即λ>(－2n －1)max ，因为{－2n －1}为单调递减数列，当n ＝1时，取得最大值－3，所以λ>－3，即实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．
解法2函数f (x )＝x 2
＋λx 的对称轴为x ＝－λ
2，考虑到数列自变量n ∈N *
，所以|－λ
2－
1|<|2－(－λ
2
)|，解得λ>－3，即实数λ的取值范围为(－3，＋∞)．
变式联想
变式1
答案：[－7，－5]．
解法1a n ≥a 3对任意n∈N *
恒成立，即λ(n －3)≥－(n －3)(n ＋3)．当n ≥4时，λ≥－(n ＋3)，所以λ≥－7；当n ≤2时，λ≤－5；当n ＝3时，λ∈R ；综上所述，－7≤λ≤－5，即实数λ的取值范围为[－7，－5]．
解法2函数f (x )＝x 2＋λx ＋3的对称轴为x ＝－λ2，考虑到数列自变量n ∈N *：5
2≤－
λ2
≤7
2
，所以－7≤λ≤－5，即实数λ的取值范围为[－7，－5]． 变式2
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－1，103. 解析：由题意可知对任意n∈N *
，数列{b n }单调递减，所以b n ＋1<b n ，即2λ(－12
)n －(n
＋1)2
<2λ(－12
)n －1－n 2，即
6λ(－12)n <2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，因为(2n ＋3)·2n ＋1－(2n ＋1)·2n ＝2n
·(2n ＋5)>0，
所以数列{(2n ＋1)·2n
}单调递增，当n 是奇数时，λ>－（2n ＋1）2
n
6
，因为数列
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－（2n ＋1）2n
6单调递减，所以当
n ＝1时，－（2n ＋1）2
n
6
取得最大值－1，所以λ>
－1；当n 是偶数时，λ<（2n ＋1）2
n
6，因为数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫（2n ＋1）2n
6单调递增，所以当n ＝2时，（2n ＋1）2n
6取得最小值103，所以λ<103.综上可知，－1<λ<10
3，即实数λ的取值范围是(－1，103
)．
说明：解决数列单调性问题主要有两个方法，(1)数列是个特殊的函数，可以借助初等函数的单调性来解决数列的单调性问题，必须注意数列的自变量是正整数；(2)作差a n ＋1－
a n ，作商a n ＋1
a n
来比较相邻两项的大小，研究数列的单调性．
串讲激活
串讲1
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫－2，1811. 解析：由题意可知，f(n)＝S 2n ＋1－S n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋1
2n ＋1
.所以f(n ＋1)－f(n)＝(
1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3)－(1n ＋2＋1n ＋3＋1n ＋4＋…＋1
2n ＋1
)＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝(12n ＋2－12n ＋4)＋(12n ＋3－12n ＋4
)>0.所以 f(n)在(2，＋∞)单调递增，从而f(n)min ＝f(2)＝920，从而－2<m<18
11.
串讲2
答案：(1)略；(2)⎣
⎢⎡⎦⎥⎤9，814.
解析：(1)∵a n ＋1＝3a n ＋2n －1，
∴a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n)．又a 1＝2，∴a n >0，a n ＋n>0，故a n ＋1＋n ＋1
a n ＋n
＝3，∴{a n ＋n}是
以3为首项，公比为3的等比数列． (2)由(1)知a n ＋n ＝3n
，
∴b n ＝3n －nλ.∴T n ＝31＋32＋ (3)
－(1＋2＋3＋…＋n)λ＝32(3n －1)－n （n ＋1）2
λ.
若T 3为数列{T n }中的最小项，则对n ∈N *
有32(3n －1)－n （n ＋1）2
λ≥39－6λ恒成立．即
3
n ＋1
－81≥(n 2
＋n －12)λ对
n ∈N *恒成立.1°当n ＝1时，有T 1≥T 3，得λ≥36
5
；2°当n
＝2时，有T 2≥T 3，得λ≥9；3°当n ≥4时，n 2
＋n －12＝(n ＋4)(n －3)>0恒成立，∴λ≤3n ＋1
－81
n 2＋n －12
对
n ≥4恒成立．令f (n )＝3n ＋1
－81
n 2＋n －12
，
则f (n ＋1)－f (n )＝
3n ＋1
（2n 2
－26）＋162（n ＋1）
（n 2＋3n －10）（n 2
＋n －12）
>0对n ≥4恒成立．∴f (n )＝3n ＋1
－81
n 2＋n －12
在n ≥4时为单
调递增数列．∴λ≤f (4)，即λ≤814.综上，9≤λ≤814，即实数λ的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤9，814.
新题在线
答案：(1)1；(2)1
128
；*(3)3.
解析：(1)由题意，可得a n 2
＝(a n ＋d )(a n －d )＋λd 2
，化简得(λ－1)d 2
＝0，又d ≠0，所以λ＝1.
(2)将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1×4＋λ，解得λ＝0，所以a n 2
＝a n ＋1a n
－1，所以数列{a n }是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n －1
.欲存在r ∈[3，7]，使得m ·2
n －1
≥n －r ，即r ≥n －m ·2
n －1
对任意n ∈N *都成立，则7≥n －m ·2
n －1
，所以m ≥
n －7
2
n －1
对
任意n ∈N *
都成立．令b n ＝
n －7
2
n －1
，则b n ＋1－b n ＝
n －62
n
－
n －72
n －1
＝
8－n
2
n
，所以当n >8时，b n ＋1<b n ；
当n ＝8时，b 9＝b 8；当n <8时，b n ＋1>b n .所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1
128，所以m 的最小值为
1128
. *(3)因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2.
①若T ＝2，则a n ＋2＝a n 恒成立，从而a 3＝a 1，a 4＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪
⎧a 22
＝a 12
＋λ（a 2－a 1）2
.a 1
2＝a 22＋λ（a 2－a 1）2， 所以λ(a 2－a 1)2
＝0，又λ≠0，所以a 2＝a 1，可得{a n }是常数列．矛盾．所以T ＝2不合题意．
②若T ＝3，取a n ＝
⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝3k －2.2，n ＝3k －1（k ∈N *
）－3，n ＝3k
(*)，满足a n ＋3＝a n 恒成立．由a 22＝a 1a 3＋λ(a 2－a 1)2，得λ＝7.则条件式变为a n 2
＝a n ＋1a n －1＋7.由22
＝1×(－3)＋7，知a 3k －12
＝a 3k －2a 3k ＋λ(a 2－a 1)2
；由(－3)2＝2×1＋7，知a 3k 2＝a 3k －1a 3k ＋1＋λ(a 2－a 1)2；由12＝(－3)×2＋7，知a 3k ＋12＝a 3k a 3k ＋2＋λ(a 2
－a 1)2
.所以，数列(*)适合题意．所以T 的最小值为3.。