地磁第2章 地球主磁场的解析表示-1
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r
其中 H r , H 的方向与er , e 相反， H 的方向与 e 相同
磁场强度和磁感应强度的区别 磁感应强度 所以球心共轴磁偶极子的磁场 分量为
BT 0 H T
M cos U Br 0 H r 0 ( )er 0 er (2 - 1 - 4) 3 r 2r M sin U B 0 H 0 ( )e 0 e (2 - 1 - 5) 3 r 4r 0 U B 0 H e 0 (2 - 1 - 6) r sin
一般 特殊 均匀磁化物体的磁场 场 磁场） （元磁铁的组合， 合
均匀磁化球体磁 （磁偶极子 地心倾斜和地心重
一、泊松定理 泊松定理—一个均匀磁化物体的磁标势U，可用磁化强度 J (单 位体积的磁矩)与这个物体的引力位V的梯度的标量积的负值来 表示。用公式描述为
U J V （2 1 1 ）
当r0取不同的 值就可以画出 不同的磁力线 了。
r
R
②利用（2-1-11）式确 定磁力线：给定参量 Θ0，由（2-1-11） 式画出磁力线。 当r=R，给定Θ0= （ 就是磁力线过 球面点（A）对应的极 角），可以确定经过 点O和A的磁力线1。
sin
2
sin
2
（2 1 11 ）
0
磁偶极子的磁标势
(1) 定义—— 一对十分靠近且带等量异性磁 荷(+q和-q)所组成的磁荷体系称为磁偶极 子。（一个单独的点磁荷称为单极子）
矢量 l 的大小为正负磁荷之间的距离, 方向规 定为从负磁荷指向正磁荷。
M ql ，称为偶极子的偶极矩
(2) 偶极子的磁标势:
+q和-q磁荷在M点的势为:
M cos( M , r ) M cos U 2 2 4r 4r
H T U
又在球坐标系下：
1 1 er e e r r r sin
在球心共轴的条件下，可以写为
1 1 er e e r r r sin H T 的三个分量记为： H ,H ,H
T
因为：
dx rd,
dy r cos d,
dz dr
X
R 0 1 u u 1 0 3 g cos g sin cos h1 sin sin 0 x 0 r 1 1 4r
3
Y
u 0 y
当Θ0取不同的值 就可以画出不同 的磁力线了。
三、西蒙诺夫理论 （地心倾斜磁偶极子的磁场） 将地球视为一个均匀磁化球体时地磁场的解析 表达式。在地心倾斜磁偶极子模型中，磁偶极子 仍然位于地心，但磁轴与地球自转轴不重合，有 一个夹角情况。 1.磁标势 因为均匀磁化轴(磁偶极子轴)与地理轴不复合， 以磁化轴为极轴,则
因为
2
l r
,略去比
l r
的方次更高的项，得
r l 1 cos r 2r
同样可得
r l 1 cos r 2r
故得出磁偶极子场的磁标势的公式:
0 ql cos 0 M cos 0 M r U 2 2 4r 4r 4r 3
§2.1西蒙诺夫理论 （地心倾斜磁偶极子场 的解析式）
0 q 1 1 U 4 r r
下面是该势的具体推导简化过程
r 为Q 点(+q位置)到观察点M的距离 r 为 Q '点(-q位置)到M点的距离
r
为 QQ ' 的中点到M的距离。
将r+ , r- 转换为它们与r 的关系, 2 l 由余弦定理得 2 2
二、均匀磁化球体的磁标势， 磁场和磁偶极子力线方程。 1.磁标势： 当r> R 时，球体引力位
dv v V l r
v为球体体积。
dv v V v l r
的直观上的证明：
从数学上讲，积分的实质是求和，球体在P点的引力位 为球体上各个体积元在P点的引力位的叠加，而关于球心 对称的任何两个体积元在P点的引力位的叠加等效于位于 球心的大小为这两个体积元之和的体积元在P点的引力位。
第二章 地球主磁场的解析 表示
§2.1 析
西蒙诺夫理论 （地心倾斜磁偶极子场的解 式）
§2.2
§2.3
地磁场的高斯理论
主磁场数学表达式，国际地磁参考场
在地磁场的研究中，存在两个重要的问题：
第一，能不能找到一个适当的数学表达式把地磁要素的 地面分布表示成地理坐标的函数;
第二，地磁场到底是起源于地球内部还是地球外部。
解决第一个问题，不仅对地磁场的分布可以给出精确的、 定量的表示形式，而且对地磁场的构成可以获得全面而深刻的 认识。 弄清第二个问题，正是进一步从理论上解决地磁场成因问 题的基础。
吉尔伯特《磁体论》→西蒙诺夫理论→高斯球谐分析→高斯-施密特理论
A.吉尔伯特 1600年 的《磁体论》：把分散地点的地磁偏角
X 2 Y 2 Z2 1 3 cos 2 (2 - 1 - 8)
0 M 4r 3
0 M BT BP 3 2a 在地磁赤道， 和r=a,故 B 0 M B 2 3 4a
B
在两地磁极， 0 或 和r=a(a为地球半径)，故
两者之比 P 2 ，即地磁两极的磁场强度是地磁赤道的两 BB 倍 Z Z 磁倾角： tgI 2ctg (2 - 1 - 9)
在电磁学中，磁偶极子磁标势为 4r SI）， M r 所以 r emu）
3
0 M r
3
（国际单位制
是一个磁偶极子的磁标势（电磁单位制
结论：一个均匀磁化球体在球外一点的磁标势，等于 一个放在地心共轴（偶极磁轴与地理轴重合）磁偶极子 所产生的磁标势。
2. 球心共轴磁偶极子的磁场 球心共轴—磁心和地心重合，偶极轴与地球自转 轴重合 磁标势为： Θ为地磁余纬，地磁余纬将在后面讲到，在这里 我们先引用。由于球心共轴，所以地磁余纬和地 理余纬是相同的。 HT (r, , ) 为磁场强度与标量磁位U有如下的关系：
和倾角测量资料组织在一个统一的框架之下，描绘在一个 内部环境与地球表面环境相同的太空舱中，结果发现，地 球表面磁场的分布与位于地心的一个条形磁铁所长生的磁 场非常相似
1）地磁场相似位于地心的一个条形磁铁所产生的磁场
2）地磁场起源于地球内部。
B. 1835年西蒙诺夫：地球磁场是一个其磁轴通过 地球中心的均匀磁化球体的磁场，首次给出地 磁场（偶极子场）的解析表达式 C. 1839年高斯：完全不管产生磁场的物理原因， 把球谐分析理论用于地磁场研究，把地磁场表 示为地理坐标的函数，奠定了地磁学的理论基 础 D. 1885年施密特又发展了地磁场的球谐分析方法， 引入施密特缔合勒让德函数
l
为体积元Q到P的距离矢量。
证明
整个磁化体在P点的磁势：
1 U dU J ( )dv v v l
∵J均匀，积分和求梯度是分别对Q、P二点坐标进行，故可交 换顺序。 dv ∴ U J J V
V 其中， dl v l
l
v
,从本质上讲，V是一个匀质物体的引力位，G=1/ρ， 仅只单位不同。
X 2 Y 2
X
3.磁力线方程： 磁力线切线方向即磁场方 向，由这一条件写出磁偶 极子的磁力线方程
dr Br 2 cos tgI rd B sin
dr 2 cos d 2d sin r sin sin
ln r ln C sin 2
r C sin 2 （2 1 8）
r r o sin
2
（2 1 10）
① 给定参量r0，由（2-1-10） 式画出磁力线。 假如给定r0=0A，可以确定 经过点O和A的磁力线1， 由Θ=90°知，A点为此磁 力线的最远点。 当Θ取值00～1800,则相应的 有r（Θ），在坐标系ΘOr 上描点，这样我们就得到 许多点（Θ，r（Θ））， 再把这些点连接起来就得 到磁力线1了。
将2-1-12代入2-1-11得：
1 U J 3
令
R sin sin (cos r 4 J sin g 3
3 2 0
0
0
cos 0 cos cos sin
0
sin ) cos
0
∴
U
R g 4r
2
3
0 1 1 4 J cos cos g1 3 0 0 （2 1 14） 4 1 J cos sin 0 0 h1 3
2 2 BT Br2 B B
0 M 2 1 3 cos 3 4r
(2 - 1 - 7)
又由地磁要素X，Y，Z的定义知 0 M sin X B Y B 0 4r 3
0 M cos Z Br 2r 3
所以
BT F
u 0 r cos
3 0 3
0R u u Z ( ) g z r 2r
当Θ=90°，r=r0,得C= r0，
r r o sin
2
（2 1 10）
当r =R，则Θ=Θ0，Θ0为磁力线过球面点对应的极角求得 :
C R
sin
20ຫໍສະໝຸດ ∴rR2 0
sin
sin
2
（2 1 11 ）
给定一个参量r0或Θ0，由（2-1-10）或（2-1-11）式画出一条 磁力线。
（2 1 2）
其中
V
dv l
证明： J 为磁化强度，在dv体积元内的元磁矩 dM Jdv, dM 可视为一个磁偶极子,它在P点的磁标势为：
dU
dM l
l
3
J l
l
3
1 dv J ( )dv l
1 l ( ) 3 l l
1 R3 U cos J 2 cos 2 3 r 4 r M （2 1 12）
根据球面三角形边的余弦定理：即球面三角形一边的余弦 等于其它两边的余弦之积加上该两边的正弦及其夹角余弦 之积。在球面三角形NmNPs中：
cos cos(90 0 ) cos(900 ) sin( 900 0 ) sin( 900 ) cos( 0 ) sin 0 sin cos 0 cos (cos cos 0 sin sin 0 ) (2 - 1 -13)
r r rl cos 2
1 2
因此有
2 r l l 1 cos r 2r r
3 l2 1 l2 l l 1 cos cos 2 2 2 4r r r 8 4r
由泊松定理：
v 1 U J V J Jv r r 1 r M r M ( 2 ) 3 （2 1 3） r r r
1 1 1 (v / r ) v v v r r r
Jv M
sin g cos cos h1 cos sin （2 1 15） 1 1
0 1 1
2.磁场 以测点o为原点，ox轴指向地理北，o y轴指地 理东，oz轴向下建立坐标系。
H U， B H B U
T T 0 T 0
其中 H r , H 的方向与er , e 相反， H 的方向与 e 相同
磁场强度和磁感应强度的区别 磁感应强度 所以球心共轴磁偶极子的磁场 分量为
BT 0 H T
M cos U Br 0 H r 0 ( )er 0 er (2 - 1 - 4) 3 r 2r M sin U B 0 H 0 ( )e 0 e (2 - 1 - 5) 3 r 4r 0 U B 0 H e 0 (2 - 1 - 6) r sin
一般 特殊 均匀磁化物体的磁场 场 磁场） （元磁铁的组合， 合
均匀磁化球体磁 （磁偶极子 地心倾斜和地心重
一、泊松定理 泊松定理—一个均匀磁化物体的磁标势U，可用磁化强度 J (单 位体积的磁矩)与这个物体的引力位V的梯度的标量积的负值来 表示。用公式描述为
U J V （2 1 1 ）
当r0取不同的 值就可以画出 不同的磁力线 了。
r
R
②利用（2-1-11）式确 定磁力线：给定参量 Θ0，由（2-1-11） 式画出磁力线。 当r=R，给定Θ0= （ 就是磁力线过 球面点（A）对应的极 角），可以确定经过 点O和A的磁力线1。
sin
2
sin
2
（2 1 11 ）
0
磁偶极子的磁标势
(1) 定义—— 一对十分靠近且带等量异性磁 荷(+q和-q)所组成的磁荷体系称为磁偶极 子。（一个单独的点磁荷称为单极子）
矢量 l 的大小为正负磁荷之间的距离, 方向规 定为从负磁荷指向正磁荷。
M ql ，称为偶极子的偶极矩
(2) 偶极子的磁标势:
+q和-q磁荷在M点的势为:
M cos( M , r ) M cos U 2 2 4r 4r
H T U
又在球坐标系下：
1 1 er e e r r r sin
在球心共轴的条件下，可以写为
1 1 er e e r r r sin H T 的三个分量记为： H ,H ,H
T
因为：
dx rd,
dy r cos d,
dz dr
X
R 0 1 u u 1 0 3 g cos g sin cos h1 sin sin 0 x 0 r 1 1 4r
3
Y
u 0 y
当Θ0取不同的值 就可以画出不同 的磁力线了。
三、西蒙诺夫理论 （地心倾斜磁偶极子的磁场） 将地球视为一个均匀磁化球体时地磁场的解析 表达式。在地心倾斜磁偶极子模型中，磁偶极子 仍然位于地心，但磁轴与地球自转轴不重合，有 一个夹角情况。 1.磁标势 因为均匀磁化轴(磁偶极子轴)与地理轴不复合， 以磁化轴为极轴,则
因为
2
l r
,略去比
l r
的方次更高的项，得
r l 1 cos r 2r
同样可得
r l 1 cos r 2r
故得出磁偶极子场的磁标势的公式:
0 ql cos 0 M cos 0 M r U 2 2 4r 4r 4r 3
§2.1西蒙诺夫理论 （地心倾斜磁偶极子场 的解析式）
0 q 1 1 U 4 r r
下面是该势的具体推导简化过程
r 为Q 点(+q位置)到观察点M的距离 r 为 Q '点(-q位置)到M点的距离
r
为 QQ ' 的中点到M的距离。
将r+ , r- 转换为它们与r 的关系, 2 l 由余弦定理得 2 2
二、均匀磁化球体的磁标势， 磁场和磁偶极子力线方程。 1.磁标势： 当r> R 时，球体引力位
dv v V l r
v为球体体积。
dv v V v l r
的直观上的证明：
从数学上讲，积分的实质是求和，球体在P点的引力位 为球体上各个体积元在P点的引力位的叠加，而关于球心 对称的任何两个体积元在P点的引力位的叠加等效于位于 球心的大小为这两个体积元之和的体积元在P点的引力位。
第二章 地球主磁场的解析 表示
§2.1 析
西蒙诺夫理论 （地心倾斜磁偶极子场的解 式）
§2.2
§2.3
地磁场的高斯理论
主磁场数学表达式，国际地磁参考场
在地磁场的研究中，存在两个重要的问题：
第一，能不能找到一个适当的数学表达式把地磁要素的 地面分布表示成地理坐标的函数;
第二，地磁场到底是起源于地球内部还是地球外部。
解决第一个问题，不仅对地磁场的分布可以给出精确的、 定量的表示形式，而且对地磁场的构成可以获得全面而深刻的 认识。 弄清第二个问题，正是进一步从理论上解决地磁场成因问 题的基础。
吉尔伯特《磁体论》→西蒙诺夫理论→高斯球谐分析→高斯-施密特理论
A.吉尔伯特 1600年 的《磁体论》：把分散地点的地磁偏角
X 2 Y 2 Z2 1 3 cos 2 (2 - 1 - 8)
0 M 4r 3
0 M BT BP 3 2a 在地磁赤道， 和r=a,故 B 0 M B 2 3 4a
B
在两地磁极， 0 或 和r=a(a为地球半径)，故
两者之比 P 2 ，即地磁两极的磁场强度是地磁赤道的两 BB 倍 Z Z 磁倾角： tgI 2ctg (2 - 1 - 9)
在电磁学中，磁偶极子磁标势为 4r SI）， M r 所以 r emu）
3
0 M r
3
（国际单位制
是一个磁偶极子的磁标势（电磁单位制
结论：一个均匀磁化球体在球外一点的磁标势，等于 一个放在地心共轴（偶极磁轴与地理轴重合）磁偶极子 所产生的磁标势。
2. 球心共轴磁偶极子的磁场 球心共轴—磁心和地心重合，偶极轴与地球自转 轴重合 磁标势为： Θ为地磁余纬，地磁余纬将在后面讲到，在这里 我们先引用。由于球心共轴，所以地磁余纬和地 理余纬是相同的。 HT (r, , ) 为磁场强度与标量磁位U有如下的关系：
和倾角测量资料组织在一个统一的框架之下，描绘在一个 内部环境与地球表面环境相同的太空舱中，结果发现，地 球表面磁场的分布与位于地心的一个条形磁铁所长生的磁 场非常相似
1）地磁场相似位于地心的一个条形磁铁所产生的磁场
2）地磁场起源于地球内部。
B. 1835年西蒙诺夫：地球磁场是一个其磁轴通过 地球中心的均匀磁化球体的磁场，首次给出地 磁场（偶极子场）的解析表达式 C. 1839年高斯：完全不管产生磁场的物理原因， 把球谐分析理论用于地磁场研究，把地磁场表 示为地理坐标的函数，奠定了地磁学的理论基 础 D. 1885年施密特又发展了地磁场的球谐分析方法， 引入施密特缔合勒让德函数
l
为体积元Q到P的距离矢量。
证明
整个磁化体在P点的磁势：
1 U dU J ( )dv v v l
∵J均匀，积分和求梯度是分别对Q、P二点坐标进行，故可交 换顺序。 dv ∴ U J J V
V 其中， dl v l
l
v
,从本质上讲，V是一个匀质物体的引力位，G=1/ρ， 仅只单位不同。
X 2 Y 2
X
3.磁力线方程： 磁力线切线方向即磁场方 向，由这一条件写出磁偶 极子的磁力线方程
dr Br 2 cos tgI rd B sin
dr 2 cos d 2d sin r sin sin
ln r ln C sin 2
r C sin 2 （2 1 8）
r r o sin
2
（2 1 10）
① 给定参量r0，由（2-1-10） 式画出磁力线。 假如给定r0=0A，可以确定 经过点O和A的磁力线1， 由Θ=90°知，A点为此磁 力线的最远点。 当Θ取值00～1800,则相应的 有r（Θ），在坐标系ΘOr 上描点，这样我们就得到 许多点（Θ，r（Θ））， 再把这些点连接起来就得 到磁力线1了。
将2-1-12代入2-1-11得：
1 U J 3
令
R sin sin (cos r 4 J sin g 3
3 2 0
0
0
cos 0 cos cos sin
0
sin ) cos
0
∴
U
R g 4r
2
3
0 1 1 4 J cos cos g1 3 0 0 （2 1 14） 4 1 J cos sin 0 0 h1 3
2 2 BT Br2 B B
0 M 2 1 3 cos 3 4r
(2 - 1 - 7)
又由地磁要素X，Y，Z的定义知 0 M sin X B Y B 0 4r 3
0 M cos Z Br 2r 3
所以
BT F
u 0 r cos
3 0 3
0R u u Z ( ) g z r 2r
当Θ=90°，r=r0,得C= r0，
r r o sin
2
（2 1 10）
当r =R，则Θ=Θ0，Θ0为磁力线过球面点对应的极角求得 :
C R
sin
20ຫໍສະໝຸດ ∴rR2 0
sin
sin
2
（2 1 11 ）
给定一个参量r0或Θ0，由（2-1-10）或（2-1-11）式画出一条 磁力线。
（2 1 2）
其中
V
dv l
证明： J 为磁化强度，在dv体积元内的元磁矩 dM Jdv, dM 可视为一个磁偶极子,它在P点的磁标势为：
dU
dM l
l
3
J l
l
3
1 dv J ( )dv l
1 l ( ) 3 l l
1 R3 U cos J 2 cos 2 3 r 4 r M （2 1 12）
根据球面三角形边的余弦定理：即球面三角形一边的余弦 等于其它两边的余弦之积加上该两边的正弦及其夹角余弦 之积。在球面三角形NmNPs中：
cos cos(90 0 ) cos(900 ) sin( 900 0 ) sin( 900 ) cos( 0 ) sin 0 sin cos 0 cos (cos cos 0 sin sin 0 ) (2 - 1 -13)
r r rl cos 2
1 2
因此有
2 r l l 1 cos r 2r r
3 l2 1 l2 l l 1 cos cos 2 2 2 4r r r 8 4r
由泊松定理：
v 1 U J V J Jv r r 1 r M r M ( 2 ) 3 （2 1 3） r r r
1 1 1 (v / r ) v v v r r r
Jv M
sin g cos cos h1 cos sin （2 1 15） 1 1
0 1 1
2.磁场 以测点o为原点，ox轴指向地理北，o y轴指地 理东，oz轴向下建立坐标系。
H U， B H B U
T T 0 T 0